第八講概率統(tǒng)計(jì)解題技巧

1、第八講 概率統(tǒng)計(jì)的解題技巧【命題趨向】概率統(tǒng)計(jì)命題特點(diǎn)：1.在近五年高考中,新課程試卷每年都有一道概率統(tǒng)計(jì)解答題,并且這五年的命題趨勢(shì)是一道概率統(tǒng)計(jì)解答題逐步增加到一道客觀題和一道解答題;從分值上看,從12分提高到17分;由其是實(shí)施新課標(biāo)考試的省份, 增加到兩道客觀題和一道解答題值得一提的是此累試題體現(xiàn)了考試中心提出的“突出應(yīng)用能力考查”以及“突出新增加內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值和應(yīng)用功能”的指導(dǎo)思想,在命題時(shí),提高了分值,提高了難度,并設(shè)置了靈活的題目情境,如測(cè)試成績(jī)、串聯(lián)并聯(lián)系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)上網(wǎng)、產(chǎn)品合格率、溫度調(diào)節(jié)等,所以在概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)中要注意全面復(fù)習(xí),加強(qiáng)基礎(chǔ),注重應(yīng)用.2.就考查內(nèi)容而言,用概率定義

2、(除法)或基本事件求事件(加法、減法、乘法)概率，常以小題形式出現(xiàn)；隨機(jī)變量取值取每一個(gè)值的概率列分布列求期望方差常以大題形式出現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)還將在選擇與填空中出現(xiàn)，可能與實(shí)際背景及幾何題材有關(guān)【考點(diǎn)透視】1了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義2了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率.3了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率4會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率5 掌握離散型隨機(jī)變量的分布列.6掌握離散型隨機(jī)變量的期望與方差.7掌握抽樣方法與總體分布的估計(jì).8掌握

3、正態(tài)分布與線性回歸.【例題解析】考點(diǎn)1. 求等可能性事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率解此類題目常應(yīng)用以下知識(shí):(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A);等可能事件概率的計(jì)算步驟： 計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù); 設(shè)所求事件A，并計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù); 依公式求值; 答，即給問(wèn)題一個(gè)明確的答復(fù).(2)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率：P(AB)P(A)P(B); 特例：對(duì)立事件的概率：P(A)P()P(A)1.(3)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(A·B)P(A)·P(B); 特例：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率：Pn(k).其中P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二項(xiàng)式(1

4、-P)+Pn展開(kāi)的第k+1項(xiàng). (4)解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”： 求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運(yùn)算即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.第三步，運(yùn)用公式求解第四步，答，即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù).例1(2007年上海卷文)在五個(gè)數(shù)字中，若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是 （結(jié)果用數(shù)值表示）考查目的本題主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.解答過(guò)程0.3提示:例2(2007年全國(guó)II卷文)一個(gè)總體含有100個(gè)個(gè)體，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則指定

5、的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為 考查目的本題主要考查用樣本分析總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式，同時(shí)考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.用頻率分布估計(jì)總體分布，同時(shí)考查數(shù)的區(qū)間497.5g501.5的意義和概率的求法.解答過(guò)程提示:例3 (2007年全國(guó)I卷文)從自動(dòng)打包機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取20袋，測(cè)得各袋的質(zhì)量分別為（單位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根據(jù)的原理，該自動(dòng)包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g501.5g之間的概率約為_(kāi)考查目的本題主要考查用頻率分布估計(jì)

6、總體分布，同時(shí)考查數(shù)的區(qū)間497.5g501.5的意義和概率的求法.解答過(guò)程在497.5g501.5內(nèi)的數(shù)共有5個(gè)，而總數(shù)是20個(gè)，所以有點(diǎn)評(píng)：首先應(yīng)理解概率的定義，在確定給定區(qū)間的個(gè)體的數(shù)字時(shí)不要出現(xiàn)錯(cuò)誤.例4. （2006年湖北卷）接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為_(kāi).（精確到0.01）考查目的 本題主要考查運(yùn)用組合、概率的基本知識(shí)和分類計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力，以及推理和運(yùn)算能力.信號(hào)源 解答提示至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.故填0.94.例5（2006年江蘇卷）右圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器.接收器與信號(hào)源在同一個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)

7、，就能接收到信號(hào)，否則就不能接收到信號(hào).若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組，將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接，則這五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是（A）（B） （C）（D）考查目的 本題主要考查運(yùn)用組合、概率知識(shí),以及分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力，以及推理和運(yùn)算能力.解答提示由題意，左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組有種分法，同理右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組有種分法；要五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)，則需五個(gè)接收器與信號(hào)源串聯(lián)在同一個(gè)線路中，即五個(gè)接收器的一個(gè)全排列，再將排列后的第一個(gè)元素與信號(hào)源左端連接，最后一個(gè)元素與信號(hào)源右端連接

