微積分下冊期末試卷及答案

1、中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷及參考答案中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷 及參考答案06年砥I 評 rss I分I 人f (x y,-)=1、已知x-to 一x 2e,dx 二2、已知，則，0-x2i e dx 二二22點取得極值.3、函數(shù)f(x，y)=x +刈+y 丫+1在4、已知 f（x，y）=x+（x+arctany）arctany ,則 f；（1,0）=.3x評 分閱卷 人5、以y=（C1 C2x）e （C1，C2為任意常數(shù)）為通解的微分方程是二、選擇題（每小題3分，共15分）02e dxe dx1 . p 46知。與1 xln x均收斂，則常數(shù)p的取值范圍是（）.(A)

2、 p 1(B) p ：1(C) 1 二 p :2(D) p 2中南民族大學(xué)06、07微積分(下)試卷及參考答案f(x,y)=4xx2 y0,22X2 y2 = 0是因為該函數(shù)(22x y =0在原點間斷, ).(A) (B) (C) (D)I18、若X211 31f2-y2dxdy 12y2 <1II 31 - x2 - y2dxdy 1 x2 y2 22.在原點無定義在原點二重極限不存在在原點有二重極限，但無定義在原點二重極限存在，但不等于函數(shù)值).1131 -x2 - y2dxdy22.7，則下列關(guān)系式成立的是9、(A)(C) I 1 I 2 I 3(B)(D)I 2 I1 I 3I

3、 2 : I1 : I 3方程y、6y ' 9y = 5(x , 1)e3x具有特解().(A) y =ax b(c)y =(ax2 bx)e3x(B)(D)/I、 3xy =(ax b)ey 二(ax3 bx2)e3xQOQ0- an- (-1) an10、設(shè)"收斂，則舊 (A)絕對收斂 (B)條件收斂).(C)發(fā)散(D)不定三、計算題(每小題6分,共60分)評 分丫軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.311、求由y =x：x=4,y =0所圍圖形繞中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷及參考答案評 分評閱 人12、求二重極限22評 分評閱 人-2二 z13、z=z（x，y）由z+eZ=

4、xy確定，求-:x：:y評 分評閱 人22/414、用拉格朗日乘數(shù)法求z=x +y +1在條件x+y =1下的極值.評 分評閱 人x1 y 一idy . 2eydxy15、計算2中南民族大學(xué)06、07微積分(下)試卷及參考答案評 分評回 人(x2 y2)dxdy2216、計算二重積分d，其中D是由y軸及圓周x + y =1所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.評 分評閱 人17、解微分方程y"=y"x中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷及參考答案評 分評閱 人18、判別級數(shù)n壬(-.n3 1 - . n3的斂散性.19、將函數(shù)3-x展開成x的幕級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間評 分評閱

5、人20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告 .根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售 收入R（萬元）與電臺廣告費用為（萬元）的及報紙廣告費用乙（萬元）之間的關(guān)系有 如下的經(jīng)驗公式：R =15 14x1 32x2 -8x1x2 -2x12 -10x2求最優(yōu)廣告策略.四、證明題（每小題5分，共10分）評 分21、設(shè)z=ln(x3+y3),證明:.Z；:z1x一 y一 二一.x二 y3Q0工2Un22、若也QOQ0、V2（' （UnVn）2與堂都收斂，則也收斂.答案一、填空題（每小題3分，共15分）2x （1 - y）1 21、1 + y . 2、/3、（3,3）.4、1. 5、y"-6

6、y'+y二、選擇題（每小題3分,共15分）6、（C ）.7、 （B）.8、（A ） .9、（D）.10、（D）.三、計算題（每小題6分,共60分）311、求由y=x2,x=4,y=。所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積32，一 、，23解：y X的反函數(shù)為X_y ,y A0。且X = 4時，y=8。于是（3分）（6分）82V、（42-y3）2dy =16二（8-0）8 40 y3dy12、解:13、二128二-二512ji7求二重極限=lim x 0 原式 y Qlim x0 y03 - y7=128兀-n077符-0）x2y2 1-1（x2 y2）（ x2y2 1 1）x2 y2 1 -

