數(shù)形結(jié)合的思想方法---應(yīng)用篇

1、選取日期數(shù)形結(jié)合的思想方法數(shù)形結(jié)合的思想方法(1)-應(yīng)用篇一、 知識要點(diǎn)概述數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石，所有的數(shù)學(xué)問題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的：每一個幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^圖形的直觀性作出形象的描述。因此，在解決數(shù)學(xué)問題時，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，提示其幾何意義；而形的問題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決的方法，簡言之，就是把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合起來加以

2、考察的處理數(shù)學(xué)問題的方法，稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)

3、算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。二、 解題方法指導(dǎo)1轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑： 通過坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動，以動求解。 轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化到另一個角度來考慮，如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等。 構(gòu)造，比如構(gòu)造一個幾何圖形，構(gòu)造一個函數(shù)，構(gòu)造一個圖表等。2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法：“由形化數(shù)” ：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性?！坝蓴?shù)化

4、形” ：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征?！皵?shù)形轉(zhuǎn)換” ：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。三、 數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用(一) 解析幾何中的數(shù)形結(jié)合解析幾何問題往往綜合許多知識點(diǎn)，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題，備受出題者的青睞，求解中常常通過數(shù)形結(jié)合的思想從動態(tài)的角度把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，達(dá)到研究、解決問題的目的.  1. 與斜率有關(guān)的問題【例1】已知：有向線段PQ的起點(diǎn)P與終點(diǎn)Q坐標(biāo)分別為P（-1

5、，1），Q（2，2）.若直線lx+my+m=0與有向線段PQ延長相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.    解：直線l的方程x+my+m=0可化為點(diǎn)斜式：y+1=-（x-0），易知直線l過定點(diǎn)M（0，-1），且斜率為-.  l與PQ的延長線相交，由數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)過M且與PQ平行時，直線l的斜率趨近于最??；當(dāng)過點(diǎn)M、Q時，直線l的斜率趨近于最大.    【點(diǎn)評】含有一個變量的直線方程可化為點(diǎn)斜式或化為經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程.本題是化為點(diǎn)斜式方程后，可看出交點(diǎn)M（0，-1）和斜率-.此類題目一般結(jié)合圖形可判斷出斜率的取值范圍.  2. 與距離

6、有關(guān)的問題【例2】求：y=（cos-cos+3）2+（sin-sin-2）2的最大（?。┲?【分析】可看成求兩動點(diǎn)P（cos，sin）與Q（cos-3，sin+2）之間距離的最值問題.  解：兩動點(diǎn)的軌跡方程為：x2+y2=1和（x+3）2+（y-2）2=1，轉(zhuǎn)化為求兩曲線上兩點(diǎn)之間距離的最值問題.如圖：    3. 與截距有關(guān)的問題【例3】若直線y=x+k與曲線x=恰有一個公共點(diǎn)，求k的取值范圍.  解：曲線x=是單位圓x2+y2=1的右半圓（x0），k是直線y=x+k在y軸上的截距.    由數(shù)形結(jié)合知：直線與曲線相切時，k=-，

7、由圖形：可得k=-，或-1<k1.  4. 與定義有關(guān)的問題【例4】求拋物線y2=4x上到焦點(diǎn)F的距離與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和為最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求這個最小值.【分析】要求PA+PF的最小值，可利用拋物線的定義，把PF轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，化曲為直從而借助數(shù)形結(jié)合解決相關(guān)問題.     解：P是拋物線y2=4x上的任意一點(diǎn)，過P作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，連PF（F為拋物線的焦點(diǎn)），由拋物線的定義可知：  .  過A作準(zhǔn)線l的垂線，交拋物線于P，垂足為Q，顯然，直線AQ之長小于折線APD之長，因而所求的點(diǎn)

8、P即為AQ與拋物線交點(diǎn).  AQ直線平行于x軸，且過A（3，2），所以方程為y=2，代入y2=4x得x=1.  P（1，2）與F、A的距離之和最小，最小距離為4.【點(diǎn)評】 （1）化曲線為直線是求距離之和最有效的方法，在橢圓，雙曲線中也有類似問題.  （2）若點(diǎn)A在拋物線外，則點(diǎn)P即為AF與拋物線交點(diǎn)（內(nèi)分AF）.  (二) 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用  1. 利用數(shù)形結(jié)合解決與方程的根有關(guān)的問題方程的解的問題可以轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)問題，從而把代數(shù)與幾何有機(jī)地結(jié)合起來，使問題的解決得到簡化.【例5】已知方程x2-4x+3=m有4個根，則實(shí)數(shù)m

