地基應(yīng)力計(jì)算

1、第三章 地基應(yīng)力計(jì)算第一節(jié) 概 述建（構(gòu)）筑物的建造使地基土中原有的應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生了變化，如同其它材料一樣，地 基土受力后也要產(chǎn)生應(yīng)力和變形。在地基土層上建造建（構(gòu)）筑物，基礎(chǔ)將建（構(gòu)）筑物 的荷載傳遞給地基，使地基中原有的應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生變化，從而引起地基變形，其垂向變形 即為沉降。 如果地基應(yīng)力變化引起的變形量在建 （構(gòu)） 筑物容許范圍以內(nèi)， 則不致對建 （構(gòu)） 筑物的使用和安全造成危害；但是，當(dāng)外荷載在地基土中引起過大的應(yīng)力時(shí)，過大的地基 變形會使建（構(gòu)）筑物產(chǎn)生過量的沉降，影響建（構(gòu)）筑物的正常使用，甚至可以使土體 發(fā)生整體破壞而失去穩(wěn)定。因此，研究地基土中應(yīng)力的分布規(guī)律是研究地基和土工建（

2、構(gòu)） 筑物變形和穩(wěn)定問題的理論依據(jù)，它是地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)中的一個(gè)十分重要的問題。地基中的應(yīng)力按其產(chǎn)生的原因不同，可分為自重應(yīng)力和附加應(yīng)力。二者合起來構(gòu)成土 體中的總應(yīng)力。由土的自重在地基內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)力稱為自重應(yīng)力；由建筑物的荷載或其它 外荷載 （如車輛、 堆放在地面的材料重量等 ）在地基內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)力稱為附加應(yīng)力。因地震而引起的慣性力也屬于外荷載的范圍。對于形成年代比較久遠(yuǎn)的土，在自重應(yīng)力的長期作用 下，其變形已經(jīng)穩(wěn)定，因此，除了新填土外，一般來說，土的自重不再會引起地基土的變 形。而附加應(yīng)力則不同，因?yàn)樗堑鼗行略黾拥膽?yīng)力，將引起地基土的變形。地基土的 變形導(dǎo)致基礎(chǔ)沉降、傾斜和相鄰基礎(chǔ)出現(xiàn)沉降

3、差。所以，附加應(yīng)力是引起地基土變形的主 要原因。除上述二種應(yīng)力外，地基土中水的滲流引起的滲透力也是土中的一種應(yīng)力。當(dāng)然， 環(huán)境條件的改變也會引起土中應(yīng)力的變化。本章重點(diǎn)介紹自重應(yīng)力和附加應(yīng)力的計(jì)算方法， 反映土中應(yīng)力特點(diǎn)的有效應(yīng)力原理以及土中應(yīng)力變化的描述方法，即應(yīng)力路徑等內(nèi)容。根據(jù)土樣的單軸壓縮試驗(yàn)資料，當(dāng)應(yīng)力很大時(shí),土的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系就不是一條直線了，即土的變形是非線性的。然而，考慮到一般建筑物荷載作用下地基中應(yīng)力的變化范圍 （應(yīng)力 增量 ）還不太大，如果用一條割線來近似地代替相應(yīng)的曲線，其誤差可能不超過實(shí)用的允許 范圍。這樣，我們就可以把土看成是一種線性變形體，即土為線彈性體。求解土中應(yīng)

4、力的方法有很多，本章只介紹目前生產(chǎn)實(shí)踐中使用最多的古典彈性力學(xué)方 法。利用彈性力學(xué)方法求解土中應(yīng)力會遇到一些專用名詞，下面先加以介紹：一、理想彈性體從力學(xué)的概念來講，理想彈性體就是符合虎克定律的物體，即物體受荷載作用時(shí)，其應(yīng)力與應(yīng)變成直線關(guān)系，卸荷時(shí)仍沿此直線回彈，如圖3-1中的、（b）為彈性體模型。二、無限大平面與半無限空間向兩邊無限延伸的平面稱為為無限大平面；無限大平面以下的無限空間稱半無限空間，圖3-1理想彈性體如圖3-2所示。就可以把地基看作是半無限空間體。圖3-2的坐當(dāng)?shù)鼗鄬τ诨A(chǔ)尺寸而言大很多時(shí), 標(biāo)系統(tǒng)是地基計(jì)算中通常采用的。三、平面與空間問題當(dāng)受力物體中任一點(diǎn)的應(yīng)力和變形是三