7、1（3分）=l * x2 y2 T 1） =2y0z=z（x，y） 由z+eZ =xy確定，求 2 二 z.:x；:y（6分）解：設(shè) F（x,y,z）=z + ez-xy ,則Fx = -y Fy = -xFz.xFxFzFzy：ZFy1 ez 1 ez-2 :z.x f y-y1 ez -yyz ；Z1x1 ezx1 ez（3分）14、用拉格朗日乘數(shù)法求（1 ez）1ezze xy（1 ez）2（6分）z =x2 + y2 +1在條件x+ y =1下的極值.解.z = x2 （1 - x）2 1 = 2x2 - 2x 21x 二一x令z'=4x2 =0,得2 ,z"=4&g

8、t;0,22.故 Z=x +y +1 在 y=1-x12為極小值點.1 1、（一，一）（3分）3下的極小值點為2 2，極小值為2 （6分）中南民族大學(xué)06、07微積分(下)試卷及參考答案1x1y yidy y2e dx15、計算2解:x1 y二 idy eydx2（6分）16、計算二重積分 一象限內(nèi)的區(qū)域.22!.!.(x y )dxdy22d,其中D是由y軸及圓周x +y =1所圍成的在第解:（x2 y2）dxdy,dJr3dr-D 0-08（6分）17、解微分方程y"=y"x.解：令p = y：yp：方程化為p'=p+x,于是 一（）dx（）dxp =e（ xe

9、 dx CJ =ex（ xedx C1）= ex-（x 1）e" C1 = -（x 1） Gex. x12 x一 y = pdx = L（x 1） Ce dx = - （x 1）CeC22（3分）（6分）'、（n3 1 - . n3 -1）18、判別級數(shù)的斂散性.43+1 - Vn3 -1 = ,2 ,解：n3 , 1 , ;n3 -1n3 1 - .n3 -1n；n .lim二 lim 二 1n '二1_n3 1；n3 -1因為n，n（3分）（6分）19、將函數(shù)3-x展開成x的幕級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷及參考答案3 -x解：由

10、于11 -3 ,已知1 -xO0L n-xn=0, 一1 < x <1,（3分）那么1 二 一3nq00 dn 二 v， on 1 n =0 3nx-3 二 x :二 3（6分）.根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售 %（萬元）之間的關(guān)系有20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告 收入R（萬元）與電臺廣告費用x1 （萬元）的及報紙廣告費用 如下的經(jīng)驗公式：R =15 14xi 32x2 -8x1x2-2x'-10xf求最優(yōu)廣告策略.22解：公司利潤為 L = R- x1 - x2 = 15 , 13k , 31x2-8x1x2 - 2x1 -10&J；令修-13-8x2

11、 -4x1 =0,=31 -8x1 -20x2 =0,4x1 +8x2 =13,即 8x1 +20x2 =31,得駐點A = Lx；xi3 5（xi,x2） y,二）=（0.75,1.25）4 4，而,=-4 < 0 B = Lx；* = -8 C = LX2X2 = -20（3分）2D =AC -B =80 -64 0,所以最優(yōu)廣告策略為：電臺廣告費用0.75（萬元），報紙廣告費用1.25（萬元）.（6分）四、證明題（每小題5分，共10分）；z：:z1x y 一 二一：:x2 y31設(shè) z =ln（x3-1 -2 3z3x1y3）,證明:z證:-11 ,x33x3y3-11y x3 y

12、3；x3v，3-x11 y 11x3 y3 x3 y3（3分）1 x；3 +x'3lx3 +y3 ）（6分）"22'(Un Vn)222、若也 與u 都收斂，則也 收斂.22222、證：由于 0W(Un+Vn) =/ +Vn +2UnVn M2(Un +Vn),(3分)QOQOoO'、U2'、v2'、 2(u2 v2)并由題設(shè)知一 與1 都收斂，則n二 收斂，oOv (Un Vn)2從而n-收斂。(6分)06年B卷評 閱卷、填空題（每小題3分，共15分）分 人y、22f (x -y,-) = x-y f( x v)二1、設(shè) x，則 f ( X

