高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 8.4軌跡和軌跡方程（2）

1、1第 八 章第 八 章圓 錐 曲 線(xiàn) 方 程圓 錐 曲 線(xiàn) 方 程28.4 軌跡和軌跡方程軌跡和軌跡方程 第二課時(shí)第二課時(shí)題型題型3 代入法求軌跡方程代入法求軌跡方程 1. 設(shè)雙曲線(xiàn)設(shè)雙曲線(xiàn) 的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線(xiàn)，右準(zhǔn)線(xiàn)為為l，P為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn).以點(diǎn)以點(diǎn)P為圓心作圓為圓心作圓使之與直線(xiàn)使之與直線(xiàn)l相切，交線(xiàn)段相切，交線(xiàn)段PF于于Q點(diǎn)，求點(diǎn)點(diǎn)，求點(diǎn)Q的的軌跡方程軌跡方程.22-13yx3 解：解：設(shè)圓設(shè)圓P與準(zhǔn)線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)l相相切于切于M點(diǎn)點(diǎn),則則 因?yàn)橐驗(yàn)閨PM|=|PQ|,所以所以|PF|=2|PQ|,即即Q為線(xiàn)段為線(xiàn)段PF的中點(diǎn)的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Q(x，y),P

2、(x0，y0). 又點(diǎn)又點(diǎn)F(2,0),所以所以 解得解得 又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，所以在雙曲線(xiàn)上，所以|2.|PFePM 0022,2xxyy002 -2.2xxyy2200-1.3yx4 于是于是 故點(diǎn)故點(diǎn)Q的軌跡方程是的軌跡方程是 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：此題中動(dòng)點(diǎn)此題中動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)是隨著動(dòng)點(diǎn)是隨著動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的，而點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的，而點(diǎn)P在已知曲線(xiàn)上，因在已知曲線(xiàn)上，因此只要將此只要將x0、y0用用x、y表示后代入曲線(xiàn)方程中，表示后代入曲線(xiàn)方程中，即可得點(diǎn)即可得點(diǎn)Q的軌跡方程的軌跡方程.這種求軌跡的方法稱(chēng)為這種求軌跡的方法稱(chēng)為代入法代入法(又稱(chēng)相關(guān)點(diǎn)法又稱(chēng)相關(guān)點(diǎn)法).

3、224(2 -2) -1.3xy 2244( -1) -1.3xy 5 求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(1，2)，以，以x軸為準(zhǔn)軸為準(zhǔn)線(xiàn)，離心率為線(xiàn)，離心率為 的橢圓下方的頂點(diǎn)的軌跡方程的橢圓下方的頂點(diǎn)的軌跡方程. 解：解：設(shè)橢圓下方的焦點(diǎn)為設(shè)橢圓下方的焦點(diǎn)為F(x0，y0)， 由定義知由定義知 所以所以|AF|=1， 故點(diǎn)故點(diǎn)F的軌跡方程為的軌跡方程為(x0-1)2+(y0-2)2=1. 又設(shè)橢圓下方頂點(diǎn)為又設(shè)橢圓下方頂點(diǎn)為P(x,y),則則x0=x,y0= y, 所以點(diǎn)所以點(diǎn)P的軌跡方程是的軌跡方程是(x-1)2+( y-2)2=1.12|1,22AF32326 2. 如右圖如右圖,P是拋物線(xiàn)是拋

4、物線(xiàn)C： 上一點(diǎn)，直線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P 且與拋物線(xiàn)且與拋物線(xiàn)C交于另一點(diǎn)交于另一點(diǎn)Q. 若直線(xiàn)若直線(xiàn)l與過(guò)點(diǎn)與過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)垂直，的切線(xiàn)垂直， 求線(xiàn)段求線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程. 解：解：設(shè)設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0)， 依題意知依題意知x10，y10，y20. 由由 由得由得y=x, 題型題型4 參數(shù)法求軌跡方程參數(shù)法求軌跡方程212yx212yx7 所以過(guò)點(diǎn)所以過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)的斜率的切線(xiàn)的斜率k切切=x1. 所以直線(xiàn)所以直線(xiàn)l的斜率的斜率 所以直線(xiàn)所以直線(xiàn)l的方程為的方程為 方法方法1：聯(lián)立消去：聯(lián)立消去y，得，得 因?yàn)橐驗(yàn)镸為為PQ的中點(diǎn)，

