概率題型(內(nèi)附答案)

1、第十一章 概率第一節(jié) 古典概型A組1某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽驗(yàn)一只是正品(甲級品)的概率為_解析：記抽驗(yàn)的產(chǎn)品是甲級品為事件A，是乙級品為事件B，是丙級品為事件C，這三個事件彼此互斥，因而抽驗(yàn)產(chǎn)品是正品(甲級品)的概率為P(A)1P(B)P(C)15%3%92%0.92.答案：0.922某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.20，0.30,0.10，則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為_解析：射中8環(huán)及以上的概率為0.200.300.100.60，故不夠8環(huán)的概率為10.600.40.答

2、案：0.403從甲、乙、丙、丁四人中任選兩名代表，甲被選中的概率為_解析：從甲、乙、丙、丁四人中任選兩名代表的所有可能為：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，滿足題意的有：甲乙、甲丙、甲丁，所以概率為P.答案：4(2010年佛山第二次質(zhì)檢)從一個信箱中任取一封信，記一封信的重量為(單位：克)，如果P(<10)0.3，P(1030)0.4，則P(>30)_.解析：P(>30)1P(<10)P(1030)10.30.40.3.答案：0.35某種電子元件在某一時刻是否接通的可能性是相同的，有3個這樣的電子元件，則出現(xiàn)至少有一個接通的概率為_解析：設(shè)電子元件接通記為1，沒有接通

3、記為0.又設(shè)A表示“3個電子元件至少有一個接通”，顯然表示“3個電子元件都沒有接通”，表示“3個電子元件的狀態(tài)”，則(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)(0,0,0)由8個基本事件組成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，(0,0,0)，事件由1個基本事件組成，因此P()，P(A)P()1，P(A)1P()1.答案：6(2010年南京調(diào)研)某學(xué)校的籃球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)各有10名隊(duì)員，某些隊(duì)員不止參加了一支球隊(duì)，具體情況如圖所示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，求：(1)該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率；(2)該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)

4、的概率解：從圖中可以看出，3個球隊(duì)共有20名隊(duì)員，(1)記“隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)”為事件A，則P(A).故隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率為.(2)記“隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)”為事件B，則P(B)1P()1.故隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率為.B組1(2009年高考安徽卷)從長度分別為2、3、4、5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是_解析：從四條線段中任取三條有4種取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能構(gòu)成三角形的取法有3種：(2,3,4)，(2,4,5)，(3

5、,4,5)，故所求的概率為.答案：2甲射手擊中靶心的概率為，乙射手擊中靶心的概率為，甲、乙兩人各射擊一次，那么，甲、乙不全擊中靶心的概率為_解析：P1×.答案：3口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是_解析：P10.420.280.30.答案：0.304甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是_解析：(甲送給丙，乙送給丁)，(甲送給丁，乙送給丙)，(甲、乙都送給丙)，(甲、乙都送給丁)共四種情況，其中甲、乙將賀年卡送給同一人的情況有兩種答案：5(2

6、008年高考江蘇卷)若將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率是_解析：基本事件共6×6個，點(diǎn)數(shù)和為4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3個故P.答案：6有兩個質(zhì)地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個玩具的各面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4，把兩個玩具各拋擲一次，斜向上的面寫有的數(shù)字之和能被5整除的概率為_解析：由于正四面體各面都完全相同，故每個數(shù)字向上都是等可能的，被5整除的可能為(2,3)，(3,2)，(1,4)，(4,1)共4種，而總共有4×416(種)，故P.答案：7有一個奇數(shù)列1

7、,3,5,7,9，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組，第一組有1個數(shù)為1，第二組有2個數(shù)為3、5，第三組有3個數(shù)為7、9、11，依此類推，則從第十組中隨機(jī)抽取一個數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為_解析：由已知可得前九組共有(1239)45(個)奇數(shù)，第十組共有10個奇數(shù)且依次構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，且第一個奇數(shù)為a112×(461)91，所以，第十組的奇數(shù)為91,93,95,97,99,101,103,105,107,109這十個數(shù)字，其中恰為3的倍數(shù)的數(shù)有93,99,105三個，故所求概率為P.答案：8先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x、