5、個(gè)坐標(biāo)值的函數(shù)，即二,;-f (x, y, z)時(shí)，為空間問題或三維問題；若應(yīng)力和變形只是二個(gè)坐標(biāo)值的函數(shù)，即匚,f (x,z)時(shí)為平面或二維問題；如果它們只隨一個(gè)坐標(biāo)值而變化，即；二；- f (z)，則變?yōu)橐痪S問題。另外，土力學(xué)中應(yīng)力的符號也有相應(yīng)的規(guī)定。由于土是散粒體，一般不能承受拉應(yīng)力 作用，在土中出現(xiàn)拉應(yīng)力的情況很少，因此，在土力學(xué)中對土中應(yīng)力的正負(fù)符號常作如下 規(guī)定：土力學(xué)圖3-3關(guān)于應(yīng)力符號的規(guī)定在應(yīng)用彈性理論進(jìn)行土中應(yīng)力計(jì)算 時(shí)，應(yīng)力符號的規(guī)定法則與彈性力學(xué)相 同，但正負(fù)與彈性力學(xué)相反。即當(dāng)某一個(gè) 截面上的外法線方向是沿著坐標(biāo)軸的正 方向時(shí)，這個(gè)截面就稱為正面，正面上的 應(yīng)力分量

6、以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)，沿坐標(biāo) 軸的負(fù)方向?yàn)檎?。在用摩爾圓進(jìn)行土中應(yīng) 力狀態(tài)分析時(shí)，法向應(yīng)力仍以壓為正，剪 應(yīng)力方向的符號規(guī)定則與材料力學(xué)相反。 土力學(xué)中規(guī)定剪應(yīng)力以逆時(shí)針方向?yàn)檎?與材料力學(xué)中規(guī)定的剪應(yīng)力方向正好相 反。見圖3-3所示。81第二節(jié)自重應(yīng)力在計(jì)算地基中的應(yīng)力時(shí)，一般假定地基為均質(zhì)的線性變形半無限空間，應(yīng)用彈性力學(xué) 公式來求解其中的應(yīng)力。由于地基是半無限空間彈性變形體，因而在土體自重應(yīng)力作用下,任一豎直平面均為對稱面。因此，在地基中任意豎直平面上，土的自重不會產(chǎn)生剪應(yīng)力。 根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，在任意水平面上的剪應(yīng)力也應(yīng)為零。因此豎直和水平面上只有主應(yīng) 力存在，豎直和水平面為主平面

7、。現(xiàn)研究由于土的自重在水平面和豎直平面上產(chǎn)生的法向 應(yīng)力的計(jì)算。一、均勻地基情況（一）豎直向自重應(yīng)力匚SZ以天然地面任一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,坐標(biāo)軸Z豎直向下為正。設(shè)均質(zhì)土體的天然重度為，故地基中任意深度 Z處的豎直向自重應(yīng)力Csz就等于單位面積上的土柱重量。若Z深度內(nèi)土的天然重度不發(fā)生變化，那么， 該處土的自重應(yīng)力為AZ(3-1)式中：二SZ 天然地面以下 Z深度處土的2自重應(yīng)力（kN/m ）；G面積A上高為z的土柱重量（kN）；A土柱底面積（m ）。由式（3-1）可知，均質(zhì)土的自重應(yīng)力與 深度Z成正比，即Csz隨深度按直線分布 （圖3-4（b），而沿水平面上則成均勻分布（圖3-4（ a ）。（二

8、）水平向自重應(yīng)力（T sx、sy由于二sz沿任一水平面上均勻地?zé)o限分布，既為側(cè)限條件（側(cè)向應(yīng)變?yōu)榱愕囊环N圖3-4 均質(zhì)土中豎向自重應(yīng)力（a）任意水平面上的分布；（b）沿深度的分布;應(yīng)力狀態(tài)）。所以，地基土在自重應(yīng)力作用 下只能產(chǎn)生豎向變形，而不能有側(cè)向變形（c）水平自重應(yīng)力和剪切變形。故有x=0，且二sx sy。根據(jù)廣義虎克定律E-F-z)(3-2)將側(cè)限條件代入式（3-2）sxX E (二 sy 宀-'sz) = 0"-'sx 二sy-sx-sy=K-sz(3-3)(3-4)式中：Csx、二sy 分別為沿x軸和y軸方向的水平自重應(yīng)力（kN/m2）;Ko土的靜止土壓力

9、系數(shù)，是側(cè)限條件下土中水平向有效應(yīng)力與豎直向有效應(yīng)力 之比，故側(cè)限狀態(tài)又稱 Ko狀態(tài)；卩一一土的泊松比。Ko和依據(jù)土的種類、密度不同而異，可由試驗(yàn)確定或查相應(yīng)表格。在上述公式中，豎向自重應(yīng)力 二SZ和水平向自重應(yīng)力 二SX、二sy 一般均指有效自重應(yīng)力。 因此，對處于地下水位以下的土層必須以有效重度代替天然重度 。為簡便，以后各章把常用的豎向自重應(yīng)力 Csz簡稱為自重應(yīng)力。、成層地基情況(3-5)地基土往往是成層的，各層天然土層具有不同的重度，所以需要分層來計(jì)算。第一土 層下邊界（即第二層土頂面）土的自重應(yīng)力為二 SZ1 二 1h1式中：1、h1第一層土的重度和厚度。在第二層土和第三層土交界面

