三角網(wǎng)條件平差計算

1、§3-4 三角網(wǎng)條件平差計算2學(xué)時三角網(wǎng)測量的目的， 是通過觀測三角形的各角度或邊長， 計算三角網(wǎng)中各未知點的坐標(biāo)、邊的長度及方位角等。 三角網(wǎng)按條件平差計算時， 首要的問題是列出條件方程。 因此了解三角網(wǎng)的構(gòu)成，總結(jié)其條件方程的種類及各種條件方程的組成規(guī)律是十分重要的。三角網(wǎng)的種類比較多，網(wǎng)的布設(shè)形式也比較復(fù)雜。根據(jù)觀測內(nèi)容的不同，有測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、 邊角同測網(wǎng)等；根據(jù)網(wǎng)中起始數(shù)據(jù)的多少， 有自由三角網(wǎng)和非自由三角網(wǎng)。 自由三角網(wǎng)是指僅具有必要起算數(shù)據(jù)的三角網(wǎng)， 網(wǎng)中沒有多余的已知數(shù)據(jù)。 如果測角三角網(wǎng)中， 只有兩個已知點 （或者已知一個已知點的坐標(biāo)、一條已知邊的長度和一個已知的方

2、位角），根據(jù)數(shù)學(xué)理論， 以這兩個已知點為起算數(shù)據(jù)， 再結(jié)合必要的角度測量值， 就能夠解算出網(wǎng)中所有未知點的坐標(biāo)。 如果三角網(wǎng)中除了必要的起算數(shù)據(jù)外還有其它的已知數(shù)據(jù)，或者說已知數(shù)據(jù)有冗余，就會增加對網(wǎng)形的約束，從而增強其可靠性，這種三角網(wǎng)稱之為非自由三角網(wǎng)。無論多么復(fù)雜的三角網(wǎng)，都是由單三角形、大地四邊形和中點多邊形組合而成的。在本節(jié)， 我們先討論三角網(wǎng)條件平差中條件方程個數(shù)的確定問題，然后主要討論測角三角網(wǎng)的條件方程的形式問題。、網(wǎng)中條件方程的個數(shù)三角網(wǎng)平差的目的，是要確定三角點在平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)最或然值。如圖3-9 所示，根據(jù)前面學(xué)到的測量基礎(chǔ)知識， 我們知道， 必須事先知道三角網(wǎng)中的四

3、個數(shù)據(jù)，如兩個三角點的 4 個坐標(biāo)值， 或者一個三角點的 2 個坐標(biāo)值、 一條邊的長度和一個方位角，這 4 個已知數(shù)據(jù)我們稱之為三角網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)。 有了必要起算數(shù)據(jù)， 就可以確定三角網(wǎng)在平面坐標(biāo)系中的位置、網(wǎng)的大小及其方位，就可以計算三角網(wǎng)中未知點的坐標(biāo)。要對三角網(wǎng)進(jìn)行平差計算，還必須先知道網(wǎng)中的總觀測數(shù)n判定必要觀測數(shù) t，從而確定了多余觀測數(shù)：由條件平差原理知， 多余觀測數(shù)與條件方程數(shù)是相等的，有了多余觀測數(shù)， 也就確定出了條件方程的個數(shù)。因此，問題的關(guān)鍵是判定必要觀測數(shù)t。1.網(wǎng)中有 2 個或 2 個以上已知點的情況三角網(wǎng)中有2個或2個以上已知三角點，就一定具備了4個必要起算數(shù)據(jù)。無

4、論是測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)還是邊角同測網(wǎng)， 如果有2個已知點相鄰，要確定一個未知點的坐標(biāo)，需要觀 測兩個觀測值(2個角，或者1條邊和1個角，或者2條邊)。也就是說，確定 1個未知點要有2個必要觀測值；那么如果網(wǎng)中有 P個未知點，必要觀測數(shù)應(yīng)等于未知點個數(shù)的兩倍。(3-4-1)(1)測角網(wǎng)圖3-9所示，三角網(wǎng)中有 2個已知點，待定點個數(shù)為P = 6。如果三角網(wǎng)中觀測量全部是角度時。n = 23必要觀測數(shù):總觀測值個數(shù):t = 2 -p =12則多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù):r = n -t = 11(2)測邊網(wǎng)在圖3-9中，如果三角網(wǎng)中觀測量全部是邊的長度時:總觀測值個數(shù):n = 14必要觀測數(shù):

