第五章矩陣的特征值和特征向量

1、第五章 矩陣的特征值和特征向量習題一 矩陣的特征值和特征向量一、填空題1A為n階方陣，Ax=0有非零解，則A必有一特征值為_2若0為A的特征值，則Ak(k為正整數(shù)有特征值為_3若為A的特征向量，則_為P-1AP的特征向量4階矩陣與_有相同的特征值二、計算題1.設A=(1 試求矩陣A的特征值；(2 利用(1的結果，求矩陣E+A-1的特征值，其中E是三階單位矩陣         求矩陣A=的實特征值及對應的特征向量        

2、三、證明題1設A滿足A2-3A+2E=0，證明其特征值只能取值1或2   2若階矩陣，存在自然數(shù)，使得，則的特征值是  3如果可逆，是的特征值，則是的特征值   4證明：    習題二 相似矩陣和矩陣可對角化一、填空題1若AkE，則A=_2若n階方陣A與B相似，且A2=A，則B2=_3已知A=，B=且AB，則=_4可對角化當且僅當 5階矩陣有個互不相同的特征值是可對角化的_6判別矩陣可對角化的方法是 二、 1設A=aij為三角矩陣，且對角線元素互不相等試指出A是否有與它相似的

3、對角矩陣，并說明理由       2矩陣A=能否對角化？若能，求可逆矩陣P，使P-1AP為對角矩陣                三、判別下列矩陣是否可對角化           四、矩陣A=和B=是相似矩陣求x與y；    &#

4、160;     習題三 實對稱矩陣的對角化一、求正交矩陣，使為對角矩陣                           二、設實對稱矩陣A=，求可逆矩陣Q，使Q-1AQ為對角矩陣         三、已知

5、三階方陣A的特征值為1，-1，2，設矩陣B=A3-5A2試求：(1 矩陣B的特征值及與其相似的對角陣；(2 行列式|B|和|A-5E|         四、設A=，求(1 A的所有特征值與特征向量；(2 判斷A能否對角化，若能對角化，則求出可逆矩陣P，使A化為對角形矩陣；(3 計算Am      綜合復習題一、空題與選擇題1矩陣2設其中可逆，則為非負整數(shù)）， .（表示數(shù)域的全體多項式，表示全體階矩陣）3相似矩陣有_秩，有相同秩的矩陣_相似4設的三

6、個特征值為則5設是方陣的特征多項式，則若,則= _.6下面四個命題中原命題和逆命題都正確的是（ ）（A）相似矩陣有相同的特征多項式；（B）設是數(shù)域上向量空間的一個線性變換是關于的一個基的矩陣，如果是的特征根，那么是的特征根；（C）維向量空間的一個線性變換關于的兩個基的矩陣是相似矩陣；（D）設，若在數(shù)域內有單根，則可對角化7下列三個矩陣中 ； ； ； 中兩兩都不相似（A） 正確； (B 正確； (C 正確 ； (D 正確8設是階矩陣，那么 在復數(shù)域上一定與某一對角矩陣相似； 在上一定與某一上三角矩陣相似； 在上一定與某一下三角矩陣相似（A） 正確； (B ，正確； (C ， 正確 ； (D ，正

7、確9下列矩陣中，不可對角化的僅是（）；(B ； (C；（）10設且在上均可對角化，則 可對角化； 可對角化； 可對角化； 可對角化. （表示全體正整數(shù)）（A），正確； ( B ，正確； (C ，正確 ； (D 正確二、計算與證明題1求下列矩陣的全部特征值與特征向量（1） （2）（3） （4）2找出1題中可對角化的矩陣，并求可逆矩陣使為對角矩陣3求正交矩陣使為對角矩陣（1） （2） (3 （4）4試證：矩陣可逆的充分必要條件是：它的特征值都不等于零5設階可逆矩陣的特征值是，證明：的特征值為6如果任一個維非零向量都是階矩陣的特征向量，試證明是一個數(shù)量矩陣7是一個階實對稱矩陣，試證：如果是的重特征值