8、y，則滿足log2xy1的概率為_解析：由log2xy1得y2x，滿足條件的x、y有3對，而骰子朝上的點(diǎn)數(shù)x、y共有6×636，概率為.答案：9(2010年江蘇宿遷模擬)將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b、c則方程x2bxc0有實(shí)根的概率為_解析：一枚骰子擲兩次，其基本事件總數(shù)為36，方程有實(shí)根的充要條件為b24c.b123456使b24c的基本事件個數(shù)012466由此可見，使方程有實(shí)根的基本事件個數(shù)為1246619，于是方程有實(shí)根的概率為P.答案：10如圖，四邊形ABCD被兩條對角線分成四個小三角形，若每個小三角形用4種不同顏色中的任一種涂染，求出現(xiàn)相鄰三角形均不同色的概

9、率解：若不考慮相鄰三角形不同色的要求，則有44256(種)涂法，下面求相鄰三角形不同色的涂法種數(shù)：若AOB與COD同色，它們共有4種涂法，對每一種涂法，BOC與AOD各有3種涂法，所以此時共有4×3×336(種)涂法若AOB與COD不同色，它們共有4×312(種)涂法，對每一種涂法BOC與AOD各有2種涂法，所以此時有4×3×2×248(種)涂法故相鄰三角形均不同色的概率P.11在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分及以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，計(jì)算小明在數(shù)

10、學(xué)考試中取得80分及以上成績的概率和小明考試不及格(低于60分)的概率解：設(shè)小明的數(shù)學(xué)考試成績在90分及以上，在8089分，在7079分，在6069分分別為事件B，C，D，E，這4個事件是彼此互斥的根據(jù)互斥事件的加法公式，小明的考試成績在80分及以上的概率為P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.小明考試及格的概率，即成績在60分及以上的概率為P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.而小明考試不及格與小明考試及格互為對立事件，所以小明考試不及格的概率為1P(BCDE)10.930.07.12盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放

11、回地從中任取2次，每次只取1只，試求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品解：從6只燈泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有6236(種)不同取法(1)取到的2只都是次品的情況有224(種)，因而所求概率為P.(2)由于取到的2只中正品、次品各1只有2種可能：第一次取到正品，第二次取到次品；第一次取到次品，第二次取到正品，所以所求的概率為P.(3)由于“取到的2只中至少有1只正品”是事件“取到的2只都是次品”的對立事件，因而所求的概率為P1.第二節(jié) 概率的應(yīng)用A組1在一個袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球

12、，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是_解析：當(dāng)取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3時只有1,2一種取法；當(dāng)取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為6時，有1,5，2,4兩種取法，所以符合條件的取法種數(shù)為3種，而所有的取法有10種，故所求的概率為.答案：2已知kZ，(k,1)，(2,4)，若|A|4，則ABC是直角三角形的概率為_解析：|A|4，k2116，k215，k3，2，1,0,1,2,3.B(2k,3)若A·Bk22k30，則k1，k3；若B·A0，則k8(舍)；若A·A0，則k2.故P.答案：3(2010年南京調(diào)研)

13、甲盒子里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2,4,7的4張卡片，乙盒子里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,4的2張卡片若從兩個盒子中各隨機(jī)地取出1張卡片，則2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是_解析：數(shù)字之和為奇數(shù)的有(1,4)，(2,1)，(4,1)，(7,4)共4種情形，而從兩個盒子中各抽取一張卡片共有8種情況，所以所求概率為.答案：4(2009年高考江蘇卷)現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度(單位：m)分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為_解析：在5個長度中一次隨機(jī)抽取2個，則有(2.5,2.6)，(2.5，2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.