13、, y ) 223、設(shè)函數(shù)f（x，y）=2x +ax + xy +2y在點。7）取得極值，則常數(shù) a =.4 已知 f （x, y） = x + y（x + v14 + arctany）,則 fx'（1,0）=5、以y=aex +C2e3x（G,C2為任意常數(shù)）為通解的微分方程是.評 I閱卷二、選擇題（每小題3分，共15分）|分|人6、已知,0與 xln x均收斂，(A) P 0則常數(shù)p的取值范圍是（）.(B) p ： 0(C) p 二 1(D) 0 : p ：1227、對于函數(shù) f（x，y）=x -y ,點（。，0）（）（A）不是駐點（C）是極大值點（B）是駐點而非極值點（D）是極小

14、值點1,則(A)(B)11 I2(C)Ii ： I2(D)Ii2Ii = .(xy)2d二 I2 = .(x y)3d:2/ 八28、已知 D, D，其中 D為(x -2) +(y1)().9、方程y“-5y，6y=xe2x具有特解（）.(A)(C)y = ax by = (ax2 bx)e2x(B)(D)y = (ax b)e2xy =(ax3 bx2)e2xQOOO'、（T）n2n加'、an10、級數(shù)nT收斂，則級數(shù)修（）.（A）條件收斂（B）絕對收斂（C）發(fā)散（D）斂散性不定三、計算題（每小題6分,共60分）評 分評 分評閱 人311、求y=x, y=0,x=2所圍圖形繞

15、x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積評 分評閱 人12、求二重極限lim(xsin ysin) x 0 y )0評 分評閱 人z= arctan 山與13、設(shè)/xy，求改.中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷及參考答案評 分評閱 人14、用拉格朗日乘數(shù)法求f（x，y）=xy在滿足條件x + y = 1下的極值.015、計算1o xexydy評 分評閱 人ii Jx2 y2dxdy2216、計算二重積分D，其中d是由y軸及圓周x +(y-1) =1所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.評 分評閱 人17、解微分方程xy1y' = 0.評 分評園 人18、判別級數(shù)nm 1nl的斂散性.f（x） =1/19、將函

16、數(shù) x展開成（X 3）的幕級數(shù).中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷及參考答案20、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，單位售價分別為40元和60元,若生產(chǎn)x單位甲產(chǎn)品，生產(chǎn)y單22、位乙產(chǎn)品的總費用為20x 30y 0.1（2x -2xy+3y/100,試求出甲、 乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時該工廠取得最大利潤.四、證明題（每小題5分，共10分）評 分,22221、設(shè) u "lny z ,證明222二 u二 u二 u 1222222；x27Fz2 ) x yz'、 a2'、' b2'、' anbn22、若與I 都收斂，則n壬 收斂.07年A卷、填空題（每小

17、題3分，共15分）評 分閱卷 人1、設(shè) Z=X+y + f(xy)，且當(dāng) y = 0 時，z = X2 ,則 z=dx32、計算廣義積分1 x =.3、設(shè) z 二exy,貝U dZ(1,1) _. LC_ 2x4、微分方程y -5y +6y=xe具有 形式的特解.二二 i i" Un =44 一萬二5、設(shè) n4,貝 口注122 ),、選擇題（每小題3分，共15分）評分一閱卷 人3sin( x2 y2)lim22x 0 x . y6、1Pxy 的值為().(A) 3(B) 0(C) 2(D)不存在7、fx（x。，y。）和 fy（x。,y。）存在是函數(shù) f（x，y）在點（x。，y。）可微

18、的（）.（A）必要非充分的條件（B）充分非必要的條件（C）充分且必要的條件（D）即非充分又非必要的條件2222/8、由曲面z = Bx -y和z =。及柱面x +y =1所圍的體積是（）.(A)(C)02d ：r 4-產(chǎn)力d?.4-r2dr。(B)(D)4 2d； ! ：4-r2dr- 0- 0二.14 2dl r . 4 - r dr .。9、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性方程y"+py'+qy = f(x)有三個特解yi=x, y2=ex,_ 2xy3 =e ,則其通解為().(A) x Ciex C2e2x(B) Cix Czex C3e2x(C) x C1(ex-e2x)C2