10、處的自重應(yīng)力可寫成下面形式:h1 ：；'討2h2(3-6)G1 +G2-sz2 :A式中：二sz2第二層土下邊界面處土的自重應(yīng)力；2、h2分別為第二層土的重度和厚度。 其余符號同前。同理，第n層土中任一點(diǎn)處的自重應(yīng)力公式可以寫成n二 szn = 1 h1 + ?2h2 +人缶=瓦綣“(3-7)i珀式中：n第n層土的重度；hn第n層土（從地面起算）中所計(jì)算應(yīng)力的那一點(diǎn)到該土層頂面的距離。 應(yīng)當(dāng)指出，在求地下水位以下土的自重應(yīng)力時(shí)，對地下水位以下的土應(yīng)按有效重度代 入公式（3-7）。該圖也稱為土的圖3-5是按照公式（3-7）的計(jì)算結(jié)果繪出的成層地基土自重應(yīng)力分布圖, 自重應(yīng)力分布曲線。1

11、- B -11-:3三=打 J -.:-艮上蝦水圖3-5成層地基土中自重應(yīng)力（a）地基剖面圖；（b）豎向自重應(yīng)力沿深度分布分析成層土的自重應(yīng)力分布曲線的變 化規(guī)律，可以得到下面三點(diǎn)結(jié)論：（1）土的自重應(yīng)力分布曲線是一條折 線，拐點(diǎn)在土層交界處（當(dāng)上下兩個(gè)土層重 度不同時(shí)）和地下水位處；（2）同一層土的自重應(yīng)力按直線變化；（3）自重應(yīng)力隨深度的增加而增大。此外，地下水位的升降也會引起土中自 重應(yīng)力的變化。例如在軟土地區(qū)，常因大量 抽取地下水而導(dǎo)致地下水位長期大幅度下 降，使地基中原水位以下土的自重應(yīng)力增加 （圖3-6 a ），造成地表大面積下沉的嚴(yán)重后 果。至于地下水位的長期上升 （圖3-6 b

12、 ）,常發(fā)生在人工抬高蓄水水位地區(qū)（如筑壩蓄水）或工業(yè)用水大量滲入地下的地區(qū)，如果該地區(qū) 土質(zhì)具有遇水后發(fā)生濕陷或膨脹的性質(zhì)，則必須引起足夠的注意。圖3-6地下水位升降對土中自重應(yīng)力的影響（0-1-2線為原來的自重應(yīng)力分布曲線；0-1'- 2'線為地下水位升降后的自重應(yīng)力分布曲線）三、土壩的自重應(yīng)力土壩、土堤是具有斜坡的土體，它是一種比較特殊的情況。為計(jì)算土壩壩身和壩基的 沉降，必須知道壩身中和壩底面上的應(yīng)力分布。由于此時(shí)土壩土體的自重應(yīng)力已不是一維 問題，嚴(yán)格求解較困難。對于簡單的中小型土壩、土堤，工程中常近似用上述自重應(yīng)力計(jì) 算公式，即假設(shè)壩體中任何一點(diǎn)因自重所引起的豎向應(yīng)

13、力均等于該點(diǎn)上面土柱的重量，故 任意水平面上自重應(yīng)力的分布形狀與壩斷面形狀相似，見圖3-7（ a ）。對較重要的高土石壩，近年來多采用有限元法計(jì)算其自重應(yīng)力，可參考專門文獻(xiàn)。圖3-7（ b ）表示某均質(zhì)土壩用有限元法與簡化法計(jì)算得到的基底豎直應(yīng)力的比較，其最大誤差約為15%。圖3-7 土壩中的豎直自重應(yīng)力分布【例題3-1】 按照圖3-8（ a ）給出的資料，計(jì)算并繪制出地基中的自重應(yīng)力csz沿深度的分布曲線。解：1 . 41.0m高程處（地下水位處）H 1= 44.0-41.0=3.0m匚sz =3 H1=17.0 X 3.0=51kN/m2. 40.0m高程處H2= 41.0-40.0=1.