9、的取值范圍    .【分析】此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個數(shù)，而求方程的根的個數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點(diǎn)的個數(shù)問題來解決.  解：方程x2-4x+3m根的個數(shù)問題就是函數(shù)y=x2-4x+3與函數(shù)y=m圖象的交點(diǎn)的個數(shù).  作出拋物線y=x2-4x+3=（x-2）2-1的圖象，將x軸下方的圖象沿x軸翻折上去，得到y(tǒng)=x2-4x+3的圖象，再作直線y=m，如圖所示：由圖象可以看出，當(dāng)0<m<1時，兩函數(shù)圖象有4交點(diǎn)，故m的取值范圍是（0，1）.    數(shù)形結(jié)合可用于解決方程的解的問題，準(zhǔn)確合理地作出滿足

10、題意的圖象是解決這類問題的前提.  2. 利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)的單調(diào)性問題  函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，也是高考中的熱點(diǎn)問題之一.在解決有關(guān)問題時，我們常需要先確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，數(shù)形結(jié)合是確定函數(shù)單調(diào)性常用的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間形象直觀地反映在函數(shù)的圖象中.【例6】確定函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間.    畫出函數(shù)的草圖，由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-，0，1，），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為0，1.  3. 利用數(shù)形結(jié)合解決比較數(shù)值大小的問題【例7】已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足下列三個條件：對任意的xR都有f（x+4）=f（

11、x）；對任意的0x1<x22，都有f（x1）<f（x2）；y=f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱.則f（4.5），f（6.5），f（7）的大小關(guān)系是        .  解：由：T=4；由：f（x）在，上是增函數(shù)；由：f（x）f（x），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱.由此，畫出示意圖便可比較大小.    顯然，f（4.5）<f（7）<f（6.5）.  4. 利用數(shù)形結(jié)合解決抽象函數(shù)問題 抽象函數(shù)問題是近幾年高考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，是高考中的難點(diǎn).利用數(shù)形結(jié)合常能

12、使我們找到解決此類問題的捷徑.【例8】 設(shè)f（x），g（x）分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，在區(qū)間a，b（a<b<0）上，f（x）g（x）+f（x）  g（x）>0，且f（x）·g（x）有最小值.則函數(shù)y=f（x）·g（x）在區(qū)間b，-a上（）.  . 是增函數(shù)且有最小值  . 是減函數(shù)且有最小值  . 是增函數(shù)且有最大值  . 是減函數(shù)且有最大值  【解析】 f（x）g（x）+f（x）g（x）=f（x）·g（x）>0.  y=f（x）·g（x）在區(qū)間a，b（a

13、<b<0）上是增函數(shù)，  又 f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù).  y=f（x）·g（x）是奇函數(shù).  因此它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，作出示意圖，易知函數(shù)y=f（x）·g（x）在區(qū)間-b，-a上是增函數(shù)且有最大值，因此選.  （三）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解不等式1. 求參數(shù)的取值范圍【例9】若不等式>ax的解集是x|0<x4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.  . ，）. （，  . （，）. （，  解：令f（x），g（x）=ax，則f（x）的圖象是以（，）為圓心，以為半徑的圓

14、的上半部分，包括點(diǎn)（，），不包括點(diǎn)（，）；g（x）ax的圖象是通過原點(diǎn)、斜率為a的直線，由已知>ax的解集是x|0<x4，  即要求半圓在直線的上方，由圖可知a<0，所以選.   【點(diǎn)評】 本題很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的妙用.  【例10】 若x（，）時，不等式（x-1）2<logax恒成立，則a的取值范圍是（）.  . （0，1）. （，）  . （，. ，  解：設(shè)y1=（x1）2（1<x<2），y2=logax.  由圖可知若y1<y2（1<x<2

15、），則a>1.    y1=（x-1）2過（，）點(diǎn)，當(dāng)y2=logax也過（，）點(diǎn)，即a=2時，恰有y1<y2（1<x<2）  <a2時（x-1）2<logax在x（，）上成立，故選.【點(diǎn)評】 例、例兩題的求解實(shí)際上綜合運(yùn)用了函數(shù)與方程以及數(shù)形結(jié)合的思想方法.  2. 解不等式【例11】已知f（x）是上的偶函數(shù)，且在，）上是減函數(shù)，f（a）（a>0），那么不等式xf（x）<0的解集是（）.  . x|0<x<a  . x|-a<x<0或x>a  .