19、(x -ex)C1(ex-e2x)C2(e2x-x)中南民族大學(xué)06、07微積分(下)試卷及參考答案10、無窮級數(shù)Q0Zn 1(-1廣(A)收斂 (C)發(fā)散(p為任意實數(shù))(B)絕對收斂(D)無法判斷).三、計算題(每小題6分,共60分)評 分11、求極限y 0 xy 1評 分評閱 人12、求由y = x與直線x=1、x=4、y=。所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷及參考答案；z ；z , 13、求由e =與艮所確定的隱函數(shù)z = z（x,yq偏導(dǎo)數(shù)玲x制.評 分評閱 人3,2-214、求函數(shù) f（x，y）=x -4x +2xy-y 的極值.評 分評回 人1

20、5、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R （萬元）與電臺廣告費用為（萬元）的及報紙廣告費用力（萬元）之間的關(guān)系有如下 的經(jīng)驗公式：22R=15 14Kl 32x2 -8x1x2 - 2為-10x2.若提供的廣告費用為1.5萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.評 分評閱 人-d-_16、計算積分d x，其中d是由直線y = x, y=2x及x=1,x=2所圍成的閉區(qū)域.中南民族大學(xué)06、07微積分(下)試卷及參考答案f(x)滿足18、求解微分方程xf(t)dt =2xf(x) x0，且f=0,求f(x).2y- y=0.1 -yZ 19、求級數(shù)一(x-2)n的收斂區(qū)

21、間.評 分評閱 人不 sin(2n x)如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是20、判定級數(shù)nJ n!是否收斂,條件收斂.中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷及參考答案四、證明題（每小題5分，共10分）評 分21、設(shè)正項級數(shù) u n.u nun 1一 收斂，證明級數(shù)n， 也收斂.評閱 人z 二一y z22 .證明22、設(shè) f(x -y)，其中f(u)為可導(dǎo)函數(shù),1 ：:z 1 ：:z z +=-2x .x y .y y07 （A）卷參考答案（可能會有錯誤大家一定要自己核對）一、填空題（每小題3分，共15分）1、設(shè) z=x +y + f（x _y）,且當(dāng) y = 0時，z = x2 ,則 z =

22、。22（x -2xy+2y+y）二 dx1.1 1 二、2、計算廣義積分x =。（ 2 ）3、設(shè)彳葭，則陽廣。（e（dx+dy）2x22X4、微分方程y -5y +6y-xe具有 形式的特解.（ax +bx）e）QO% Un =4。（1）5、設(shè)嗎二、選擇題（每小題3分，共15分）1、A.3lim x_0 y03sin(x2 y2)22x +y的值為B.0(A )C.2D.不存在2、,fx（x。，y0）和fy（x0, y0）存在是函數(shù)f（x, y）在點（x0,y0）可微的A.必要非充分的條件；B.充分非必要的條件；C.充分且必要的條件；D.即非充分又非必要的條件。(A )。3、由曲面2v2222

23、dx y和z = 0及柱面x +y =1所圍的體積是(D )。diA. 00r .4 - r2 drC、二 124 2dl 4 - r drB. 00；1 2d r . 4 - r dr -0D.4、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性方程_ 2xy3=e ，則其通解為（C ）。x2xA x+Ce +C2e .x 2xx、C. x +C1（e -e ） +C2（x e ）py+ qy = f（x）有三個特解V2B.D._ x _2 xC1x C2exC3e；x 2x2x 、C1(e re ) C2 (e r x)5、無窮級數(shù)A、收斂"1）2_pTn （ p為任意實數(shù)）B、絕對收斂C、發(fā)散(D)D、

24、無法判斷三、計算題（每小題6分，共60分）lim , xy _1、求下列極限：y 0 xy 1 -1lim 一 二 lim xy(、xy1 D 解：局向1武(xy+1)-1（3分）=lim( xy 1 1) = 1 1 = 2 y 0（6分）2、求由y=1x與直線x=i、x=4、y=0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。Vx解：=兀2dx= 7.5 二（4分）（6分）-Z3、求由ez =xyz所確定的隱函數(shù)z=z（x, y）的偏導(dǎo)數(shù)Ex解：方程兩邊對x求導(dǎo)得：z fza:zyz ze = yz xy=-二-詼跳,有力 e -xy x(z-1)(3分)方程兩邊對y求導(dǎo)得：z ；:z；:z；:z x