14、9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)，共10種情況滿足長度恰好相差0.3 m的基本事件有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)，共2種情況，所以它們的長度恰好相差0.3 m的概率為P.答案：5(原創(chuàng)題)連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n，向量a(m，n)，b(1,1)，若在ABC中，A與a同向，C與b反向，則ABC是鈍角的概率是_解析：要使ABC是鈍角，必須滿足A·C<0，即a·bnm>0.連擲兩次骰子所得點(diǎn)數(shù)m，n共有36種情形，其中15種滿足條件，故所求概率是.6一個袋子中有

15、紅、白、藍(lán)三種顏色的球共24個，除顏色外其他特征完全相同，已知藍(lán)色球3個若從袋子中隨機(jī)取出1個球，取到紅色球的概率是.(1)求紅色球的個數(shù)；(2)若將這三種顏色的球分別進(jìn)行編號，并將1號紅色球，1號白色球，2號藍(lán)色球和3號藍(lán)色球這四個球裝入另一個袋子中，甲乙兩人先后從這個袋子中各取一個球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的編號比乙大的概率解：(1)設(shè)紅色球有x個，依題意得，解得x4，紅色球有4個(2)記“甲取出的球的編號比乙的大”為事件A，所有的基本事件有(紅1，白1)，(紅1，藍(lán)2)，(紅1，藍(lán)3)，(白1，紅1)，(白1，藍(lán)2)，(白1，藍(lán)3)，(藍(lán)2，紅1)，(藍(lán)2，白1)，(藍(lán)2

16、，藍(lán)3)，(藍(lán)3，紅1)，(藍(lán)3，白1)，(藍(lán)3，藍(lán)2)，共12個事件A包含的基本事件有(藍(lán)2，紅1)，(藍(lán)2，白1)，(藍(lán)3，紅1)，(藍(lán)3，白1)，(藍(lán)3，藍(lán)2)，共5個，所以P(A).B組1(2009年高考浙江卷)有20張卡片，每張卡片上分別標(biāo)有兩個連續(xù)的自然數(shù)k，k1，其中k0,1,2，19.從這20張卡片中任取一張，記事件“該卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和(例如：若取到標(biāo)有9,10的卡片，則卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和為91010)不小于14”為A，則P(A)_.解析：對于大于14的情況通過列舉可得有5種情況：(7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19)，而基本事

17、件有20種，因此P(A).答案：2用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖的規(guī)律拼成若干圖形，則按此規(guī)律第100個圖形中有白色地磚_塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機(jī)撒在第100個圖形中，則豆子落在白色地磚上的概率是_解析：白色地磚構(gòu)成等差數(shù)列：8,13,18，5n3，an5n3，a100503，第100個圖形中有地磚503100603，故所求概率P.答案：5033設(shè)集合A1,2，B1,2,3，分別從集合A和B中隨機(jī)取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點(diǎn)P(a，b)，記“點(diǎn)P(a，b)落在直線xyn上”為事件Cn(2n5，nN)，若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為_解析：分別從A和B中各取1個數(shù)，一共有6種等可

18、能的取法，點(diǎn)P(a，b)恰好落在直線xy2上的取法只有1種：(1,1)；恰好落在直線xy3上的取法有2種：(1,2)，(2,1)；恰好落在直線xy4上的取法也有2種：(1,3)，(2,2)；恰好落在直線xy5上的取法只有1種：(2,3)，故事件Cn的概率分別為，(n2,3,4,5)，故當(dāng)n3或4時概率最大答案：3和44先后從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的4個大小、形狀完全相同的球中，有放回地隨機(jī)抽取2個球，則抽到的2個球的標(biāo)號之和不大于5的概率等于_解析：基本事件共有4×416個，其中抽到的2個球的標(biāo)號之和不大于5的情況有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(

19、2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10種，所以所求概率為.答案：5把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b，向量m(a，b)，n(1，2)，則向量m與向量n垂直的概率是_解析：顯然m·na2b0，所有可能的結(jié)果為(a，b)(2,1)、(4,2)、(6,3)基本事件總數(shù)為36，則概率為.答案：6.(2010年南京高三調(diào)研)如圖，將一個體積為27 cm3的正方體木塊表面涂上藍(lán)色，然后鋸成體積為1 cm3小正方體，從中任取一塊，則這一塊恰有兩面涂有藍(lán)色的概率是.解析：據(jù)題意知兩面涂色的小正方體當(dāng)且僅當(dāng)它們是大正方體的各條棱

