圓錐曲線(題型完美版)

1、高中數(shù)學(xué)選修2-1資料第一章圓錐曲線第一節(jié)橢圓1 .橢圓的定義.F1F2I)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 這兩(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) Fi, F2的距離的和等于常數(shù)2a(2a個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的_兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的另一種定義方式(見人教A版教材選修2 1 P47例6、P50):平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn) M到定點(diǎn)F的距離和它到定直線I的距離之比等于常數(shù) e(0 < ev 1)的軌跡叫做橢圓.定點(diǎn)F叫做橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)， 定直線I叫做橢 圓的一條準(zhǔn)線，常數(shù) e叫做橢圓的2 .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上(1)圖形(2)標(biāo)準(zhǔn)方程y2 x2-+孑 1(a>b>0)(3)范圍a怒&

2、lt;a,- bwy<ba wy wa, b <x<b中心原點(diǎn)0(0, 0)(5)頂點(diǎn)A1( a, 0), A2(a, 0)B1(0， b), B2(0, b)(6)對(duì)稱軸x軸，y軸(7)焦點(diǎn)F1(0， c), F2(0 , c)(8)焦距2e = 2 寸a2-b2(9)離心率探(10)準(zhǔn)線a2 x =± ca2 y=±_ c3.橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(xo, yo)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的 PFiF2叫做焦點(diǎn)三角形.如圖所示，設(shè)/ FiPF2= e.(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，e最大1sin ee(2)S，F(xiàn)iF2= 2|PFi |PF2| in e= b2=

3、b2ta n； = e|yo|,當(dāng) |yo|= b,即 P 為短軸端點(diǎn)時(shí)，S»FiF2 取最大值，為be.(3)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a + c).通徑：過焦點(diǎn)的垂直于2b2X軸(或y軸)的直線與橢圓的兩交點(diǎn) A,B之間的距離。大小為 。a題型一橢圓的定義【例1】(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.方程mx2 +ny2= 1(m>0 , n>0 , m n)表示的曲線是橢圓.y2 x2 +仁= 1(aMb)表示焦點(diǎn)在 y軸上的橢圓.()a bX2 y2y2 X2一+ b> 1(a> b>0)與02 + b> 1(a&

4、gt; b>0)的焦距相同.(【例2】X2 y已知方程+5 m2m = 1表示橢圓，則m的取值范圍為C.(-3,5)B.(-3,1)(1,5)(-3,1) U (1,5)【變式1】“-3< m<5 ”是“方程X2y25+荷=1表示橢圓”的A .充分不必要條件B 必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2X【變式2】方程25 m2y16 m1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則 m的取值范圍是【變式4】(2013秋？西山區(qū)校級(jí)期末)已知橢圓方程為x2+4y2=16，求出其頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率.題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第一類定義法求軌跡方程.99.【例1】已知圓A:(x 2)2 y

5、2 36，圓A內(nèi)一定點(diǎn)B (2 , 0)，圓P過B點(diǎn)且與圓 A內(nèi)切，求圓心 P的軌跡方程.2 2 2【例2】設(shè)動(dòng)圓P與圓M:(x 3) y 4外切，與N:(x 3)100內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方【變式1】已知圓C：(X 3)2 + y2= 100及點(diǎn)A( 3,0) , P是圓C上任意一點(diǎn)，線段 PA的垂直平分線I與PC相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的軌跡方程.【變式且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C,貝y C的方程為第二類橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2】（2013 全國(guó)課標(biāo)I）已知圓M :（X + 1）2+ y2= 1，圓N :（X 1）2+ y2 = 9，動(dòng)圓P與圓M外切并【例1】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn) P （2 , 0

6、）和點(diǎn)Q（1,辺），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.22X【例2】已知一橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且與橢圓一921有相同的焦點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)（3, 2），求此4橢圓的方程.【變式1】?jī)蓚€(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（0, 2 ）、（ 0 , 2），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（-,5）2 2【變式2】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn) P （3 , 0）且a=3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.1 3【例3】（2016 ?河?xùn)|區(qū)一模）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為一，且經(jīng)過點(diǎn)M（1 ,-）,2 2過點(diǎn)P （2 , 1）的直線I與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn) A , B .求橢圓C的方程;【變式3】（2016秋？灌南縣校級(jí)期中）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