16、 x|-a<x<a  . x|x<-a或0<x<a    解：依題意得f（x）是上的偶函數(shù)，且在，）上是減函數(shù)，f（a）（a>0），可得到f（x）圖象，又由已知xf（x）<0，可知x與f（x）異號，從圖象可知，當(dāng)x（-a，）（a，+）時滿足題意，故選.【例12】 設(shè)函數(shù)f（x）2，求使f（x）的取值范圍.  【解法】由f（x）得2.      易求出g（x）和h（x）的圖象的交點(diǎn)立時，x的取值范圍為，+）.  【解法3】 由的幾何意義可設(shè)1（，），（，），（x，y

17、），則，可知的軌跡是以1、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其中右頂點(diǎn)為（，），由雙曲線的圖象和x+1x-1知x.【點(diǎn)評】 本題的三種解法都是從不同角度構(gòu)造函數(shù)或不等式的幾何意義，讓不等式的解集直觀地表現(xiàn)出來，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想，給我們以“柳暗花明”的解題情境.（四）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解三角函數(shù)題  縱觀近三年的高考試題，巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決一些問題，可以簡化計算，節(jié)省時間，提高考試效率，起到事半功倍的效果. 【例13】函數(shù)f（x）=sinx+2sinx，x，的圖象與直線y=k有且僅有個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是    . 【分析

18、】本題根據(jù)函數(shù)解析式，畫出圖象，可以直觀而簡明地得出答案，在有時間限制的高考中就能大大地節(jié)約時間，提高考試的效率.    解：函數(shù)f（x）由圖象可知：1<k<3.【例14】當(dāng)0<x<時，函數(shù)f（x）的最小值為（）.  . .    . .   解：y=則y為點(diǎn)（，）與點(diǎn)（sin2x，3cos2x）兩點(diǎn)連線的斜率，又點(diǎn)的軌跡方程（0<<），即x2+（x<0），如圖，當(dāng)過點(diǎn)的直線ly=kx+5與橢圓x2+（x<0）相切時，k有最小值，故選.    【例15】若sin+co

19、s=tan（0<<），則（）.    解：令f（x）=sinx+cosx=sin（x+ ）（0<<），g（x）=tanx，畫出圖象，從圖象上看出交點(diǎn)的橫從標(biāo)xP>.再令，則sin+cos=.366，tan=1.732>1.367，由圖象知xP應(yīng)小于.故選.  【點(diǎn)評】 本題首先構(gòu)造函數(shù)f（x），g（x），再利用兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)位置確定>，淘汰了、兩選項(xiàng)，然后又用特殊值估算，結(jié)合圖象確定選項(xiàng)，起到了出奇制勝的效果.【例16】 已知函數(shù)f（x）是定義在（，）上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<3時f（x）圖象如下圖所示，那么

20、不等式f（x）cosx<0的解集是（）.    解：函數(shù)f（x）定義在（，）上，且是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象性質(zhì)可知，f（x）在（，）上的圖象如圖所示，若使f（x）cosx<0，只需f（x）與cosx異號，即圖象須分別分布在x軸上下側(cè)，由圖可知，有三部分區(qū)間符合條件要求，即（，）（，）（，），故選B.【點(diǎn)評】已知函數(shù)的一部分圖象，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得到函數(shù)的另一部分圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，可以先畫出完整的函數(shù)圖象，再研究有關(guān)問題.【例17】中，則的周長為（）.    解：本題是我們常用三角恒等變形和正弦定理通過一定量的計算來完成的，但是應(yīng)用數(shù)形

21、結(jié)合，可以很快解決問題.為此，延長到，使，則，由正弦定理  即sin（B+），故選.  （五）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解復(fù)數(shù)題  【例18】設(shè)|z|5，|z|2, |z|，求的值。【分析】 利用復(fù)數(shù)模、四則運(yùn)算的幾何意義，將復(fù)數(shù)問題用幾何圖形幫助求解。【解】 如圖，設(shè)z、z后，則、如圖所示 y A D O B x C由圖可知，|，AODBOC，由余弦定理得：cosAOD (±)2± y A D O x 【另解】設(shè)z、如圖所示。則|，且cosAOD，sinAOD±，所以(±)2±，即2±?！咀ⅰ勘绢}運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法

22、”，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運(yùn)算的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動活潑。 一般地，復(fù)數(shù)問題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問題變成幾何問題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解。本題設(shè)三角形式后轉(zhuǎn)化為三角問題的求解過程是：設(shè)z5(cossin)，zsin)，則|z|(5cos2cos)(5sin2sin)|，所以cos(),sin()±，cos()sin()(±)2±。本題還可以直接利用復(fù)數(shù)性質(zhì)求解，其過程是：由|z|得：（z）(z)zzzz254zz13,所以zz16,再同除以z得4，設(shè)z，解得z2±。幾種解法，各

