無套利定價原理

1、第2章無套利定價原理1.什么是套利？商業(yè)貿(mào)易中的“套利”行為？例如1：一個貿(mào)易公司在與生產(chǎn)商甲簽訂一筆買進10噸銅合同的同時，與需求商 乙 簽訂一筆賣出10噸銅合同：即貿(mào)易公司與生產(chǎn)商甲約定以15,000元/噸的價格從甲那里買進10噸銅，同時與需求商乙約定把這買進的10噸銅以17,000元/噸的價格賣給乙，并且交貨時間相同。這樣，1噸銅賺取差價2,000元/噸。這是套利行為嗎？金融市場中的套利行為金融市場的獨特性使得影響套利的這些條件大大地減弱。（1）專業(yè)化交易市場（2）電子化、無形化、數(shù)字化（3）賣空機制可能大大增加了套利機會（4）在時間和空間上的多樣性也使得套利更為便捷9無風險套利的定義在

2、金融理論中，套利指一個能產(chǎn)生無風險盈利的交易策略。這種套利是指純粹的無風險套利。但在實際市場中，套利一般指的是一個預期能產(chǎn)生很低風險的盈利策略，即可能會承擔一定的低風險。10無套利定價原理金融市場上實施套利行為變得非常的方便和快速。這種套利的便捷性也使得金融市場的套利機會的存在總是暫時的，因為一旦有套利機會，投資者就會很快實施套利而使得市場又回到無套利機會的均衡中。因此，無套利均衡被用于對金融產(chǎn)品進行定價。金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在無風險套利機會，這就是“無風險套利定價”原理或者簡稱為“無套利定價”原理。什么情況下市場不存在套利機會呢？我們先看一下無風險套利機會存在的等價

3、條件：11無風險套利機會存在的等價條件（1）存在兩個不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益（payoff）相同，但它們的成本卻不同。注：可以簡單把損益理解成是現(xiàn)金流。如果現(xiàn)金流是確定的，則相同的損益指相同的現(xiàn)金流。如果現(xiàn)金流是不確定的，即未來存在多種可能性（或者說存在多種狀態(tài)），則相同的損益指在相同狀態(tài)下現(xiàn)金流是一樣的。12（2）存在兩個相同成本的資產(chǎn)組合，但是第一個組合在所有的可能狀態(tài)下的損益都不低于第二個組合，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下第一個組合的損益要大于第二個組合的損益。（3）一個組合其構建的成本為零，但在所有可能狀態(tài)下，這個組合的損益都不小于零，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下這個組合

4、的損益要大于零。13無套利機會的等價性推論（1）同損益同價格：如果兩種證券具有相同的損益，則這兩種證券具有相同的價格。（2）靜態(tài)組合復制定價：如果一個資產(chǎn)組合的損益等同于一個證券，那么這個資產(chǎn)組合的價格等于證券的價格。這個資產(chǎn)組合 稱 為 證 券 的 “ 復 制 組 合 ” （ replicatingportfolio）。14（3）動態(tài)組合復制定價：如果一個自融資（self-financing）交易策略最后具有和一個證券相同的損益，那么這個證券的價格等于自融資交易策略的成本。這稱為動 態(tài) 套 期 保 值 策 略(dynamic hedgingstrategy)。所謂自融資交易策略簡單地說，就是

5、交易策略所產(chǎn)生的資產(chǎn)組合的價值變化完全是由于交易的盈虧引起的，而不是另外增加現(xiàn)金投入或現(xiàn)金取出。一個簡 單 的 例 子 就 是 購 買 并 持 有 ( buy andhold)策略。15確定狀態(tài)下無套利定價原理的應用1、同損益同價格 （例子2）假設兩個零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時都獲得100元現(xiàn)金流，即到期時具有相同的損益）。如果債券A的當前價格為98元，并假設不考慮交易成本和違約情況。問題：（1）債券B的當前價格應該為多少呢？（2）如果債券B的當前價格只有97.5元，問是否存在套利機會？如果有，如何套利？16（1）按照無套利定價原理，債券B與債券A