7、方程:(1)1焦點(diǎn)在 x軸上，a=6 , e= 一3(2)3焦點(diǎn)在y軸上，c=3 , e=-5【例3】（2016春？伊寧市校級(jí)期中）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為Fi （0, -1 ）、F2 （0 , 1 ），直線y=4是橢圓的一條準(zhǔn)線.求橢圓方程.【例4】（2016秋？延安期末）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn) Fi, F2在x軸上,離心率為，過F1的直線I交C于A、B兩點(diǎn)，且 ABF2的周長(zhǎng)是16，求橢圓C的方程. 2【變式4】（2015秋？霍邱縣校級(jí)期末）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線互相垂直，且此焦點(diǎn)和 x軸上的較近端點(diǎn)的距離為 4 （4-1 ），求

8、橢圓方程.【例5】（2015秋？永年縣期末）已知Fi , F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，現(xiàn)有橢圓上一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和為20,且|MFi|、|FiF2|、|MF2|成等差數(shù)列，試求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2【變式5】（2016 ?天津）設(shè)橢圓 與 1（a3）的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為 A,a 311 3e已知 |of| |oa|fA，其中0為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率.求橢圓的方程;題型三橢圓的焦點(diǎn)三角形性質(zhì)一：過橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑b2（垂直于焦點(diǎn)的弦）最短，通徑為2匕aF1PF2,則 S F1PF22詁1(a0）,兩焦點(diǎn)分別為Fi,F2,設(shè)焦點(diǎn)三角形PFi F2中2X性質(zhì)二：已知橢圓方程為一2a2b2

9、1(a0）,兩焦點(diǎn)分別為Fi,F2 ,設(shè)焦點(diǎn)三角形PF1F2中2X性質(zhì)三：已知橢圓方程為令aF1PF2,則 cos 12e2.【例1】若P是橢圓100641上的一點(diǎn),Fi、F2是其焦點(diǎn)，且F1PF2 60，求RPF?的面積.【例2】2X已知F1、F2是橢圓飛'a2話1(a0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)P使 F1PF2 90，求橢圓離心率e的取值范圍?！咀兪?】已知Fi，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，/ F1PF2= 60。.求橢圓離心率的范圍2【變式2】橢圓L49x21上一點(diǎn)P與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的連線互相垂直，則Fj PF2的面積為（）24A. 20B. 22C. 28D.

10、24-X【變式3】橢圓一4- *y 1的左右焦點(diǎn)為F1、F- , P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)RPF-的面積為1時(shí)，PF1 PF-的值為（A. 0B. 1C. 3D. 61. （2017?崇明縣一模）如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O , F （-2, 0 ）為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|0P|=|OF|且|PF|=4，則橢圓C的方程為（-y- 15-y- 1162y- 1102L 125-A XA. -5-C.36-B.30- r x D.452.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1（0 ,1）、F2（O,1） , P是橢圓上一點(diǎn)，并且PF1+ PF2= 2FiF2，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程-X3.已知一橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸

11、且與橢圓一9-1有相同的焦點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)（3 , 2 ），求此橢圓4的方程。X24.已知P為橢圓-1上的一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2是兩個(gè)焦點(diǎn)，F(xiàn)iPF2 120 ,求VF1PF2的面積.2X我們根據(jù)橢圓聳a2 y_ b21 (a b 0)來(lái)研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x= ±a和y= ±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|x|<a, |y|<b.2.橢圓的對(duì)稱性對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程2y1，把x換成-x,或把y換成-y,或把x、y同時(shí)換成-X、-y,方程都不變,b2 2x y所以橢圓 41是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱

12、圖形，這a b個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心3.橢圓的頂點(diǎn)橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)x2 y2橢圓一 勺 1 （ a> b >0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 a bAi（-a，0），A2（ a, 0），Bi（0，-b），B2（ 0，b）.線段 AiA2, BiB2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，|AiA2|=2a , |BiB2|=2b.a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).4.橢圓的離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用2ce表示，記作e 2aa,從而b JOc2越小,因?yàn)閍>c>0,所以e的取值范圍是0Ve< 1.e越接近1

