2.1一階線性微分方程ppt課件

1、)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為齊次的上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)9.2.2 一階線性微分方程一階線性微分方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法(使用分離變量法使

2、用分離變量法)2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設(shè)設(shè) ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比:)(xuC 常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實質(zhì)實質(zhì): : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換. .),()(xyxu原原未未知知函函數(shù)數(shù)新新未未知知函函數(shù)數(shù)作變換作變換 dxx

3、Pexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin

4、1 .cos1Cxx 解解例例1 1例例2 2 如下圖，平行與如下圖，平行與 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQPQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, , 求曲線求曲線 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdttfx xyxydx03,兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy 例例3.有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m的質(zhì)點的質(zhì)點

5、,從液面由靜止?fàn)顟B(tài)開始垂直下從液面由靜止?fàn)顟B(tài)開始垂直下降降,設(shè)在沉降過程中質(zhì)點所受的阻力與沉降速度設(shè)在沉降過程中質(zhì)點所受的阻力與沉降速度v成正比成正比,比例系數(shù)為比例系數(shù)為k(k0),試求質(zhì)點下沉速度試求質(zhì)點下沉速度v及位置及位置x與沉降與沉降時間時間t的關(guān)系的關(guān)系.解解:yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 教材例題：教材例題： P.19-20例例.,例