25、z ze = xz xy =-=硒劉，有為 exyy(z1)(6分)3.2-24、求函數(shù) f(x，y)=x -4x +2xy y 的極值。322解：f(x,y) =x -4x +2xy-y ,則2fx(x, y)=3x -8x 2yfy(x, y) = 2x。2yfxx(x, y) =6x-8fxy(x, y)=2fyy(x, y) -2,213x 8x+2y = 0,求駐點，解方程組l2x2y = 0,得(0,0)和(2,2).(2分)對(0Q)有以(0Q) =T<0, fxy(0Q)=2, fyy(0Q)=-2,于是B2 AC = 12 <0 ,所以(0，0)是函數(shù)的極大值點，

26、且f (0，0) =0.( 4分)對(2,2)有£氯2,2)=4, fxy(2,2)=2, fyy(2,2) = 2,于是B2AC =12 >0,(2,2)不是函數(shù)的極值點。(6分)5、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R(萬元)與 電臺廣告費用"（萬元）的及報紙廣告費用x2（萬元）之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗公式: R=15+14x1 +必2 -8x1x2 -2x1 -10x2 .若提供的廣告費用為1.5萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策 略.(3分)(5分)解：顯然本題要求：在條彳x1,x2)=x +x2 -1.5 = 0下，求R的最大值.

27、令 F =15+13x1 +31x2 -8x1x2 -2x(2 -10x2 +K(x1 +x2 -1.5) 解方程組R =13-8x2 -4xi +f； -0,« Fx； =318Xi 20x2 +九=0,巾 Xi +x2-1.5 = 0,得：X1 = 0 X2 = 1.5所以，若提供的廣告費用為1.5萬元，應(yīng)將1.5萬元全部用在報紙廣告費用是最優(yōu)的廣告策略.（6分）-d-6、計算積分D x，其中D是由直線y22x y-d;- - dx dy解：D x1x x.y =x,y =2x及x =1,x = 2所圍成的閉區(qū)域;（4分）= 3.2xdx=92 14(6分)xf （t）dt =2

28、xf（x） x7、已知連續(xù)函數(shù)f（x）滿足,0，且f- 0 ,求f （x）。解：關(guān)系式兩端關(guān)于 x求導(dǎo)得：1f （x） =2f（x）+2x（x）+1 即 X +2x X- 這是關(guān)于f （x）的一階線性微分方程，其通解為：12x上 1f(x) =e 2x( (-)e2x2x(一£,'x c)=二xxc)-1又 f (1) =0,即 c-1 =0，故 c=1,所以f(x)=-122y ；y8、求解微分方程1 - y =0。dpdp 22cy = ppp = 0解：令y = p，則 dy ,于是原方程可化為：dy 1 - ydp 2p=0-白dy2ipdy 1y，其通解為 p=c1

29、e=c1(yDdydx”(y-1)2dy- = c1dx 即(y-1)y =1 一故原方程通解為:1c1x c2Jx-2）n3 二9、求級數(shù)n- 7n 的收斂區(qū)間。Rim解：令t =x-2，哥級數(shù)變形為nT3/n, 二 1'、（-1） 3-當(dāng)t = -1時，級數(shù)為n3Vn收斂；二 13 ;當(dāng)t =1時，級數(shù)為nin發(fā)散.n“I故nnVn的收斂區(qū)間是”-1,。，= lim3n=1n - 3 nJ (x -2)n那么nmVn的收斂區(qū)間為Ix=1,3), （ 2分）（5分）（6分）（3分）（5分）（冽） （ 3分）（5分）（6分）Q0Z10、判定級數(shù)nsin(2n x)n!是否收斂，如果是收