6、具有一樣的損益（現(xiàn)金流），所以債券B的合理價格也應該為98元。（2）當債券B的價格為97.5元時，說明債券B的價值被市場低估了。那么債券B與債券A之間存在套利機會。實現(xiàn)套利的方法很簡單，買進價值低估的資產(chǎn)-債券B，賣出價值高估的資產(chǎn)-債券A。所以，套利的策略就是：賣空債券A，獲得98元，用其中的97.5元買進債券B，這樣套利的盈利為0.5元。因為，在1年后到期日，債券B的面值剛好用于支付賣空債券A的面值。172、靜態(tài)組合復制定價（例子3）假設3種零息票的債券面值都為100元，它們的當前市場價格分別為： 1年后到期的零息票債券的當前價格為98元； 2年后到期的零息票債券的當前價格為96元； 3年

7、后到期的零息票債券的當前價格為93元；并假設不考慮交易成本和違約。問題：（1）如果息票率為10，1年支付1次利息的三年后到期的債券A的當前價格應該為多少？（2）如果息票率為10，1年支付1次利息的三年后到期的債券A的當前價格為120元，問是否存在套利 機會？如果有，如何套利？18對于第一個問題，我們只要按照無套利定價原理的推論（2），去構造一個“復制組合”就可以了。先看一個息票率為10，1年支付1次利息的三年后到期的債券的損益情況。面值為100元，息票率為10，所以在第1年末、第2年末和第3年末的利息為1001010元，在第3年末另外還支付本金面值100元。如圖所示：101年末102年末110

8、3年末19構造相同損益的復制組合為：（1）購買0.1張的1年后到期的零息票債券，其損益剛好為1000.110元；（2）購買0.1張的2年后到期的零息票債券，其損益剛好為1000.110元；（3）購買1.1張的3年后到期的零息票債券，其損益剛好為1001.1110元；所以上面的復制組合的損益就與圖所示的損益一樣，因此根據(jù)無套利定價原理的推論（2），具有相同損益情況下證券的價格就是復制組合的價格，所以息票率為10，1年支付1次利息的三年后到期的債券的當前價格應該為： 0.1980.1961.193121.720對于第二個問題，其原理與例子2類似，債券A的當前價格為120元，小于應該價格121.7元

9、，因此根據(jù)無套利定價原理，存在套利機會。當前市場價格為120元，而無套利定價的價格為121.7元，所以市場低估了這個債券的價值，則應該買進這個債券，然后賣空復制組合。即基本的套利策略為：（1）買進1張息票率為10，1年支付1次利息的三年后到期的債券A；（2）賣空0.1張的1年后到期的零息票債券；（3）賣空0.1張的2年后到期的零息票債券；（4）賣空1.1張的3年后到期的零息票債券；213、動態(tài)組合復制定價（例2-4）假設從現(xiàn)在開始1年后到期的零息票債券的價格為98元。從1年后開始，在2年后到期的零息票債券的價格也為98元。并且假設不考慮交易成本和違約情況。問題：（1）從現(xiàn)在開始2年后到期的零息

10、票債券的價格為多少呢？（2）如果現(xiàn)在開始2年后到期的零息票債券價格為97元，問是否存在套利機會？如果有，如何套利？22與例子3不同的是，在這個例子中我們不能簡單地在當前時刻就構造好一個復制組合，而必須進行動態(tài)地交易來構造復制組合。我們要運用無套利定價原理的第三個推論?，F(xiàn)在看一下如何進行動態(tài)地構造套利組合呢？23第1年末(1) 從現(xiàn)在開始1年后到期的債券Z01損益:100價格:98第2年末(2) 1年后開始2年后到期的債券Z12損益:100價格:98第2年末(3) 從現(xiàn)在開始2年后到期的債券Z02損益:100價格:？24按照無套利定價原理的第三個推論，自融資交易策略的損益等同于一個證券的損益時，