14、0m二sz =冷Hi 2H2 = 51+(19.0-9.8) XI =60.2kN/m3. 38.0m高程處H 3= 40.0-38.0=2.0m二 52=汕1 2H2 3H32=60.2+(18.5-9.8) X 2 = 77.6kN/m2圖3-8 例題3-1圖4. 35.0m咼程處H 4= 38.0-35.0=3.0m2H2 3H3 4H42=77.6+(20-9.8) X 3=108.2kN/m自重應(yīng)力Csz沿深度的分布如圖3-8( b )所示。第三節(jié)地基附加應(yīng)力地基附加應(yīng)力是指外荷載作用下地基中增加的應(yīng)力。常見的外荷載有建筑物荷重等。 建筑物荷重通過基礎(chǔ)傳遞給地基。當(dāng)基礎(chǔ)底面積是圓形或

15、矩形時(shí)，求解地基附加應(yīng)力屬于 空間問題；當(dāng)基礎(chǔ)底面積是長條形時(shí)，常將其近似為平面問題。地基中的附加應(yīng)力是地基發(fā)生變形，引起建筑物沉降的主要原因。在計(jì)算地基中的附 加應(yīng)力時(shí)，把地基看成是均質(zhì)的彈性半空間，應(yīng)用彈性力學(xué)理論求解。下面介紹當(dāng)?shù)乇砩献饔貌煌愋偷暮奢d時(shí)，在地基中引起的附加應(yīng)力計(jì)算。、豎向集中荷載作用下地基中的附加應(yīng)力在地基表面作用有豎向集中荷載P時(shí)，在地基內(nèi)任意一點(diǎn)M(r,v , z)的應(yīng)力分量及位移分量由法國數(shù)學(xué)家布辛奈斯克(J.Boussinesq)在1885年用彈性理論求解得出(圖3-9)，其中應(yīng)力分量為：圖3-9豎向集中荷載作用下的應(yīng)力3p z32 二 R53p2z2_衛(wèi) pz

16、r21 -2A 12兀 R5R(R +z) 一(1 _2)R(R z)rz=32 二2z rR7(3-8)(3-9)(3-10)(3-11)(3-12)在集中荷載p的作用下，其徑向位移和豎向位移分別按下列公式計(jì)算u(r,z) 口P(1小2E(3-13)w(r, z)二 P(1 T z2一 2 二E R2(1）(3-14)在地基表面上任一點(diǎn)（z=0）的豎向位移為:w(r,0)二P（1）二 Er(3-15)式中：p作用在坐標(biāo)原點(diǎn) 0點(diǎn)的豎向集中荷載;z M點(diǎn)的深度；r M點(diǎn)與集中荷載作用線之間的距離，r = . x2 y2 ；RM點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，. x2 y2 z2 ;卩一一土的泊松比。由公式

17、（3-8）可知豎向附加應(yīng)力 匚z與地基土的性質(zhì)（E,卩）無關(guān)。為了計(jì)算方便，可令(3-16)則公式（3-8）變成；二二:-52（3-17）z式中a稱為集中荷載作用下的地基豎向附加應(yīng)力系數(shù)，其數(shù)值可按r/z值由表3-1查得。表3-1集中荷載下豎向附加應(yīng)力系數(shù)：r zar zar zar zar za0.000.47750.400.32940.800.13861.200.05131.600.02000.010.47730.410.32380.810.13531.210.05011.610.01950.020.47700.420.31830.820.13201.220.04891.620.01910

18、.030.47640.430.31240.830.12881.230.04771.630.01870.040.47560.440.30680.840.12571.240.04661.640.01830.050.47450.450.30110.850.12261.250.04541.650.01790.060.47320.460.29550.860.11961.260.04431.660.01750.070.47170.470.28990.870.11661.270.04331.670.01710.080.46990.480.28430.880.11381.280.04221.680.01670

19、.090.46790.490.27880.890.11101.290.04121.690.01630.100.46570.500.27330.900.10831.300.04021.700.01600.110.46330.510.26790.910.10571.310.03931.720.01530.120.46070.520.26250.920.10311.320.03841.740.01470.130.45790.530.25710.930.10051.330.03741.760.01410.140.45480.540.25180.940.09811.340.03651.780.01350

20、.150.45160.550.24660.950.09561.350.03571.800.01290.160.44820.560.24140.960.09331.360.03481.820.01240.170.44460.570.23630.970.09101.370.03401.840.01190.180.44090.580.23130.980.08871.380.03321.860.01140.190.43700.590.22630.990.08651.390.03241.880.01090.200.43290.600.22141.000.08441.400.03171.900.01050

21、.210.42860.610.21651.010.08231.410.03091.920.01010.220.42420.620.21171.020.08031.420.03021.940.00970.230.41970.630.20701.030.07831.430.02951.960.00930.240.41510.640.20241.040.07641.440.02881.980.00890.250.41030.650.19981.050.07441.450.02822.000.00850.260.40540.660.19341.060.07271.460.02752.100.00700

