相遇與追及問題

1、相遇與追及Page 6 of 11知識框架一、相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇， 實質(zhì)上是甲和乙一起走了 A B之間這段路程，如果兩人同時出發(fā)，那么甲乙甲乙虛，目齊B0時刻準備出發(fā)時|聃后相遇相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇時間+乙的速度X相遇時間=（甲的速度+乙的速度）X相遇時間 =速度和X相遇時間般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和X相遇時間=路程和，即S和 =7和t、追及有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他 .這就產(chǎn)生了 “追及問題” 實質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是

2、 要計算兩人走的路程之差（追及路程）如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內(nèi)：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及時間-乙的速度X追及時間=（甲的速度-乙的速度）X追及時間=速度差X追及時間一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關(guān)系：追及路程=速度差X追及時間，即 S差"差t例如：假設甲乙兩人站在 100米的跑道上，甲位于起點 （0米）處，乙位于中間5米處，經(jīng)過時間t后甲乙 同時到達終點，甲乙的速度分別為 v甲和V乙，那么我們可以看到經(jīng)過時間 t后，甲比乙多跑了 5米，或者 可以說，在時間t內(nèi)甲的路程比乙的路程多 5米，甲用了時間t追了乙5米I甲甲乙乙0米予米1如米10

3、0三、相遇和追及在研究追及和相遇問題時，一般都隱含以下兩種條件：（1）在整個被研究的運動過程中，2個物體所運行的時間相同（2）在整個運行過程中，2個物體所走的是同一路徑。例題精講【例1】一輛客車與一輛貨車同時從甲、乙兩個城市相對開出，客車每小時行46千米，貨車每小時行 48千米。3.5小時兩車相遇。甲、乙兩個城市的路程是多少千米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 本題是簡單的相遇問題，根據(jù)相遇路程等于速度和乘以相遇時間得到甲乙兩地路程為：（46+48）X 3.5=94 X 3.5=329 （千米）.【答案】329千米【鞏固】 聰聰和明明同時從各自的家相對出發(fā)，明明每分鐘走20米，聰

4、聰騎著腳踏車每分鐘比明明快42米，經(jīng)過20分鐘后兩人相遇，你知道聰聰家和明明家的距離嗎？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 方法一：由題意知聰聰?shù)乃俣仁牵?0 42 62 （米/分），兩家的距離明明走過的路程聰聰走過的路程 20 2062 20 400 12401640（米），請教師畫圖幫助學生理解分析.聰聰20分鐘后相遇明明注意利用乘法分配律的反向應用就可以得到公式:S和V和t .對于剛剛學習奧數(shù)的孩子,注意引導他們認識、理解及應用公式.方法二：直接利用公式：S和v和t （20 62） 20 1640（米）.【答案】1640 米【例2】A、B兩地相距90米，包子從A地到B地需要30

5、秒，菠蘿從B地到A地需要15秒，現(xiàn)在包子和 菠蘿從A、B兩地同時相對而行，相遇時包子與B地的距離是多少米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 包子的速度：90 30 3 （米/秒），菠蘿的速度：90 15 6 （米/秒），相遇的時間：90 （3 6） 10 （秒），包子距 B地的距離：90 3 10 60（米）.【答案】包子距B地的距離是60米【鞏固】 兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行45千米，乙車每小時行40千米。甲、乙兩車相遇時，各行了多少千米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 根據(jù)相遇公式知道相遇時間是：255-（ 45+40） =

6、255- 85=3 （小時），所以甲走的路程為：45X3=135 （千米），乙走的路程為：40X 3=120 （千米）【答案】甲走的路程為135千米，乙走的路程為 120千米【例3】孫悟空在花果山，豬八戒在高老莊，花果山和高老莊中間有條流沙河，一天，他們約好在流沙河見面，孫悟空的速度是 200千米/小時豬八戒的速度是150千米/小時，他們同時出發(fā) 2小時后還相距500千米，則花果山和高老莊之間的距離是多少千米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 注意：“還相距”與“相距”的區(qū)別建議教師畫線段圖可以先求出2小時孫悟空和豬八戒走的路程：（200 150） 2 700 （千米），又因為還差

7、 500米，所以花果山和高老莊之間的距離： 7005001200（千米）.【答案】1200千米【鞏固】 乙兩輛汽車從A、B兩地同時相向開出，出發(fā)后2小時，兩車相距141公里；出發(fā)后5小時，兩車相遇。A、B兩地相距 公里。【考點】行程問題【難度】【題型】填空【解析】5-2=3小時，兩車合走141千米，速度和=141 - 3=47千米/小時，故AB相距47 X 5=235千米。公式“相遇時間路程和 速度和”中，對于速度不變的兩車，“相遇時間”與“路程和”是一一對應的.如圖所示5小時5小時2小時V >2小時 4*1415小時的相遇時間與 A、B兩地的距離相對應，（5 2）小時的相遇時間與141