5、t = 2 -p =12則多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù):2-t =Hr = n(3)邊角同測網(wǎng)在圖3-9中，如果三角網(wǎng)中的所有的角度值和所有的邊長值都進(jìn)行觀測時:總觀測值個數(shù):n = 37必要觀測數(shù):t = 2 -p =122.網(wǎng)中已知點少于2個的情況有些情況下，三角網(wǎng)中已知點可能少于2個，只有1個已知點、1個已知邊和1個已知方位角，或者沒有已知點和已知方位角只有1個已知邊。但是，不管怎樣說，1條已知邊是必須已知的，或者需要進(jìn)行觀測的。如果沒有已知點，可以假定網(wǎng)中的1個未知點；如果沒有已知方位角，可以取網(wǎng)中的1個方向的方位角為某一假定值。這樣也就間接地等價于網(wǎng)中有2個相鄰點的坐標(biāo)是已知的

6、。（1）測角網(wǎng)三角網(wǎng)中共有P個三角點、1個已知方位角（也可以沒有）、1個已知點（也可以沒有已知點）和1個已知邊長S （或者也是觀測得到的），并觀測了所有的角度。如果已知點和已知方位角都沒有，就要進(jìn)行必要的假設(shè)。則在進(jìn)行條件平差時，必要觀測數(shù)為:t = 2 (P -2)(3-4-2)如圖3-10所示，三角網(wǎng)中觀測了所有角度值（如果沒有已知邊時，也觀測1條邊長作為起算數(shù)據(jù)）。網(wǎng)中三角點個數(shù):角度觀測值個數(shù):n = 12必要觀測數(shù):則多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù):r = n -t = 4（2）測邊網(wǎng)或邊角同測網(wǎng)若三角網(wǎng)中，共有 P個三角點和1個已知點（或者也是假定的），并對所有的邊長，或者角度

7、和邊長進(jìn)行了觀測，觀測值總個數(shù)為n。在進(jìn)行條件平差時，由于要加上必須的起算邊長，則必要觀測（邊或者邊和角）的個數(shù)為t = 2( P -2)+1(3-4-3)如圖3-10所示，網(wǎng)中三角點個數(shù)：P = 6如果是測邊網(wǎng)，則總觀測值個數(shù)：n = 9必要觀測數(shù)：t = 2 ( p -2) +1=9多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù)：r = n -t = 0如果是邊角同測網(wǎng)，則n = 21總觀測值個數(shù)：必要觀測數(shù)：t = 2 ( p -2) +1=9多余觀測數(shù)，即條件平差條件方程個數(shù)：r = n -t = 12以上我們僅對幾種三角網(wǎng), 討論了條件平差時必要觀測數(shù)及多余觀測數(shù)和條件平差方程數(shù)的確定方法, 還

8、有很多情況沒有涉及到。 在實際平差計算中, 應(yīng)針對不同情況進(jìn)行具體分析。二、條件方程的形式三角網(wǎng)中的條件方程主要有以下幾種形式：1. 圖形條件方程圖形條件, 又叫三角形內(nèi)角和條件, 或三角形閉合差條件。在三角網(wǎng)中,一般對三角形的每個內(nèi)角都進(jìn)行了觀測。根據(jù)平面幾何知識，三角形的三個內(nèi)角的平差值的和應(yīng)為180?，如圖3-12中的三角形ABP,其內(nèi)角平差值的和應(yīng)滿足下述關(guān)系:L?1 L?2 L?3 1800(3-4-4)此即為三角形內(nèi)角和條件方程。 由于三角形是組成三角網(wǎng)的最基本的幾何圖形,因此,通常稱三角形內(nèi)角和條件為 圖形條件 。因此圖形條件也是三角網(wǎng)的最基本、最常見的條件方程形式。與（3-4-

