高二數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾_知識點(diǎn) 習(xí)題 答案

1、空間向量與立體幾何1、空間向量的概念：在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量向量可用一條有向線段來表示有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向向量的大小稱為向量的模（或長度），記作模（或長度）為的向量稱為零向量；模為的向量稱為單位向量與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的加法和減法：求兩個向量和的運(yùn)算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則即：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則求兩個向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法

2、則即：在空間任取一點(diǎn)，作，則3、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)時，與方向相同；當(dāng)時，與方向相反；當(dāng)時，為零向量，記為的長度是的長度的倍4、設(shè)，為實(shí)數(shù)，是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律分配律：；結(jié)合律：5、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線6、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使7、平行于同一個平面的向量稱為共面向量8、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，共面，則9、已知兩個非零向量和，在空間任

3、取一點(diǎn)，作，則稱為向量，的夾角，記作兩個向量夾角的取值范圍是：10、對于兩個非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作11、已知兩個非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作即零向量與任何向量的數(shù)量積為12、等于的長度與在的方向上的投影的乘積13、若，為非零向量，為單位向量，則有；，；14、向量數(shù)乘積的運(yùn)算律：；15、若，是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得，稱，為向量在，上的分量16、空間向量基本定理：若三個向量，不共面，則對空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得17、若三個向量，不共面，則所有空間向量組成的集合是這個集合可看作是由向量，生成的，稱為空間的一個基底，稱為基向量空間任意

4、三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底18、設(shè)，為有公共起點(diǎn)的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，以，的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系則對于空間任意一個向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量存在有序?qū)崝?shù)組，使得把，稱作向量在單位正交基底，下的坐標(biāo)，記作此時，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)19、設(shè)，則 若、為非零向量，則若，則，則20、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量來表示向量稱為點(diǎn)的位置向量21、空間中任意一條直線的位置可以由上一個定點(diǎn)以及一個定方向確定點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量表示直線的方向向

5、量，則對于直線上的任意一點(diǎn)，有，這樣點(diǎn)和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點(diǎn)22、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為，為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對，使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面的位置23、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量24、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，則，25、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則，26、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為，則，27、設(shè)異面直線，的夾角為，方向向量為，其夾角為，則有28、設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則

6、有29、設(shè)，是二面角的兩個面，的法向量，則向量，的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角為，則30、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對應(yīng)向量的模計(jì)算31、在直線上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為32、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個法向量，則點(diǎn)到平面的距離為空間向量與立體幾何練習(xí)題1一、選擇題（每小題5分，共50分）1.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn).若=a，=b，=c，則下列向量中與相等的向量是A.a+b+c B.a+b+cC.ab+c D.ab+c2.下列等式中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是A.

7、B.C. D.3.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則等于A. B. C. D.4.若，與的夾角為，則的值為A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.設(shè)，則線段的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離為A. B. C. D.6.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是正方體圓錐三棱臺正四棱錐A B C D7.右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是俯視圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖2322A.B.C.D.8.如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.異

8、面直線AD與CB1所成的角為60°9.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為A. B. C. D.10.ABC的三個頂點(diǎn)分別是，則AC邊上的高BD長為A.5 B. C.4 D.二、填空題（每小題5分，共20分）11.設(shè)，且，則 .12.已知向量，且，則=_.13.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（-2，3），B（3，-2），沿軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為的二面角后，這時，則的大小為 14.如圖，PABCD是正四棱錐，是正方體，其中，則到平面PAD的距離為 .三、解答題（共80分）15.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-

9、ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于600，是PC的中點(diǎn)，設(shè)（1）試用表示出向量；（2）求的長16.（本小題滿分14分）如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出（單位：cm）.（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；（3）在所給直觀圖中連結(jié)，證明：面EFG.17.（本小題滿分12分）如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)求證：（1）直線面；（2）平面面18.（本小題滿分14分）如圖，已知點(diǎn)P在正方體的對角線上，PDA=60°

10、.（1）求DP與所成角的大?。唬?）求DP與平面所成角的大小.19.（本小題滿分14分）已知一四棱錐PABCD的三視圖如下，E是側(cè)棱PC上的動點(diǎn)（1）求四棱錐PABCD的體積；（2）是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BDAE？證明你的結(jié)論;（3）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求二面角DAEB的大小20.（本小題滿分14分）如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，分別是的中點(diǎn)（1）證明：；PBECDFA（2）若為上的動點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值參考答案一、選擇題1.=c+(a+b)=a+b+c，故選A.2.故選D.3.,故選B.4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D10.由于，所以,故選

11、A二、填空題11.9 12.313.作ACx軸于C，BDx軸于D，則14.以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面PAD的法向量是，取得，到平面PAD的距離.三、解答題15.解：（1）是PC的中點(diǎn)，（2）.16.解：（1）如圖（2）所求多面體體積ABCDEFG（3）證明：在長方體中，連結(jié)，則因?yàn)榉謩e為，中點(diǎn)，所以，從而又平面，所以面17.證明：（1）E,F分別是的中點(diǎn)，EF是ABD的中位線，EFAD，AD面ACD，EF面ACD，直線EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F(xiàn)是的中點(diǎn)，CFBD又EFCF=F, BD面EFC，BD面BCD，面面.18.解：如圖，以為原點(diǎn)，為