13、，則c就越接近因此橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,從而b越接近于a,這時(shí)橢圓就越接近于圓.當(dāng)且僅當(dāng)要點(diǎn)詮釋:橢圓2 x2 a2y91的圖象中線段的幾何特征(如下圖)：b(1)(2)(3)PFiBFiAFiPF2BF25.橢圓的第二定義、準(zhǔn)線2a,OF1 OF2 c ,C，AIF2A2F1A，BABb2 ;PFi當(dāng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)-(0 e 1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是a橢圓.定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.2x對(duì)于橢圓a2詁1，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,O)的準(zhǔn)線方程是x2a.根據(jù)對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)F ( c,0)cX2務(wù)1的準(zhǔn)

14、線方程是yb222的準(zhǔn)線方程是xay.對(duì)于橢圓 一2ca可見橢圓的離心率就是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比，這就是離心率的幾何意義.2由橢圓的第二定義巴口 e可得：右焦半徑公式為IMF右I ed e|x | a ex ;左焦半徑公dc2a 式為 I MF左 I ed e| x ( ) | a ex .c題型一 橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)2 2【例1】求橢圓 L 1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出這個(gè)橢圓259姮，求m的值.5【變式1】求橢圓16x2+25 y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)2 2【例2】已知橢圓mx 5y 5m m 0的離心率為e

15、2 2X y【例3】求橢圓 1的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線；左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線.25162 2【變式2】求橢圓9x y81方程的準(zhǔn)線方程.題型二橢圓的離心率X2【例1】（2017 ?河?xùn)|區(qū)模擬）橢圓 一421的離心率為3 2 2【變式1】（2017?河北區(qū)模擬）橢圓J 1的離心率等于2516【例2】（1）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分成長(zhǎng)為J3： J2的兩段，求其離心率;10和4，求其離心率.（2 ）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離分別為【變式1】【例3】從橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的視角為1200，則此橢圓的離心率橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是(A.15B.fD.-2值為2，則

16、此橢圓離心率e的大小為O【變式2】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的離心率 e22X V【例4】橢圓一篤 1上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為di、d2，焦距為2c，若di、2c、d2成等差數(shù)列，則橢a b圓的離心率為【例5】已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m , n, mn成等比數(shù)列，則橢圓X221的離心率為n【變式3】已知橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是2 2X V【例上頂點(diǎn)為 B,若BF丄BA,則稱6】已知橢圓 丄1 ( a>0, b>0 )的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為a b其為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為【例7】在Rt ABC中， A 90 , AB

17、 AC 1，如果一個(gè)橢圓過 A、B兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為 C,另一個(gè)焦點(diǎn)在AB上，求這個(gè)橢圓的離心率2X 【變式4】以Fi、F2為焦點(diǎn)的橢圓a27 = 1( a b 0 )上一動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng) F1PF2最大時(shí) PF1F2的正切buu【變式5】如圖橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng) FBAB時(shí)，其離心率為魚此類橢圓被稱為“黃金橢2e等于90，則橢圓的離心率圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出”黃金雙曲線”的離心率【變式6】如圖所示，橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn)，直線AB1與BF交于D,且 BDB11.平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外,因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種

18、，任給一點(diǎn) M (x,y)，若點(diǎn)(x,y)在橢圓上,則有若點(diǎn)(x,y)在橢圓內(nèi),若點(diǎn)(x,y)在橢圓外,2 ab222xy2 ab222xy2.2ab則有則有2 x21(a1 (a1(a0)；0)；0).2.直線與橢圓的位置關(guān)系2 2X y將直線的方程y kx b與橢圓的方程 i （aa bb 0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的元二次方程，其判別式為.心0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)（或兩個(gè)公共點(diǎn)）；笑 = 0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)（或一個(gè)公共點(diǎn)）;< 0直線和橢圓相離直線和橢圓無(wú)公共點(diǎn).3.直線與橢圓的相交弦2X 設(shè)直線y kX b交橢圓a272 i (a b