5、的中點(diǎn)， 所以所以111-lkkx切211111-( -).2yxx xx12212-2 0.xx xx12012010111-2,11-(-)2xxxxyxxxx8 消去消去x1，得，得 所以所以PQ的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡方程為的軌跡方程為 方法方法2：由：由 得得 則則 所以所以 將上式代入式并整理，得將上式代入式并整理，得 所以所以PQ的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡方程為的軌跡方程為20002011(0)2yxxx，2211(0).2y xxx21211202211222xxyxyxx，2212121212012111-()(-)(-)222yyxxxxxxx xx120121-1-lyyxkxxx

6、，101-.xx20002011(0)2yxxx，2211(0).2y xxx9 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)、拋物線(xiàn)的基本題主要考查了直線(xiàn)、拋物線(xiàn)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及求軌跡方程的常用方法礎(chǔ)知識(shí)，以及求軌跡方程的常用方法.本題求解本題求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率以及靈活運(yùn)用的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.本題先設(shè)本題先設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)，然后利用拋物線(xiàn)方程、切兩點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)，然后利用拋物線(xiàn)方程、切線(xiàn)方程等得出橫坐標(biāo)的關(guān)系及中點(diǎn)線(xiàn)方程等得出橫坐標(biāo)的關(guān)系及中點(diǎn)M的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，再把所求點(diǎn)再把所求點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x0，y0)轉(zhuǎn)

7、化為所設(shè)參數(shù)轉(zhuǎn)化為所設(shè)參數(shù)x1的式子，然后通過(guò)消去所設(shè)參數(shù)，就得到的式子，然后通過(guò)消去所設(shè)參數(shù)，就得到x0,y0的方程，這就是參數(shù)法求軌跡方程的方程，這就是參數(shù)法求軌跡方程.應(yīng)用參數(shù)法應(yīng)用參數(shù)法的關(guān)鍵是找到各參數(shù)之間的關(guān)系及如何代入或的關(guān)鍵是找到各參數(shù)之間的關(guān)系及如何代入或整體消參整體消參. 10 已知雙曲線(xiàn)已知雙曲線(xiàn)x2-y2=2的左、右的左、右焦點(diǎn)分別為焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于相交于A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)若動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足滿(mǎn)足 (其中其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程. 解：解：由條件知由條件知F1(-2，0)，F(xiàn)2(

8、2，0). 設(shè)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)， 則則 由由 得得 即即1111FM FA FB FO 11111221(2, ),(2,),(2,),(2,0).FMxy FAxyFBxyFO1111,FM FA FB FO 121226,xxxyyy1212-4.xxxyyy11于是線(xiàn)段于是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)線(xiàn)段當(dāng)線(xiàn)段AB不與不與x軸垂直時(shí)，軸垂直時(shí)，即即又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳、B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以所以x12-y12=2，x22-y22=2，兩式相減得兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，即即(x1-x2)(x-4

9、)=(y1-y2)y.1212-2,-4-8-22yyyyxxxx-4(, ).22xy1212-(-).-8yyyxxx12 將將 代入上式，代入上式， 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得(x-6)2-y2=4. 當(dāng)直線(xiàn)當(dāng)直線(xiàn)AB與與x軸垂直時(shí)，軸垂直時(shí)，x1=x2=2，求得，求得M(8，0)，也滿(mǎn)足上述方程，也滿(mǎn)足上述方程. 所以點(diǎn)所以點(diǎn)M的軌跡方程是的軌跡方程是(x-6)2-y2=4.1212-( -)-8yyyx xx13 設(shè)橢圓方程為設(shè)橢圓方程為 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M(0，1)的直線(xiàn)的直線(xiàn)l交橢圓于點(diǎn)交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足滿(mǎn)足 點(diǎn)點(diǎn)N的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 當(dāng)當(dāng)l繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)時(shí),求

