貝葉斯決策模型及實例分析12完美版

1、貝葉斯決策模型及實例分析一、貝葉斯決策的概念貝葉斯決策， 是先利用科學試驗修正自然狀態(tài)發(fā)生的概率， 在采用期望效用最大等準則 來確定最優(yōu)方案的決策方法。風險型決策是根據(jù)歷史資料或主觀判斷所確定的各種自然狀態(tài)概率(稱為先驗概率) ， 然后采用期望效用最大等準則來確定最優(yōu)決策方案。 這種決策方法具有較大的風險， 因為根 據(jù)歷史資料或主觀判斷所確定的各種自然狀態(tài)概率沒有經過試驗驗證。為了降低決策風險， 可通過科學試驗 (如市場調查、 統(tǒng)計分析等) 等方法獲得更多關于自然狀態(tài)發(fā)生概率的信息， 以進一步確定或修正自然狀態(tài)發(fā)生的概率； 然后在利用期望效用最大等準則來確定最優(yōu)決策 方案，這種先利用科學試驗修

2、正自然狀態(tài)發(fā)生的概率， 在采用期望效用最大等準則來確定最 優(yōu)方案的決策方法稱為貝葉斯決策方法。二、貝葉斯決策模型的定義貝葉斯決策應具有如下內容貝葉斯決策模型中的組成部分：。概率分布表示決策者在觀察試驗結果前對自然B發(fā)生可能的估計。這一概率稱為先驗分布。一個可能的試驗集合E，無情報試驗e0通常包括在集合 E之內。一個試驗結果Z取決于試驗e的選擇以Z0表示的結果只能是無情報試驗e0的結果。概率分布P(Z/e, B),表示在自然狀態(tài)B的條件下，進行e試驗后發(fā)生z結果的概率。這一概率分布稱為似然分布。一個可能的后果集合C,以及定義在后果集合C的效用函數(shù)u(e,Z,a,B)。每一后果c=c(e,z,a,

3、 0)取決于e,z,a和0O .故用u(c)形成一個復合函數(shù) u(e,z,a, 0)，并可 寫成 u(e,z,a, 0) o、貝葉斯決策的常用方法3.1層次分析法(AHP)在社會、經濟和科學管理領域中，人們所面臨的常常是由相互關聯(lián)，相互制約的眾多因素組成的復雜問題時，需要把所研究的問題層次化。所謂層次化就是根據(jù)所研究問題的性質 和要達到的目標，將問題分解為不同的組成因素，并按照各因素之間的相互關聯(lián)影響和隸屬關系將所有因素按若干層次聚集組合，形成一個多層次的分析結構模型。3.1.1層次分析模型最高層：表示解決問題的目的，即層次分析要達到的目標。中間層：表示為實現(xiàn)目標所涉及的因素，準則和策略等中間

4、層可分為若干子層，如準則層，約束層和策略層等。最低層：表示事項目標而供選擇的各種措施，方案和政策等。3.1.2層次分析法的基本步驟(1) 建立層次結構模型在深入分析研究的問題后，將問題中所包括的因素分為不同層次，如目標層、指標層和措施層等并畫出層次結構圖表示層次的遞階結構和相鄰兩層因素的從屬關系。(2) 構造判斷矩陣判斷矩陣元素的值表示人們對各因素關于目標的相對重要性的認識。在相鄰的兩個層次中，高層次為目標，低層次為因素。(3) 層次單排序及其一致性檢驗判斷矩陣的特征向量 W經過歸一化后即為各因素關于目標的相對重要性的排序權值。利用判斷矩陣的最大特征根，可求CI和CR值，當CR<0.1時