9、4）式相對應(yīng)的改正數(shù)條件方程為v1 v2 v3w 0(3-4-5)2. 水平條件方程w(L1 L2 L3 180 )(3-4-6)水平條件,又稱圓周條件,這種條件方程一般見于中點多邊形中。如圖3-12 所示,在中點 P 上設(shè)觀測站時,周圍的五個角度都要觀測。這五個觀測值的平差值之和應(yīng)等于360?,(3-4-7)1?3 L?6 I?9 I?i2 I?15360相應(yīng)的改正數(shù)條件方程為v3v vVi2Vi5w 0(3-4-8)(L3-6|-9Li2Li5360 )(3-4-9)B圖 3-113. 極條件方程極條件是一種邊長條件，一般見于中點多邊形和大地四邊形中。先看中點多邊形的情況。如圖3-12所示

10、，中心P點為頂點，有五條邊，從其中任一條邊開始依次推算其它各邊的長 度，最后又回到起始邊，則起始邊長度的平差值應(yīng)與推算值的長度相等。在圖3-12所示的三角網(wǎng)中，我們應(yīng)用正弦定理， 以BP邊為起算邊，依次推算AP、EP、DP、CP,最后回到起算邊 BP、，得到下式整理得SBP§BPsin I? sin £ sin E sin l?2 sin 百 sin L8sin Eo sin L?3 sin I?" sin l?4(3-4-10)sin I? sin E sin L7 sin ?0 sin l?3sin L2 sin 1?5 sin I? sin ?1 sin l

11、?4(3-4-10 )式即為平差值的極條件方程。為得到其改正數(shù)條件方程形式，可用泰勒級數(shù)對上式左邊展開并取至一次項:sin 1? sin? sinL?7 sinL?,0sinL?3sin 1?2 sinl?5 sin1?8 singrsinL14sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 1 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14v1sin L sin L4 sin L7 sinL10s

12、in L3cot L111471013sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14V2cot L2sin L1 sinL4sinL7sin L10 sinv4cot L4 sin L2 sin L5 sin L8sin L11 sin L14sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13v5cot L5 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin 丄，v7cot L7 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14sin

13、L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 sin L2 sin L5sin L8sin L11 sin L14cot L8 也sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 cot L sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14V1010sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14cot L11 勺1sin L1 sin L4 sinL7SinL10sinv13cot L13 sin L2 sin L5 sin L

14、g sin L11 sin L14sin L1 sinL4Sin L7 sin L10 sinv14cot L14 sin L2 sin L5 sin Lg sin L11 sin L14ctgL7V7 ctgLgVgctgL13V13 ctgLgVg w 0(3-4-11)化簡，即得極條件的改正數(shù)條件方程:ctgL1V1 ctgL2V2ctgLqVq ctgLsVsctgL10V10 ctgLuVn1 sin L2sin L5sinL8sinL11sinL14sin L1sin L4sinL7sinL10sinL13(3-4-12)3-11所示，可以取D點為極點，以BD為起始邊，依次推算 A

15、D、CD再回到BD邊。仿照中點多邊形的極條件方程,在大地四邊形中的極條件方程與中點多邊形稍有不同。如圖由正弦定理，得大地四邊形的極條件平差值方程sin(L7l?8)sinl?2Sin E sin 1? sin(L3l?4)sin E整理得(3-4-13)sin 1?2 sinl?4Sin(l?7L8)sin 1? sin(L3l?4)sin E相應(yīng)的改正數(shù)條件方程ctgL1V1(ctgL4 ctg(L3LJMctgL2V2 ctg(L3LJv?(ctg(L7 L8) ctgL7)V7 ctg(L7 LgM w0 (3-4-14)(3-4-15)sin L1 sin(L3 L4)sin L7si

16、n L2 sin L4 sin(L7 L8)4. 方位角條件方程前面討論的三種條件方程在三角網(wǎng)中比較常見。如果三角網(wǎng)中的起始數(shù)據(jù)有了變化, 算數(shù)據(jù)不相鄰，或者已知數(shù)據(jù)有冗余，還會增加一些限制條件，產(chǎn)生其它類型的條件方程,如方位角條件方程、角網(wǎng)中。如圖3-13所示,為一個非自由三角網(wǎng)， 有4個已知點、2個未知點和12個角度觀測值。必要觀測個數(shù)t = 2>2 = 4,多余觀測數(shù)r = n -t = 12 - 4 = 8 ,即共有8個條件方程，其中圖形條件方程有4個,沒有極條件，也沒有水平角條件，那么另4個是什么類型的呢？由于三角網(wǎng)中有4個已知點，每個已知點有2個坐標(biāo)值，共計8個已知數(shù)據(jù)，超過

