用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定型

1、-Mv莆學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系高等代數(shù)選講”課程論文題目： 用矩陣的初等變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形姓名： 廖丹學(xué)號(hào)： 410401141莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2004 級(jí)2007 年 6 月 20 日用矩陣的初等變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形041數(shù)本 410401141 廖丹摘要： 本文介紹兩種特殊方法：一種是用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，另一種是連續(xù)用第三種初等行變換快速將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形關(guān)鍵詞 ：初等變換 第三種初等陣 非異陣 實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形1數(shù)域下任意一個(gè)實(shí)二次型 XAX ,總可以經(jīng)過非奇異變換 X PY 使得nXAXdi yi2,其中di為實(shí)數(shù)，通常的方法是采用配方法或初等變

2、換法，然而傳統(tǒng)的方法i1最大的缺點(diǎn)是不易求矩陣 P .下面介紹一種特殊方法 ,能夠快速將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，舉求出非異陣 P.定義1.1以Tj（k）表示將單位矩陣的j行（列）的k倍加到i行（列），所得到的第三種初等陣 .定理1.2設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱陣，P是有限個(gè)第三種初等陣Tj（k）,i1 的 乘積 .且d1PA a其中a是n 1維行向量,A1是n 1階陣,則必有PAP d 0 A110A1證明：由于P是Tij（k）的乘積,且i 1,根據(jù)矩陣的乘法規(guī)則，用P右乘PA時(shí)，PA的第一列元素不變 ,從而 PAPd10，即A是實(shí)對(duì)稱的.A1PAP 亦為實(shí)對(duì)稱陣這個(gè)定理實(shí)質(zhì)上就給出矩陣A化標(biāo)準(zhǔn)形,求出變換

3、矩陣P的一種方法，只要連續(xù)使用第三種初等變換即可把A化為上三角形.現(xiàn)作矩陣A,E找出P使di*P A,EP A,Pdr0,P則這個(gè)p的轉(zhuǎn)置陣就是我們要找的非異陣P,它使PAP為對(duì)角陣.即只要對(duì)A,E作有限次第三種初等變換Tij(k) i當(dāng)把A變換成上三角陣時(shí),A,E的E就同時(shí)化為P ,且使diP APdr0求非異陣P,使P AP為對(duì)角陣，其中AA,Er2 r13（ 2）r故由定理知PAP 0例2將實(shí)二次型2XiX26X2X32X)X3化為平方和.01解：此二次型的系數(shù)矩陣3 , A的主對(duì)角元素全是0,故不能立即引用0定理,需先對(duì)A作初等行變換及其相應(yīng)的列.使經(jīng)過如此變換后得到的新合同陣的主對(duì)角

4、有非零數(shù)，然后再用定理即可A,Er23422 2r131則 2xiX2 6X2X3J21202X1X3,P APPY,2y21 2y226y23.PY將二次型XAX2 .若要求一正交陣P使PAP成對(duì)角陣，這等價(jià)于經(jīng)過正交變換 X化為標(biāo)準(zhǔn)形.一般步驟是通過施密特正交化過程來求解，但此方法較為復(fù)雜，下面介紹用解一些齊次線性方程組的方法來化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理2.1設(shè)A為n n階矩陣，秩A，且；列初等變換BrQn (n 1) R (n其中1)B是秩為r的列滿秩矩陣，則矩陣P所含n r個(gè)列向量就是齊次線性方程組AX個(gè)基礎(chǔ)解系.存在可逆的n級(jí)矩陣 PP2| FS使APP2Bn*r,0，其中Bn*r是秩為

5、r的列滿秩矩陣同理：EnPP2PsEn*r,En*(n r)，其中En*r表示秩為r的每一列有且只有元素為1的列滿秩矩陣，En*(n r)表示秩為n r的每一列有且只有一元素為1的列滿秩矩陣An*nEnPP2I川帆BnnQn n0D，其中 Qn n En r， R n En (n r)Fn (n 1)由于AX 0的解向量個(gè)數(shù)為nr，而Pn (n r)為秩為n r的列滿秩矩陣再由初等變換原理易知:矩陣P所含n r個(gè)列向量就是齊次線性方程組 AX 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.定理2.2矩陣A的特征矩陣A經(jīng)列的初等變換可化為下三角的矩陣B ，且B的主對(duì)角線上元素的乘積的多項(xiàng)式的根恰為A的所有特征根.此定理證明

6、與定理1.2相仿,故省去.F面探討計(jì)算方法:列初等變換BA ，其中B為下三角矩陣則B的主對(duì)角線上的全部元素的多項(xiàng)式的全部根恰為矩陣 A的全部特征根，對(duì)于矩陣A的每一特征根i，若矩陣B中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣，那么矩陣P j中和B i中零向量所對(duì)應(yīng)的列向量是屬于特征根i的全部線性無關(guān)的特征向量；否則繼續(xù)D i列初等變換DA iB* i使得B* i中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣，那么P iP i中和B i中向量對(duì)應(yīng)的列向量是屬于特征根i的全部線性無關(guān)的特征向量.設(shè)所求出的特征向量iilll1kiIll 川 ikilll sl|sks,它是一組線性無關(guān)的向量，以ij為列向量構(gòu)成矩陣B ij，則BB

7、是一個(gè)n階正定矩陣,必與單位矩陣正合同，即存在n階可逆矩陣Q ,使得Q BBQ e|即 Q B BQ Emill 21式說明：對(duì)矩陣BB施行一系列的列初等變換，（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為Q）及一系列的行初等變換（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為 Q），可化為單位矩陣;（2）式說明：BQ的列向量組是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,BQ可以通過對(duì)矩陣B施行與對(duì)矩陣BB所施行的相同的初等變換求出.于是得到求正交矩陣的初等變換法B BE一一一BQ對(duì)BB施行列初等變換對(duì)B施行行初等變換.實(shí)際上將BB化為E,可先用寺Vaii分別乘以aii所在的行和列使aii變成1 ；再施以列初等變換把a(bǔ)ii所在行其他元素化為0,又施以行初等變換把a(bǔ)ii所在列的其他元素化為0，按此法,依次把a(bǔ)22且PAP為對(duì)角陣，其中主對(duì)角線上元素11，）ann變?yōu)閕.其它元素變?yōu)?,那么矩陣BQ即為所求的矩陣P, 屮kiks例i求正交矩陣P使PAP為對(duì)角陣，其中A 242.22 442211A解：E22 8 122142矩陣A的特征根為2 （二重），8.12時(shí)，有B非零向量的列構(gòu)成滿秩矩陣，對(duì)應(yīng)零向量的向量01當(dāng)28時(shí)，同法求出對(duì)應(yīng)特征向量3是無關(guān)的，以3為列向量構(gòu)成矩陣B,再求出BB于是得:BB100010001210晁運(yùn)111運(yùn)晶品111即得:02品1麗111拆7311173且有P AP參考文獻(xiàn):1北大.高等代數(shù)