5、，認為層次單排序的結果有滿意的一致性；否則，需要調整判斷矩陣的各元素的取值。(4) 層次總排序計算某一層次各因素相對上一層次所有因素的相對重要性的排序權值稱為層次總排序。由于層次總排序過程是從最高層到最低層逐層進行的，而最高層是總目標， 所以，層次總排序也是計算某一層次各因素相對最高層(總目標)的相對重要性的排序權值。設上一層次A包含m個因素A1,A2,Am其層次總排序的權值分別為a1,a2,am；下一層次B包含n個因素Bj,B2,Bn,它們對于因素Aj(j=1,2,m)的層次單排序權值分別為： b1j,b2j,bnj (當Bk與Aj無聯(lián)系時，bkj=O),則B層次總排序權值可按下表計算。層次

6、總排序權值計算表層次BA1A mB層次總排序權 值a1amB1bnb1m刀 ajb1jBnbn1bnm刀 qbnj層次總排序的一致性檢驗，這一步也是從高到低逐層進行的。如果B層次若干因素對于上一層次某一因素Aj的單排序一致性檢驗指標為CIj,相應的平均隨機一致性指標為RIj,則B層總排序隨機一致性比率為類似地，當CR<0.01時，認為層次總排序結果具有滿意的一致性；否則，需要重新調整判斷矩陣的元素值。3.2 盈虧轉折分析法（又稱平均值法）該方法的關鍵在于找出盈虧平衡的狀態(tài)轉折點弭在此狀態(tài)轉折點上各行為等價（即有相同的收益和費用，各行為的優(yōu)劣一樣） 。故只能用于求解兩行為問題。下面只對收益

7、型 問題推導該算法公式。費用型問題可以依此類推。假設在第i個狀態(tài)§發(fā)生時兩行為的收益函數(shù)分別為式中，Qj>=0, Q>=0 ,其概率p>=0（i=1,2,m;j=1,2）。且設問題有解，即血>0存在。在不失一般性的情況下， 又為敘述方便， 還設 m1>m（2 否則可調換兩行為順序標號） ，則必有 b1<b2。 根據(jù)盈虧轉折點 §b 的概念，有下式成立： Qi1=Qi2；m1§b+b1=m2§b+b2 所以。另一方面，狀態(tài)q的均值記為，并有行為 j（j=1,2） 的期望收益額要判斷兩行為的優(yōu)劣，必須比較它們的期望收益值的

8、大小。由于 加加上一開始假定的條件m1>m2所以有下列結論：當；當；當兩行為期望收益額相等（二者之差值為零） ，故它們等價，無優(yōu)劣之分。費用型決策依此類推，結論正好同收益型決策問題相反：設行為j（j=i,2）在狀態(tài)q發(fā)生時的費用支付函數(shù) Vj=mj q+bj（i=1,2,m;j=1,2），且設9>0 , §>0存在和mi>m2等其它條件不便，則當時，有 當 當行為1和2同等優(yōu)劣。3.3 后驗分析法如果獲得了一些新的有關狀態(tài)概率的情報， 例如從市場信息中心購買某商品的下一年需 求量信息，由專家調查、抽樣檢驗等途徑得到狀態(tài)（如次品率）的樣本概率等，并用它來修 正原

9、來的狀態(tài)概率（即修正先驗概率） ，就得到后驗概率。用后驗概率進行貝葉斯決策，這 就是后驗分析法。修正概率過程中需要消耗人力、 物力和財力。為了考慮這些因素，后驗分 析法增加了“抽樣情報期望金額” （EVSI） 和“抽樣情況凈收益” （ENGS） 兩個指標。3.4決策樹法為了使決策方法形象化， 把計算過程畫成樹形結構， 稱之為決策樹。 它由節(jié)點和分支組 成，它可適用于任何一種決策方法形象化。其中節(jié)點分條件節(jié)點、 決策節(jié)點和狀態(tài)節(jié)點。分 別用菱形、 正方形和圓形標記。 條件節(jié)點表示需要的條件費用 （其值等于菱形內部的數(shù)字）決策節(jié)點生成各行動方案，并將最優(yōu)方案的期望金額（收益或費用值）記入其內部。狀

