高等數(shù)學(xué)：10_1二重積分概念

1、第十章一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分重 積 分 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例一、引例 二、二重積分的定義與可積性二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二重積分的概念與性質(zhì) 第十章 解法解法: 類似定積分解決問題的思想:一、引例一、引例1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜?cè)面：以 D 的邊界為準線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“分割，近似，

2、求和，取極限”D),(yxfz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D),(yxfz 1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個2)“近似”在每個k, ),(kk3)“求和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk則中任取一點小曲頂柱體k),(kk機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4)“取極限”的直徑為定義k 1212maxkkP PP ,P令 1maxkk n nkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 k （即即上上最最大大的的二二點點間間距距離離

3、）2. 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 有一個平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,( , ),x yC 計算該薄片的質(zhì)量 M .度為( , )(),x y 若若常常數(shù)數(shù)設(shè)D 的面積為 , 則M 若( , )x y 非常數(shù) , 仍可用其面密 “分割，近似，求和，取極限” 解決.1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yx2)“近似”中任取一點k在每個),(kk3)“求和”nkkMM11(,)nkkkk 4)“取極限” 1maxkk n 令令01lim(,)nkkkkM k),(kk(,)(1,2, )kkkkM

4、kn 則第 k 小塊的質(zhì)量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yx兩個問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割, 近似, 求和,取極限”nkkkkfV10),(lim01lim(,)nkkkkM 曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性定義定義:),(yxf設(shè)將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域),2,1(nkk任取一點,),(kkk若存在一個常數(shù) I , 使nkkkkfI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱( , )dDf x y ),(yxfI為稱在D上的二重積分二重

5、積分.稱為積分變量yx,積分和( , )dDf x y 積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , )dDVf x y 引例1中曲頂柱體體積:( , )dDMx y 引例2中平面薄片的質(zhì)量:如果 在D上可積,),(yxf也常d,ddyx二重積分記作( , )d d .Df x yx y ,kkkyx 這時分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃 記作( , )ddDf x yxy ( , )ddDx yxy 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二重積分存在定理二重積分存在定理:若函數(shù)),(yxf),(yxf定理

6、2.),(yxf上可在則Dyxf),(證明略)（了解）定理1.在D上可積可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù), 則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重積分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重積分不存在 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)Dyxfkd),(. 1( k 為常數(shù))Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在1 ddDDDS SD為D 的面積, 則

7、),(2121無公共內(nèi)點DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為SD,( , )dDDDm Sf x yM S 則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7.(二重積分的中值定理二重積分的中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),),(D( , )( ,)DDf x y dfS 證證: 由性質(zhì)6 可知,1( , )dDDmf x yMS由連續(xù)

8、函數(shù)介值定理, 至少有一點D),(1( ,)( , )dDDff x yS ( , )d( ,)DDf x yfS 在閉區(qū)域D上SD 為D 的面積 , 則至少存在一點使使連續(xù),因此機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 比較下列積分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域 D 的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與 x 軸交于點 (1,0) ,.1相切與直線 yx而域 D 位, 1 yx從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方, 故在 D 上 1y2xo1D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)D

9、 是第二象限的一個有界閉域 , 且 0 y 1, 則,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序為 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 312III被積函數(shù)相同, 且非負, yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd1211311ddIxyxy 解解: 321,III由它們的積分域范圍可知312III11xyo例例3. 比較下列積分值的大小關(guān)系:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.

10、 估計下列積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面積為200)210(2由于yx22coscos1001積分性質(zhì)5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyo機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 求 2222220cosdlim.xyxyttexyt xyoD設(shè)函數(shù)),(yxfD 位于 x 軸上方的部分為D1 , ( ,)( , ),f xyf x y即即( ,)( , ),f xyf x y 即即d),(Dyxf0d),(Dyxf當區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時, 仍1D在 D 上d)

11、,(21Dyxf在閉區(qū)域D上連續(xù), 域D 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1：(二重積分的奇偶對稱性二重積分的奇偶對稱性)(1)若 f (x, y)關(guān)于 y 為偶函數(shù)(2)若 f (x, y)關(guān)于 y 為奇函數(shù)定理定理2：(二重積分的輪換對稱性二重積分的輪換對稱性)設(shè)函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域D上連續(xù), 域 為D關(guān)于直線D y = x 的對稱區(qū)域，則( , )dDf x y ( , )dDf y x 特別的，若D關(guān)于直線 y = x 對稱，則( , )dDf x y ( , )dDf y x 例例6. 求 3223sind,DIx yx y 其中D 為

12、以原點為圓心，R為半徑的圓域。例例7. 證明:, 2d)cossin(122Dyx其中D 為.10, 10yx解解: 利用題中 x , y 位置的對稱性, 有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx22201,sin()1,24xx 又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .yox1D1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xbad 四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0ba

13、x 平面0 xx 故曲頂柱體體積為DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 計算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyy

14、yyysincos2xyxyId)(sind220002機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性質(zhì) (與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5 . 04 . 0I備用題備用題1. 估計 的值, 其中 D 為DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: 被積函數(shù)16)(1),(2yxyxf2D 的面積41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yox2D1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 220yx 0)ln(22 yx2. 判斷的正負.)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx當時，故0)ln