構(gòu)造性證明與存在性證明小議

1、構(gòu)造性證明與存在性證明小議幸克堅（遵義師范學院貴州 遵義 5 6 3 0 0 2 ）摘 要：構(gòu)造性證明與存在性證明是數(shù)學證明中常見兩種證明方法。本文對它們的概念、來歷及證明思路 和作用與意義，乃至相互之間的關(guān)系，作了概略的議論。并主張將它們作為一對哲學范疇，貫穿在數(shù)學教 學和數(shù)學研究之中。關(guān)鍵詞：構(gòu)造性 存在性 證明中圖分類號：0171 文獻標識碼：E 文章編號：1009-3583 （2004） 04-00、 構(gòu)造性證明與存在性證明：在數(shù)學中對命題：“存在 x，使得命題F（x）成立”的證明，有兩種辦法：構(gòu)造性證明與存在性證明。構(gòu)造性證明就是通過有限步的推導或計算，具體地找（構(gòu)造）出這樣的x ;

2、存在性證明則是從邏輯上證明所述對象 x確實存在，但x具體是多少？在哪里？并不一定知道。因此，構(gòu)造性證明不僅要證明 所述對象的存在，而且要具體地求出對象的位置或多少（大?。?，而存在性證明則只需要證明該對象的存在即可。簡言之，構(gòu)造性證明相信“眼見為實”，而存在性證明只是證明了“沒有被看到的”的存在，是 一種理性的承認。.、 構(gòu)造性證明的來歷及思路分析從歷史的淵源上看，構(gòu)造性證明的基本思路可以說源于我國古代數(shù)學。我國古代數(shù)學有兩大特點： 其一是典型的算法體系，一切結(jié)論只是通過計算結(jié)果來說明，以漢代的九章算術(shù)為典型代表，將九 類問題總結(jié)出九類算法，算法比較機械，有相對固定的步驟（既我們今天常說的程序）

3、，每前進一步后，都有有限多個確定的可供選擇的下一步，這樣沿著一條有規(guī)律的刻板的道路一直往前走就可以得出結(jié)果；另一個特點是宋元時期，把許多幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程與方程組的求解問題，創(chuàng)造了相當于現(xiàn)代多項 式的概念，建立了“天元法、四元法”等代數(shù)工具，進一步豐富了算法的內(nèi)容。這都體現(xiàn)了顯著的“構(gòu) 造性”或稱作“可操作性”特色?，F(xiàn)代意義上的構(gòu)造性證明則來源與一種被稱為“構(gòu)造性數(shù)學”的數(shù)學哲學觀點（流派），它的根本特征就是對可構(gòu)造性的強調(diào)。所謂可構(gòu)造性是指能具體地給出某一對象或者能給出某一對象的計算方法。即當我們把能證實“存在一個x滿足性質(zhì)A”的證明稱為構(gòu)造性的，是指能從這個證明中具體地給出滿足性質(zhì)A的

4、一個x ;或者能從此證明中得到一個機械的方法，使其經(jīng)有限步驟后即能確定滿足性質(zhì)A的 這個x來。如果進一步追溯下去，構(gòu)造性數(shù)學最早起源于一種構(gòu)造性哲學思想，這種思想可以追溯到康 德那里。康德認為，數(shù)學的最終真理性在于數(shù)學概念可以通過人的智慧構(gòu)造出來。他說：“數(shù)學必須根辛 * 辛 辛 辛 卒羽辛辛基金項目：遵義師范學院科研基金項目（200418）收稿日期：2004-12-16作者簡介：幸克堅（1954-），貴州遵義人，遵義師范學院數(shù)學系副教授，從事數(shù)學哲學和數(shù)學史研究據(jù)純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來，或者像人們所說的那樣，把這些概念構(gòu)造出來”。又說“數(shù)學知

5、識是從概念的構(gòu)造得出來的理性知識。構(gòu)造一個概念，意即先天地提供出來與概念相對應(yīng)的直觀?！庇捎跇?gòu)造性證明不僅要證明所述對象的存在，而且要通過有限的步驟具體地計算或推導求出對象的位置或多少（大?。?。所以，在證明過程中就具有鮮明的“構(gòu)造性”或“可操作性”。如一元二次方程的求解就是要具體地得出用方程的系數(shù)表示解的求根公式:.b2 4ac2a，而這個結(jié)果是通過配方一步步得到的。構(gòu)造性證明基本上都是直接證明，是通過式子的變換一步步“構(gòu)造”出命題的結(jié)論所描述的對象。因此，“構(gòu)造”時往往具有較高的技巧和靈活性，對相關(guān)知識和方法的掌握運用要比較熟練。三、存在性證明的來歷及思路分析存在性證明應(yīng)該說源于經(jīng)典數(shù)學的“