8、，所以符合條件的連接方式共有種，所求的概率是，所以選D.點(diǎn)評(píng)：本題要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用排列組合知識(shí)解決計(jì)數(shù)問(wèn)題，并進(jìn)一步求得概率問(wèn)題，其中隱含著平均分組問(wèn)題.例6 (2007年全國(guó)II卷文)從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；（2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率考查目的本小題主要考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力解答過(guò)程（1）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，表示

9、事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”則互斥，且，故于是解得（舍去）（2）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，則若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其中二等品有件，故例7（2006年上海卷）兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率是 （結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）考查目的 本題主要考查運(yùn)用排列和概率知識(shí),以及分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力，以及推理和運(yùn)算能力. 解答提示從兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)8本書(shū)的排列方法有種，左邊4本恰好都屬于同一部小說(shuō)的的排列方法有種.所以, 將符合條件的長(zhǎng)篇小說(shuō)任意地排成一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率

10、是種.所以,填.例8（ 2006年浙江卷）甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球.由甲，乙兩袋中各任取2個(gè)球.()若n=3，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；()若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為，求n.考查目的本題主要考查排列組合、概率等基本知識(shí)，同時(shí)考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.標(biāo)準(zhǔn)解答（I）記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件.（II）記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件，“取到的4個(gè)球全是白球”為事件.由題意，得所以, ，化簡(jiǎn)，得解得，或（舍去），故 .例9. (2007年全國(guó)I卷文)某商場(chǎng)經(jīng)銷某商

11、品，顧客可采用一次性付款或分期付款購(gòu)買根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用一次性付款的概率是0.6，經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元；若顧客采用分期付款，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)250元（）求3位購(gòu)買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率；（）求3位顧客每人購(gòu)買1件該商品，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)650元的概率考查目的本小題主要考查相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等的概率計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力解答過(guò)程（）記表示事件：“位顧客中至少位采用一次性付款”，則表示事件：“位顧客中無(wú)人采用一次性付款”， （）記表示事件：“位顧客每人購(gòu)買件該商品，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)元”表示事件

12、：“購(gòu)買該商品的位顧客中無(wú)人采用分期付款”表示事件：“購(gòu)買該商品的位顧客中恰有位采用分期付款”則，例10（2006年北京卷）某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過(guò)；方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過(guò).假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.（）分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過(guò)的概率；（）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小.（說(shuō)明理由）考查目的 本題主要考查互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和對(duì)立事件的概率,以及不等式等基本知識(shí)，同時(shí)考查邏輯思維能力和數(shù)

13、學(xué)應(yīng)用能力.標(biāo)準(zhǔn)解答記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為A，B,C，則P(A)=a，P(B)b，P(C)=c.() 應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率 p1=P(A·B·)+P(·B·C)+P(A··C)+P(A·B·C) =a×b×(1-c)+(1-a)×b×c+a×(1-b)×c+a×b×c=ab+bc+ca-2abc.應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率 p2=P(A·B)+ P(B·C)+ P(A·C)=

14、 ×(a×b+b×c+c×a)= (ab+bc+ca)() p1- p2= ab+bc+ca-2abc- (ab+bc+ca)= ( ab+bc+ca-3abc)=.p1p2例11(2007年陜西卷文)某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的概率分別為、，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.（）求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率;（）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）考查目的本小題主要考查相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解

15、決問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力解答過(guò)程（）記“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”的事件為，則，該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率（）該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率考點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的分布列1.隨機(jī)變量及相關(guān)概念隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，這樣的變量叫做隨機(jī)變量，常用希臘字母、等表示.隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為，取每一個(gè)值（1，2，）的概率P（）=，則稱下表.PP1P2為隨機(jī)變量的概

16、率分布，簡(jiǎn)稱的分布列.由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：（1），1，2，;（2）=1.常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列：（1）二項(xiàng)分布次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能的取值為0，1，2，n，并且，其中，隨機(jī)變量的分布列如下：01P稱這樣隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，其中、為參數(shù)，并記： .（2） 幾何分布 在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量，“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.隨機(jī)變量的概率分布為：123kPpqp例12（2007年四川卷理）廠家在產(chǎn)品出廠前,需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn),廠家將

17、一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí),商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn),以決定是否接收這批產(chǎn)品.（）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn),求至少有1件是合格的概率；（）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都進(jìn)行檢驗(yàn),只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品.否則拒收,求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望,并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.考查目的本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算，考察隨機(jī)事件的分布列，數(shù)學(xué)期望等，考察運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解答過(guò)程（）記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)，其中至少有1件是合格品”為事件A