11、這個證券的價格就等于自融資交易策略的成本。這個自融資交易策略就是：（1）先在當前購買0.98份的債券Z01；（2）在第1年末0.98份債券Z01到期，獲得0.9810098元；（3）在第1年末再用獲得的98元去購買1份債券Z12；這個自融資交易策略的成本為：980.9896.04交易策略現(xiàn)金流當前第1年末第2年末(1)購買0.98份Z01-980.98= -96.040.98100=98( 2 ) 在 第1 年 末購買1份Z12-98100合計：-96.0401002526如果現(xiàn)在開始2年后到期的零息票債券價格為97元，則存在套利機會。如何套利呢？按照我們前面的思路，市場高估了現(xiàn)在開始2年后到

12、期的零息票債券價值，則考慮賣空它，并利用自融資交易策略進行套利。構造的套利策略如下：27（1）賣空1份Z02債券，獲得97元，所承擔的義務是在2年后支付100元；（2）在獲得的97元中取出96.04元，購買0.98份Z01；（3）購買的1年期零息票債券到期，在第一年末獲得98元；（4）再在第1年末用獲得的98元購買1份第2年末到期的1年期零息票債券；（5）在第2年末，零息票債券到期獲得100元，用于支付步驟（1）賣空1份Z02 債券的100元；交易策略現(xiàn)金流當前第1年末第2年末(1) 賣空1份Z0297-100(2)購買0.98份Z01-0.9898=-96.040.98100= 98(3)在

13、第1年末購買1份Z12-98100合計：97-96.04= 0.960028套利策略獲得盈利為：97 96.04 0.96元具體的現(xiàn)金流情況。29 當存在這些交易成本時，上面的無套利定價原理的推論就不再適用了。 如果仍按照不存在交易成本的情形進行套利，那么所構造的套利策略也就不一定能盈利。因為，通過套利策略獲得的盈利可能還不夠支付交易成本。 無套利定價原理這時候就不能給出金融產(chǎn)品的確切價格，但可以給出一個產(chǎn)品的價格區(qū)間，或者說價格的上限和下限。存在交易成本時的無套利定價原理存在交易成本時的無套利定價原理30例2-5假設兩個零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時

14、都獲得100元現(xiàn)金流，即到期時具有相同的損益）。假設購買債券不需要交易費用和不考慮違約情況。但是假設賣空1份債券需要支付1元的費用，并且出售債券也需要支付1元的費用。如果債券A的當前價格為98元。問題：（1）債券B的當前價格應該為多少呢？（2）如果債券B的當前價格只有97.5元，是否存在套利機會？如果有，如何套利呢？31按照無套利定價原理，在沒有交易成本時，B的合理價格為98元。不管大于或小于98元，都存在套利機會。如果賣空和出售債券需要費用，那么是否價格不等于98元，就存在套利呢？比如，債券B的當前價格為97.5元，按照前面的套利思路為：（1）賣空債券A，獲得98-1=97元（由于賣空A需要

15、1元的費用）；（2）雖然債券B只有97.5元，但是97元還不夠用于買進債券B；32因此，在賣空和出售債券需要1元費用情況下，債券B的合理價格區(qū)間為：97, 99。當債券B低于下限97元時，可以通過賣空債券A，買進債券B贏利；當債券B高于上限99元時，可以通過賣空債券B，買進債券A贏利。因為債券B的當前價格是97.5元，落在此區(qū)間內(nèi)，將無法使用套利策略獲得盈利。33雖然如果債券B的價格落在97, 99內(nèi)，它們將無法獲得套利機會，但是實際上，當債券B的價格小于債券A的價格，投資者會傾向于購買債券B；反之則購買債券A。因此，事實上，債券B會接近于債券A的價格。34也許你會問：為什么并沒有用到出售債券

16、也需要支付1元的費用這個條件？如果不考慮出售債券也需要支付1元的費用的條件，結(jié)果會怎樣？35案例2-6假設兩個零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時都獲得100元現(xiàn)金流，即到期時具有相同的損益）。假設不考慮違約情況。但是假設賣空1份債券需要支付1元的費用，出售債券也需要支付1元的費用，買入1份債券需要0.5元費用。如果債券A的當前價格為98元。問題：（1）債券B的當前價格應該為多少呢？（2）如果債券B的當前價格只有97.5 元，是否存在套利機會？如果有， 如何套利呢？36債券B的市場價格區(qū)間為：96.5,99.5，在此區(qū)間范圍內(nèi)不存在贏利的套利策略。當債券B的