22、.270.40040.670.18891.070.07091.470.02692.200.00580.280.39540.680.18461.080.06911.480.02632.300.00480.290.39020.690.18041.090.06741.490.02572.400.00400.300.38490.700.17621.100.06581.500.02512.500.00340.310.37960.710.17211.110.06411.510.02452.600.00290.320.37420.720.16811.120.06261.520.02402.700.00240

23、.330.36870.730.16411.130.06101.530.02342.800.00210.340.36320.740.16031.140.05951.540.02292.900.00170.350.35770.750.15651.150.05811.550.02243.000.00150.360.35210.760.15271.160.05671.560.02193.500.00070.370.34650.770.14911.170.05531.570.02144.000.00040.380.34080.780.14551.180.03591.580.02094.500.00020

24、.390.33510.790.14201.190.05261.590.02045.000.0001【例題3-2】在地面作用一集中荷載 p =200kN，試確定：在地基中z=2m的水平面上，水平距離 r=1、2、3和4m各點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力 二z值, 并繪出分布圖；在地基中r=0的豎直線上距地面 z=0、1、2、3和4m處各點(diǎn)的 二值，并繪出分布圖；取二z=20、10、4和2kN/ m 2,反算在地基中 z=2m的水平面上的r值和在r=0的豎 直線上的z值，并繪出相應(yīng)于該四個(gè)應(yīng)力值的：二等值線圖。解：在地基中z=2m的水平面上指定點(diǎn)的附加應(yīng)力二z的計(jì)算數(shù)據(jù)，見例表3-1;二z的分布圖見圖3-10。

25、3-2;二z分布圖見(2)在地基中r=0的豎直線上，指定點(diǎn)的附加應(yīng)力 二z的計(jì)算數(shù)據(jù)見例表 圖 3-11。例表3-1例題3-2附表z(m)r(m)rG(查表3-1)bz(kN/m 2)zz2000.477523.8210.50.273313.7221.00.08444.2231.50.02511.2242.00.00850.4f200m 世面77777777Z777777777圖3-10例題3-2附圖嚴(yán)200kN尸 200 kNj 23-86分廂國10 577.圖3-11 例題3-2附圖圖3-12例題3-2附圖例表3-2例題3-2附表z(m)r(m)r zG(查表3-1)p2<Jz =o

26、t2 (kN/m2)z0000.4775oo1000.477595.52000.477523.83000.477510.54000.47756.0(3)當(dāng)指定附加應(yīng)力 匚z時(shí)，反算z=2m的水平面上的r值和在r=0的豎直線上的z值 的計(jì)算數(shù)據(jù)，見例表 3-3;附加應(yīng)力 二z的等值線繪于圖3-12。例表3-3例題2-2附表2ffz (kN/m2)z(m)6Z2a -zP-(查表) zr(m)2020.40000.270.541020.20000.651.30420.08001.022.04220.04001.302.602z (kN/m )r(m)r za （查表）z滬 CTz20000.477

27、52.1910000.47753.094000.47754.882000.47756.91由于豎直向集中力作用下地基中的附加應(yīng)力是軸對稱的空間問題，再通過上面的例題 分析，可知地基土中附加應(yīng)力分布的特征如下：33p（1）在集中力p作用線上，r=0，由公式（3-16）及（3-8）可知，二z2 。2兀2兀 z在地面下同一深度處，該水平面上的附加應(yīng)力不同，沿豎直向集中力作用線上的附加應(yīng) 力最大，向兩邊則逐漸減??；（2）離地表愈深，應(yīng)力分布范圍愈大，在同一鉛直線上的附加應(yīng)力隨深度的增加而減小。如果在空間將 二z相同的點(diǎn)連接起來形成曲面，就可以得到如圖3-12所示的等值線，其空間曲面的形狀如泡狀，所以也

28、稱為應(yīng)力泡。通過上述對附加應(yīng)力二z分布圖形的討論，應(yīng)該建立起土中應(yīng)力分布的正確概念：即集中力P在地基中引起的附加應(yīng)力 匚z的分布是向下、向四周無限擴(kuò)散的，其特性與桿 件中應(yīng)力的傳遞完全不一樣。當(dāng)?shù)鼗砻孀饔糜袔讉€(gè)集中力時(shí)，可以分別算出各集中力在地基中引起的附加應(yīng)力， 然后根據(jù)彈性體 應(yīng)力疊加原理 求出地基的附加應(yīng)力的總和。在實(shí)際工程應(yīng)用中，當(dāng)基礎(chǔ)底面形狀不規(guī)則或荷載分布較復(fù)雜時(shí)，可將基底劃分為若 干個(gè)小面積，把小面積上的荷載當(dāng)成集中力，然后利用上述公式計(jì)算附加應(yīng)力。如果小面 積的最大邊長小于計(jì)算應(yīng)力點(diǎn)深度的1/3,用此法所得的應(yīng)力值與正確應(yīng)力值相比，誤差不超過5%。二、矩形面積承受豎直均布荷載