18、用對(duì)立事件A來(lái)算，有（）可能的取值為 ，記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)，都合格”為事件B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為例13（2007年陜西卷理）某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰. 已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為、,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.（）求該選手被淘汰的概率;（）該選手在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）考查目的本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算，考察隨機(jī)事件的分布列，數(shù)學(xué)期望等，考察運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解答過(guò)程

19、解法一：（）記“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率（）的可能值為， 的分布列為123解法二：（）記“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率（）同解法一考點(diǎn)3 離散型隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差(1)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：；期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平.離散型隨機(jī)變量的方差：；方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.基本性質(zhì)：；.(4)若B(n，p)，則 ; D =npq（這里q=1-p） ; 如果隨機(jī)變量服從幾何分布，則，D =其中q=1-p.例14甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品

20、數(shù)分別為、，和的分布列如下：012012PP則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為 .思路啟迪：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動(dòng)情況，即方差值的大小.解答過(guò)程：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為： ，；工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為：，由E=E知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但D>D，可見(jiàn)乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.小結(jié)：期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平；方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.例15.（2007年全國(guó)I理）某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.

21、10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)（）求事件：“購(gòu)買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望考查目的 本小題主要考查概率和離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解答過(guò)程（）由表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”， （）的可能取值為元，元，元，的分布列為（元）小結(jié)：離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.本題

22、考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.例16.某班有48名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分為70分，方差為75，后來(lái)發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績(jī)有誤，甲實(shí)得80分卻記為50分，乙實(shí)得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是A.70，25 B.70，50 C.70，1.04 D.65，25解答過(guò)程：易得沒(méi)有改變，=70，而s2=（x12+x22+502+1002+x482）482=75，s2=（x12+x22+802+702+x482）482=（75×48+48212500+11300）482=75=7525=50.答案：B考點(diǎn)4 抽樣方法與總體分布

23、的估計(jì)抽樣方法1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N，如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.2系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機(jī)械抽樣）.3分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.總體分布的估計(jì)由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布，一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確.總體

24、分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí)，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表示，幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.當(dāng)總體中的個(gè)體取值在某個(gè)區(qū)間上時(shí)用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)樣本的頻率分布.總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.典型例題例17.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n= .解答過(guò)程：A種型號(hào)的總體是，則樣本容量n=.例18一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨

25、機(jī)編號(hào)0，1，2，99，依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為，那么在第組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，若，則在第7組中抽取的號(hào)碼是 解答過(guò)程：第K組的號(hào)碼為 ，當(dāng)m=6時(shí)，第k組抽取的號(hào)的個(gè)位數(shù)字為m+k的個(gè)位數(shù)字，所以第7組中抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)字為3 ，所以抽取號(hào)碼為63例19考查某校高三年級(jí)男生的身高，隨機(jī)抽取40名高三男生，實(shí)測(cè)身高數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168

26、174159167156157164169180176157162161158164163163167161 作出頻率分布表；畫出頻率分布直方圖.思路啟迪：確定組距與組數(shù)是解決“總體中的個(gè)體取不同值較多”這類問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn).解答過(guò)程：最低身高為151，最高身高180，其差為180-151=29。確定組距為3，組數(shù)為10，列表如下： 頻率分布直方圖如下：小結(jié)： 合理、科學(xué)地確定組距和組數(shù)，才能準(zhǔn)確地制表及繪圖，這是用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的基本功估計(jì)總體分布的基本功?？键c(diǎn)5 正態(tài)分布與線性回歸1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)（1）正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 ，x 其中、為常

27、數(shù)，并且0，則稱服從正態(tài)分布，記為（，）.（2）期望E =，方差.（3）正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x對(duì)稱.曲線在x=時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低.曲線的對(duì)稱軸位置由確定；曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”；反之越“高瘦”.（4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)=0，=1時(shí)服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作（0，1）（5）兩個(gè)重要的公式, .（6）與二者聯(lián)系. 若，則 ;若，則.2.線性回歸簡(jiǎn)單的說(shuō)，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個(gè)變量之間往往仍

28、有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.具體說(shuō)來(lái)，對(duì)n個(gè)樣本數(shù)據(jù)（），（），（），其回歸直線方程，或經(jīng)驗(yàn)公式為：.其中，其中分別為|、|的平均數(shù).例20.如果隨機(jī)變量N（，2），且E=3，D=1，則P（11等于( )A.2（1）1 B.（4）（2）C.（2）（4） D.（4）（2）解答過(guò)程：對(duì)正態(tài)分布，=E=3，2=D=1，故P（11）=（13）（13）=（2）（4）=（4）（2）.答案：B例21. 將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d ，液體的溫度（單位：）是一個(gè)隨機(jī)變量，且N（d，0.52）.（1）若d=9

