普朗克黑體輻射公式推導(dǎo)

1、普朗克黑體輻射公式的推導(dǎo) 所謂的黑體是指能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對黑體，簡稱黑體。黑體輻射：由這樣的空腔小孔發(fā)出的輻射就稱為黑體輻射。輻射熱平衡狀態(tài): 處于某一溫度 T 下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時，輻射達到熱平衡狀態(tài)。實驗發(fā)現(xiàn)： 熱平衡時，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度 T 有關(guān)而與黑體的形狀和材料無關(guān)。實驗得到：1. Wien 公式 從熱力學(xué)出發(fā)加上一些特殊的假設(shè)，得到一個分布公式： Wien 公式在短波部分與實驗還相符合，長波部分則明顯不一致。2. Rayleigh-Jeans 公式Ra

2、yleigh-Jeans 公式在低頻區(qū)和實驗相符，但是在高頻區(qū)公式與實驗不符，并且，既單位體積的能量發(fā)散，而實驗測得的黑體輻射的能量密度是，該式叫做Stefan-Bolzmann公式，叫做Stefan-Bolzmann常數(shù)。3. Planck 黑體輻射定律1900年月日Planck 提出如果空腔內(nèi)的黑體輻射和腔壁原子處于平衡，那么輻射的能量分布與腔壁原子的能量分布就應(yīng)有一種對應(yīng)。作為輻射原子的模型，Planck 假定：（1） 原子的性能和諧振子一樣，以給定的頻率 v 振蕩；（2）黑體只能以 E = hv 為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量，而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射

3、能量。得到：該式稱為 Planck 輻射定律h為普朗克常數(shù)，h=4，普朗克的推導(dǎo)過程：把空窖內(nèi)的電磁波分解為各個頻率的簡振振動，簡振模的形式最后為，每一個簡振模在力學(xué)上等價于一個自由度，記頻率在內(nèi)的自由度數(shù)為，則（0，v）范圍內(nèi)的總自由度數(shù)G(v)與g(v)的關(guān)系為。借助幾何方法求出，取微分得令代表體積為V的空窖內(nèi)熱平衡輻射的總內(nèi)能，代表單位體積,頻率間隔在內(nèi)的能量，于是，代表單位體積內(nèi)頻率間隔在內(nèi)的振動自由度數(shù)。應(yīng)用經(jīng)典統(tǒng)計的能量均分定理得到平均能量為與振子的頻率無關(guān)，代入可以得到，這就是瑞利-金斯公式，在低頻區(qū)和實驗符合，高頻區(qū)嚴重偏離。普朗克熱輻射理論采用的也是波的觀點，依舊認為他正確，

4、但是能量均分定理不適用，原因在于麥克斯韋波爾滋蔓分布不對，問題出在振子能量取連續(xù)值上。Planck 假定：黑體只能以 E = hv 為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量，而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量,對于頻率為v的振子，其能量只能取一個最小能量單元的整數(shù)倍即，他認為振子的平均分布仍遵從麥克斯韋玻爾茲曼分布，即代表頻率為v對的振子處于能級的平均數(shù)，于是振子的平均能量為，即其中代表頻率為v的振子的配分函數(shù)，可以得到。由此可以知道振子的平均能量與其頻率有關(guān)，能量均分定理不成立。把上式代入得到：這就是普朗克輻射公式。此時輻射場的內(nèi)能為,5，對 Planck 輻射定律的討論：（1）當(dāng) v 很大（短波）時，因為 exp(hv /kT)-1 exp(hv /kT)，于是Planck 定律 化為 Wien 公式。變?yōu)?） 當(dāng) v 很?。ㄩL波）時，因為 exp(