29、作用時(shí)的附加應(yīng)力地基表面有一矩形面積，寬度為 B，長度為L，其上作用著豎直均布荷載，荷載強(qiáng)度為 P，求地基內(nèi)各點(diǎn)的附加應(yīng)力 二z。軸心受壓柱基礎(chǔ)的底面附加壓力即屬于均布的矩形荷載。 這類問題的求解方法是：先求出矩形面積角點(diǎn)下的附加應(yīng)力，再利用“角點(diǎn)法”求出任意點(diǎn)下的附加應(yīng)力。（一）角點(diǎn)下的附加應(yīng)力角點(diǎn)下的附加應(yīng)力是指圖3-13中0、A、C、D四個(gè)角點(diǎn)下任意深度處的附加應(yīng)力。只要深度z一樣，則四個(gè)角點(diǎn)下的附加應(yīng)力匚z都相同。將坐標(biāo)的原點(diǎn)取在角點(diǎn)0上，在荷載面積內(nèi)任取微分面積 dA = dx dy，并將其上作用的荷載以集中力dP代替，則dP = P dA= P dxdy。利用式（3-8）即可求出該

30、集中力在角點(diǎn)O以下深度z處M點(diǎn)所引起的豎直向附加應(yīng)力d；z:1 41 'I丄M(J嚴(yán):將式(3-18)沿整個(gè)矩形面積的附加應(yīng)力cL°z ：B3P°三-arctgz33dP z3 3P-d；z522r/2 dxdyR52 二(x2 y2 z2)5/2OACD積分，即可得出矩形面積上均布荷載z3(x2 y2z2)5/2 dXdymm nn .1m2 n2.1m2 n2V_m+n 1 +n 丿(3-18)P在M點(diǎn)引起(3-19)2 二式中,B為矩形的短邊。J圖3-13矩形面積均布荷載作用時(shí)角點(diǎn)下點(diǎn)的附加應(yīng)力為了計(jì)算方便，可將式(3-19)簡寫成(3-20)稱o(c為矩形豎

31、直向均布荷載角點(diǎn)下的應(yīng)力分布系數(shù)，ac =f(m，n),可從表表3-2矩形面積受豎直均布荷載作用時(shí)角點(diǎn)下的應(yīng)力系數(shù)ac3-2中查得。m=L/Bn=z/B1.01.82.03.04.05.06.010.00.00.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.25000.20.24860.24890.24900.24910.24910.24910.24920.24920.24920.24920.24920.40.24010.24200.24290.24340.24370.24390.24420.24430

32、.24430.24430.24430.60.22290.22750.23000.23510.23240.23290.23390.23410.23420.23420.23420.80.19990.20750.21200.21470.21650.21760.21960.22000.22020.22020.22021.00.17520.18510.19110.19550.19810.19990.20340.20420.20440.20450.20461.20.15160.16260.17050.17580.17930.18180.18700.18820.18850.18870.18881.40.13

33、080.14230.15080.15690.16130.16440.17120.17300.17350.17380.17401.60.11230.12410.13290.14360.14450.14820.15670.15900.15980.16010.16041.80.09690.10830.11720.12410.12940.13340.14340.14630.14740.14780.14822.00.08400.09470.10340.11030.11580.12020.13140.13500.13630.13680.13742.20.07320.08320.09170.09840.10

34、390.10840.12050.12480.12640.12710.12772.40.06420.07340.08120.08790.09340.09790.11080.11560.11750.11840.11922.60.05660.06510.07250.07880.08420.08870.10200.10730.10950.11060.11162.80.05020.05800.06490.07090.07610.08050.09420.09990.10240.10360.10483.00.04470.05190.05830.06400.06900.07320.08700.09310.09

35、590.09730.09873.20.04010.04670.05260.05800.06270.06680.08060.08700.09000.09160.09333.40.03610.04210.04770.05270.05710.06110.07470.08140.08470.08640.08823.60.03260.03820.04330.04800.05230.05610.06940.07630.07990.08160.08373.80.02960.03480.03950.04390.04790.05160.06450.07170.07530.07730.07964.00.02700