29、0°，則<89的概率為 ；（2）若要保持液體的溫度至少為80 的概率不低于0.99，則d至少是 ?（其中若N（0，1），則（2）=P（<2）=0.9772，（2.327）=P（<2.327）=0.01）.思路啟迪：（1）要求P（<89）=F（89），N（d，0.5）不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而給出的是（2），（2.327），故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值.（2）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率p，再利用p0.99，解d.解答過(guò)程：（1）P（<89）=F（89）=（）=（2）=1（2）=10.9772=0.0228.（2）由已知d滿足0.99P（80），即1P（&l

30、t;80）10.01，P（<80）0.01.（）0.01=（2.327）.2.327.d81.1635.故d至少為81.1635.小結(jié)：（1）若N（0，1），則=N（0，1）.（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，x<0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，x>0時(shí)，f（x）為減函數(shù).例22設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，xR. （1）則，是 ；（2）則及的值是 .思路啟迪： 根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)照已知函數(shù)求出和.利用一般正態(tài)總體與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來(lái)解決.解答過(guò)程：由于，根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式，可知=1，

31、故XN（1，2）.又. 小結(jié)：通過(guò)本例可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).例23 公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高N（173，7）（單位：cm），則車門應(yīng)設(shè)計(jì)的高度是 （精確到1cm）？思路啟迪：由題意可知，求的是車門的最低高度，可設(shè)其為xcm，使其總體在不低于x的概率小于1%.解答過(guò)程：設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm，由題意，需使P(x)<1%. N（173，7），。查表得，解得x>179.16，即公共汽車門的高度至少應(yīng)設(shè)計(jì)為180cm，可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.【專題訓(xùn)

32、練與高考預(yù)測(cè)】一.選擇題1.下面關(guān)于離散型隨機(jī)變量的期望與方差的結(jié)論錯(cuò)誤的是 （）A.期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映隨機(jī)變量取值集中與離散的程度.B.期望與方差都是一個(gè)數(shù)值，它們不隨試驗(yàn)的結(jié)果而變化C.方差是一個(gè)非負(fù)數(shù)D.期望是區(qū)間0，1上的一個(gè)數(shù).2.要了解一批產(chǎn)品的質(zhì)量，從中抽取200個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則這200個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量是 （ ）A. 總體 B.總體的一個(gè)樣本 C.個(gè)體 D. 樣本容量01P3.已知的分布列為： 設(shè)則的值為 （ ） A. 5 B. C. D. 4.設(shè)，則n,p的值分別為 （）A.18 ， B. 36 ， C. ，36 D. 18，5.已知隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布，

33、則等于 （）A. B. C. D.6.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為,其中k=1,2,3,4,5,則等于 ( )A. B. C. D.7.設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件廢品,從中抽取150件進(jìn)行檢查,則查得廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為( )A.15 B.10 C.5 D.都不對(duì)8.某市政府在人大會(huì)上,要從農(nóng)業(yè)、工業(yè)、教育系統(tǒng)的代表中抽查對(duì)政府工作報(bào)告的意見(jiàn).為了更具有代表性,抽取應(yīng)采用 () A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)表法 C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽樣9.一臺(tái)X型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要人照看的概為0.8000,有四臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作,則在一小時(shí)內(nèi)至多有2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是 ( )A.0.

34、1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.972810.某校高三年級(jí)195名學(xué)生已編號(hào)為1，2，3，195，為了解高三學(xué)生的飲食情況，要按1：5的比例抽取一個(gè)樣本，若采用系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽取，其中抽取3名學(xué)生的編號(hào)可能是（ ）A.3，24，33 B.31，47，147 C.133，153，193 D.102，132，15911.同時(shí)拋擲4枚均勻硬幣80次,設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上,2枚反面向上的次數(shù)為,則的數(shù)學(xué)期望是 ( ) A.20 B.25 C.30 D.4012.已知,且,則P()等于 ( )A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.413.某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)

35、地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為.則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法14.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為( )A.0.6 h B.

36、0.9 hC.1.0 h D.1.5 h二.填空題15.某工廠規(guī)定:工人只要生產(chǎn)出一件甲級(jí)產(chǎn)品發(fā)獎(jiǎng)金50元,生產(chǎn)出一件乙級(jí)產(chǎn)品發(fā)獎(jiǎng)金30元,若生產(chǎn)出一件次品則扣獎(jiǎng)金20元,某工人生產(chǎn)甲級(jí)品的概率為0.6,乙級(jí)品的概率為0.3,次品的概率為0.1,則此人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均獎(jiǎng)金為 元. 16. 同時(shí)拋擲兩枚相同的均勻硬幣,隨機(jī)變量 表示結(jié)果中有正面向上, 表示結(jié)果中沒(méi)有正面向上,則 .17. 甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t / hm2）品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是 .18.一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件,它們來(lái)自甲、