30、斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂。解：因為sin(2n x) 工 n! - n!(2分)（4分）:sin（2n x）I n!絕對收斂.（6分）、填空題（每小題3分，共15分）評 分閱卷 人（3分）（5分）（2分）（4分）（5分）（n 1）!lim ' / o 0X 1n 1由比值判別法知n苴n!收斂（Yn! ）,F sin（2n x）從而由比較判別法知n- n! 收斂，所以級數(shù) 四、證明題（每小題5分，共10分）un un un 11、設(shè)正項級數(shù)n 收斂，證明級數(shù)nW也收斂。1 ,unun1 -（un un 1）證：2,1 ,、（un un 1）、 u u d而由已知2收斂，故由比

31、較原則，乙Vunun41也收斂。y1 ：:z 1 ：:z zZ= - -=2222、設(shè) f (x - y ),其中f (u)為可導(dǎo)函數(shù)，證明x冰 y w y .:z2xyf=-2證明：因為x f,；zf 2y2f：:y 一f21 Fz 1 :z2yf f 2y2f 1 z r=-+= 22r2所以 x " y cyf yf yf y .21、設(shè) z=x +y+f(y-x),且當(dāng) x = 0 時，z=y ,則2=dx2 =2、計算廣義積分1 x.3、設(shè)z=ln(1+x2 +y2),則dz(1,2) =4、微分方程y"-6y'+9y=5(x+1)e3x具有 形式的特解.

32、中南民族大學(xué)06、07微積分(下)試卷及參考答案:3n1Qn5、級數(shù)n 9 的和為6、選擇題(每小題3分，共15分)lim x_0 y Q-223sin( x y )22x y的值為().(A) 0(B) 3(C) 2評分閱卷 人(D)不存在7、(xo, yo)可微的fx(x, y)和fy(x,y)在(x0, v。)存在且連續(xù)是函數(shù)f(x, y)在點).(A)必要非充分的條件(B)充分非必要的條件(C)充分且必要的條件(D)即非充分又非必要的條件8、由曲面z =).d r4-r2dr(A) 002 二 2 一o d<o 44(B)JI(C)-r2 dr4 2 du(D)0。2、4-2*9

33、、設(shè)二階常系數(shù)非齊次微分方程2x% =e ,則其通解為(y"+py' + qy= f (x)有三個特解2xyi = xy2 = e).(B)(D)(A) Ci(ex-e2x) C2(e2x-x2,和z=0及柱面x +y =4所圍的體積是)(C) x2 Ciex C2e2xCix2 C2ex C3e2xx2Ci(ex -e2x) C2 (x2 - ex)(T/n2p).QO z 10、無窮級數(shù)ni (A)無法判斷 (C)收斂(p為任意實數(shù))(B)絕對收斂(D)發(fā)散中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷及參考答案三、計算題（每小題6分,共60分）評 分limx_011、求極限y

34、0評 分評閱 人12、求由在區(qū)間 轉(zhuǎn)體的體積.0'萬上，曲線y = sinx與直線兀x 二一2、y = 0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋評分w人Fz江z,-,13、求由e -xyz = xy所確定的隱函數(shù)”水的偏導(dǎo)數(shù) 原 出.評 分評閱 人3314、求函數(shù) f(x,y)=x -12xy+8y 的極值.評 分評回 人15、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R （萬元）與電臺廣告費用X（萬元）的及報紙廣告費用為（萬元）之間的關(guān)系有如下 的經(jīng)驗公式：22R=15 14為 32x2 -8x1x2 - 24-10x2.若提供的廣告費用為15萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略

35、.評 分評回 人（2x y）d。_16、計算二重積分d，其中D是由y = x,1 y =x及1=2所圍成的閉區(qū)域.中南民族大學(xué)06、07微積分(下)試卷及參考答案f(x)滿足xLf出十 2f(x)+x = 0,求 f(x).評 分評回 人：(x-3)n19、求級數(shù)修后的收斂區(qū)間.評 分評閱 人J cos(n x)如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是20、判定級數(shù) n!是否收斂,條件收斂.中南民族大學(xué)06、07微積分（下）試卷及參考答案四、證明題（每小題5分，共10分）評 分匚 an'（an 0）21、設(shè)級數(shù)2 收斂，證明n也收斂.z=2cos2(x)2 o 022、設(shè)2 ,證明：武 改