20、的中點(diǎn)時滿足條件正方體共12條棱，所以兩面涂色的小正方體有12個，而所有小正方體有27個，所以，所求的概率為P.答案：7集合A2,4,6,8,10，B1,3,5,7,9，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，則所取兩數(shù)m>n的概率是_解析：基本事件總數(shù)為25個m2時，n1；m4時，n1,3；m6時，n1,3,5；m8時，n1,3,5,7；m10時，n1,3,5,7,9；共15個故P0.6.答案：0.68集合A(x，y)|y|x1|，集合B(x，y)|yx5先后擲兩顆骰子，設(shè)擲第一顆骰子得點(diǎn)數(shù)記作a，擲第二顆骰子得點(diǎn)數(shù)記作b，則(a，b)AB的概率等于.解析：如圖：滿足(a，b)(AB)

21、的(a，b)值共有8個，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)P.答案：9(2010年江蘇泰興模擬)已知|x|2，|y|2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則當(dāng)x，yZ時，P滿足(x2)2(y2)24的概率為_解析：由|x|2，|y|2，x、yZ，則基本事件總數(shù)為n25，P滿足(x2)2(y2)24，滿足條件的整點(diǎn)有(0,2)，(1,2)，(2,2)，(1,1)，(2,1)，(2,0)6個，故P.答案：10(2010年皖南八校質(zhì)檢)甲、乙兩人各擲一次骰子(均勻的正方體，六個面上分別為1,2,3,4,5,6點(diǎn))，所得點(diǎn)數(shù)分別為x，y.(1)求x&l

22、t;y的概率；(2)求5<xy<10的概率解：記基本事件為(x，y)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36個基本事件其中滿足x<y的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)

23、(1,5)(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15個滿足5<xy<10的基本事件有(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共20個(1)x<y的概率P(x<y)；(2)5<xy<10的概率P(5<xy<10).11晚會上，主持人面前放著A、B兩個箱子，每

24、箱均裝有3個完全相同的球，各箱的3個球分別標(biāo)有號碼1,2,3.現(xiàn)主持人從A、B兩箱中各摸出一球(1)若用(x，y)分別表示從A、B兩箱中摸出的球的號碼，請寫出數(shù)對(x，y)的所有情形，并回答一共有多少種；(2)求所摸出的兩球號碼之和為5的概率；(3)請你猜這兩球的號碼之和，猜中有獎猜什么數(shù)獲獎的可能性最大？說明理由解：(1)數(shù)對(x，y)的所有情形為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9種(2)記“所摸出的兩球號碼之和為5”為事件A，則事件A包含的基本情形有(2,3)，(3,2)，共2種，所以P(A).(3)記“所摸出的

25、兩球號碼之和為i”為事件Ai(i2,3,4,5,6)，由(1)可知事件A2的基本結(jié)果為1種，事件A3的基本結(jié)果為2種，事件A4的基本結(jié)果為3種，事件A5的基本結(jié)果為2種，事件A6的基本結(jié)果為1種，所以P(A2)，P(A3)，P(A4)，P(A5)，P(A6).故所摸出的兩球號碼之和為4的概率最大，即猜4獲獎的可能性最大12從某學(xué)校高三年級共800名男生中隨機(jī)抽取50人測量身高據(jù)測量，被測學(xué)生身高全部介于155 cm到195 cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組155,160)；第二組160,165)；第八組190,195如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分已知第一組與第八

26、組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列(1)估計(jì)這所學(xué)校高三年級全體男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人數(shù)；(2)求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩人，記他們的身高分別為x、y，求滿足“|xy|5”的事件的概率解：(1)由頻率分布直方圖得前五組頻率為(0.0080.0160.040.040.06)×50.82，后三組頻率為10.820.18，人數(shù)為0.18×509，這所學(xué)校高三年級全體男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人數(shù)為800×0.18144.(2)由頻