12、單位長建立空間直角坐標(biāo)系則，連結(jié)，在平面中，延長交于設(shè)，由已知，由，可得ABCDPxyzH解得，所以（1）因?yàn)椋?，即與所成的角為（2）平面的一個法向量是因?yàn)椋?，可得與平面所成的角為19.解：（1）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PC底面ABCD，且PC=2.(2)不論點(diǎn)E在何位置，都有BDAE證明如下：連結(jié)AC，ABCD是正方形，BDACPC底面ABCD 且平面BDPC又BD平面PAC不論點(diǎn)E在何位置，都有AE平面PAC 不論點(diǎn)E在何位置，都有BDAE(3)解法1：在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DGAE于G，連結(jié)BGCD=CB,EC=EC，ED=EBAD

13、=AB，EDAEBA，BGEA為二面角DEAB的平面角BCDE，ADBC，ADDE在RADE中=BG在DGB中，由余弦定理得=，二面角DAEB的大小為.解法2：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示：則,從而設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為由法向量的性質(zhì)可得：，令，則，設(shè)二面角DAEB的平面角為，則，二面角DAEB的大小為.20.（1）證明：由四邊形為菱形，可得為正三角形因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又，因此因?yàn)槠矫?，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以?）解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角在中，所以當(dāng)最短時，最大，即當(dāng)時，最大此時，因此又

14、，所以，所以解法一：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角，在中，又是的中點(diǎn)，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值為解法二：由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以PBECDFAyzx，所以設(shè)平面的一法向量為，則因此取，則，因?yàn)?，所以平面，故為平面的一法向量又，所以因?yàn)槎娼菫殇J角，所以所求二面角的余弦值為空間向量與立體幾何2一、選擇題（每小題5分，共60分）1下列各組向量中不平行的是（ ）A BC D2已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A B C D3若向量，且與的夾角余弦為，則等于（ ）A B C或 D

15、或4若A，B，C，則ABC的形狀是（ ）A不等邊銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等邊三角形5若A，B，當(dāng)取最小值時，的值等于（ ）A B C D6空間四邊形中，則<>的值是（ ）A B C D7設(shè)表示直線，表示平面，則下列命題中不正確的是（ ）A，則/ Bm/，則m/n ABCDC, 則 D, 則 8在棱長均為2的正四面體中，若以三角形為視角正面的三視圖中，其左視圖的面積是（ ）A B C DDCAB9、如圖，將無蓋正方體紙盒展開，直線AB,CD在原正方體中的位置關(guān)系是（ ）A平行 B相交且垂直 C 異面 D相交成60°10、點(diǎn)P在平面ABC外，若PA=PB=P

16、C，則點(diǎn)P在平面ABC上的射影是ABC的 （ ）A外心 B.重心 C.內(nèi)心 D.垂心11、如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（ ）PABCD（A） （B） （C） （D）12、已知PD矩形ABCD所在的平面，圖中相互垂直的平面有（ ）（A）2對 （B）3對 （C）4對 （D）5對二、填空題（每小題4分，共24分）13若向量，則_。14若向量，則這兩個向量的位置關(guān)系是_。15已知向量，若，則_；若則_。16已知向量若則實(shí)數(shù)_，_。17若，且，則與的夾角為_。18已知空間四邊形，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且，用，表示，則=_。三、

17、解答題（每小題12分，共36分）19（08海南寧夏卷理18）如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的ABCDPxyzH對角線BD1上，PDA=60°.（1）求DP與CC1所成角的大?。唬?）求DP與平面AA1D1D所成角的大小.20.(08陜西卷理20）三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，A1AC1B1BDC（）證明：平面平面；（）求二面角的大?。ㄖ磺笥嘞抑档拇笮。?1如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截面而得到的，其中. （）求的長； （）求點(diǎn)到平面的距離.答案一、選擇題1D 而零向量與任何向量都平行2A 關(guān)于某軸對稱，則某坐標(biāo)不變，其余全

18、部改變3C 4A ，得為銳角；，得為銳角；，得為銳角；所以為銳角三角形5C ，當(dāng)時，取最小值6D 7.B 8.C 9.D 10.A 11.A 12.D二、填空題13 ，14垂直 15若，則；若，則16 17 18 三、解答題19（08海南寧夏卷理18）如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1上，PDA=60°.（1）求DP與CC1所成角的大??；（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小.解：如圖，以為原點(diǎn)，為單位長建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)BCDPxyzH則，連結(jié)，在平面中，延長交于設(shè)，由已知，由可得解得，所以（）因?yàn)?，所以即與所成的角為（）平面的一個法向量是因?yàn)椋?所以可得與平面所成的角為20.(08陜西卷理20）三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，A1AC1B1BDC（）證明：平面平面；（）求二面角的大小解：解法一：（）平面平面，在中，又，即A1AC1B1BDCFE（第19