10、態(tài)節(jié)點生成各狀態(tài)，其內數(shù)字表示某一方案期望金額（收益或費用值）。決策節(jié)點和狀態(tài)節(jié)點分別引出決策分支和狀態(tài)分支，旁邊的數(shù)字分別表示決策方案和狀態(tài)概率。四、實例分析4.1層次分析法在個人理財方面的應用4.1.1問題的提出假設某個體有余款 2萬元，現(xiàn)理財方式有儲蓄和投資兩大方向，投資又分為購買股票、 債券和開放式基金，分別用 Xj（i=l,2,3,4）表示。對于理財來說最終目的是收入增加而風險最 小。而影響收益的因素有利率，經營者素質及企業(yè)收益能力，影響風險的主要因素主要有政治、政策風險、通貨膨脹以及其它風險。P（yi ）是每種因素發(fā)生的概率，并設它們相互獨立。決策的后果是在未來一年后余款的改變，試

11、選擇一種最佳理財方案并證明你的有關結論。4.1.2問題分析及建模每個決策者對收益和風險大小有不同的考慮，對于求穩(wěn)的決策者來說，其首先考慮的是風險大小帶來的損失問題，然后才考慮收益的問題，一般來說，高風險常常伴著高收益。有 的決策者追求高收益是其考慮的首要目標，對于風險卻存在冒險心理，鑒于此，在投資2萬元情況下，出現(xiàn)五種可能：al:表示可能造成 2千元的損失a2:表示可能0.5千元的損失a3:表示收益甚微，可視為無收益也無損失a4：表示可能收益0.5千元a5：表示可收益2千兀其中對于利率帶來的兩種影響：收益或損失。來年的利率變動的概率為0.1,不變?yōu)?.9,當利率改變時造成收益的概率為0.4,造

12、成損失的概率為 0.6。如下示：綜上考慮：利率變動不造成收益損失的概率為0.9+0.4*0.1=0.94 ;利率變動造成損失的收益概率為0.1*0.6=0.06同理，政治及政策造成的兩種影響的概率分別為：不造成收益損失概率為：0.8+0.2*0.5=0.9 ;造成收益損失概率為：0.2*0.5=0.1其它風險造成的兩種影響的概率分別為：不造成收益損失的概率為：0.6;造成收益損失的概率為：0.4將各種因素對投資收益和損失列表（表1）如下:單位：萬兀利率政治政策通貨膨脹其他收益風險p(y1)0.94p(yn)0.06p(y2)0.9p(y22)0.1p(y3)0.3p(y32)0.7p(y4)0

13、.6pg)0.4儲蓄0.05-0.050.05-0.05-0.05000股票-0.050.050.2-0.2-0.0500.2-0.05債券0.05-0.050.05-0.05-0.0500.05-0.05甘仝基金0.05-0.050.05-0.05-0.0500.05-0.054.1.3建立層次結構對于yl, y2, y3, y4，為方便討論，我們采用T.L Saty等人提出的一種有效地處理這類問題的實用方法，即層次分析法層次分析如下：目標層A合理分配資金準則層B利率Bl政治政策B2通貨膨脹B3其它收益風險B4措施層C儲蓄C1股票C2債券C3開放式基金C44.1.4形成判斷矩陣依據(jù)Saty等

14、人提出的1-9作為尺度的方法通過兩兩比較得到正互反陣為: 表2判斷矩陣標度說明1Ai與Aj冋等重要3Ai與Aj稍微重要5Ai與Aj非常重要7Ai與Aj強烈重要9Ai與Aj極其重要倒數(shù)Aj=1/Aji2、4、6、8重要性介于上述數(shù)之間4.1.5計算矩陣的特征向量和最大特征值利用軟件 Matlab 計算出 w°特征向量： w°=（o.8744，0.2670，0.0613, 0.1179, 0.3870）, 最大特征入=5.4350。4.1.6 一致性檢驗為保證得到的權重的合理性，通常要對每一個判斷矩陣進行一次一致性檢驗，以觀察其是否具有滿意的一致性（CR<0.1）。否則，