19、0)于點(diǎn) P(xi,yi) ,F2(X2,y2),兩點(diǎn)，則 bIP1P2I J(xi X2)2 (yi y2)2j(xi X2)2i (2)2=J?V|x X2IXiX2同理可得IPP21 Ji *1 yi y2 l (k 0)這里|XiX21, | yi y21,的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形:|Xi X2Iyl(X X2)2 4XiX2|yi y21J(yi y2)2 4yiy22 2X y【例1】若直線y kx 1（k R）與橢圓 1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍5 m【例2】對(duì)不同實(shí)數(shù)m，討論直線y X m與橢圓 y21的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).4【變式1】直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上

20、的橢圓x2/9+ y2/m=1總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.1/2 <m < 9B.9 < m < 10C.1 <m < 9D.1 < m < 9【變式2】直線y= mx+1與橢圓x2+4 y2=1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m2=（）1A.22B.-33C.44D.5題型二弦長(zhǎng)【例1】求直線X2Xy + 1=0被橢圓-21截得的弦長(zhǎng)42 2【變式1】已知橢圓4x y 1及直線y x m.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)?(2)【例若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 彳，求直線的方程.522】（2016秋?仙桃校級(jí)期末）已知橢圓7 y2 J過左焦點(diǎn)

21、F1傾斜角為7的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).求弦AB的長(zhǎng).【變式2】(2016秋？黃陵縣校級(jí)期末)已知橢圓 C:2 2X y22 1 (a b 0)的一個(gè)頂點(diǎn)為 A (2, 0),a b離心率為眨直線y=x-1與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)(1 )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求線段MN的長(zhǎng)度.題型三點(diǎn)差法2X1所截得線段的中點(diǎn)，求直線 I的方程.【例1】已知點(diǎn)P (4, 2)是直線I被橢圓一362【變式1】已知橢圓75X21 1的一條弦的斜率為 3，它與直線X -的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn) M，求點(diǎn)252M的坐標(biāo).X2【例2】已知橢圓E：二+訂=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交

22、E于A, B兩點(diǎn).若AB的中y2a2 b點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , - 1)，貝y E的方程為()X2y2A. +一= 14536X2y2B.+= 13627X2y2c.+ = 12718X2 yD.+= 11891【例3】過點(diǎn)Mg)作斜率為-2的直線與橢圓X2y2C： a2+b= 1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓 C的離心率等于2 2【變式2】過橢圓 1內(nèi)一點(diǎn)M (2,1)引一條弦，使弦被 M點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。16422 y【變式3】已知雙曲線X2 乙 1，經(jīng)過點(diǎn)M(1,1)能否作一條直線I，使I與雙曲線交于 A、B，且點(diǎn)M2是線段AB的中點(diǎn)。若

23、存在這樣的直線 I，求出它的方程，若不存在，說(shuō)明理由。橢圓綜合1. (2016春？平?jīng)鲂＜?jí)期末)已知橢圓 M : -+七=1(a>b>0)的離心率為，短軸的長(zhǎng)為2 a2 b22(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若經(jīng)過點(diǎn)(0, 2)的直線I與橢圓M交于P, Q兩點(diǎn)，滿足OP OQ = 0,求I的方程.X2 y22.( 2016秋？龍海市校級(jí)期末)已知橢圓C:二+二=1(a>b>0)的焦距為2血，橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓a2 b2兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6.(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)直線I： y=kx-2與橢圓C交于A , B兩點(diǎn)，點(diǎn)(0,1 )，且|PA|=|PB|，求直線I的

24、方程.3. (2016秋？萬(wàn)州區(qū)校級(jí)期末)已知命題2 p :方程4h2七1所表示的曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；命題q :關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式t2 (a 3)t但 2)0.(1 )若命題P為真，求實(shí)數(shù)t的取值范圍;(2)若命題P是命題q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.4. (2016秋？鄰水縣期末)已知橢圓 C :X2y2-+ -= 1（a>b>0）a2的離心率為，左焦點(diǎn)為F (-1 , 0)，過點(diǎn)2D (0 , 2 )且斜率為k的直線I交橢圓于B兩點(diǎn).(1 )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2 )求k的取值范圍.5. (2016秋？尖山區(qū)校級(jí)期末)已知橢圓X2+二=1(a>b>