17、當前價格只有97.5元，不存在套利機會。但是實際上，當債券B的價格小于債券A的價格，投資者會傾向于購買債券B；反之則購買債券A。因此，事實上，債券B會接近于債券A的價格。37對于存在交易成本的無套利定價原理總結(jié)如下：（1）存在交易成本時，無套利定價原理可能無法給出確切的價格，但可以給出價格區(qū)間；（2）存在交易成本時的價格區(qū)間為：先不考慮交易成本，根據(jù)無套利定價原理計算出理論價格，然后再根據(jù)此價格減去最小總交易成本確定為下限價格，此價格加上最小總交易成本為上限價格。38在上一節(jié)的債券案例中，未來的損益（現(xiàn)金流）都是在當前就確定的。在實際市場中，很多產(chǎn)品的未來損益是不確定的，要根據(jù)未來的事件而確定

18、。 比如，一個股票看漲期權，當?shù)狡谌展善眱r格大于執(zhí)行價格時，這個期權可獲得正的損益，為到期日股票價格減去執(zhí)行價格；但是，如果到期日股票價格小于等于執(zhí)行價格，則這個期權到期日損益為零，即沒有價值。因此，期權的損益是不確定的，它依賴于未來的股票價格。不確定狀態(tài)下無套利定價原理的應用不確定狀態(tài)下無套利定價原理的應用391、同損益同價格(例子2-7)假設有一風險證券A，當前的市場價格為100元，1年后的市場價格會出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：在狀態(tài)1時證券A價格上升至105元，在狀態(tài)2時證券A價格下跌至95元。同樣，也有一證券B，它在1年后的損益為：在狀態(tài)1時上升至105，在狀態(tài)2時下跌至95元。另外，假設不考

19、慮交易成本。問題：（1）證券B的合理價格為多少呢？（2）如果B的價格為99元，是否存在套利？如果有，如何套利？40案例2-7與前面幾個案例的不同地方在于，前面案例中的資產(chǎn)為債券，其未來的損益為確定的，即在某一時間時只有一種狀態(tài)，以概率100%發(fā)生。但本案例中的資產(chǎn)為風險證券，其未來的損益出現(xiàn)兩種可能，可能上漲，也可能下跌，即未來的狀態(tài)不確定。但根據(jù)無套利定價原理，只要兩種證券的損益完全一樣，那么它們的價格也會一樣。所以，證券B的合理價格也應該為100元。41因為證券B的價格為99元，因此存在套利機會。只要賣空證券A，買進證券B，就可實現(xiàn)套利1元。422、靜態(tài)組合復制定價（案例2-8）假設有一風

20、險證券A，當前的市場價格為100元，1年后的市場有兩種狀態(tài)，在狀態(tài)1時證券A價格上升至105元，在狀態(tài)2時證券A價格下跌至95元。同樣，也有一證券B，它在1年后的損益為，狀態(tài)1時上升至120元，狀態(tài)2時下跌至110元。另外，假設借貸資金的年利率為0，不考慮交易成本。問題：（1）證券B的合理價格為多少呢？（2）如果證券B的現(xiàn)在價格為110元，是否存在套利？如果有，如何套利？43案例2-8中證券B的損益與證券A不同，兩個證券的損益狀態(tài)如圖4所示?，F(xiàn)在考慮如何利用證券A和無風險債券來構建一個與證券B損益相同的組合10010595風險證券APB120110風險證券B11.01.0資金借貸44構建一個組

21、合：x份證券A和y份的借貸（ y 大于零為借出錢， y 小于零為借入錢）。要使得組合的損益與B的損益完全相同，則：1101201195105yx45解得：x1，y 15。因此，買人1份證券A，再借出現(xiàn)金15份的組合的損益與證券B的損益完全相同，所以證券B的價格等于組合的價格：即1100151115元46當證券B的現(xiàn)在價格為110元，存在套利機會構造一個套利策略：買進證券B，再賣空上面的等損益組合，1份證券A和15份現(xiàn)金。所以整個套利組合為：買進證券B，賣空證券A，借入資金15。買進證券B的成本為110元，賣空證券A可得到100元，借入資金15所以還剩下5，這部分實際上就是套利策略的盈利。因為期

