相遇與追及問題

1、相遇與追及Page 6 of 11知識(shí)框架一、相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇， 實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了 A B之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么甲乙甲乙虛，目齊B0時(shí)刻準(zhǔn)備出發(fā)時(shí)|聃后相遇相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇時(shí)間+乙的速度X相遇時(shí)間=（甲的速度+乙的速度）X相遇時(shí)間 =速度和X相遇時(shí)間般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和X相遇時(shí)間=路程和，即S和 =7和t、追及有兩個(gè)人同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他 .這就產(chǎn)生了 “追及問題” 實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是

2、 要計(jì)算兩人走的路程之差（追及路程）如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及時(shí)間-乙的速度X追及時(shí)間=（甲的速度-乙的速度）X追及時(shí)間=速度差X追及時(shí)間一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關(guān)系：追及路程=速度差X追及時(shí)間，即 S差"差t例如：假設(shè)甲乙兩人站在 100米的跑道上，甲位于起點(diǎn) （0米）處，乙位于中間5米處，經(jīng)過時(shí)間t后甲乙 同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，甲乙的速度分別為 v甲和V乙，那么我們可以看到經(jīng)過時(shí)間 t后，甲比乙多跑了 5米，或者 可以說，在時(shí)間t內(nèi)甲的路程比乙的路程多 5米，甲用了時(shí)間t追了乙5米I甲甲乙乙0米予米1如米10

3、0三、相遇和追及在研究追及和相遇問題時(shí)，一般都隱含以下兩種條件：（1）在整個(gè)被研究的運(yùn)動(dòng)過程中，2個(gè)物體所運(yùn)行的時(shí)間相同（2）在整個(gè)運(yùn)行過程中，2個(gè)物體所走的是同一路徑。例題精講【例1】一輛客車與一輛貨車同時(shí)從甲、乙兩個(gè)城市相對(duì)開出，客車每小時(shí)行46千米，貨車每小時(shí)行 48千米。3.5小時(shí)兩車相遇。甲、乙兩個(gè)城市的路程是多少千米？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 本題是簡(jiǎn)單的相遇問題，根據(jù)相遇路程等于速度和乘以相遇時(shí)間得到甲乙兩地路程為：（46+48）X 3.5=94 X 3.5=329 （千米）.【答案】329千米【鞏固】 聰聰和明明同時(shí)從各自的家相對(duì)出發(fā)，明明每分鐘走20米，聰

4、聰騎著腳踏車每分鐘比明明快42米，經(jīng)過20分鐘后兩人相遇，你知道聰聰家和明明家的距離嗎？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 方法一：由題意知聰聰?shù)乃俣仁牵?0 42 62 （米/分），兩家的距離明明走過的路程聰聰走過的路程 20 2062 20 400 12401640（米），請(qǐng)教師畫圖幫助學(xué)生理解分析.聰聰20分鐘后相遇明明注意利用乘法分配律的反向應(yīng)用就可以得到公式:S和V和t .對(duì)于剛剛學(xué)習(xí)奧數(shù)的孩子,注意引導(dǎo)他們認(rèn)識(shí)、理解及應(yīng)用公式.方法二：直接利用公式：S和v和t （20 62） 20 1640（米）.【答案】1640 米【例2】A、B兩地相距90米，包子從A地到B地需要30

5、秒，菠蘿從B地到A地需要15秒，現(xiàn)在包子和 菠蘿從A、B兩地同時(shí)相對(duì)而行，相遇時(shí)包子與B地的距離是多少米？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 包子的速度：90 30 3 （米/秒），菠蘿的速度：90 15 6 （米/秒），相遇的時(shí)間：90 （3 6） 10 （秒），包子距 B地的距離：90 3 10 60（米）.【答案】包子距B地的距離是60米【鞏固】 兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行40千米。甲、乙兩車相遇時(shí)，各行了多少千米？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 根據(jù)相遇公式知道相遇時(shí)間是：255-（ 45+40） =

