北京工業(yè)大學-工程數(shù)學-薛毅-作業(yè)1

1、數(shù)學建模入門1. 貸款問題小王夫婦計劃貸款20萬元購買一套房子，他們打算用20年的時間還清貸款。目前，銀行的利率是0.6% /月。他們采用等額還款的方式（即每月的還款額相同）償還貸款。（1）在上述條件下，小王夫婦每月的還款額是多少？共計付了多少利息？（2）在貸款滿5年后，他們認為他們有經(jīng)濟能力還完余下的款額，打算提前還貸，那么他們在第6年初，應一次付給銀行多少錢，才能將余下全部的貸款還清？（3）如果在第6年初，銀行的貸款利率由0.6%/月調(diào)整到0.8%/月，他們?nèi)匀徊捎玫阮~還款的方式，在余下的15年內(nèi)將貸款還清，那么在第6年后，每月的還款額應是多少？（4）某借貸公司的廣告稱，對于貸款期在20年

2、以上的客戶，他們幫你提前三年還清貸款，但條件是：（i）每半個月付款一次，但付款額不增加，即一次付款額是原付給銀行還款額的1/2；（ii）因為增加必要的檔案、文書等管理工作，因此要預付給借貸公司貸款總額10%的傭金。試分析，小王夫婦是否要請這家借貸公司幫助還款。解答：首先根據(jù)已知條件建立貸款還款的數(shù)學模型：假設ai為第i個月的欠款額，r為月利率（本題中初始為0.6%），x為每月的還款額。由題中所描述的等額還款方式（每月還款額相同）可得出還款的迭代方式如下：第i個月的欠款額第（i-1）個月的欠款額*月利率第（i-1）個月的欠款額每月的還款額。期數(shù)本金利息還款額歸還本金 =還款額 - 當月利息剩余本

3、金1a1a1*0.6%xb1=x-a1*0.6%c1=a1-b12a2=c1a2*0.6%xb2=x-a2*0.6%c2=a2-b23a3=c2a3*0.6%xb3=x-a3*0.6%c3=a3-b3240a240=c239a240*0.6%xb240=x-a240*0.6%c240=a240-b240=0迭代公式a(i) = a(i-1)-b(i-1) =a(i-1)-x-a(i-1)*0.6% = a(i-1)(1+0.6%)-x即：aiai1(1r)x，i1,2, , n（本題中n為240）由以上模型可得出題目解答：（1） 根據(jù)建模公式推算，小王夫婦第i個月的欠款額應為：ai ai1(1

4、r)xa0(1r)ix(1r) i1(1r)1a0(1r)ix第n個月還款完，即an0令in，得：xa0r小王夫婦貸款20萬則a0200000，銀行利率為r0.6%，貸款20年為240個月，則n240所以:x1574.70即：小王夫婦每月應還款1574.70元合計還款總額：1574.70*240=377928.00元合計付利息1574.70*240200000177928.00元（2）滿五年后提前還款，則應計算i60時的欠款總額并一次還清。 a60200000*(10.006)601574.71*173034.90元所以小王夫婦在第6年初一次付給銀行173034.90元即可將欠款還清（3）五年

5、后利率調(diào)整，即為，貸款額為剩余欠款173034.90元，a0173034.90，銀行利率為r0.8%，貸款15年為180個月，則n180所以，x1817.33元第六年利率調(diào)整后，每月應還款1817.33元。（4）若小王夫婦不請借貸公司還款，由題（1）已知還款總額=377928.0元。若請借貸公司幫助還款，則是提前三年還完，即17年還完貸款。每半個月付款是原來付款的一半，但是需要付兩次，每個月還款額不變。每次還款額：1574.699*0.5，總的還款次數(shù)：17*12*2408，付給借貸公司傭金：200000*10%所以，通過借貸公司還款的總的還款額：1574.699*0.5*408+200000

6、*10%341238.60元。相比之下，委托借貸公司可以節(jié)省377928.00341238.6036689.2元，所以小王夫婦可以考慮委托借貸公司還款。2. 冷卻定律與破案按照Newton冷卻定律，溫度為T的物體在溫度為To (To<T)的環(huán)境中冷卻的速度與溫差T-To成正比。你能用該定律確定張某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。某公安局于晚上7時30分發(fā)現(xiàn)一具女尸，當晚8時20分法醫(yī)測得尸體溫 度為32.6,一小時后，尸體被抬走時又測得尸體溫度為31.4,，已知室溫在幾個小時內(nèi)均為21.1,由案情分析得知張某是此案的主要犯罪嫌疑人，但張某矢口否認，并有證人說:“下午張某一直在辦公室，下午5

7、時打一個電話后才離開辦公室”。從辦公室到案發(fā)現(xiàn)場步行需要5分鐘，問張某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外？解答：首先，牛頓冷卻定律為溫度為T(t)的物體在溫度T0的環(huán)境中冷卻的速度與溫度差 T(t)-T0成正比。所以，得出微分方程dT（t)dt=kTt-T0，K為比例常數(shù)。任意時刻t，物體的溫度為Tt=T0+Cekt，C為常數(shù)根據(jù)已知條件，記晚上8時20分為t=0時刻，T（0）=32.6，T（1）=31.4，T0=21.1：T0=21.1+Cek*0=32.6Tt=21.1+Cek*1=31.4求解函數(shù)得，k=-0.11，C=11.5，即Tt=21.1+11.5*e-0.11*t假定人的正常體溫為3