22、末的現(xiàn)金流為0。這個組合的期初和期末現(xiàn)金流可見表2-3。期初時刻的現(xiàn)金流期末時刻的現(xiàn)金流第一種狀態(tài)第二種狀態(tài)(1)買進B-110120110(2)賣空A100-105-95(3)借入資金1515-15-15合計50047523、動態(tài)組合復制定價（案例9）把案例8中的市場未來狀態(tài)，從兩種狀態(tài)擴展到3種狀態(tài)。風險證券A在1年后的未來損益為，狀態(tài)1時110.25，狀態(tài)2時99.75，狀態(tài)3時90.25。同樣，也有一證券B，它在1年后三種狀態(tài)下的未來損益分別為125，112.5和109如圖2-5。另外，假設借貸資金的年利率為 5.06 ，半年利率為2.5%，不考慮交易成本。問題：（1）B的合理價格為多

23、少呢？（2）如果B的價格為110元，是否存在套利？如果有，如何套利？53100110.2599.7590.25風險證券APB125112.5109風險證券B11.05061.05061.0506資金借貸54110.25x 1.0506y 12599.75x 1.0506y 112.590.25x 1.0506y 109而上述方程卻無解。為什么呢？因為當損益存在三種狀態(tài)時，僅僅依靠兩種證券的組合是無法復制出任意一種三狀態(tài)的證券的。這在金融學中稱為“不完全市場”。55Arrow和Debreu證明在某些條件下，隨著時間而調(diào)整組合的動態(tài)組合策略可復制出市場中不存在的證券。56如何才能通過證券A和資金借

24、貸的動態(tài)組合復制出證券B。所謂動態(tài)指的是變化，所以我們把1年的持有期拆成兩個半年，這樣在半年后就可調(diào)整組合。假設證券A在半年后的損益為兩種狀態(tài)，分別為105元和95元。但證券B 在半年后兩種狀態(tài)下的損益值事先不知道。證券A和B的損益如圖2-6所示，而資金借貸的損益如圖2-7所示。57證券A和B的兩期三狀態(tài)損益圖110.2599.7590.2510010595風險證券APBPB1PB2風險證券B125112.5109581.05061.05061無風險借貸1.05061.0251.02559構造組合：（1）1份的證券A；（2）持有（出借）現(xiàn)金13.56。如果持有這個組合到1年后而不在中期進行調(diào)整

25、，則1年后的損益與B是不同的。5 .1041145 .12456.130506. 10506. 10506. 1125.9075.9925.11060（1）證券A的損益為105時：如果再買進0.19份的證券A，需要現(xiàn)金19.95元（0.1910519.95），持有（出借）的現(xiàn)金13.56，加上利息變?yōu)椋?3.561.02513.90。此時，證券A的份數(shù)變?yōu)椋?0.191.19份，現(xiàn)金變?yōu)椋?3.9019.956.05，即還需要借入現(xiàn)金6.05元。所以，經(jīng)過這樣的組合調(diào)整后，在半年后持有的組合為：1.19份證券A和借入現(xiàn)金6.05。則在1年后此組合損益狀態(tài)為：5 .11212505. 6025.

26、 1025. 119. 175.9925.11061（ 2 ） 證 券 A 的 損 益 為 9 5 時 ：如果賣出0.632份的證券A，得到0.6329560.04元，另外持有（出借）的現(xiàn)金 13.56 ，加上利息變?yōu)椋?3.561.02513.90。此時，證券A剩下10.6320.368份，現(xiàn)金變?yōu)?3.9060.0473.94。所以，在半年后組合經(jīng)過調(diào)整后變?yōu)椋?.368份證券A和現(xiàn)金73.94（可以出借）。則在1年后的此組合損益狀態(tài)為：1095 .12294.73025. 1025. 1368. 025.9075.9962110.2599.7590.25100原始組合：(1)持有1份A(