36、部07年（B）卷參考答案（可能會有錯誤大家一定要自己核對）一、填空題（每小題3分，共15分）21、設(shè) z=x y f （yx）,且當(dāng) X =0 時，z = y，則 Z =。（x2 -2xy +2x + y2）二 dx17小2、計算廣義積分x =。（1）3、設(shè) z = ln(1+x2 +y2),則 dz(1,2)4、3x微分方程y -6y +9y=5(x+l)e具有12-dx dy(33)形式的特解.(ax3+bx2)e3x)nJ 31c n5、級數(shù)n1 9 的和為、選擇題（每小題3分，共15分）1、A、limX 0y03sin(x2 y2)22x+y的值為B、3(B )C、22、fx（x, 丫

37、臺口fy（x, y）在（%,y0）存在且連續(xù)是函數(shù)D、不存在f（x, y）在點（，y。）可微的A.必要非充分的條件；B.充分非必要的條件；C.充分且必要的條件；D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面z = :42222x -y和z = 0及柱面x +y =4所圍的體積是2 二4-di r 4A. 00-r2dr4 2dl r 4 -r2drB. °°；C、02 dL2dr4 D.02dL24-r2dr4、設(shè)二階常系數(shù)非齊次微分方程y"十py' + qy= f (x)有三個特解2y1 二 xV2y3 =e2x,則其通解為 IC1(ex -e2x) C2 (e

38、2x(D)2-x ).?C1x2C2ex C3e2x；C1exC2e2x；x 2x2 x、G(e -e ) C2 (x - e )5、無窮級數(shù)A、無法判斷cO z n 1(-1n2p（p為任意實數(shù)）B、絕對收斂（A）C、收斂D、發(fā)散、計算題（每小題6分，共60分）xylim x 01、求下列極限：y0limx )0解：y-0xy=limx0y04 -(xy 4)xy(2 xy 4)（3分）=limx0 y 02 ,xy4 2 2（6分）JI0,T2、求由在區(qū)間 2上，曲線y=sinx與直線 體積。x =- 八2、 y二0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的解Vx=二:sin?xdx1 2=-n4（4分

39、）（6分）；z ；z3、求由ez xyz = xy所確定的隱函數(shù)z=z（x, y）的偏導(dǎo)數(shù) 沃yy 。解：（一）令 F（x, y, z） =ez -xyz-xy千：f=-yz- y =_ xz x則改，為，利用公式，得FF:z =；x 二-yz - y 二 yz y.xF_ez _xy ez -xy:z.:zz=e - xy干:zy - xz - x xz x :y £ ez -xy ez - xy:z（二）在方程兩邊同時對 x求導(dǎo)，得z ；z；ze - - yz- xy = yx二 x解出2 yz y-zx e - xy.z xz x-z同理解出y e -xy334、求函數(shù)f（x，

40、y）=x T2xy+8y的極值。33解：f （x，y） =x 12xy +8y ,貝u2fx（x，y）=3x -12yfy（x，y）-24y -12xfxx（x,y） =6xfxy（x，y） = -12fyy（x，y） = 48y,3x2 -12y =0,=2求駐點，解方程組124y 一甩得。和1）.對（0,0）有 （0，0）=0fxy（0,0）12, fyy（0,0）=0,于是B2 AC =144 >0 ,所以（0,0）點不是函數(shù)的極值點.對（2,1）有 %（2,1）=12, fxy（2,1）=-12, fyy（2,1） = 48（3分）1 （ 6分）1 （ 3分）1 （ 6分）（2分

41、）（4分）于是 B2AC=1 44 24 80 ,且 A = 12a0, 值,f （2,1）=23 -12x2x1+8x13 =85、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告所以函數(shù)在（2,1）點取得極?。?分）.根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R（萬元）與電臺廣告費用" （萬元）的及報紙廣告費用X2（萬元）之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗公式: 22R=15 14x1 32x2-8XiX2 一2天 -10X2 .若提供的廣告費用為1.5萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.解：顯然本題要求：在條彳*(X1，X2)=X1-1.5 = 0下，求R的最大值.22令 F =15 +13x1 +31x2 -8x1x2 -