23、有特點(diǎn)，由于各人的立足點(diǎn)與思維方式不同，所以選擇的方法也有別。一般地，復(fù)數(shù)問題可以應(yīng)用于求解的幾種方法是：直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解；設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為三角問題求解；設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解；利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為幾何問題求解。四、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意如下幾點(diǎn)在解題時，有時把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，以形直觀地表達(dá)數(shù)來解決，往往使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化.但是，依賴圖象直觀解題，也要注意如下幾個問題.1、注意圖象延伸趨勢【例19】 判斷命題：“當(dāng)a>1時，關(guān)于x的方程ax=logax無實(shí)解.”正確與否.  錯解：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=ax及y=l

24、ogax的圖象（a>1）（如圖1），可見它們沒有公共點(diǎn)，所以方程無實(shí)解，命題正確.    【評析】 實(shí)際上對不同的實(shí)數(shù)a，y=ax和y=logax的圖象的延伸趨勢不同.例如當(dāng)a=2時，方程無實(shí)數(shù)解；而當(dāng)a=時，x=2是方程的解.說明兩圖象向上延伸時，一定相交，交點(diǎn)在直線y=x上.2、注意圖象伸展“速度”【例20】比較2n與n2的大小，其中n2，且nN+.  錯解：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x及y=x2的圖象（如圖2）.  由圖可知，兩圖象有一個公共點(diǎn).  當(dāng)x=2時，2x=x2；  當(dāng)x>2時，2x<x2.&#

25、160; 當(dāng)n=2時，2n=n2；  當(dāng)n>2，且nN+時，2n<n2.    【評析】事實(shí)上，當(dāng)n=4時，2n與n2也相等；當(dāng)n=5時，2n>n2.錯因是沒有充分注意到兩個圖象在x2時的遞增“速度”！要比較兩個圖象的遞增速度，確實(shí)很難由圖象直觀而得.本題可以先猜想，后用數(shù)學(xué)歸納法證明.本題的正確答案是  當(dāng)n=2、4時，2n=n2；  當(dāng)n=3時，2n<n2；  當(dāng)n5時，nN+時，2n>n2.  證明略.3、注意數(shù)形等價轉(zhuǎn)化【例21】已知方程x2+2kx-3k=0有兩個實(shí)數(shù)在-1與3之間，求

26、k的取值范圍.    錯解：令f（x）=x2+2kx-3k，結(jié)合題意畫出圖象3中的（1），再由圖象列出不等    解略.【評析】 事實(shí)上，不等式組（*）并不與題意等價，圖象3中的（2）也滿足不等式組（*），但兩實(shí)根均大于3，還可以舉出兩實(shí)根均小于-1的反例.若不等式組（*）與圖3中的（1）等價，需加上條件-3<k<1.因此，數(shù)形轉(zhuǎn)化要注意等價性.4、注意仔細(xì)觀察圖象【例22】已知關(guān)于x、y的方程組    （a>b>0）有四組實(shí)數(shù)解，求a、b、m應(yīng)滿足的關(guān)系.  錯解：已知方程組中的兩個方程分別是橢圓和

27、拋物線的方程，原方程組有四組實(shí)數(shù)解等價于橢圓與拋物線有四個不同的公共點(diǎn).由圖4知，m<-b，且<a，即-a2<m<-b.    【評析】 觀察圖象過于草率！事實(shí)上，圖5也是一種可能的情形，即當(dāng)=a時，仍有可能為四組解.例如當(dāng)a=2，b=1，m=-4時，可得解集為：（，），（，），（，），（）.  現(xiàn)用數(shù)形結(jié)合求解：  考慮一元二次方程  a2y2+b2y-（m+a2）b2=0，  令=0（即相切情形），  解得m=-，  結(jié)合圖象，    注意到m<-b，則a、b、