8、千米相對應.兩車的速度之和是：141 （5 2） 47 （千米/時）.A、B兩地相距：47 5 235（千米）【答案】A、B兩地間相距235千米【例4】甲、乙兩輛汽車分別從 A、B兩地出發(fā)相對而行，甲車先行 1小時，甲車每小時行 48千米，乙車 每小時行50千米，5小時相遇，求 A、B兩地間的距離.【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 這題不同的是兩車不“同時” （法1）求A、B兩地間的路程就是求甲、乙兩車所行的路程和這樣可以充分別求出甲車、乙車所行的路程，再把兩部分合起來.48 （1 5） 288 （千米），50 5 250 （千米），288250538 （千米）.（法2 ）還可以先

9、求出甲、乙兩車5小時所行的路程和，再加上甲車1小時所行的路程.（4850） 5 490 （千米），490 48538 （千米）.【答案】538千米【鞏固】媽媽從家出發(fā)到學校去接小紅，媽媽每分鐘走75米.媽媽走了 3分鐘后，小紅從學校出發(fā)，小紅每分鐘走60米.再經(jīng)過20分鐘媽媽和小紅相遇.從小紅家到學校有多少米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】媽媽先走了 3分鐘，就是先走了 75 3225 （米）.20分鐘后媽媽和小紅相遇，也就是說媽媽和小紅共同走了 20分鐘，這一段的路程為：（75 60）© 20 ©2700 （米），這樣媽媽先走的那一段路程，加上后來媽媽和小紅

10、走的這一段路程，就是小紅家到學校的距離.即（75 3） （7560） 202925 （米）.【答案】2925 米【例5】乙兩列火車從相距 770千米的兩地相向而行，甲車每小時行45千米，乙車每小時行 41千米，乙車先出發(fā)2小時后，甲車才出發(fā).甲車行幾小時后與乙車相遇？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】甲、乙兩車出發(fā)時間有先有后，乙車先出發(fā)2小時，這段時間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時所行的路程不是甲、 乙兩車同時相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時相對而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時相對而行的時間乙車先行駛路程：41 2 82 （千米），甲、乙兩車同時相對而行路程：

11、770 82 688 （千米），甲、乙兩車速度和：45 41 86（千米/時），甲車行的時間：688 86 8（小時）.【答案】8小時【鞏固】甲、乙兩列火車從相距144千米的兩地相向而行，甲車每小時行28千米，乙車每小時行 22千米，乙車先出發(fā)2小時后，甲車才出發(fā)甲車行幾小時后與乙車相遇？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】甲、乙兩車出發(fā)時間有先有后，乙車先出發(fā)2小時，這段時間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時所行的路程不是甲、 乙兩車同時相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時相對而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時相對而行的時間乙車先行駛路程：22 2 44（千米），甲、乙兩

12、車同時相對而行路：144 44 100（千米），甲、乙兩車速度和：28 22 50（千米），與乙車 相遇時甲車行的時間為：100 50 2（小時）.【答案】2小時【例6】甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10千米后乙才開始出發(fā)，甲每小時行駛15千米，乙每小時行駛10千米，問：乙經(jīng)過多長時間能追上甲？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 出發(fā)時甲、乙二人相距 10千米，以后兩人的距離每小時都縮短15-10 = 5 （千米），即兩人的速度的差（簡稱速度差），所以10千米里有幾個5千米就是幾小時能追上.10 *（ 15-10 ） = 10* 5= 2 （小時），還需要2個小時?！敬鸢浮?個小

13、時【鞏固】一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、乙兩地出發(fā)，向同一個方向前進， 摩托車在前，每小時行28千米，汽車在后，每小時行 65千米，經(jīng)過4小時汽車追上摩托車，甲乙兩地相距多少千米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 方法一：根據(jù)題意，畫出線段示意圖：汽車（65千米/小時）x、時）I I甲地乙地追及地點從圖中可知，甲、乙兩地間的距離就是汽車與摩托車所行的路程差先求出汽車追上摩托車時，兩車分別行駛的路程，再求出兩地的路程，即 65 4 28 4 260 112 148（千米）方法二：先求 出汽車每小時比摩托車多行駛的路程（速度差），再求出兩地相距的路程，即： （65 28） 437 41