25、;0)的離心率為y2a2 b，且 a2 2b2(1 )求橢圓的方程;(2 )直線I： x-y+m=0與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù) m，使線段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上,若存在，求出 m 的值；若不存在，說(shuō)明理由第二節(jié) 雙曲線1.雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)Fi、F2的距離之差的 絕對(duì)值等于常數(shù)2a （ a大于0且2a軌跡叫作雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)Fi、F2叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距要點(diǎn)詮釋:1.雙曲線的定義中，常數(shù) 2a應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件:PFiPF22a F1F2 ，中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解;2.若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)a滿足約束條件:PFi

26、PF22a F1F2跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn) F2的一支；若靠焦點(diǎn)Fi的一支;3.若常數(shù)a滿足約束條件：Ipr括端點(diǎn)）；4.若常數(shù)a滿足約束條件:PFi5.若常數(shù)a 0,則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程PF2PF2PF2PFi2a2a2aF1F2，F(xiàn)1 F2的垂直平分線.1.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:2 2xy12. 2IabF1F2 ）的動(dòng)點(diǎn)P的這可以借助于三角形（a 0），則動(dòng)點(diǎn)軌F1F2 ( a0），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以 F1、則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在;(a 0,b0)，其中F2為端點(diǎn)的兩條射線（包c(diǎn)2a2 b2 ；22.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：爲(wèi)2x0

27、001 (a 0,b0)，其中 c a bb題型一雙曲線的定義【例1】已知點(diǎn)Fi ( 4,0)和F2(4,O)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到Fi、F2距離之差為6，則曲線方程為(2xA.92C.x-92y7【例2】已知點(diǎn)A .橢圓2彳卡x1或72xB.92D.9P(x,y)的坐標(biāo)滿足 J(x評(píng)(y評(píng)B .雙曲線中的一支1 = i(y>0)1(x>0)J(x 3)2C.兩條射線【變式1】“ab<0 ”是“曲線ax2 + by2= 1為雙曲線”的(A .充分不必要條件B 必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(y3)24 ,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()D .以上都不對(duì)【變式2】(2015

28、?南市區(qū)校級(jí)模擬)已知 M (-2 , 0)、N (2 , 0 ),|PMl-IPN 1=4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A 雙曲線B.雙曲線左邊一支C. 一條射線D .雙曲線右邊一支【例3】已知方程1表示雙曲線，則k的取值范圍是(A. 1< k<1B. k>0C. k>0k>1 或 k< 1【變式3】（2014 ?大連二模）如果方程X21表示雙曲線，則 m的取值范圍是（-1 )B. ( -2 , -1 )【變式3】已知雙曲線8kx2 ky2=2的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,-），則k的值等于（2題型一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程類型一定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】一動(dòng)圓過定點(diǎn) A（ 4,0

29、），且與定圓B： （X 4）2 + y2 = 16相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為【例2】動(dòng)圓與圓X2 + y2 = 1和X2 + y2 8x+ 12 = 0都相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為（）A 雙曲線的一支B 圓C.拋物線D 雙曲線【變式】已知圓C1:（X + 3）2 + y2 = 1和圓C2:（X 3）2 + y2 = 9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為類型二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:（1）已知兩焦點(diǎn)F1（ 5,O）,F2（5,O）,雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于（2）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 6），經(jīng)過點(diǎn) A（

30、5,6）.【例2】求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)的比為3:4 ,焦距為10的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式1】對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點(diǎn)P(3 , Q( 6/2 , 7)。2 2【例3】求與雙曲線16七1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn) g的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式2】求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且頂點(diǎn)在y軸，焦距為10, e -的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.4焦點(diǎn)三角形:'、性質(zhì)1:若 F1PF2則 S f1pf2 b2cot特別地，當(dāng)FiPF2 90 時(shí)，有1 2F1PF2b2.性質(zhì)2 :雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與FiF2相切于實(shí)軸頂點(diǎn)；且當(dāng) P點(diǎn)在雙曲線左支時(shí),切點(diǎn)為左頂點(diǎn)，且當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線右支