8、，則矩陣的秩等于自測題一、填空題1若為階矩陣，有非零解，則必有一特征值為_2若是特征值，則（為正整數(shù)）有特征值為_3若為的特征向量，則的特征向量為_4若階矩陣有個屬于特征值的線性無關的特征向量，則=_5已知三階矩陣的三個特征值為1，2，3，則的特征值為_6階零矩陣的全部特征向量是_7若，則_8若階矩陣與相似，且，則_9已知且，則10三階矩陣的三個互異特征值為，它們對應的特征列向量分別為則矩陣（）的秩為_二、選擇題1.設=2是非奇異矩陣A的特征值，則矩陣有一特征值等于( (a (b (c (d 2.若n階矩陣A的任意一行中n個元素的和都是a，則A的一個特征值為( (a a (b a (c 0 (

9、d a-13.設A是n階矩陣，1，2是A的特征值，1，2是A的分別對應于1，2的特征向量，則( (a 1=2時，1，2一定成比例 (b 1=2時，1，2一定不成比例(c 12時，1，2一定成比例 (d 12時，1，2一定不成比例4.設n階矩陣A與B相似，則( (a E-A=E-B (b |E-A|=|E-B|(c |E-A|E-B (d A與B都相似于一個對角矩陣D5.n階方陣A具有n個特征值是A與對角矩陣相似的( (a 充分必要條件 (b 充分而非必要條件(c 必要而非充分條件 (d 既非充分也非必要條件6.矩陣A=與下列哪個矩陣相似( (a (b (c (d 7.n階矩陣與對角矩陣相似的充

10、分必要條件是( (a A有n個不全相同的特征值 (b AT有n個不全相同的特征值(c A有n個不相同的特征值 (d A有n個線性無關的特征向量8.n階方陣A與某對角矩陣相似，則( (a 方陣A的秩等于n (b 方陣A有n個不同的特征值(c 方陣A一定是對稱矩陣 (d 方陣A有n個線性無關的特征向量9.1，2是n階矩陣A的特征值，X1，X2是相應于1，2的特征向量，對于不全為零的常數(shù)c1，c2：( (a 當12時，則c1X1+ c2X2必為A特征向量(b 當12時，則X1，X2是A相應于1，2唯一的兩個線性無關的特征向量(c 當1=2時，則c1X1+ c2X2必為A特征向量(d 當1=2時，則X

11、1，X2必為A相應于1，2的線性無關的特征向量10.設n階矩陣A為滿秩矩陣，則A( (a 必有n個線性無關的特征值(b 必有n個線性無關的特征向量(c 必相似于一滿秩的對角矩陣(d 特征值必不為零三、計算題1設（1） 試求矩陣的特征值；（）利用（1）的結果，求的特征值2求矩陣的特征值及特征向量3設實對稱矩陣，求可逆矩陣使為對角矩陣4設為階實矩陣，滿足，試求的伴隨矩陣的一個特征值5已知三階矩陣的特征值為1，2，矩陣，試求（1） 矩陣的特征值和與相似的對角矩陣；(2 行列式和.6設，求（1）的所有特征值與特征向量；（2）判別能否對角化，若能對角化，則求出可逆矩陣，使為對角矩陣；（3）計算四、證明題

12、 1若階矩陣滿足，則的特征值僅能是0或12若階矩陣滿足，則的特征值僅能是1或3設滿足，證明：的特征值只能是1或24設是實數(shù)域上奇數(shù)階方陣，且，證明：有正特征值5設，在上可對角化，證明：在上可對角化二次型習題一 二次型及表示方法一、填空題1二次型f(x1，x2，x3，x4=x12+2x22+3x32+4x1x2+2x2x3_2. 矩陣A=對應的二次型是_3=的矩陣為_.4二次型經(jīng)過_的線性替換總可以化為標準形.5階對稱矩陣同時實行行和列的初等變換總可化為_矩陣.二、寫出下列各二次型的矩陣1     2    