14、48（千米）【答案】148千米【例7】下午放學時，弟弟以每分鐘40米的速度步行回家.5分鐘后，哥哥以每分鐘60米的速度也從學校 步行回家，哥哥出發(fā)后，經(jīng)過幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學校到家有足夠遠，即哥哥追上弟 弟時，仍沒有回到家）【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 若經(jīng)過5分鐘，弟弟已到了 A地，此時弟弟已走了 40X 5=200 （米）；哥哥每分鐘比弟弟多走 20 米，幾分鐘可以追上這 200米呢？ 40X 5*（ 60-40 ） =200* 20=10 （分鐘），哥哥10分鐘可以追 上弟弟【答案】10分鐘【鞏固】 解放軍某部先遣隊，從營地出發(fā)，以每小時6千米的速度向某地前進，

15、12小時后，部隊有急事,Page 5 of 11派通訊員騎摩托車以每小時 78 千米的速度前去聯(lián)絡，問多少時間后，通訊員能趕上先遣隊？考點】行程問題題型】解答Page 15 of 11解析】 6 12 78 6 1（ 小時）答案】 1小時例 8 】 一輛慢車從甲地開往乙地，每小時行 40 千米，開出 5 小時后，一輛快車以每小時 90 千米的速度 也從甲地開往乙地在甲乙兩地的中點處快車追上慢車，甲乙兩地相距多少千米？考點】行程問題【難度】【題型】解答解析】慢車先行的路程是：405 200（ 千米 ） ，快車每小時追上慢車的千米數(shù)是：90 40 50 （千米 ），追及的時間是： 200504（

16、小時），快車行至中點所行的路程是：90 4360 （千米 ），甲乙兩地間的路程是： 3602720 （ 千米）答案】720 千米鞏固】 甲地和乙地相距 40 千米，平平和兵兵由甲地騎車去乙地， 平平每小時行 14千米，兵兵每小時行 17 千米，當平平走了 6 千米后，兵兵才出發(fā)，當兵兵追上平平時，距乙地還有多少千米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答解析】 平平走了 6千米后，兵兵才出發(fā)，這 6 千米就是平平和兵兵相距的路程由于兵兵每小時比平平多走 17 14 3（ 千米 ） ，要求兵兵幾小時可以追上 6千米，也就是求 6千米里包含著幾個 3千米， 用 6 3 2（ 小時 ） 因為甲地和乙地

17、相距 40千米，兵兵每小時行 17千米，2小時走了 17 2 34（ 千 米） ，所以兵兵追上平平時，距乙地還有40 34 6（ 千米）答案】 6 千米例 9 】 王芳和李華放學后，一起步行去體校參加排球訓練，王芳每分鐘走110 米，李華每分鐘走 70 米，出發(fā) 5 分鐘后，王芳返回學校取運動服，在學校又耽誤了2分鐘，然后追趕李華求多少分鐘后追上李華？【考點】行程問題【難度】【題型】解答解析】 已知二人出發(fā) 5 分鐘后，王芳返回學校取運動服，這樣用去了5分鐘，在學校又耽誤了 2分鐘，王芳一共耽誤了 5 2 2 12（ 分鐘） 李華在這段時間比王芳多走： 70 12 840（ 米），速度差為：

18、110 70 40（米/ 秒） ，王芳追上李華的時間是： 840 40 21（分鐘 ）答案】 21分鐘【鞏固】甲、乙兩車同時從 A地向B地開出，甲每小時行 38千米，乙每小時行 34千米，開出1小時后， 甲車因有緊急任務返回 A地；到達A地后又立即向B地開出追乙車，當甲車追上乙車時，兩車正 好都到達B地，求A、B兩地的路程.【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】根據(jù)題意畫出線段圖：廠1乙'<_J?千米乙2小時行B從圖中可以看出，當甲開始追乙的時候兩車的路程差正好是乙車已經(jīng)行駛的2小時的路程，那么根據(jù)追及路程和速度差可以求出追及時間，而追及時間正好是甲車從 A地到B地所用的時

19、間，由此可以求出A、B兩地的路程,追及路程為：34 2 68（千米）,追及時間為：68 （38 34）17 （小時）,A、B兩地的路程為：38 17 646（千米）.【答案】646千米【例10】小聰和小明從學校到相距 2400米的電影院去看電影小聰每分鐘行60米，他出發(fā)后10分鐘小明才出發(fā)，結(jié)果倆人同時到達影院，小明每分鐘行多少米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 要求小明每分鐘走多少米，就要先求小明所走的路程（已知）和小明所用的時間；要求小明所用的時間，就要先求小聰所用的時間，小聰所用的時間是：2400 60 40 （分鐘），小明所用的時間是：40 10 30（分鐘），小明每分鐘