15、應修改判斷矩陣，直到滿足一致性要求為止。對矩陣w0中求出的最大特征值檢驗其值（一致性指標比率）值（一致性比率）以及RI （隨機一致性指標）表3 RI系數(shù)表階數(shù)3456789RI0.580.901.121.241.321.411.45此時CR=0.091<0.1，所以矩陣 w0是一致性的正互反陣?，F(xiàn)考慮較低層次對較高層次的影響，a1-b表示利率、政治政策、通貨膨脹、其他收益風險對可能造成2千元的損失這一因素構成的正互反陣。用同樣方法構造矩陣，求出特征值和特征向量并進行一致性檢驗。4.1.7合成權重的計算對表1加權處理，計算平均收益和平均損失：收益：Pi=刀 p（y）.dj ;損失:q=刀

16、p（y）.dj,根據(jù)風險盡可能小而收益盡可能大的投資的投資原則就有如下的兩目標函數(shù)：投資模型：模型求解通過計算，正互反陣為W0對應的權向量的模型是max:Z=0.0919 xi-0.0233 X2+0.0178 X3+0.3347 X44.1.8實例分析我們可以根據(jù)各自不同的投資理念，合理取儲蓄、股票、債券、基金相互之比的比重， 利用上述層次分析法就可以得到相應的投資決策。例如：當取權重為0 12W=( T, T, T, T,T)=w w w =(1.9956,1.1237,0.4939,0.4488)時，利用軟件 Lin do 計算得 xi=0,X2=0 , X3=0 , X4=1，這一結果

17、與保守型人們心理一致。4.2決策樹在風險決策中的應用。4.2.1問題的提出某建筑企業(yè)對于擴大生產的方案有兩個，一個為建大廠，投資600萬元，另一個為建小廠，投資為280萬元，使用期限均為 10年。在時間上分為前 3年和后7年，若前3年需求 高其概率為0.7,則后7年需求高概率為0.9;若前3年需求量低，則后 7年需求量肯定低。 對建小廠若前3年需求量高，則擴建，需再投資400萬元，使用7年，損益值與建大廠金時間價值的概念相同。損益值如表4:表4損益值列表(萬元/年)自然狀態(tài)概率大廠小廠需求量咼0.720080需求量低0.3-4060決策樹如下：4.2.2決策樹應用中資金時間價值的引入在任何一個

18、工程項目的實施方案中，其消耗的人力、物力和自然資源，最終都是以價值形態(tài)，即資金的形式表現(xiàn)出來的。而資金是勞動手段、勞動對象和勞動報酬的價值表現(xiàn)。資 金的運動反映了物化勞動和活勞動的運動過程，也是資金隨時間的運動過程。任何一個常規(guī)性的實施方案，通常是先發(fā)生一系列的投資，然后再發(fā)生一系列的經營費用和銷售收入。因而對工程項目進行決策性的經濟分析時，就必須著眼于工程的整個壽命周期的資金收入和支出的情況。在決策時，不能把工程或方案的壽命期內的收入和支出情況進行簡單的加、減。其主要原因在于資金收支的經濟效應不僅與資金量的大小有關，且與資金發(fā)生的時間有密切的關系?，F(xiàn)在用來投資的資金若不考慮通貨膨脹因素，比在

19、將來同等數(shù)量的資金更有價值，這是因為當前可用來投資的資金可以立即使用創(chuàng)造收益，而將來可取得的資金， 則不可能在今天投資。由此可知，同樣一筆資金在不同時期具有不同的時間價值，現(xiàn)在的一筆資金在投資過程中產生增值。 資金的價值隨時間變化， 是時間的函數(shù)，隨時間的推移而增值，其增值 的這部分資金就是資金的時間價值。資金時間價值是客觀存在的。在進行工程項目決策時， 企業(yè)經營的一項基本原則就是，充分利用資金時間價值并極大限度的獲得其時間價值。也就是加速資金周轉早期回收資金并不斷進行高利潤的投資活動，任何積壓或閑置資金，就損失了資金的時間價值。由于資金時間價值的存在，使不同時間上發(fā)生的現(xiàn)金流量不具有可比性，