27、2) 持 有 現(xiàn) 金13.56（借出）操作：賣出0.632 份A組合為：(1)持有0.368份A(2)持有現(xiàn)金73.94動態(tài)組合復制過程示意圖操作：買進0.19份A組合為：(1)持有1.19份A(2)借入現(xiàn)金6.0510595組合的損益為：125112.510963因此，當市場有三種狀態(tài)，而僅有證券A和資金借貸無法靜態(tài)復制B時，通過在持有期中期根據(jù)證券A的損益變化進行動態(tài)調(diào)整組合來復制證券B。由無套利定價原理的推論（3），我們可得到證券B的合理價格為：110013.56113.56對于第二問，同樣可根據(jù)市場價格與理論價格之間的大小來構造套利組合。當市場價格為110元，小于理論價格113.56時

28、，則可賣空證券A得到100元，借入現(xiàn)金13.56元，其中110元用于購買B，這樣凈剩下3.56元為套利盈利。64如何進行動態(tài)復制呢？或者說，案例9中的開始組合策略 1 份證券 A 和持有現(xiàn)金13.56元是如何得到的呢？在中期又是如何根據(jù)證券A的損益變化來動態(tài)調(diào)整呢？動態(tài)復制策略實際上是多期的靜態(tài)復制策略，只要從后往前應用靜態(tài)復制策略即得動態(tài)策略。65（1）證券在中期價格為105時：x1.19，y5.905 .112125056. 1056. 175.9925.110yx66根據(jù)無套利定價原理，求得證券B此時的價格為：PB11.191055.901.025 118.9067證券A在中期價格為10

29、5 時：B1B2125112.5風險證券B112.5109風險證券B1.0251.0251.05061.0506資金借貸1.05061.0506資金借貸110.2510599.75風險證券A證券A在中期價格為95時：99.759590.25風險證券A68解得：x0.368，y72.14，也與圖2-8相吻合。同樣，可求得證券B在此時的價格為： PB1 0.3689572.141.025108.901095 .122056. 1056. 125.9075.99yx69第二步：根據(jù)第一步得到的PB1和PB2繼續(xù)應用靜態(tài)組合復制方法計算：10010595風險證券APB118.90108.90風險證券B

30、11.0251.025資金借貸70解得：x1，y13.56，也與圖2-8相吻合。所以，可求得證券B的價格為：PB110013.561113.5690.10890.118025. 1025. 195105yx712.3無套利定價原理的一般理論不確定狀態(tài)下的無套利定價原理的最簡單模型Arrow-Debreu模型721、市場環(huán)境假設假設市場中有N個證券，s1,s2,s3,sN。投資者一開始持有這些證券的組合，而后在持有期結(jié)束后獲得這些組合的損益。假設僅有兩個投資時刻，開始時刻0和結(jié)束時刻1。投資者可持有這些證券及它們的組合的多頭（買進）或空頭（賣出），持有多頭相當于在結(jié)束時刻獲得證券的損益，而持有空

31、頭則相當于在結(jié)束時刻要付出證券的損益。73假設第i種證券在初始0時刻的價格為pi，則N種證券的價格向量為：P ( p1, p2, .pN )T它們在未來1時刻的損益有M種可能狀態(tài)，第i種證券在第j種狀態(tài)下的損益為dij，則這些證券的損益矩陣為：D（dij），i=1N，j=1MD的第j列D.j表示1時刻時處于第j種狀態(tài)下1個單位的N種證券的損益向量。假設損益矩陣D的值對于投資者是已知的，但是投資者無法提前知道在1時刻這些證券處于M種狀態(tài)中的哪一種狀態(tài)，當然在同一時刻這些證券都是處于同一種狀態(tài)下。74證券組合用向量表示：=(1,2,N)其中i表示持有的第i種證券的數(shù)量，當投 資 者 持 有 第 i