36、.03180.03620.04030.04410.04740.06030.06740.07120.07330.07584.20.02470.02910.03330.03710.04070.04390.05630.06340.06740.06960.07244.40.02270.02680.03060.03430.03760.04070.05270.05970.06390.06620.06964.60.02090.02470.02830.03170.03480.03780.04930.05640.06060.06300.06634.80.01930.02290.02620.02940.03240

37、.03520.04630.05330.05760.06010.06355.00.01790.02120.02430.02740.03020.03280.04350.05040.05470.05730.06106.00.01270.01510.01740.01960.02180.02330.03250.03880.04310.04600.05067.00.00940.01120.01300.01470.01640.01800.02510.03060.03460.03760.04288.00.00730.00870.01010.01140.01270.01400.01980.02460.02830

38、.03110.03679.00.00580.00690.00800.00910.01020.01120.01610.02020.02350.02620.031910.00.00470.00560.00650.00740.00830.00920.01320.01670.01980.02220.0280丄f圖3-14用角點(diǎn)法計(jì)算M '點(diǎn)以下的附加應(yīng)力（二）任意點(diǎn)的附加應(yīng)力角點(diǎn)法利用矩形面積角點(diǎn)下的附加應(yīng)力計(jì)算公式（3-19）和應(yīng)力疊加原理，推求地基中任意點(diǎn)的附加應(yīng)力的方 法稱為角點(diǎn)法。角點(diǎn)法的應(yīng)用可以分下列兩種情況。第一種情況：計(jì)算矩形面積內(nèi)任一點(diǎn)M'深度為z的附加應(yīng)力（圖3-14

39、（ a ）。過M '點(diǎn)將矩形荷載面積 abed分成I、 n、川、W 4個(gè)小矩形，M '點(diǎn)為4個(gè)小矩形的公共角點(diǎn)，貝UM '點(diǎn)下任意 z深度處的附加應(yīng)力-zM為 第二種情況：計(jì)算矩形面積外任意點(diǎn) M '下深度為z的附加應(yīng)力。思路是：仍然設(shè)法使M'f*ell *elll *elV)P(3-21a)(3-21b)點(diǎn)成為幾個(gè)小矩形面積的公共角點(diǎn)，如圖3-14( b )所示。然后將其應(yīng)力進(jìn)行代數(shù)疊加。-cIll - cIV ) P以上兩式中:cl > :- cll > :- clllciv 分別為矩形 M ' hbe、M 'fee、M&

40、#39; hag、M ' fdg 的角點(diǎn)應(yīng)力分布系數(shù)，P為荷載強(qiáng)度。必須注意，在應(yīng)用角點(diǎn)法計(jì)算每一塊矩形面積的a c值時(shí)，B恒為短邊，L恒為長邊。山Mill UM山山11嚴(yán)1曲跟恤DIC,TJ 1 n K丨iF111B G*0 Jml.Cn 1l.Oxu 圖3-15 例題3-3圖【例題3-3】今有均布荷載P=100kN/m 2，荷載面積為 2X1 m2, 如圖3-15所示，求荷載面積上角點(diǎn) A、 邊點(diǎn)E、中心點(diǎn)0以及荷載面積外F 點(diǎn)和G點(diǎn)等各點(diǎn)下z=1m深度處的附 加應(yīng)力。并利用計(jì)算結(jié)果說明附加應(yīng) 力的擴(kuò)散規(guī)律。解：1. A點(diǎn)下的附加應(yīng)力A點(diǎn)是矩形ABCD的角點(diǎn)，且m=L/B=2/1=

41、2 ; n=z/B=1，查表 3-2 得:c=0.1999，故2二zA = P =0.1999 100 =2°kN/m2. E點(diǎn)下的附加應(yīng)力通過E點(diǎn)將矩形荷載面積劃分為兩個(gè)相等的矩形EADI和EBCI。求EADI的角點(diǎn)應(yīng)力系數(shù)?c :L 1Z 1m1 : n1B 1B 1查表 3-2 得:c =0.1752，故”zE =2=cP=2 X0.1752 X00=35kN/m3. O點(diǎn)下的附加應(yīng)力通過O點(diǎn)將原矩形面積分為4個(gè)相等的矩形 OEAJ , OJDI, OICK和OKBE。求OEAJ角點(diǎn)的附加應(yīng)力系數(shù) c :L1cZ1門m2 ; n2B 0.5B0.52查表 3-2 得:c=0.1

42、202，故二zo =4： c P =4 X 0.1202X 100=48.1kN/m4. F點(diǎn)下附加應(yīng)力過F點(diǎn)作矩形FGAJ , FJDH , FGBK和FKCH。假設(shè):.cI為矩形FGAJ和FJDH的角點(diǎn) 應(yīng)力系數(shù)；:-cll為矩形FGBK和FKCH的角點(diǎn)應(yīng)力系數(shù)。求:cl :L2.5Z1m5 ； n2B0.5B0.5查表 3-2 得:.c| =0.1363求:cll :L0.5*Z1cm1; n2B0.5B0.5查表 3-2 得:-cll =0.0840故二zf =2（:七 - ：di ）P=2 （ 0.1363-0.0840）x 100=10.5kN/m5. G點(diǎn)下附加應(yīng)力通過G點(diǎn)作矩形

