三棱錐的幾個重要性質(zhì),!

1、直角三棱錐的幾個性質(zhì)有一類特殊的三棱錐，它的經(jīng)過同一頂點的三條棱兩兩垂直，我們不妨把這種三棱錐稱作直角三棱錐，從結構上看，它是平面的直角三角形在空間的擴展。循著直角三角形的一些重要性質(zhì)對直角三棱錐進行探究，我們能得到直角三棱錐的有趣的相應性質(zhì)。我們已經(jīng)學習過的直角三角形的性質(zhì)有：性質(zhì)1：Rt的垂心就是直角頂點。性質(zhì)2：Rt的兩個銳角互余。性質(zhì)3：Rt兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。性質(zhì)4：Rt中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影比例中項；每條直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項；由此，Rt兩條直角邊的平方比等于它們在斜邊上的射影比。性質(zhì)5：Rt兩直角邊的乘積，等于斜邊與斜邊上高的乘積。

2、性質(zhì)6：Rt斜邊上的中線等于斜邊的一半。(所以Rt的外接圓半徑Rc)。性質(zhì)7：Rt的內(nèi)切圓半徑r(abc)。現(xiàn)在我們來探究一下直角三棱錐的性質(zhì)。如圖所示，在三棱錐P-ABC中，三條側棱PA、PB、PC兩兩垂直，設PAa，PBb，PCc。PA、PB、PC兩兩垂直，PA面PBC，PB面PCA，PC面PAB，面PAB、面PBC、面PCA兩兩垂直。作PH面ABC于H，連CH并延長并交AB于D，連PD，則PHAB，PHCD，面PCD面ABC；而PC面PABPCAB，所以AB面PCD，ABPD，ABCH。同理，AHBC，BHCA。由AB面PCD知CDAB，而PDAB且APB90°，ABC、CAB

3、為銳角。同理，BCA也是銳角，從而有：性質(zhì)1：直角三棱錐的底面是銳角三角形。由ABCH，AHBC，BHCA易知，H是ABC的垂心，由此可得：性質(zhì)2：直角三棱錐頂點在底面的射影是底面三角形的垂心。在RtPAB中，PD·ABPA·PBPD；在RtPCD中，CDPDPC()c；在RtPCD中，PHCD，PD·PCCD·PHPH，。因此有：性質(zhì)2：直角三棱錐頂點到底面的距離為h滿足關系式。因PH面ABC，側棱PC與底面ABC所成角為PCH，則有sinPCHsin。同理,側棱PB與底面ABC所成角為PBH,sinPBHsin，側棱PA與底面ABC所成角為PAH，s

4、inPBHsin，所以sinsinsin1。因此，性質(zhì)3：直角三棱錐三條側棱與底面所成角的正弦值的平方和等于1。三條側棱與底面所成角，和三個側面與底面所成角互為余角。由ABPD,ABCD，側面PAB與底面ABC所成角為PDC,由PCPD知90°,sinsin(90°)cos。類似推理，由sinsinsin1。易得：sinsinsin1。另外，tan(P-AB-C)tanPDCc，同理，tan(P-BC-A)a ，tan(P-CA-B)b。所以，性質(zhì)3：直角三棱錐三個側面與底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C)c，tan(P-BC-A)a ，t

5、an(P-CA-B)b。如圖，Q為底面ABC內(nèi)任一點，作點Q到面PAB的距離為RQd，到面PBC的距離為RTd，到面PCA的距離為RSd，容易得到：PQRQRPRQRTRSddd性質(zhì)4：底面內(nèi)任一點到頂點距離的平方，等于它到三個側面距離的平方和。QP與棱PA所成角的余弦值cos，QP與棱PB所成角的余弦值cos，QP與棱PA所成角的余弦值cos，在PQRQRTRS兩邊同時除以PQ，得coscoscos1；性質(zhì)4：直角三棱錐底面內(nèi)任一點與頂點的連線，和三條棱分別構成三個角，其余弦值的平方和為1。QP與面PAB所成角的余弦值cos，QP與面PBC所成角的余弦值cos，QP與面PCA所成角的余弦值c

6、os，由PQRQRTRS得2×PQRSRTRSRQRTRQ,兩邊同時除以PQ，得coscoscos2，1sin1sin1sin2，得sinsinsin1。性質(zhì)4：直角三棱錐底面內(nèi)任一點與頂點的連線，和三個側面分別構成三個角，其正弦值的平方和為1。底面三角形的面積SAB·CD·，這也可以當成直角三棱錐的一個性質(zhì)：性質(zhì)5：直角三棱錐底面三角形的面積S。在RtPCD中，PDHD·CD，兩邊同乘以AB得AB·PDAB·HD·CD，即SS·S；同理，SS·S；SS·S。性質(zhì)5：直角三棱錐側面面積是其在底面

7、的射影面積與底面面積的比例中項。把SS·S；SS·S；SS·S；這三個式子相加，得SSSS。性質(zhì)5：直角三棱錐三個側面面積的平方和，等于底面面積的平方。直角三棱錐P-ABC中，在點A處，cosPAB·cosPAC·，cosBACcosPAB·cosPAC；即cosBACcosPAB·cosPAC；同理，點B處，cosABCcosPBA·cosPBC；點C處，cosACBcosPCB·cosPCA。所以性質(zhì)6：直角三棱錐底面端點處，側棱與底面兩邊所成角的余弦積，等于底面角的余弦值。將直角三棱錐補成長方體，則

8、直角三棱錐的外接球也是長方體的外接球，其球心是長方體的中心，半徑為長方體對角線的一半。因此有性質(zhì)7：直角三棱錐外接球的半徑R。設直角三棱錐內(nèi)切球半徑為r，球心為，連OA,OB,OC，則把直角三棱錐分成四個小三棱錐，VVVVV，S，×ab×c×ab×r×bc×r×ca×r×××r ，r。所以，性質(zhì)7：直角三棱錐內(nèi)切球的半徑r?，F(xiàn)在將以上所探究到的直角三棱錐性質(zhì)小結如下：性質(zhì)1：直角三棱錐的底面是銳角三角形。性質(zhì)2：直角三棱錐頂點在底面的射影是底面三角形的垂心。直角三棱錐頂點到底面的距離為h滿足關系式。性質(zhì)3：直角三棱錐三條側棱與底面所成角的正弦值的平方和等于1。三條側棱與底面所成角，和三個側面與底面所成角互為余角。直角三棱錐三個側面與底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C)c，tan(P-BC-A)a ，tan(P-CA-B)b。性質(zhì)4：底面內(nèi)任一點到頂點距離的平方，等于它到三個側面距離的平方和。直角三棱錐底面內(nèi)任一點與頂點的連線，和三條棱分別構成三個角，其余弦值的平方和為1。直角三棱錐底面內(nèi)任一點與頂點的連線，和三個側面分別構成三個角，其正弦值的平方和為1。性質(zhì)5：直角三棱錐底面三角形的面