6、255- 85=3 （小時(shí)），所以甲走的路程為：45X3=135 （千米），乙走的路程為：40X 3=120 （千米）【答案】甲走的路程為135千米，乙走的路程為 120千米【例3】孫悟空在花果山，豬八戒在高老莊，花果山和高老莊中間有條流沙河，一天，他們約好在流沙河見面，孫悟空的速度是 200千米/小時(shí)豬八戒的速度是150千米/小時(shí)，他們同時(shí)出發(fā) 2小時(shí)后還相距500千米，則花果山和高老莊之間的距離是多少千米？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 注意：“還相距”與“相距”的區(qū)別建議教師畫線段圖可以先求出2小時(shí)孫悟空和豬八戒走的路程：（200 150） 2 700 （千米），又因?yàn)檫€差

7、 500米，所以花果山和高老莊之間的距離： 7005001200（千米）.【答案】1200千米【鞏固】 乙兩輛汽車從A、B兩地同時(shí)相向開出，出發(fā)后2小時(shí)，兩車相距141公里；出發(fā)后5小時(shí)，兩車相遇。A、B兩地相距 公里。【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】填空【解析】5-2=3小時(shí)，兩車合走141千米，速度和=141 - 3=47千米/小時(shí)，故AB相距47 X 5=235千米。公式“相遇時(shí)間路程和 速度和”中，對(duì)于速度不變的兩車，“相遇時(shí)間”與“路程和”是一一對(duì)應(yīng)的.如圖所示5小時(shí)5小時(shí)2小時(shí)V >2小時(shí) 4*1415小時(shí)的相遇時(shí)間與 A、B兩地的距離相對(duì)應(yīng)，（5 2）小時(shí)的相遇時(shí)間與141

8、千米相對(duì)應(yīng).兩車的速度之和是：141 （5 2） 47 （千米/時(shí)）.A、B兩地相距：47 5 235（千米）【答案】A、B兩地間相距235千米【例4】甲、乙兩輛汽車分別從 A、B兩地出發(fā)相對(duì)而行，甲車先行 1小時(shí)，甲車每小時(shí)行 48千米，乙車 每小時(shí)行50千米，5小時(shí)相遇，求 A、B兩地間的距離.【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 這題不同的是兩車不“同時(shí)” （法1）求A、B兩地間的路程就是求甲、乙兩車所行的路程和這樣可以充分別求出甲車、乙車所行的路程，再把兩部分合起來.48 （1 5） 288 （千米），50 5 250 （千米），288250538 （千米）.（法2 ）還可以先

9、求出甲、乙兩車5小時(shí)所行的路程和，再加上甲車1小時(shí)所行的路程.（4850） 5 490 （千米），490 48538 （千米）.【答案】538千米【鞏固】媽媽從家出發(fā)到學(xué)校去接小紅，媽媽每分鐘走75米.媽媽走了 3分鐘后，小紅從學(xué)校出發(fā)，小紅每分鐘走60米.再經(jīng)過20分鐘媽媽和小紅相遇.從小紅家到學(xué)校有多少米？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】媽媽先走了 3分鐘，就是先走了 75 3225 （米）.20分鐘后媽媽和小紅相遇，也就是說媽媽和小紅共同走了 20分鐘，這一段的路程為：（75 60）© 20 ©2700 （米），這樣?jì)寢屜茸叩哪且欢温烦蹋由虾髞韹寢尯托〖t

10、走的這一段路程，就是小紅家到學(xué)校的距離.即（75 3） （7560） 202925 （米）.【答案】2925 米【例5】乙兩列火車從相距 770千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行 41千米，乙車先出發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā).甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】甲、乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā)2小時(shí)，這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時(shí)所行的路程不是甲、 乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的時(shí)間乙車先行駛路程：41 2 82 （千米），甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行路程：

11、770 82 688 （千米），甲、乙兩車速度和：45 41 86（千米/時(shí)），甲車行的時(shí)間：688 86 8（小時(shí)）.【答案】8小時(shí)【鞏固】甲、乙兩列火車從相距144千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行28千米，乙車每小時(shí)行 22千米，乙車先出發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā)甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】甲、乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā)2小時(shí)，這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時(shí)所行的路程不是甲、 乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的時(shí)間乙車先行駛路程：22 2 44（千米），甲、乙兩