43、GADH和GBCH分別求出它們的角點(diǎn)應(yīng)力系數(shù)冷和:-cll 。求:cl :L2.5Z1m2.5 ; n1B 1B1查表 3-2 得:cl =0.2016。求:-cll :L1Z1m2 ； n2B0.5B0.5查表 3-2 得：v =0.1202。-zG =（cl 一心）P =(0.2016-0.1202 )X 100=8.1kN/m將計(jì)算結(jié)果繪成圖3-16，可以看出，在矩形面積受均布荷載作用時(shí)，不僅在受荷面積垂直下方的范圍內(nèi)產(chǎn)生附加應(yīng)力，而且在荷載面積以外的地基土中（F、G點(diǎn)下方）也會產(chǎn)生附加應(yīng)力。另外，在地基中同一深度處（例如z=1m），離受荷面積中線愈遠(yuǎn)的點(diǎn)，其匚z值愈小，矩形面積中點(diǎn)處

44、Czo最大。將中點(diǎn)O下和F點(diǎn)下不同深度的 二z求出并繪成曲線，如圖 3-16（ b ）所示。本例題的計(jì)算結(jié)果證實(shí)了上面所述的地基中附加應(yīng)力的擴(kuò)散規(guī)律。圖3-16 例題3-3計(jì)算結(jié)果三、矩形面積承受水平均布荷載作用時(shí)的附加應(yīng)力如果地基表面作用有水平的集中力Ph時(shí)，求解地基中任意點(diǎn)M (x, y, z)所產(chǎn)生的附加應(yīng)力可由彈性理論的西羅提 (V.Cerruti)公式求得，其與沉降計(jì)算關(guān)系最大的垂直壓應(yīng)力的表 達(dá)式為：3Ph2 二3 xz(3-22)當(dāng)矩形面積上作用有水平均布荷載Ph(圖3-18)時(shí)，即可由式(3-22)對矩形面積積分，從而求出矩形面積角點(diǎn)下任意深度Z處的附加應(yīng)力Cz，簡化后由下式表

45、示:h -Ph(3-23)式中：h(1 n2) . 1 m2 n22 mnzn =BB、 L分別為平行于、垂直于水平荷載的矩形面積邊長。圖3-18矩形面積作用水平均布荷載時(shí)角點(diǎn)下的匚z稱:h為矩形面積承受水平均布荷載作用時(shí)角 點(diǎn)下的附加應(yīng)力分布系數(shù)，可查表3-3求得。經(jīng)過計(jì)算可知，在地面下同一深度處，四個(gè)角點(diǎn)下的附加應(yīng)力的絕對值相同，但應(yīng)力符號不同，圖3-18 中表3-3矩形面積受水平均布荷載作用時(shí)角點(diǎn)下的附加應(yīng)力系數(shù)：h值、m=L/B n=z/B1.01.82.03.04.06.08.010.00.00.15920.15920.15920.15920.15920.15920

46、.15920.15920.15920.15920.15920.20.15180.15230.15260.15280.15290.15290.15300.15300.15300.15300.15300.40.13280.13470.13560.13620.13650.13670.13710.13720.13720.13720.13720.60.10910.11210.11390.11500.11560.11600.11680.11690.11700.11700.11700.80.08610.09000.09240.09390.09480.09550.09670.09690.09700.09700

47、.09701.00.06660.07080.07350.07530.07660.07740.07900.07940.07950.07960.07961.20.05120.05530.05820.06010.06150.06240.06450.06500.06520.06520.06521.40.03950.04330.04600.04800.04940.05050.05280.05340.05370.05370.05381.60.03080.03410.03660.03850.04000.04100.04360.04430.04460.04470.04471.80.02420.02700.02

48、930.03110.03250.03360.03620.03700.03740.03750.03752.00.01920.02170.02370.02530.02660.02770.03030.03120.03170.03180.03182.50.01130.01300.01450.01570.01670.01760.02020.02110.02170.02190.02193.00.00700.00830.00930.01020.01100.01170.01400.01500.01560.01580.01595.00.00180.00210.00240.00270.00300.00320.00430.00500.00570.00590.00607.00.00070.00080.00090.00100.00120.00130.00180.00220.00270.00290.003010.00.00020.00030.00030.00040.00040.00050.00070.00080.