6、公理化”思想方法，起源于古希臘。希臘是一個特別喜好追溯理 性、探究一般性真理的民族，他們總是力圖將一切知識體系建立在一個相對比較精練的理論基礎(chǔ)和一套嚴 謹?shù)倪壿嬐评硪?guī)則上，歐幾里得幾何原本就是這方面的代表作，它創(chuàng)造了一套用定義、公理、定理構(gòu) 成的邏輯演繹體系。而現(xiàn)代意義上的存在性證明當首推“數(shù)學王子”高斯，高斯發(fā)現(xiàn)了代數(shù)基本定理并給 出存在性證明，是對代數(shù)學的重要貢獻，也可以說是開創(chuàng)了數(shù)學研究的新途徑。但真正第一個認識到存在 性證明的深刻價值和意義的人是“現(xiàn)代數(shù)學的巨人”希爾伯特，希爾伯特在解決代數(shù)不變式問題時，采用 直接的、非算法的方法，證明了不變式系的有限整基的存在性定理。顧名思義，存在性

7、命題證明的關(guān)鍵是證明其存在性，它與構(gòu)造性證明不同，由于相應(yīng)命題所述對象的不可構(gòu)造或不易構(gòu)造，一般只能從邏輯和理論上證明所述對象確實存在，但不能具體求出。因此，其證明常常表現(xiàn)為間接證明，即假定所述對象不存在，就會導致矛盾；有時候必須依靠一種緊密聯(lián)系的“邏輯鏈”才能說明其存在性。如微分學中有兩組定理：其一是三條中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理都屬于存在性命題，證明羅爾定理時的依據(jù)是最大值最小值定理，然后對拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明則是構(gòu)造輔助函數(shù)：（x） f（x） f（a） 丄卑 血（x a）b a把問題轉(zhuǎn)化為利用羅爾定理的結(jié)論上來。類似的邏輯鏈式的定理還有：用實數(shù)

8、的構(gòu)造理論想法構(gòu)造數(shù)列證明了單調(diào)有界定理一一區(qū)間套定理一確界存在定理一一最大值和最小值定理一一介值定理，這幾條定理都屬于存在性命題，其證明也是邏輯上緊密聯(lián)系的，并且都是構(gòu)造一系列區(qū)間套，“套”出結(jié)論中的對象一一那一個點。 。這種邏輯上的極強前后連貫性（或稱為依賴性），很好地體現(xiàn)了公理化方法的特色。四、構(gòu)造性證明與存在性證明的評價及哲學意義對構(gòu)造性證明與存在性證明，有兩種比較偏頗的觀點：第一種觀點認為構(gòu)造性證明才合理而存在性證明則不合理。如希爾伯特在研究不變量理論時給出一個上帝存在性證明，當時曾引起一場軒然大波。德國的克羅內(nèi)克認為：“沒有構(gòu)造就不算是存在”；還說： 創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作

9、。 ”主張自然數(shù)與數(shù)學歸納法是數(shù)學最根本的和直觀上最可信的出發(fā)點， 其它一切數(shù)學對象都必須能在有限步驟內(nèi)從自然數(shù)中構(gòu)造出來，否則就不能作為數(shù)學對象。由此克羅內(nèi)克 把許多數(shù)學成果劃到不合法的行列里，如無限集合、純存在性證明等。不變量之王果爾丹甚至說：“這不 是數(shù)學，是神學”。 希爾伯特堅持這樣的觀點：只要能證明一個概念的屬性絕不會引出矛盾，那么就自然確定了這個數(shù)學 概念在數(shù)學上是存在的，克萊因支持并贊美這種證明，說：“非常簡單，在邏輯上是不可抗拒的。” 希爾伯特指出：“純粹的存在性證明之價值恰恰在于，通過它們就可以不必去考慮個別的構(gòu)造，而且各種 不同的構(gòu)造包括于同一個基本思想之下，使得對證明來說

10、是最本質(zhì)的東西清楚地突現(xiàn)出來；達到思想的簡 潔和經(jīng)濟，就是存在性證明生存的理由禁止存在性證明等于廢棄了數(shù)學科學?！?第二種觀點則認為數(shù)學應(yīng)該注重理論上和思想上的價值，從這個意義上說，存在性證明才有說服力。 只有建立在古希臘的邏輯、公理體系上的存在性證明才是一種理性思維成果，構(gòu)造性證明思想實際上是一 種相信數(shù)學的理念，對數(shù)學真理性的認識包括了相當?shù)姆抢硇猿煞?。在這種觀念指導下，在相當長的一段 時期和較大的范圍內(nèi)，存在著這樣一種觀點：建立在算法基礎(chǔ)之上的中國古代數(shù)學只是一種“術(shù)”即 只停留在技術(shù)層面上、功利性地偏重于實用的操作技能，算不上科學。并且以此為理由在數(shù)學史中全面否 定中國古代數(shù)學。事實上