32、 種 證 券 的 多 頭 時 ， i 0；否則i 0, D 0,762、套利組合的定義一個證券組合定義為套利組合，如果它滿足： 對于所有的 1 j M存在某些 j或者滿足以下條件： P (0,0)Tp例如TP 2.5 2 11 2 79Arrow-Debreu模型的經(jīng)濟含義1、狀態(tài)價格Arrow-Debreu的無套利組合等價定理說明，如果市場不存在套利組合，則資產(chǎn)的當前價格與未來損益之間要滿足一定的條件。這個條件是存在一個對應于M個狀態(tài)的向量，一般稱之為狀態(tài)價格（state-prices）。80狀態(tài)價格的具體含義。假設市場另外存在M種資產(chǎn)，sN+1,sN+2,sN+M。這M種資產(chǎn)的未來損益為，

33、只在一種狀態(tài)下為1，其余狀態(tài)下都是零。即對于資產(chǎn)sN+j，它的未來損益只是在第j種狀態(tài)為1，其余狀態(tài)為0。這M種資產(chǎn)就構成了“基本資產(chǎn)”，由它們生成的組合的未來損益可以表示任意一種資產(chǎn)的未來損益。比如，81對于資產(chǎn) s1 ，它的未來損益為：(d11 ,d12 ,d1M )，則由d11 個 sN+1，d12 個sN+2，d1M 個 sN+M 構成的資產(chǎn)組合 v1 的未來損益就與 s1 的未來損益一樣。如果市場不存在套利機會，則資產(chǎn) s1 的價格應該等于由基本資產(chǎn)構成的組合的價格。假設 M 個基本資產(chǎn)的價格分別為：u1，u2，,uM，則上述組合的價格v1為：jd 1 j uMj 1v 1 p1 d

34、1 j j d u j d1 j j82而根據(jù)式（2-5），資產(chǎn)s1的價格p1為：（2-15）兩者相等，所以：（2-16）因此，我們可以令：Mj 11 jMj 1Mj 1u j j ,j M對所有的1 83T是基本資產(chǎn)的價格向量，即每種狀態(tài)下單位未來損益的資產(chǎn)價格，所以稱之為狀態(tài)價格。如果我們能夠得到狀態(tài)價格，則任意一種資產(chǎn)的價格都是狀態(tài)價格的線性函數(shù)，都可以由狀態(tài)價格計算得到。842、風險中性概率如果把狀態(tài)價格歸一化，即讓M個分量的和變?yōu)?：jjjMj 1是： 85如果存在一個資產(chǎn)，它在未來的損益是確定的，都是1，即在每一種狀態(tài)下都是1，那么根據(jù)式（2-5），這個資產(chǎn)的價格就。假設這種資產(chǎn)就

35、是我們平常所說的無風險債券，或者現(xiàn)金借貸：則M1 rj 1jMj 186M Mj 1 1 r j 1E ( Dij )11 r87推論：如果市場不存在套利組合，而且假設無風險借貸的利率為r，則存在一個概率測度使得任意一個資產(chǎn)的價格等于其未來可能損益（現(xiàn)金流）的期望值以無風險借貸利率貼現(xiàn)的貼現(xiàn)值。 j1 1j 1 Dij j 1 r j1 Dij q j q j88風險中性概率與實際中各個狀態(tài)發(fā)生的概率之間有什么關系呢？記為未來第j種狀態(tài)發(fā)生的概率，即統(tǒng)計意義上的概率。我們說風險中性概率和實際統(tǒng)計概率兩者可能會不相同。因為這跟投資者的風險偏好有關系pi 1 rD = 0.4 0.60.51.4 89Tp例如TP 1.4 2 21 1 Tq 0.5903、完全市場與不完全市場在前面案例9中，我們曾指出兩種資產(chǎn)無法靜態(tài)復制出三狀態(tài)的任意一種資產(chǎn)，這跟市場的完全性有關。下面我們給完全市場下個定義：91定義：一個具有 N 種資產(chǎn)，M 種損益狀態(tài)的市場，如果對于任意一個未來損益向量 d =（d1 ,d2 ,dM ），都存在一個N種資產(chǎn)的組合( 1 ,2 ,N )， 其 未 來 損 益 等 于（d1 ,d2 ,dM ），則我們稱市場是完全的。 D 92市場完全性的定義是要求如下的線性方程存在解：即：根據(jù)線性代數(shù)的知識，方程（2-23）有解的