12、車同時(shí)相對(duì)而行路：144 44 100（千米），甲、乙兩車速度和：28 22 50（千米），與乙車 相遇時(shí)甲車行的時(shí)間為：100 50 2（小時(shí)）.【答案】2小時(shí)【例6】甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10千米后乙才開始出發(fā)，甲每小時(shí)行駛15千米，乙每小時(shí)行駛10千米，問：乙經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間能追上甲？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距 10千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短15-10 = 5 （千米），即兩人的速度的差（簡(jiǎn)稱速度差），所以10千米里有幾個(gè)5千米就是幾小時(shí)能追上.10 *（ 15-10 ） = 10* 5= 2 （小時(shí)），還需要2個(gè)小時(shí)?！敬鸢浮?個(gè)小

13、時(shí)【鞏固】一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)，向同一個(gè)方向前進(jìn)， 摩托車在前，每小時(shí)行28千米，汽車在后，每小時(shí)行 65千米，經(jīng)過4小時(shí)汽車追上摩托車，甲乙兩地相距多少千米？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 方法一：根據(jù)題意，畫出線段示意圖：汽車（65千米/小時(shí)）x、時(shí)）I I甲地乙地追及地點(diǎn)從圖中可知，甲、乙兩地間的距離就是汽車與摩托車所行的路程差先求出汽車追上摩托車時(shí)，兩車分別行駛的路程，再求出兩地的路程，即 65 4 28 4 260 112 148（千米）方法二：先求 出汽車每小時(shí)比摩托車多行駛的路程（速度差），再求出兩地相距的路程，即： （65 28） 437 41

14、48（千米）【答案】148千米【例7】下午放學(xué)時(shí)，弟弟以每分鐘40米的速度步行回家.5分鐘后，哥哥以每分鐘60米的速度也從學(xué)校 步行回家，哥哥出發(fā)后，經(jīng)過幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學(xué)校到家有足夠遠(yuǎn)，即哥哥追上弟 弟時(shí)，仍沒有回到家）【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 若經(jīng)過5分鐘，弟弟已到了 A地，此時(shí)弟弟已走了 40X 5=200 （米）；哥哥每分鐘比弟弟多走 20 米，幾分鐘可以追上這 200米呢？ 40X 5*（ 60-40 ） =200* 20=10 （分鐘），哥哥10分鐘可以追 上弟弟【答案】10分鐘【鞏固】 解放軍某部先遣隊(duì)，從營(yíng)地出發(fā)，以每小時(shí)6千米的速度向某地前進(jìn)，

15、12小時(shí)后，部隊(duì)有急事,Page 5 of 11派通訊員騎摩托車以每小時(shí) 78 千米的速度前去聯(lián)絡(luò)，問多少時(shí)間后，通訊員能趕上先遣隊(duì)？考點(diǎn)】行程問題題型】解答Page 15 of 11解析】 6 12 78 6 1（ 小時(shí)）答案】 1小時(shí)例 8 】 一輛慢車從甲地開往乙地，每小時(shí)行 40 千米，開出 5 小時(shí)后，一輛快車以每小時(shí) 90 千米的速度 也從甲地開往乙地在甲乙兩地的中點(diǎn)處快車追上慢車，甲乙兩地相距多少千米？考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答解析】慢車先行的路程是：405 200（ 千米 ） ，快車每小時(shí)追上慢車的千米數(shù)是：90 40 50 （千米 ），追及的時(shí)間是： 200504（

16、小時(shí)），快車行至中點(diǎn)所行的路程是：90 4360 （千米 ），甲乙兩地間的路程是： 3602720 （ 千米）答案】720 千米鞏固】 甲地和乙地相距 40 千米，平平和兵兵由甲地騎車去乙地， 平平每小時(shí)行 14千米，兵兵每小時(shí)行 17 千米，當(dāng)平平走了 6 千米后，兵兵才出發(fā)，當(dāng)兵兵追上平平時(shí)，距乙地還有多少千米？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答解析】 平平走了 6千米后，兵兵才出發(fā)，這 6 千米就是平平和兵兵相距的路程由于兵兵每小時(shí)比平平多走 17 14 3（ 千米 ） ，要求兵兵幾小時(shí)可以追上 6千米，也就是求 6千米里包含著幾個(gè) 3千米， 用 6 3 2（ 小時(shí) ） 因?yàn)榧椎睾鸵业?/p>

