異面直線所成的角求法-答案

1、異面直線所成的角的兩種求法初學(xué)立幾的同學(xué),遇到的第一個難點(diǎn)往往便是求異面直線所成的角。難在何處？不會作！ 下面介紹兩種求法一傳統(tǒng)求法-找、作、證、求解。求異面直線所成的角，關(guān)鍵是平移點(diǎn)的選擇及平移面的確定。平移點(diǎn)的選擇：一般在其中一條直線上的特殊位置，但有時選在空間適當(dāng)位置會更簡便。 平移面的確定：一般是過兩異面直線中某一條直線的一個平面，有時還要根據(jù)平面基本性質(zhì)將直觀圖中的部分平面進(jìn)行必要的伸展，有時還用“補(bǔ)形”的辦法尋找平移面。例1 設(shè)空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點(diǎn)，若AB122，CD42，且四邊形EFGH的面積為12 3，求AB和CD所成的角.D解

2、由三角形中位線的性質(zhì)知，HGAB，HECD， EHG就是異面直線AB和CD所成的角. EFGH是平行四邊形，HGHEHBGAB62， 2AE，CD23， 2 SEFGHHG·HE·sinEHG12 sinEHG, 12 6sinEHG12. sinEHG2,故EHG45°. 2 AB和CD所成的角為45°注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。例2.點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn)，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EF=AD和BC所成的角。（如圖） 解：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接DG、FG。因D、F分別是AB、CD中點(diǎn)，故EGBC且EG=2AD

3、，求異面直線2ABFD11AD，由異面直線所成 BC，F(xiàn)GAD，且FG=22AD，又EF=AD，由余弦定2角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即EGF為所求。由BC=AD知EG=GF=理可得cosEGF=0，即EGF=90°。注：本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G，按定義過G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在EFG中求角。通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時，常取另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系。例3.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)。 求：AM與CN所成的角的余弦值；解：(1)連接DM,過

4、N作NEAM交DM于E，則CNE為AM與CN所成的角。N為AD的中點(diǎn), NEAM省 NE=1AM且E為MD的中點(diǎn)。 2設(shè)正四面體的棱長為1， 則NC=在RtMEC中，CE2=ME2+CM2=113= 且ME=MD= 22244317+= 16416cosCNE=CN+NE-CE=2CNNE222(27)+()2-4416=-2, 33244又CNE (0, ) 22. 3異面直線AM與CN所成角的余弦值為注：1、本題的平移點(diǎn)是N，按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在CEN外計(jì)算CE、CN、EN長，再回到CEN中求角。2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補(bǔ)角，在直觀圖中無法

5、判定，只有通過解三角形后，根據(jù)這個角的余弦的正、負(fù)值來判定這個角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面直線所成的角的鄰補(bǔ)角）。最后作答時，這個角的余弦值必須為正。例4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，已知AB=4，CD=20，AFBE1=。求異面直線AB與CD所成的角。 FDEC3BG1=，連結(jié)EG、FG 解：在BD上取一點(diǎn)G，使得GD3BEBG= 在BCD中，故EG/CD，并且ECGDEGBE1=， CDBC4AFGDF3=， 所以，EG=5；類似地，可證FG/AB，且 ABAD4EF=7，故FG=3，在EFG中，利用余弦定理可得 CDEG2+GF2-

6、EF232+52-721=-，故FGE=120°。 cosFGE=2EGGF2352另一方面，由前所得EG/CD，F(xiàn)G/AB，所以EG與FG所成的銳角等于AB與CD所成的角，于是AB與CD所成的角等于60°。例5 在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1與BD所成的角的余弦解一：連AC，設(shè)ACBD=0，則O為AC中點(diǎn)，取C1CB1G1的中點(diǎn)F，連OF，則OFAC1且OF=AC1，所以FOBD21a2+b2，即為AC1與DB所成的角。在FOB中，OB=2OF=11212a2+b2+c2，BE=b+c，由余弦定理得 2241211(a+

7、b2)+(a2+b2+c2)-(b2+c2)a2-b2cosFOB= 22222)12(a+b)(a+b+c2a+b2a2+b2+c24解二：取AC1中點(diǎn)O1，B1B中點(diǎn)G在C1O1G中，C1O1G即AC1與DB所成的角。解三：延長CD到E，使ED=DC則ABDE為平行四邊形AEBD，所以EAC1即為AC1與BD所成的角連EC1，在AEC1EDADC1B1CB中，AE=a2+b2，AC1=a2+b2+c2，C1E=4a2+c2由余弦定理，得 cosEAC1=(a2+b2)+(a2+b2+c2)-(4a2+c2)2a+ba+b+c22222=b2-a2(a+b)(a+b+c22222)0所以EA

8、C1為鈍角根據(jù)異面直線所成角的定義，AC1與BD所成的角的余弦為二利用兩個向量的夾角公式（cos<,>=a2-b2(a+b)(a+b+c)22222），可以求空間兩條直線所成的角。 D例 6 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn). 求AE與D1F所成的角 解: 取AB中點(diǎn)G,連結(jié)A1G,FG.A1因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,C1A故GFD1A1是平行四邊形,A1GD1F. 設(shè)A1G與AE相交于點(diǎn)H,則AHA1是AE與D1F所成的角, 因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn),所以RtA1AGR

9、tABE, GA1A=GAH，從而AHA1=90°, 即直線AE與D1F所成角為直角. 下邊看利用向量的有關(guān)知識解答該題： 證明：如右圖建立空間直角坐標(biāo)系：Dxyz。設(shè)正方體的棱長為2，則有A（2，0，0）、A1（2，0，2） D（0，0，0）、D1（0，0，2）、F（0，1，0）、E（2（I）=（0，2，1），D1=（0，1，2） D1=（0，2，1）（0，1，2）= 0 AED1FAE與D1F所成的角為90 即直線AE與D1F所成角為直角.程、圖形都比較復(fù)雜，而用向量解答目標(biāo)明確，在未計(jì)算前，就已經(jīng)知道結(jié)果了，證明的過程只是計(jì)算驗(yàn)證，通過復(fù)雜的幾何證明轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)計(jì)算，學(xué)生對

10、于代數(shù)運(yùn)算較熟悉，避免了傳統(tǒng)方法造成邏輯推理上的不便和由于輔助線的添加造成圖形的復(fù)雜化等問題，相比傳統(tǒng)方法更容易接受和掌握。因此，空間向量是處理立體幾何問題的強(qiáng)有力工具。例7已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC，1DAB=90 ,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M2是PB的中點(diǎn)。求AC與PB所成的角；解：因?yàn)镻APD，PAAB，ADAB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，). 因=(1,1,0),=(0,2,-1),12故|=2,|=,=2,所以cos<,>=.5用傳統(tǒng)方法解決兩異面直線所成的角問題，通常都必須添加輔