10、求 的最小值與最大值的最小值與最大值. 解法解法1：直線(xiàn)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M(0,1),設(shè)其斜率為設(shè)其斜率為k， 則則l的方程為的方程為y=kx+1. 記記A(x1，y1)，B(x2，y2). 題型題型 軌跡思想的應(yīng)用軌跡思想的應(yīng)用221,4yx 1(),2OPOA OB 11(,).22|NP 14 由題設(shè)可得點(diǎn)由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x1，y1)、(x2，y2) 是方程組是方程組 的解的解,將代入并化簡(jiǎn)將代入并化簡(jiǎn), 得得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以，所以 于是于是 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y)，則，則 消去參數(shù)消去參數(shù)k得得4x2+y2-y=0.22114ykxyx

11、1221222-4.84kxxkyyk1212221-4()(,)(,).22244xxyykOPOA OBkk 22-4,44kxkyk15 當(dāng)當(dāng)k不存在時(shí)，線(xiàn)段不存在時(shí)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)，也滿(mǎn)足方程，也滿(mǎn)足方程， 所以點(diǎn)所以點(diǎn)P的軌跡方程為的軌跡方程為4x2+y2-y=0. 所以所以 又又 即即 所以所以 所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)x= 時(shí)，時(shí)，|NP|min= .222222222111|( -)( -)-2221117-4-3-3().22612NPxyxxyyxxxxxx 2221114-( - ),244xyyy21,16x 1 1-, .4 4

12、x1-6x m ax721|;126NP141416 解法解法2：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y).因?yàn)橐驗(yàn)锳(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上，在橢圓上， 所以所以 由由-得得 所以所以 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)時(shí),有有 22111,4yx22221.4yx 222212121-(-)0,4xxyy121212121(-)()(-)()0.4xxxxyyyy12121212-1()0,4-y yxxyyx x17 并且并且 將代入并整理得將代入并整理得4x2+y2-y=0. 當(dāng)當(dāng)x1=x2時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(0，2)和和(0，-2)，此時(shí)點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P(0，0)也滿(mǎn)足也

13、滿(mǎn)足. 所以點(diǎn)所以點(diǎn)P的軌跡方程是的軌跡方程是4x2+y2-y=0. 以下同解法以下同解法1.121212122.2- 1-xxxyyyyyyxxx18 1. 求軌跡方程是解析幾何的基本內(nèi)容，必求軌跡方程是解析幾何的基本內(nèi)容，必須理解各種方法在什么情況下使用須理解各種方法在什么情況下使用.常用方法：常用方法：定義法、直接法、代入法、參數(shù)法定義法、直接法、代入法、參數(shù)法.在解題時(shí)考在解題時(shí)考慮順序使用往往是尋求解題方法的思維程序慮順序使用往往是尋求解題方法的思維程序. 2. 求軌跡方程與求軌跡是有不同要求的，求軌跡方程與求軌跡是有不同要求的，若是求軌跡則一般先求出方程，然后說(shuō)明和討若是求軌跡則一

14、般先求出方程，然后說(shuō)明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，即圖形的形狀、論所求軌跡是什么樣的圖形，即圖形的形狀、位置、大小都需說(shuō)明、討論清楚位置、大小都需說(shuō)明、討論清楚.19 3. 某些最值問(wèn)題常?；瘹w為軌跡問(wèn)題來(lái)某些最值問(wèn)題常?；瘹w為軌跡問(wèn)題來(lái)解決，即先研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡或軌跡方程，再解決，即先研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡或軌跡方程，再在此基礎(chǔ)上求相關(guān)最值，這就是軌跡思想在此基礎(chǔ)上求相關(guān)最值，這就是軌跡思想. 4. 利用參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡也是解決問(wèn)題利用參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡也是解決問(wèn)題的常用方法，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：的常用方法，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)： (1)參數(shù)的選擇要合理，應(yīng)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)的選擇要合理，應(yīng)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y有直接關(guān)系，且易用參數(shù)表達(dá)有直接關(guān)系，且易用參數(shù)表達(dá).可供