20、走的米數(shù)是：2400 30 80（米）.【答案】80米【鞏固】 六年級同學從學校出發(fā)到公園春游，每分鐘走72米，15分鐘以后，學校有急事要通知學生，派李老師騎自行車從學校出發(fā)9分鐘追上同學們，李老師每分鐘要行多少米才可以準時追上同學們？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】同學們15分鐘走72 15 1080 （米），即路程差然后根據(jù)速度差=路程差十追及時間，可以求出李老師和同學們的速度差，又知道同學們的速度是每分鐘72米，就可以得出李老師的速度.即1080 972192 （米）.【答案】192米課堂檢測【隨練1】練習1大頭兒子的家距離學校3000米，小頭爸爸從家去學校接大頭兒子放學，大

21、頭兒子從學?；丶遥麄兺瑫r出發(fā)，小頭爸爸每分鐘比大頭兒子多走24米，50分鐘后兩人相遇，那么大頭兒子的速度是每分鐘走多少米？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 大頭兒子和小頭爸爸的速度和：3000 50 60 （米/分鐘），小頭爸爸的速度：（60 24） 2 42（米/分鐘），大頭兒子的速度：60 42 18（米/分鐘）【答案】大頭兒子的速度為18米/分鐘【隨練2】練習2甲乙兩座城市相距 530千米，貨車和客車從兩城同時出發(fā)，相向而行.貨車每小時行50千米，客車每小時行70千米.客車在行駛中因故耽誤 1小時，然后繼續(xù)向前行駛與貨車相遇.問相遇時客車、貨車各行駛多少千米？【考點】行程問

22、題【難度】【題型】解答【解析】 因為客車在行駛中耽誤1小時，而貨車沒有停止繼續(xù)前行，也就是說，貨車比客車多走 1小時.如果從總路程中把貨車單獨行駛1小時的路程減去，然后根據(jù)余下的就是客車和貨車共同走過的.再求出貨車和客車每小時所走的速度和，就可以求出相遇時間然后根據(jù)路程=速度X時間，可以 分別求出客車和貨車在相遇時各自行駛的路程.相遇時間：（530 50） （50 70） 480 120 4 （小時）相遇時客車行駛的路程：70 4280（千米）相遇時貨車行駛的路程：50 （41）250 （千米）.【答案】250千米【隨練3】小明步行上學，每分鐘行70米離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的明具盒忘在家

23、中，爸爸帶著明具盒，立即騎自行車以每分鐘 280米的速度去追小明問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？當爸 爸追上小明時他們離家多遠？【考點】行程問題【題型】解答【解析】小明12分鐘走的路程人70米 /分A1=200米 / 分當爸爸開始追小明時，小明已經(jīng)離家：70 12 840（米），即爸爸要追及的路程為 840米,也就是爸爸與小明的距離是 840米，我們把這個距離叫做“路程差”，爸爸出發(fā)后，兩人同時走，每過1分，他們之間的距離就縮短280 70 210（米），也就是爸爸與小明的速度差為280 70 210（米/分）,爸爸追及的時間：840 2104（分鐘）當爸爸追上小明時，小明已經(jīng)出發(fā)12 416（分

24、鐘），此時離家的距離是：70 161120（米）【答案】1120米【隨練4】小明以每分鐘50米的速度從學校步行回家，12分鐘后小強從學校出發(fā)騎自行車去追小明，結(jié)果在距學校1000米處追上小明，求小強騎自行車的速度【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】小強出發(fā)的時候小明走了 50 12 600 （米），被小強追上時小明又走了：（1000 600） 50 8 （分鐘），說明小強8分鐘走了 1000米，所以小強的速度為：1000 8 125 （米/分鐘）.【答案】125米/分鐘作業(yè)檢測【作業(yè)1】作業(yè)1甲、乙兩車分別從相距 360千米的A、B兩城同時出發(fā)，相對而行，已知甲車到達 B城 需4小時，

25、乙車到達 A城需12小時，問：兩車出發(fā)后多長時間相遇？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】要求兩車的相遇時間，則必須知道它們各自的速度，甲車的速度是360 4 90 （千米/時），乙車的速度是360 1230 （千米/時），則相遇時間是360 （90 30）3 （小時）.【答案】相遇時間是 3小時【作業(yè)2】甲、乙二人分別從東、西兩鎮(zhèn)同時出發(fā)相向而行出發(fā)2小時后，兩人相距54千米；出發(fā)5小時后，兩人還相距 27千米問出發(fā)多少小時后兩人相遇？【考點】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 根據(jù)2小時后相距54千米，5小時后相距27千米，可以求出甲、乙二人3小時行的路程和為（54 27）0千米，即可求出兩人的速度和：（54 27） （5 2） 9 （千米），根據(jù)相遇問題的解題規(guī)律；相隔距離十速度和 =相遇時間，可以求出行 27千米需要：5 279 5 38 （小時）.【答案】8小時37千米，乙列火車