11、，構(gòu)造性證明體現(xiàn)了一種所謂的“機械化”思想，即按部就班有步驟地進行，這確實是中國古 代數(shù)學的特征；“機械化”是相對于“公理化”而言的。公理化思想起源于古希臘，19 世紀以來，希爾伯特等一批數(shù)學家和哲學家在建立數(shù)學基礎(chǔ)的工作中，進一步明確和強調(diào)了這種思想。應(yīng)該說，這確實是 中西傳統(tǒng)數(shù)學的各自特點，各有其長處，在現(xiàn)代數(shù)學體系中也起到了各自的作用。不應(yīng)該狹隘地看待。例如，就構(gòu)造性證明而言，作為人類智慧新成果之一的數(shù)學定理的機器證明，就是我國著名數(shù)學家和 數(shù)學史家吳文俊院士繼承我國古代數(shù)學傳統(tǒng)開創(chuàng)的數(shù)學機械化工作的一部分，吳文俊先生以其深厚的幾何學和拓撲學功底，吸收了我國古代數(shù)學的上述兩大特點之后，將

12、幾何問題用代數(shù)方程表達， 用之于計算機。1977 年先在平面幾何定理的機器證明方面取得成功； 1978 年推廣到微分幾何； 1983年我國留美青年學者 周咸青在全美定理機器證明學術(shù)會議上介紹了吳(文俊)方法，并且自編軟件，一鼓作氣證明了500 多條難度頗高的幾何定理，轟動了國際數(shù)學界。 而存在性證明那種“非常簡單，在邏輯上不可抗拒”，雄辯地讓人無可辯駁的“理性的承認”確實體 現(xiàn)了人類理性思維的威力。如中值定理使我們確實相信“中值”的存在，代數(shù)基本定理中我們確實相信“任何一個n( n 0)次多項式f(x)在復數(shù)域內(nèi)有n個根。其關(guān)鍵是證明其“確實存在”，并沒有回答“等 于多少”或“在什么位置”？甚

13、至在多數(shù)情況下，最終也無法回答這個問題。但絲毫不影響對命題結(jié)論可 靠性的信服和運用。例如，正是立足于代數(shù)基本定理的結(jié)論，才得到與多項式因式分解理論相關(guān)的一系列 成果，數(shù)學分析中有理函數(shù)的不定積分可以說是解決得十分完善的，也得益于這一結(jié)果。而且，存在性證明與構(gòu)造性證明是常常是緊密相依、相輔相成、互為補充的。首先，在一定意義上說， 構(gòu)造性證明中已經(jīng)包含了“存在”不但存在，而且已經(jīng)找出。其次，存在性的證明往往也需構(gòu)造，如 上述微積分中兩組重要定理的存在性，也是用構(gòu)造法證明的；再次，有些存在性命題也能夠具體的求出結(jié) 果，從而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造性命題，如我們熟知的數(shù)列極限、函數(shù)極限的N ”、“ ”定義，本身顯

14、然是存在性命題，但對于具體的問題和給定的具體的,如果需要的話，也可以求出相應(yīng)的N和3。所以可以說“構(gòu)造中蘊涵著存在，有存在才可能構(gòu)造”。又如十七世紀產(chǎn)生的將運動變化的辨證法引入數(shù)學的 微積分、被稱為 “數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點”，就充分體現(xiàn)了構(gòu)造性證明與存在性證明的完美結(jié)合：如極限存在的兩個準則一一夾逼準則和單調(diào)有界準則中夾逼準則“an bn cn”需要求出lim an與lim bn，屬于構(gòu)造性證明，而單調(diào)有界準則則是從邏輯上確信其極限存在，屬于存在性證明；又如“求導”過程：從依定義 求了一小部分基本初等函數(shù)的導數(shù)入手，經(jīng)過討論導數(shù)的運算性質(zhì)、反函數(shù)、復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法 則，十分徹底地解決了整個龐

15、大的初等函數(shù)類的求導問題，既解決得十分徹底，又在邏輯上前后緊緊相依， 密切聯(lián)系，是典型的構(gòu)造性結(jié)果；積分法中的換元與分部乃至特殊函數(shù)的積分，也體現(xiàn)出明顯的構(gòu)造性色 彩，具有很強的可操作性。而上述中值定理和區(qū)間套定理等兩組重要定理，則可以說是存在性證明的典型 例子。綜上所述，存在性證明與構(gòu)造性證明之間有緊密的相依關(guān)系，二者是互為補充而不是互相對立、互不 兼容的關(guān)系。從哲學的觀點來看，存在性命題與構(gòu)造性命題可以作為一對哲學范疇，它們之間體現(xiàn)了一種 對立統(tǒng)一關(guān)系。按希爾伯特的上述說法，還呈現(xiàn)為一般與特殊、抽象與具體的關(guān)系。應(yīng)該把這種觀點帶到 數(shù)學教學和研究之中：在向?qū)W生傳授具體的數(shù)學知識的同時，將存在性證明與構(gòu)造性證明及其作用與關(guān)