17、相距 40千米，兵兵每小時(shí)行 17千米，2小時(shí)走了 17 2 34（ 千 米） ，所以兵兵追上平平時(shí)，距乙地還有40 34 6（ 千米）答案】 6 千米例 9 】 王芳和李華放學(xué)后，一起步行去體校參加排球訓(xùn)練，王芳每分鐘走110 米，李華每分鐘走 70 米，出發(fā) 5 分鐘后，王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服，在學(xué)校又耽誤了2分鐘，然后追趕李華求多少分鐘后追上李華？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答解析】 已知二人出發(fā) 5 分鐘后，王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服，這樣用去了5分鐘，在學(xué)校又耽誤了 2分鐘，王芳一共耽誤了 5 2 2 12（ 分鐘） 李華在這段時(shí)間比王芳多走： 70 12 840（ 米），速度差為：

18、110 70 40（米/ 秒） ，王芳追上李華的時(shí)間是： 840 40 21（分鐘 ）答案】 21分鐘【鞏固】甲、乙兩車同時(shí)從 A地向B地開出，甲每小時(shí)行 38千米，乙每小時(shí)行 34千米，開出1小時(shí)后， 甲車因有緊急任務(wù)返回 A地；到達(dá)A地后又立即向B地開出追乙車，當(dāng)甲車追上乙車時(shí)，兩車正 好都到達(dá)B地，求A、B兩地的路程.【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】根據(jù)題意畫出線段圖：廠1乙'<_J?千米乙2小時(shí)行B從圖中可以看出，當(dāng)甲開始追乙的時(shí)候兩車的路程差正好是乙車已經(jīng)行駛的2小時(shí)的路程，那么根據(jù)追及路程和速度差可以求出追及時(shí)間，而追及時(shí)間正好是甲車從 A地到B地所用的時(shí)

19、間，由此可以求出A、B兩地的路程,追及路程為：34 2 68（千米）,追及時(shí)間為：68 （38 34）17 （小時(shí)）,A、B兩地的路程為：38 17 646（千米）.【答案】646千米【例10】小聰和小明從學(xué)校到相距 2400米的電影院去看電影小聰每分鐘行60米，他出發(fā)后10分鐘小明才出發(fā)，結(jié)果倆人同時(shí)到達(dá)影院，小明每分鐘行多少米？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 要求小明每分鐘走多少米，就要先求小明所走的路程（已知）和小明所用的時(shí)間；要求小明所用的時(shí)間，就要先求小聰所用的時(shí)間，小聰所用的時(shí)間是：2400 60 40 （分鐘），小明所用的時(shí)間是：40 10 30（分鐘），小明每分鐘

20、走的米數(shù)是：2400 30 80（米）.【答案】80米【鞏固】 六年級(jí)同學(xué)從學(xué)校出發(fā)到公園春游，每分鐘走72米，15分鐘以后，學(xué)校有急事要通知學(xué)生，派李老師騎自行車從學(xué)校出發(fā)9分鐘追上同學(xué)們，李老師每分鐘要行多少米才可以準(zhǔn)時(shí)追上同學(xué)們？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】同學(xué)們15分鐘走72 15 1080 （米），即路程差然后根據(jù)速度差=路程差十追及時(shí)間，可以求出李老師和同學(xué)們的速度差，又知道同學(xué)們的速度是每分鐘72米，就可以得出李老師的速度.即1080 972192 （米）.【答案】192米課堂檢測(cè)【隨練1】練習(xí)1大頭兒子的家距離學(xué)校3000米，小頭爸爸從家去學(xué)校接大頭兒子放學(xué)，大

21、頭兒子從學(xué)?；丶?，他們同時(shí)出發(fā)，小頭爸爸每分鐘比大頭兒子多走24米，50分鐘后兩人相遇，那么大頭兒子的速度是每分鐘走多少米？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 大頭兒子和小頭爸爸的速度和：3000 50 60 （米/分鐘），小頭爸爸的速度：（60 24） 2 42（米/分鐘），大頭兒子的速度：60 42 18（米/分鐘）【答案】大頭兒子的速度為18米/分鐘【隨練2】練習(xí)2甲乙兩座城市相距 530千米，貨車和客車從兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行.貨車每小時(shí)行50千米，客車每小時(shí)行70千米.客車在行駛中因故耽誤 1小時(shí)，然后繼續(xù)向前行駛與貨車相遇.問相遇時(shí)客車、貨車各行駛多少千米？【考點(diǎn)】行程問