17、了 4個必要起算數(shù)據(jù)，從而產(chǎn)生4個冗余的已知數(shù)據(jù)。 這4個多余的已知數(shù)據(jù)必然會導(dǎo)致 4個矛盾，進(jìn)而產(chǎn)生4個條件方程。方位角條件，嚴(yán)格地說是方位角附合條件，是指從一個已知方位角出發(fā)，推算至另一個已知方位角后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。如從4個已知點可以反算出 AB和EF兩邊的邊長值和方位角值，這些值也可看作是已知值，作為起算數(shù)據(jù)用。設(shè)AB邊的方位角Tab，EF邊的已知方位角為 ef。如果從AB向EF推算，推算路線如圖中所示，設(shè) EF方位角的推算值的最或然值為TEf，近似值為Tef。則方位角附合條件方程為TEfTef(3-4-16)其中TefL?3L?6L?9L?123 180邊長條件方程、坐標(biāo)

18、條件方程等。這些類型的條件方程常見于非自由三代入（3-4-16 ）后，整理得L?3L?6L?9L?12TABTef3 1800其相應(yīng)的改正數(shù)條件方程V6V9V12wT(3-4-17)其中wT(1-31-61-91-12TabTef3 180 )(3-4-18)5. 邊長條件方程推算至另一個邊長條件，嚴(yán)格地說是邊長附合條件，是指從一個已知邊長出發(fā), 已知邊長后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。圖3-13三角網(wǎng)中，設(shè) AB邊的已知長度為 Sab , EF邊的已知長度為Sef。如果沿圖中所示的推算路線，從 AB向EF推算，得EF邊長推算值的最或然值為S?EF，近似值為Sef。則邊長附合條件方程為其中Se

19、fSef0(3-4-19)Sef- sinL?sin?sinL7sinL10sinL2sin1?5sinL8sin附將上式代入（3-4-19 ）式，并將邊長條件整理為SaB sin 1? sin ? sin L?7 sin l?0_ 1 0 Sef sin L?2 sin L?5 sin L8 sin l?1(3-4-20)仿照極條件式，將上式左邊用泰勒級數(shù)展開，取至一次項,整理后得其改正數(shù)條件方程:ctgLiVictgL2V2ctgL4V4 ctgLsVsctgL10V10 ctgLuVnctgL7V7 ctgLsVgWs 0(3-4-21)6. 坐標(biāo)條件方程Ws1 Sef sin L2 s

20、in L5 sin Lb sin L11Sab sin L1 sin L4 sin L7 sin L10(3-4-22)坐標(biāo)條件方程,是指從一個已知點出發(fā)，推算至另一個已知點后,所得推算值應(yīng)與該點的已知坐標(biāo)值相等。圖3-13三角網(wǎng)中,設(shè)b點的已知坐標(biāo)為（xB , yB）, E點的已知坐標(biāo)為（XE , yE)。如果沿圖中所示的路線,從BtCE進(jìn)行推算，得E點坐標(biāo)推算值的最或然值為(XE , ?E),近似值為（XE ,yE）。則坐標(biāo)條件方程為(3-4-23)?E yE 0?EXe 0(3-4-24)?EXBXBCXCEXBSBC COSBcSCE COsTCe(3-4-25)其中SbcSabScE

21、SABTBctabtCeTabL?318O? L?6 L9 L?io 2 18OsinL?sin L4sin ?sinl?12sinL?2sin L5sin L8sin匕sin L? sin L2(3-4-26)(3-4-27)(3-4-28)(3-4-29)得:將上述(3-4-26) - (3-4-29)式代入(3-4-25)式，然后用泰勒級數(shù)展開，取至一次項,整理后(XeXB)(ctgLiVi ctgL2V2)(Xe(Xe(YeWxXc)(ctgL7V7 ctgLgVs) yB)( V3) (yE yc)(OXcXctgLMctgLsVs)Xc)(ctgL12V12 ctgLuVn)(yE