20、需通過換算, 在同一時間上進行對比，才符合客觀實際。這就考慮了資金的時間價值，使決策更加可靠。 通常，利息是資金時間價值的一種表現(xiàn)形式， 常以利息額的多少作為衡量資金時間價值的絕 對尺度，用利率(或收益率)作為資金時間價值的相對尺度。由于資金時間價值的存在， 使工程項目的實施在時間上有一個延續(xù)過程， 因而在實際工 作中要注意如下問題： (1) 投資時間上的差異； (2) 投產時間上的差異； (3)工程項目或方案的 壽命； (4)在項目運營的過程中各年經營費用所產生的差異。4.2.3 實例中決策樹應用存在的局限性 局限性一： 決策樹在不考慮資金時間價值時， 適用于短期，不能用于長期的決策。 其主

21、 要原因在于時間短， 資金運作受時間因素的影響較小， 資金時間價值所體現(xiàn)出的作用不明顯。 同時在工程或方案的執(zhí)行過程中， 不確定因素減少， 項目所面臨的風險就要小得多。 對于這 種情況，在工程招投標中用得很多， 就是因為招投標持續(xù)時間短， 且發(fā)生的費用不大， 決策 樹的作用能充分發(fā)揮出來。局限性二： 決策樹在工程項目或方案跨時間較長的情況下仍在使用， 其計算方式通常為 簡單的加和，求期望值。如決策樹中。點 :0.9*200*7+0.11*(-40)*7=1232( 萬元 )點 :1.0*(-40)*7=-280( 萬元 )點 :1232*0.7+200*3*0.7+0.3*(-40)*3+0.

22、3*(-280)-600=562.4(萬元 )點 :0.9*200*7+0.l*(-40)*7-400=832( 萬元 )點 :0.9*80*7+0.1*60*7=546( 萬元 )點 :0.7*80*3+832*0.7+0.3*60*3+0.3*1.0*60*7-280=650.4( 萬元 ) 通過點與點的比較， 則選擇建小廠， 需求量高則 3 年后擴建。 這種方法在計算各節(jié) 點的期望值時， 直接考慮其產生的收益值和， 即簡單的把各年收益值相加減。 由前述資金的 時間價值可知， 第三年的期望收益值比第四年的期望收益值要值錢得多， 而常用的計算方法 把各年收益簡單加和，僅考慮了方案的靜態(tài)情況，

23、沒有考慮資金隨時間而在發(fā)生變動。局限性三： 局限二的計算沒有考慮到在以后各年不確定因素所產生的影響， 如通貨膨脹 導致投資增大， 政策變動使稅收加大而減少當年的收益等， 這系列因素若發(fā)生單個或多個同 時變動，就會影響到決策所計算出的期望值。 換句話說， 在項目時間周期較長時， 簡單加和 理想的設計后各年收支相等，不會發(fā)生變動。 通常， 項目從籌建到運行， 任何因素都會發(fā)生 變動。目前運用的計算方法也忽略了風險因素的影響。4.2.4 時間價值的引入在前例中，各節(jié)點的計算只是簡單相加?，F(xiàn)在假設銀行的利率為i，在第1年，第2年第7年所得的收益值不再進行投資，而是存入銀行，那么各年的收益將會產生6,5

24、,1年的利息。從項目決策點來看，該收益則含了1,2,37年的利息，比如：第四年、第七年的期望收益值均為 136*(200*0.9+0.l*(-40)+(-40)*1.0) ，而第四年的 136 萬元的期望收益值中含了 4 年的利息， 第 7年的期望收益 136萬元中含了 7年的利息， 形式上二者是相等的， 實質上不 等，這就是資金時間價值的影響。簡單的加和，沒有考慮收益值所產生的利息情況，且假設 在以后各年的不確定因素是相同的。 現(xiàn)在， 利用資金時間價值的因素來計算各節(jié)點的期望收 益值，假設期望收益率為 10%點 :0.9*200*(P/A,10%,7)+0.l*(-40)*(P/A,10%,