22、題【難度】【題型】解答【解析】 因?yàn)榭蛙囋谛旭傊械⒄`1小時(shí)，而貨車沒有停止繼續(xù)前行，也就是說，貨車比客車多走 1小時(shí).如果從總路程中把貨車單獨(dú)行駛1小時(shí)的路程減去，然后根據(jù)余下的就是客車和貨車共同走過的.再求出貨車和客車每小時(shí)所走的速度和，就可以求出相遇時(shí)間然后根據(jù)路程=速度X時(shí)間，可以 分別求出客車和貨車在相遇時(shí)各自行駛的路程.相遇時(shí)間：（530 50） （50 70） 480 120 4 （小時(shí)）相遇時(shí)客車行駛的路程：70 4280（千米）相遇時(shí)貨車行駛的路程：50 （41）250 （千米）.【答案】250千米【隨練3】小明步行上學(xué)，每分鐘行70米離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的明具盒忘在家

23、中，爸爸帶著明具盒，立即騎自行車以每分鐘 280米的速度去追小明問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？當(dāng)爸 爸追上小明時(shí)他們離家多遠(yuǎn)？【考點(diǎn)】行程問題【題型】解答【解析】小明12分鐘走的路程人70米 /分A1=200米 / 分當(dāng)爸爸開始追小明時(shí)，小明已經(jīng)離家：70 12 840（米），即爸爸要追及的路程為 840米,也就是爸爸與小明的距離是 840米，我們把這個(gè)距離叫做“路程差”，爸爸出發(fā)后，兩人同時(shí)走，每過1分，他們之間的距離就縮短280 70 210（米），也就是爸爸與小明的速度差為280 70 210（米/分）,爸爸追及的時(shí)間：840 2104（分鐘）當(dāng)爸爸追上小明時(shí)，小明已經(jīng)出發(fā)12 416（分

24、鐘），此時(shí)離家的距離是：70 161120（米）【答案】1120米【隨練4】小明以每分鐘50米的速度從學(xué)校步行回家，12分鐘后小強(qiáng)從學(xué)校出發(fā)騎自行車去追小明，結(jié)果在距學(xué)校1000米處追上小明，求小強(qiáng)騎自行車的速度【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】小強(qiáng)出發(fā)的時(shí)候小明走了 50 12 600 （米），被小強(qiáng)追上時(shí)小明又走了：（1000 600） 50 8 （分鐘），說明小強(qiáng)8分鐘走了 1000米，所以小強(qiáng)的速度為：1000 8 125 （米/分鐘）.【答案】125米/分鐘作業(yè)檢測(cè)【作業(yè)1】作業(yè)1甲、乙兩車分別從相距 360千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，已知甲車到達(dá) B城 需4小時(shí)，

25、乙車到達(dá) A城需12小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】要求兩車的相遇時(shí)間，則必須知道它們各自的速度，甲車的速度是360 4 90 （千米/時(shí)），乙車的速度是360 1230 （千米/時(shí)），則相遇時(shí)間是360 （90 30）3 （小時(shí)）.【答案】相遇時(shí)間是 3小時(shí)【作業(yè)2】甲、乙二人分別從東、西兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相向而行出發(fā)2小時(shí)后，兩人相距54千米；出發(fā)5小時(shí)后，兩人還相距 27千米問出發(fā)多少小時(shí)后兩人相遇？【考點(diǎn)】行程問題【難度】【題型】解答【解析】 根據(jù)2小時(shí)后相距54千米，5小時(shí)后相距27千米，可以求出甲、乙二人3小時(shí)行的路程和為（54 27）0千米，即可求出兩人的速度和：（54 27） （5 2） 9 （千米），根據(jù)相遇問題的解題規(guī)律；相隔距離十速度和 =相遇時(shí)間，可以求出行 27千米需要：5 279 5 38 （小時(shí)）.【答案】8小時(shí)37千米，乙列火車