22、 yc)( V9) (yE yc)(XeVe)(3-4-30)為不使閉合差項Wx過大，影響平差結(jié)果的精度,在計算坐標(biāo)條件方程時，可以考慮X、y以公里(km)為單位，而Wx中的坐標(biāo)差項以米(m)為單位。即其中Wx(Xe Xe )1OOO206.265(Xe Xe )(3-4-31)同理可寫出橫坐標(biāo)改正數(shù)條件方程(YeyB)(ctgL1V1ctgL2V2)(Yeyc)(ctgL7V7 ctgLgVg) Xb)( V3) (Xe O(yE(XeWyycXctgL"CtgLsVs)(Yeyc)(ctgLi2Vi2 ctgLiiVii)Xc)( V6)(Xe Xc)( V9)(XeXc)( V

23、io)(3-4-32)Wy206.265(yE yE)(3-4-33)坐標(biāo)附合條件方程， 尤其是改正數(shù)條件方程， 形式上雖然比較復(fù)雜， 但也非常具有規(guī)律性。這一點，請同學(xué)們結(jié)合圖3-13認(rèn)真地分析，看能否總結(jié)出其概括形式。以上八種條件方程及其改正數(shù)條件方程的類型和形式,基本上涵蓋了測角型三角網(wǎng)條件條件方程的形式也較為繁雜,C、D是待定點，等精度觀測了所有方程的基本形式。需要說明的是，三角網(wǎng)布設(shè)形式極其多樣,但關(guān)鍵是要掌握其基本形式，并能融會貫通靈活運用。三、例題如圖3-14是一個三角網(wǎng)，A、B、E、F是已知點,內(nèi)角值，已知數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)如表3-4所示。試列出用條件平差法時的改正數(shù)條件方程。表3

24、-4已知坐標(biāo)(m)已知方位角已知邊長(m)B (183120.420,29502560.540)Tab = 32?20 14.9 'Sab = 2501.118E (181740.210,29505455.940)Tef = 355?53 42.6”Sef = 2582.529角度觀測值0= 46?21 56.1 3= 62?21 42.4ff3 = 58?03 46.6 '3 = 91?43 '54.0 3? = 74?59 41.4 ”3 = 67?39 43.6ff3 = 53?15 16.1 3 = 47?21 '49.9 0 = 58?38 17.2

25、”3 = 49?58 38.93=68?40 54.3 '3= 40?54 '08.1 ”解：這是一個非自由測角三角網(wǎng)。觀測值總數(shù)n = 12必要觀測數(shù)多余觀測數(shù)r = n -t = 8即，有8個條件方程，而網(wǎng)中共有： 4個圖形條件、4個坐標(biāo)附合條件、1個方位角條4個圖形條件、1個方件和1個邊長附條件可選。由于坐標(biāo)條件較為復(fù)雜，為計算方便，選 位角條件、1個邊長條件和2個坐標(biāo)條件。運算線路如圖中所示。因為角度的觀測精度相同，取Q = P -=E首先，根據(jù)觀測值，利用余切公式計算有關(guān)近似坐標(biāo):C (181440.319,29503390.921)D (183084.184,295

26、04111.735)E (181740.109,29505456.041)圖形條件方程V1V2V3W10V4V5V6W20V7V8V9W30V10V11V12w40方位角條件方程V3V6V9V12W50邊長條件方程Sab sin L?1 sin L sin L?7 sin LmSEF sin E sin L?5 sin L?8sin L?11其改正數(shù)形式cot L1 v1cot L2v2cot L4V4cot L5v5 cot L7v7cot L10V10 cot LuvncotLgVsW60縱橫坐標(biāo)條件方程(XEXb )(cot L1V1(XE(XeXc )(cot L4V4cot L5V5)yB)( V3)cot L2V2)Xd )(cot L7V7cotLgVs) (yE(yEyc)( V6) (yE yD)( w 0yB)(cotL1V1 cot L2V2) (yE yc)(cot L4V4 cot L5V5)(yEyD)(cot L7V7 COtL8V8)(XeXb)( V3)(XeXc)( V6)(XeXd)( V9) Wg0其中閉合差項為:W1(L1L2L