28、m應(yīng)滿足的關(guān)系是-<m<-b.  從以上看出，有些問題可以用圖象解決，但要認(rèn)真分析，有些問題很難由圖象直觀而得，值得注意.5. 數(shù)形結(jié)合也有簡繁之分     數(shù)形結(jié)合的核心與靈魂是“結(jié)合”.解題時，由于觀察與聯(lián)想的視角不同，會出現(xiàn)不同的“結(jié)合”，“結(jié)合”得好就得到好的解題方法，“結(jié)合”得不好就使解題過程繁瑣且易出錯，“結(jié)合”的優(yōu)劣反映出了我們的基礎(chǔ)與能力，也反映出我們思維靈活性與創(chuàng)造性的水平，“結(jié)合”的優(yōu)化選擇，應(yīng)是數(shù)形結(jié)合法研究的重要一環(huán).為便于說明，我們先看幾例：【例23】已知方程mx=x+m有兩個相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.  視角一

29、：視方程mx=x+m兩邊的代數(shù)式為兩個函數(shù)，分別畫出函數(shù)y=mx，y=x+m的圖象（如圖1），由于兩個函數(shù)中都含有m，故需進(jìn)一步對m進(jìn)行分類討論，情況復(fù)雜.圖1僅表示m>0時的示意圖.    視角二：由m0，先將原方程變形，得x-1=x，再視方程x-1=x兩邊的代數(shù)式為兩個函數(shù)，分別畫出函數(shù)y=x-1，y=x的圖象（如圖2），由圖易看出：    當(dāng)0<<1或-1<<0，即m<-1或m>1時，圖象有兩個不同交點(diǎn)，此時原方程有兩個相異實(shí)根.  視角三：用分離參數(shù)法，先將原方程化為=m.  分別作出

30、函數(shù)y=，y=m的圖象（如圖3），由圖易看出，當(dāng)m<-1，m>1時，兩函數(shù)的圖象有兩個不同交點(diǎn)，此時原方程有兩個相異實(shí)根.    視角四：用分離參數(shù)法，先將原方程化為.  當(dāng)x>0時，得1-=，當(dāng)x<0時，得-1-=.  分別作出函數(shù)y=，y=的圖象（如圖4），由圖易看出，當(dāng)0<<1或-1<<0，即當(dāng)m>1或m<-1時，兩函 數(shù)的圖象有兩個不同交點(diǎn)，此時原方程有兩個相異實(shí)根.    可見，例1的各解雖同是數(shù)形結(jié)合，但大有簡繁之分，視角二優(yōu)于視角一，視角一中兩函數(shù)中的都含有m，

31、因而他們的圖象也是變化的，雖可以通過討論而獲得結(jié)論，但討論時容易因考慮不周而產(chǎn)生漏解，視角三雖看圖直觀明了，但圖象不易作出，而視角四既比視角三作圖方便，又比視角二簡單，不用討論，這是因?yàn)橐暯嵌€有一個函數(shù)中含有m，而視角四中已不含m，所以這里以視角四為最理想. 【例24】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx且2f（1）4，1f（-1）2，求f（-2）的取值范圍.這是我們常出錯的題，其代數(shù)解法有待定系數(shù)法、特征函數(shù)法、三角代換法等，而眾所周知的數(shù)形結(jié)合法是線性規(guī)劃法.  這類問題可看作一個條件極值問題，即變量a、b在  2a+b4    &#

32、160; 1a-b2      這兩個約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)y=4a-2b的最大（小）值問題.約束條件2a+b4，1a-b2的解集是非空集，在坐標(biāo)平面上表示的區(qū)域是由直線：a+b=4，a+b=2，a-b=2，a-b=1所圍成的封閉圖形（圖5中的陰影部分）.    y的大小又可以看作直線b=2a-y在b軸上截距的大小，從圖中易知當(dāng)直線b=2a-y經(jīng)過A（，），C（3，1）時截距分別為最小f（-2）=5和最大f（-2）=10.  所以5f（-2）10.  其實(shí)還可有如下數(shù)形結(jié)合法：    要求f（-2）的取值范圍，只要確定f（-2）的最大（小）值，即找到f（x）的圖象在x=-2時的最高點(diǎn)F與最低點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，為此只要確定f（x）經(jīng)過E、F時的函數(shù)表達(dá)式，由于f（x）=ax2+bx是經(jīng)過原點(diǎn)（c=0）的拋物線系，所以只要再有兩點(diǎn)就可確定，由已知2f（1）4，1f（-1）2，知f（x）在x=1時的最高點(diǎn)B（1，4），最低點(diǎn)A（1，2），f（x）在x=-1時的最高點(diǎn)D（-1，2），最低點(diǎn)C（-1，1），（如圖6），由拋物線的圖象特征易知經(jīng)過F點(diǎn)的圖象就是經(jīng)過O、B、D的圖象C2，經(jīng)過E點(diǎn)的圖象就是經(jīng)過O、A、C的圖象