25、7)=856.84 萬元點 :(-40)*1.0*(P/A,10%,7)=-194.74 萬元點 :856.84*(P/A,10%,3)*0.7-194.74*(P/A,10%,3)*0.3+200*0.17*(P/A,10%,3)+(-40*0.3*(P/A,10%,3)-600=126.06 萬元點 :0.9*200*(P/A,10%,7)+0.l*(-40)*(P/A,10%,7)-400=456.84 萬元點 :0.9*80*(P/A,10%,7)+0.1*60*(P/A,10%,7)=379.74 萬元點 :0.7*80*(P/A,10%,3)+456.84*(P/A,10%,3)+

26、0.3*60*(P/A,10%,3)+0.3*1.0*60* (P/A,10%,7)*(P/A,10%,3)-280=313.09 萬元方案決策結果是建小廠， 3 年后若需求量高再進行擴建。但我們可以看出，雖然兩種方 法的決策結果相同， 但是計算結果卻相差很大。 如點， 使用資金時間價值和未使用的差值 為 375.16 萬 元 (1232-856.84) ， 對 于 最 終 決 策 方 案 點 的 期 望 值 則 相 差 337.31 萬 元 (650.4-313.09) 。這些差值其本質就是投資額和各年收益及隨時間變化而發(fā)生變化的累計值。 由于它們在定量上產生的數(shù)值差異以及投資存在的機會成本

27、， 會使決策者對項目存在的風險 進行錯誤估計： 其一是決策失誤， 放棄了不該放棄的項目或決定了不該選擇的項目； 其二是 反映在管理方法上， 如不考慮資金時間價值， 所得的結果又比較樂觀， 進而影響決策者對所 決定的項目的控制和計劃， 但項目在實施過程中， 由于時間因素的參與， 其實際值與期望值 相差很大，甚至不可預見因素而導致虧損。4.2.5 引入資金時間價值理論應注意的問題(l) 在利用資金時間價值理論計算期望收益值時， 最重要的一個參數(shù)就是投資者期望的基 準收益率，其微小變動在投資總數(shù)和年限不變的情況下，期望收益值也會產生較大的變動。 對于基準收益率的確定因素主要有： 加權平均資本成本和機

28、會成本。 在決策時選擇其中大 者，在通常情況下資金機會成本高于項目的加權平均資本成本， 不考慮二者之和， 將其設為 t1;風險補貼率。任何項目投資都存在風險，高風險則有高的收益，投資者在對項目決策 時，應充分考慮項目所面臨的風險，合理的確定風險補貼率，設為t2，以項目所產生的收益中得到補償; 通貨膨脹率。 對跨時間較長的項目， 不可避免地要受到以后年度物價變動的 影響。物價變動則會使投資增加，從而對計算的期望收益產生影響，設通貨膨脹率為t3。綜上所述，理論上確定基準收益率為:i=(l+t 1)(l+t 2)(l+t 3)-l( 當 t1、t2、t3 均為零點零后小數(shù)時，i=t 1+t2+t3)(2) 評價指標上的確認前面舉例進行項目決策是通過計算期望收益值。 而利用資金時間價值計算的期望收益值 其實質是計算該項目 FNPV (財務凈現(xiàn)值) 。據(jù)項目在投資已定、收益估計確定以及一定年 限下，也可以用項目自身所產生的收益率對各個方案進行選擇，即確定FIRR (財務內部收益率)。但是項目的最終決策， 不能從單個指標確定， 需同時考慮多個指標。 如 FNPV 最大， 項目并不一定最好， 有可能它的單位投資盈利比其他項目或方案低， 這種情況就要進行綜合 權衡投資方及投資的組合形式。(3) 不確定因素靈敏度的分析