31、時(shí)，切點(diǎn)為右頂點(diǎn)。性質(zhì)3 :雙曲線離心率為 e，其焦點(diǎn)三角形 PFiF2的旁心為A，線段PA的延長(zhǎng)線交FiF2的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B,e.、一y*性質(zhì)4 :雙曲線的焦點(diǎn)三角形P F1F2 中，PFF2JPF2F當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，有tan cote112 2e1當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，有cot tane122e 1【例已知Fi,F2是雙曲線x2一y2= 1的兩個(gè)焦點(diǎn),4P是雙曲線上一點(diǎn)，且/ FiPF2= 90。，則zFiPF2的面積是（C. 2【變式1】已知雙曲線9 X2 y216 = 1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,若雙曲線上一點(diǎn) P 使/FiPF2= 90 ° ,AFiPF2的面積

32、是（）A. 12B.16C. 24D . 32【例2】雙曲線焦點(diǎn)三角形F1PF2的內(nèi)切圓與F1F2相切于點(diǎn)A，則IafHaf【例3】設(shè)雙曲線孚町a(chǎn) b1 a 0,b 0，F(xiàn)1、F2是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上一點(diǎn)若離心率 e 2，tan 2 則2tan 2【例4】雙曲線離心率為e，其焦點(diǎn)三角形 PF1F2的旁心為A，線段pa的延長(zhǎng)線交F1F2的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B ,若|bA 4 , |AP| 2，則離心率e1.雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較頂點(diǎn)(a,0)(0, a)軸實(shí)軸長(zhǎng)=2a，虛軸長(zhǎng)=2b離心率ce (e 1)a漸近線方程by -XaaybX要點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方

33、程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看X2、y2的系數(shù),如果X2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 X軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 y軸上.對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上2.雙曲線的漸近線(1)已知雙曲線方程求漸近線方程:2 2 2XyX若雙曲線方程為1,則其漸近線方程為 aba已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程(2)已知漸近線方程求雙曲線方程:若雙曲線漸近線方程為mx ny 0，則可設(shè)雙曲線方程為m2X2，根據(jù)已知條件，求出即(3)與雙曲線2 X 2 a2詁1有公共漸近線的雙曲線X2與雙曲線令a

34、2b21有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為2 X 2 a0)(0，焦點(diǎn)在X軸上,0,焦點(diǎn)在y軸上)(4)等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為yX，因此等軸雙曲線可設(shè)為3.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.(0).題型一 雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)【例1】求雙曲線2 216x 9y 144的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程與離心率【變式1】雙曲線mx2 + y2 = 1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的等于（）1D.4【例2】已知雙曲線方程,求漸近線方程:(1)2 2X y 1 ;9162 2X y(2)916【變式2】求下列雙曲線方程的漸近線方程:2 236 1 ；( 2)X2 2y22 2

35、x272(1)【變式3】中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為3的圓錐曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為(5A . y -x44B. y -x53D. y 4x【例3】根據(jù)下列條件,求雙曲線方程2x(1)與雙曲線一92y161有共同的漸近線，且過點(diǎn)3,273)；(2) 漸近線方程為3x2y 0，且雙曲線過點(diǎn)M (8,6 J3)【變式4】過點(diǎn)(2，2a.L22c.L42x42 x22-2)且與雙曲線22B.x-42 r xD.22 y22 y4【變式5】設(shè)雙曲線y91(aB.【變式6】x2雙曲線a2yb22x2aA .實(shí)軸B.焦點(diǎn)1有公共漸近線的雙曲線是(0)的漸近線方程為3x 2y2 y b20)有相同

36、的(c.漸近線D .以上都不對(duì)x2【例4】雙曲線421的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于9-2 2【變式7】雙曲線J 1的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于(916C. 42【變式1】已知雙曲線篤y2a【例X2 y22】已知雙曲線了行1(anJ2)的兩條漸近線的夾角為 ，則雙曲線的離心率為3【例3】已知Fi、F2是雙曲線2x2a2y丄亍1(a 0,b 0)的兩焦點(diǎn)，以線段 F1 F2為邊作正三角形 MF 1F2,b若邊MF 1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是題型二雙曲線的離心率X2 y24【例1】已知雙曲線一-b7=1的一條漸近線萬(wàn)程為y=x，則雙曲線的離心率為1 (a 0)的一條準(zhǔn)線為X -，則該雙曲線的離心