8、7，代入公式得t=-2.95小時, 即遇害時間為8.33-2.95=5.385時23分。張某在5時離開辦公室，步行需要5分鐘到達案發(fā)地點，所以張某不能排除作案嫌疑。3. 鍛煉想象力、洞察力和判斷力的問題（1）某人早8時從山下旅店出發(fā)沿一條山路上山，下午5時到達山頂并留宿，次日8時沿同一條路徑下山，下午5時回到旅店。該人必在兩天中的同一是可經(jīng)過路徑中的同一地點，為什么？解答：令 ：A(t)表示此人第一天上山時t時刻離山腳的路程；B(t)表示此人第二天下山時t時刻離山腳的路程。假設山頂?shù)缴较碌目偮烦虨镾，由已知條件可知：A(8)=0，A(17)= SB(8)= S，B(17)=0令 ：C(t)=

9、A(t)- B(t)； 則C(8)=-S，C(17)= S；由于C(t)為連續(xù)函數(shù)，由零點定理推出結論：在t=8,17中間，至少存在一點 t 使C(t)= A(t)- B(t)=0；即A(t)= B(t),可證明這人必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點。（2）甲乙兩戰(zhàn)之間有汽車相通，每隔10分鐘甲乙兩站互發(fā)一趟車，但發(fā)車時刻不一定相同。甲乙兩站之間有一中間站丙，某人每天在隨機時刻到達丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車。結果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達甲站，大約10天到達乙站。問開往甲乙兩站的汽車經(jīng)過兩站的時刻表是如何安排的？解答：根據(jù)題中描述可知，坐乙站發(fā)的車的概率為甲站的九倍。可以理解為從

10、乙站發(fā)車到甲站經(jīng)過丙站的時刻要比另一個早1分鐘，即從甲站出發(fā)到達丙處的第i輛車，總比從乙站出發(fā)到達丙處的第i輛車提前9分鐘。所以經(jīng)過丙站的時刻表可安排為：甲站發(fā)來的車：6：00，6：10，6：20乙站發(fā)來的車：6：09，6：19，6：29（3）張先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城際火車于18：00抵達A市火車站，他妻子駕車至火車站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火車于17：30抵達A市火車站，隨即步行回家，他妻子像往常一樣駕車前來，在半路相遇將他接回家。到家時張先生發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘，問張先生步行了多長時間？解答：假設張先生步行的距離為S，則妻子比往常少開了張先生所走距離的往

11、返距離2S，因為提前了10分鐘到家，所以妻子開車行駛2S距離的時間為10分鐘。妻子往常是在18:00整在火車站接張先生，今日在距離火車站S距離的地方遇到張先生，這個距離需要開車5分鐘,所以妻子遇到張先生的時間為17:55分。張先生17:30下車，17:55分遇到妻子，所以張先生走了55-30=25分鐘。（4）一男孩一女孩分別在距家2公里和1公里且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以每小時4公里和每小時2公里的速度步行回家。一小狗以每小時6公里的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。問小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上學時，小狗也往返奔波在他們中間，問當他們到

12、達學校時小狗在何處？解答：男孩和女孩從學校到家的時間都是0.5小時，當他們到家時小狗也到家，所以小狗往返跑的時間也是0.5小時，由于小狗的速度是每小時6公里，因此小狗所走的路程為3公里。設S為初始狀態(tài)時小狗與家的位移, Si表示小狗最終的位移。i表示小狗與人的相遇次數(shù)ti為第i次小狗與人相遇時所經(jīng)歷的總時間；v1、v2、v3分別表示小狗、男孩、女孩的運動速率，Si表示小狗第i次與孩子相遇時小狗的位移。初始時刻小狗與女孩相向而行；i=1之后變?yōu)樾」窊裟泻?；i=2之后小狗再追女孩，如此往返。所以，i為奇數(shù)時小狗與女孩相遇；i為偶數(shù)時小狗與男孩相遇。S=Si-v0*ti-12,i為奇數(shù)-Si-v0*

13、ti-22*v0-v1v0+v1，i為偶數(shù)當i為無窮多次時，可知S=0，對任意的Si，S0。即當S=0時，小狗的最終位置Si可以為-1,2中的任意數(shù)。 由上面分析可知，在男孩和女孩上學時小狗從家(S=0)往返奔波于他們之間的情況下孩子到學校時小狗的最終位置不確定。4. 加分實驗（公平投票問題）某部門推出一專項基金目的在于培養(yǎng)優(yōu)秀人才，根據(jù)評比結果確定資助的額度。許多單位的優(yōu)秀者都申請了該基金，于是該基金的委員會聘請了數(shù)名專家，按照如下規(guī)則進行評比。1.為了公平性，評委對本單位選手不給分；2.每位評委對每位參與申請的人（除本單位選手外）都必須打分，且不打相同的分；3.評委打分方法為給參加申請的人排序，根據(jù)優(yōu)劣分別記1分、2分、以此類推。4.評判結束后，求出各選手的平均分，按平均分從低到高排序，依次確定本次評比的名次，即平均分最低者獲得資助最高，依次類推。本次基金申請中，甲所在單位有一名評委，這位評委將不參加對選手甲的評判，其他選手沒有類似情況，評審結束后選手甲覺得這種評比規(guī)則對他不公平。問選手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正來解決選手甲的抱怨？解答：令評審個數(shù)為n，根據(jù)評分規(guī)則，在一般情況下評委給出的評分分別為a1，a2，a3an,所以該選手的平均得分為X1=a1+a