單因素方差分析

1、 5.2單因素方差分析I數(shù)學模型（1）單因素問題就是只考慮一個因素 A對試驗指標的影響問 題。設(shè)此因素A有r個不同水平A1,A2|,Ar ;在水平下，重復 進行次試驗，獲得試驗指標的個數(shù)據(jù)即樣本：=（%1，%2，|，%山）丁，（1 汀）；這里，為水平下的總體，1叮汀；下面做兩個基本假設(shè)：（H1）總體Y,|,Yr是獨立的，且Y N（片2）,（1 口蘭 r），其中，仁匕r，及均為未知參數(shù)；（注意：具有相同的方差?。℉2） Yi =（%12,川,丿為的簡單樣本。（2）單因子方差分析中的數(shù)學模型：丫 （1乞 r）;2；i N（Of ）,Cov（ ；j） =0,（ j）;定義下列符號：q =Yj -氣

2、表示隨機誤差；n八二ni表示數(shù)據(jù)總數(shù)；表示組內(nèi)平均值；n I nd表示總的平均值（及組間平均值）；二=叫- 表示水平對試驗指標的效應值；- ri/： i =0 ；數(shù)據(jù)的數(shù)學模型為：Y =卩 +8 +ej ,(1 蘭 r,1 蘭 j 蘭 nJ; q N(0,r2);Cov(ej ,euv) =0,(i, j)式(U,v);rL=0.注1:在此模型中，未知參數(shù)有 r+1個:X2及在： i ：1叮乞r中的r-1個。將此模型與一元線性回歸中的數(shù)學模型進行比較:數(shù)學模型數(shù)據(jù)模型一元線性回歸Y = 4(x)+g; 4(x)=E(Y|X = x);2嚴 N(0,r ).1丫 =出xj+e,(1 切);2 e

3、=(e：1Ei 蘭 n),eN(0,cr );Cov(e，ej ) = 0,(i 式 j).單因素方 差分析 不成立館=片+勺,(1口)；s N(0a2Ir).Y =+碼 +ej,(1 蘭i 蘭 r;1 蘭 j Wn i); 邑=g )：e N(0a )； Cov(ej,euv) =0,(i, j) H(u,v).單因素方 差分析 成立丿Y = + s； k N(0a2).Y =#+ej,(1 蘭i 蘭r;1 蘭 j 蘭ni); 壘=(q ：ej N(0a )； Cov(ej，eUvH0,(i, j(u,v).這里，H0:訂=0,1 _i _r 或.Lj=0,1_i_r。當成立時，丫的簡單樣本

4、就是：口，1引乞；仁j可，其容量為：n.顯然，方差分析的數(shù)學模型比線性回歸的數(shù) 學模型要簡單。顯然，當成立時，單因素方差分析中的數(shù)學 模型是一元線性回歸數(shù)學模型的特例。II方差分析(1) 假設(shè)檢驗問題一個因素的不同水平對試驗指標影響的差異體現(xiàn)在：“是否為零”的這一結(jié)論上。因此，假 設(shè)格式為：H。：冷=0,11 mr 或 叫=0,1S r ；已：H。；(2) 基本符號 注意：在假設(shè) 日0:二=0 , 1 i 一成立的條件 下，數(shù)據(jù)集Yj ：1 乞 i r;1 乞 j A汪意，sEii22j 4(Yj -丫i；)j 4G - e：)；sE二7送j二（丫j 丫応）送j呂（eij按抽樣分布定理，有廠s

5、E2n _r此即(1*).st2八汪意，r n：r n：C i eij e )2j/Yj -丫)2 八 J，j.r 2 r _nj_r_ni_ 2ynii 2 i/i jT(ej - 可 “ J j#(ej -可r _ 2=送 i J： jjq -e) ,(W=0,1 勺蘭 r)；按抽樣分布定理，當成立時，有-s2 L ；按誤差分解式及結(jié)論（1*），有一 SA I ；故得（2*）汪意，2r 2r2SA - 心廠丫）7 yniCq-e）；現(xiàn)在，按抽樣分布定理，與 無：二（列-e）2獨立；按樣 本的定義，當k=i時，與a ：Gjek.）2是獨立的；于是， 與7 ：二G -e）2獨立。注意，2 2_

6、 CT （JCov（ ；, ；j - 和.）0 ；rn rn于是，與；j -匚獨立；從而，與 V ：4（ej _e）2 獨立.綜合起來，得：與獨立。注：當成立時，可有如下表示：sA =送 jji （丫-丫）2 =送._i n gi +引-e）2r2r_r_2二、ynijnii（e； e） v n-e）v. r二 i（e； -e） ,（： i =0,仁1 汀）（4）檢驗統(tǒng)計量與否定域設(shè)計F-統(tǒng)計量：2F =歸 _1）F（r-1 n-r）（當成立時）； SE （n -r）注意，當較大時，偏離較大.這時，假設(shè)就不能成立.于是，否定域的結(jié)構(gòu)應為：2K 二y：SA（y） c又SE. （n -r）為的一個

7、無偏估計。故可由下式?jīng)Q定:P（F 、|H。）八查F-表可得：、 = F1_：.（ r -1 ,n -。最后，可確定否定域中的待日疋量C：r -12、c =Sg 。n -r(5)單因素方差分析表與判決單因素方差分析表的設(shè)計方差來源自由度平方和均方差F-值判決因素Ar -1S2f = SA/S若(*)真則拒絕誤差n rS若(*)假則接受總和n 1(*) FaF此表涉及到的計算公式如下:S；八i . nY2 ；2rn. 2r 2Se 二 .生二 j Yj 二.j.Y .；W sE ；我們將用：一 P(F F.(r -1,n-r)來代替尾概率關(guān)系P = P(F Fi“(r -1,n -r)；判決時，不

8、采用P來作判斷；而直接按否定域的含義進行 判決。注：從分析表中可以看出：參數(shù)(即水平數(shù))必須大于1，即r 1；樣本容量：n =為.n. - r。習題 5(p.187) : 2例5.1.1(即引例)基本數(shù)據(jù)：一0.05 ； r-1=2 ； n-1=11 ；n 一 r = 9 ；樂5(2,9) =4.26。計算數(shù)據(jù)：Sa = 2668.17; SE =1098.5 ;S2 =3766.67 ; SA =1334.09 ;SE =122.06; F = SA SE =10.93.結(jié)論：拒絕，即廣告內(nèi)容不同對銷售指標有顯著影響.Ill統(tǒng)計分析(1)問題 在引例5.1.1中，經(jīng)檢驗：三種水平對銷售 指標

9、的影響是有差異的。這就提出另一個問題：哪一種廣告內(nèi)容的效果最好？注意，第i個水平的效應值反映第i個水平對因素A的影響.因此，應選擇效應值最大(或最小) 的作為實施方案。(2)統(tǒng)計分析的目標：即是求出的點估計及的區(qū)間估計。分析的步驟(i) 選定的無偏估計：注意，為的無偏估計；為的無偏估計； 于是，哲比,Y為口嚴片一4的無偏估計。(ii) 設(shè)計檢驗統(tǒng)計量：注意，片N(o2/n)；sEt2 (R)；(注：由 sE 八-)2 八 Kg-e)2可知:對任意的：*R，都有sE= 2D(iii) 確定的置信區(qū)間：選取置信度為1，則正態(tài)總體的均值在此置信度下的置信區(qū)間為74n r)J( S 乂壯/n r)J( S、(n-5斗(n-r)m (iv) 確定最佳水平：求使效應值的估計值的絕對值達到極大或極小的水平 k :即求k，使得隊| = imaxofi或