37、率為2X2 y2【變式2】已知雙曲線 J 1(a>0, b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60。的直線與雙曲線的a b右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是【變式3】已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中,有一個(gè)內(nèi)角為60。，則雙曲線C的離心率為【例4】X2已知雙曲線一2a2占 1 (a 0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2, P是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且PFi丄PF2,bI PFi II PF2 1= 4ab ,則雙曲線的離心率是【例5】2 2X y設(shè)F1和F2為雙曲線 右 勺 1(a 0,b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若F1, F? , P(0,2b)是正三角

38、形的三a b個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為【變式2 2X y4】過雙曲線 七 1(a >0, b > 0)的左焦點(diǎn)且垂直于 X軸的直線與雙曲線相交于 M、N兩點(diǎn),a b以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于【變式5】設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為 F ,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為 B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為2 2x y【例6】已知雙曲線 篤 1,(a 0,b 0)的左，右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且a b| PFi | 4| PF2 |,則此雙曲線的離心率e的最大值為2x【例7】雙曲線一a2爲(wèi) 1 ( a>0,b >

39、0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2| PF2|,則雙曲b2x【變式6】雙曲線pa線離心率的取值范圍為1 ( a 0, b 0)的左、右焦點(diǎn)分別是 Fi, F2，過Fi作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為將直線的方程y kxx2m與雙曲線的方程a1.直線與雙曲線的位置關(guān)系2匕 1 (a 0,b 0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于xb或y的一元二次方程，其判別式為(b2 a2k2)X2 2a2mkX a2m2 a2b20若b2 a2k2 0,即k-，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn);a若b2 a2| 22bk2

40、0,即 k -,a直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);=0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切,有一個(gè)公共點(diǎn);< 0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離,無(wú)公共點(diǎn).直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.直線與雙曲線的相交弦2 2X y設(shè)直線y kX m交雙曲線i (a 0,b0)于點(diǎn)P(Xi,yi)，巳區(qū)必),兩點(diǎn)，則a bIP1P2I J(xi X2)2 (yi y2)2j(Xi X2)2ijrViX X2IXiX2同理可得1PP21 Ji 右 1 yi y21 (k 0)這里|XiX21, | yi y21,的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形:|XiX2

41、 |J(Xi X2)2 4XiX2|yi y21題型一直線與雙曲線的位置關(guān)系54【例1】直線I過點(diǎn)(1 , 1)，與雙曲線x21只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的 I有4A.1B.2條C.4條D.無(wú)數(shù)條【例2】已知雙曲線X2 y2=4 ,直線y= k(x 1)，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2【例3】過點(diǎn)P(G5)與雙曲線y1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。25【變式1】“直線與雙曲線有唯一交點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.不充分不必要條件【變式2】若直線y=kx+1與曲線x= J71有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，貝yk的取值范圍是（A.- 72

42、 < k< 72B.- V2 < k<-1c.i< k< 72D.k<- J2 或 k> J2【變式3】直線x2y= (x 7)與雙曲線31的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（A.0個(gè)B.1C.2個(gè)D.4個(gè)題型二弦長(zhǎng)2【例1】求直線1截得的弦長(zhǎng).1被雙曲線x2 L4【例2】垂直于直線2y 3 0的直線I被雙曲線2X20【變式1】斜率為22x的直線I被雙曲線一2y_51截得的弦長(zhǎng)為警，求直線1的方程.1截得的弦長(zhǎng)為2 J5，則直線I的方程是（A.y=2xJ55B.y=2 x ±誕5C.y=2 x ±曉5D.y=2x 士也5【變式2】過雙曲線16x2-

43、9y2=144的右焦點(diǎn)作傾斜角為 一的弦AB，則|AB|等于3題型三點(diǎn)差法2 2X y在雙曲線 埠 1 ( a > 0 , b > 0)中，若直線l與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(X0,y0)是弦a bMN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線I的斜率為kMN，則kMN也X0b2.a是弦【例2 2同理可證，在雙曲線a1( a >0，b >0 中，若直線MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線I的斜率為kMN，則kMN21】已知雙曲線C : yl與雙曲線相交于 M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(Xo, yo)yoXoa21，過點(diǎn)P(2,1)作直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)若P恰為弦AB的中點(diǎn)，求直線I的方程.【例2】已知雙曲線C :2x22 與點(diǎn) P(1,2).(1)斜率為k且過點(diǎn)P的直線I與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求 k的取值范圍;(2)是否存在過點(diǎn)