13、;    三、寫出下列對稱矩陣所對應的二次型1     2   四、對于對稱矩陣與，求出可逆矩陣，使           習題二 化二次型為標準型一、用配方法化下列二次型為標準型.1        2        二、用初等變化的方法求一

14、奇異矩陣，使為對角矩陣.       三、用初等變換法將二次型f(x1，x2，x3，x4=x12+x22+x32+x42+2x1x2+2x2x3+2x3x4化為規(guī)范形，并求所作的非退化變換矩陣，且用矩陣驗算結果      四、求一正交矩陣，使為對角矩陣.      四、試用配方法將二次型f(x1，x2，x3=x12+x22+3x32+4x1x2+2x1x3+2x2x3化為標準形(平方和和規(guī)范形  

15、       習題三 正定二次型一、填空題1實二次型f(x1，x2，x3=x12-x22+3x32的秩為_，正慣性指數(shù)為_，負慣性指數(shù)為_2設n階實對稱矩陣A的特征值分別為1，2，n，則當t_時，tE-A為正定矩陣 3. 若n階實對稱矩陣A的秩為r(<n且A2=A，則是_矩陣(正定、半正定，正慣性指數(shù)為_4_二次型成為正定的，如果對于任意一組_都有_.5 5  對稱矩陣正定當且僅當與_矩陣合同.6實對稱矩陣正定當且僅當?shù)囊磺许樞蛑髯邮絖或者的一切主子式_.7 7  對稱矩陣的特征根都是_.

16、二、計算題：1求的值，使二次型為正定.(1         (2       2設矩陣A=，矩陣B=(kE+A2，其中k為實數(shù)，E為單位矩陣求對角矩陣，使B與相似，并求k為何值時，B為正定矩陣         （1） （1）           3設A1A1和B1B2試

17、證判斷三元二次型f= x12+5x22+x32+4x1x2-4x2x3的正定性                      三、證明題：1A是n階實對稱矩陣，AB+BTA是正定矩陣，證明A可逆      2設A是n階正定矩陣，證明|A+2E|>2n    3令=, =,如果與

18、合同，與合同，則與合同.     4證明：實二次型負定的充分必要條件是它的矩陣的奇數(shù)階順序主子式全小于零，偶數(shù)階順序主子式全大于零.         自測題一、填空題1二次型_.2矩陣對應的二次型是_.3二次型=是正定的，那么應滿足不等式_.4二次型=的秩為_.正慣性指數(shù)為_,負慣性指數(shù)為_.5設階實對稱矩陣的特征值分別為，則當=_時，為正定矩陣.6若階實對稱矩陣的秩為且，則是_矩陣，正慣性指數(shù)為_.7二次型的規(guī)范形由_唯一確定；復二次型的規(guī)范形由_唯一確

19、定.8實對稱矩陣正定的充分必要條件是它的特征值_.9若是實對稱矩陣且可逆，則將化為 的線性變換為_.10設為階實對稱矩陣，那么是_(對稱、非對稱、對角.二、選擇題i. i.1.設A，B均為n階方陣，x=(x1，x2，xnT，且XTAX= XTBX，當( 時，A=B(a 秩(A=秩(B (b AT=A(c BT=B (d AT=A且BT=B ii. ii.2.實二次型f(x1，x2，x3，x4= XTAX為正定的充分必要條件是( (a |A|>0 (b 存在n階可逆矩陣C，使A=CTC(c 負慣性指數(shù)為零 (d 對于某一x=(x1，x2，xnT0，有XTAX>0iii. iii.3.實二次型f(x1，x2，x3，x4= x12+2x1x2+tx22+3x32，當t=( 時，其秩為2(a 0 (b 1 (c 2 (d 3iv. iv.4.設A，B為同階可逆矩陣，則( (a AB=BA(b 存在可逆矩陣P，使P-1AP=B(c 存在可逆矩陣C，使CTAC=B(d 存在