27、率分布直方圖得第八組頻率為0.008×50.04，人數(shù)為0.04×502，設(shè)第六組人數(shù)為m，則第七組人數(shù)為92m7m，又m22(7m)，解得m4，所以第六組人數(shù)為4，第七組人數(shù)為3，頻率分別等于0.08,0.06.分別等于0.016,0.012.其完整的頻率分布直方圖如圖(3)由(2)知身高在180,185)內(nèi)的人數(shù)為4，設(shè)為a、b、c、d，身高在190,195內(nèi)的人數(shù)為2，設(shè)為A、B，若x，y180,185)時，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6種情況；若x，y190,195時，有AB共1種情況；若x，y分別在180,185)和190,195內(nèi)時，有aA、bA、cA

28、、dA、aB、bB、cB、dB，共8種情況所以基本事件總數(shù)為61815，事件“|xy|5”所包含的基本事件個數(shù)有617，P(|xy|5).第三節(jié) 幾何概型A組1.在長為1的線段上任取兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距離小于的概率為_解析：利用幾何概型知識，結(jié)合線性規(guī)劃可求出答案，如圖|xy|<<xy<，x(0,1)，y(0,1)，設(shè)陰影部分的區(qū)域面積為d，可知d，整個正方形的面積為D，可知D1，則所求概率P.答案：2在等腰直角三角形ABC中，若M是斜邊AB上的點(diǎn)，則AM小于AC的概率為_解析：可用相應(yīng)線段長度之比來度量，易知P.答案：3(2009年高考山東卷)在區(qū)間，上隨機(jī)取一個數(shù)x，則

29、cosx的值介于0到之間的概率為_解析：當(dāng)x時，由0cos x，得x或x，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.答案：4平面上有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是_解析：如圖所示，當(dāng)硬幣中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為.答案：5(原創(chuàng)題)向面積為S的ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，則PBC的面積小于的概率為_解析：SPBC<SABC，h<(其中h為PBC中BC邊上的高，h為ABC中BC邊上的高)，設(shè)DE為ABC的中位線，則點(diǎn)P應(yīng)在梯形BCED內(nèi)(如圖陰影部分)，P.答案： B組

30、1(2009年高考福建卷)點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長度小于1的概率為_解析：設(shè)事件M為“劣弧的長度小于1”，則滿足事件M的點(diǎn)B可以在定點(diǎn)A的兩側(cè)與定點(diǎn)A構(gòu)成的弧長小于1的弧上隨機(jī)取一點(diǎn)，由幾何概型的概率公式得：P(M).答案：2(2010年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知如圖所示的矩形，長為12，寬為5，在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲1000粒黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為600粒，則可以估計(jì)出陰影部分的面積約為_解析：設(shè)所求的面積為S，由題意得，S36.答案：363在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a的概率為_解

31、析：P.答案：4(2010年揚(yáng)州調(diào)研)已知集合Ax|1<x<5，Bx|>0，在集合A中任取一個元素x ，則事件“xAB”的概率是_解析：由題意得Ax|1<x<5，Bx|2<x<3，由幾何概型知：在集合A中任取一個元素x，則xAB的概率為P.答案：5某公共汽車站每隔10分鐘就有一趟車經(jīng)過，小王隨機(jī)趕到車站，則小王等車時間不超過4分鐘的概率是_答案：6如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連結(jié)MN，則弦MN的長度超過R的概率是_解析：連結(jié)圓心O與M點(diǎn)，作弦MN使MON90°，這樣的點(diǎn)有兩個，分別記為N1，N2，僅當(dāng)點(diǎn)N在

32、不包含點(diǎn)M的半圓弧上取值時，滿足MN>R，此時N1ON2180°，故所求的概率為.答案：7已知(x，y)|xy6，x0，y0，E(x，y)|x2y0，x4，y0，若向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域E的概率為_解析：如圖，區(qū)域表示的平面區(qū)域?yàn)锳OB邊界及其內(nèi)部的部分，區(qū)域E表示的平面區(qū)域?yàn)镃OD邊界及其內(nèi)部的部分，所以點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域E的概率為.答案：8已知函數(shù)f(x)x2axb.若a、b都是從區(qū)間0,4任取的一個數(shù)，則f(1)0成立的概率是_解析：f(1)1ab0，即ab1，如圖：A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，SABC，P.答案：9在區(qū)間0,1上任意取兩個實(shí)數(shù)a，b

33、，則函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間1,1上有且僅有一個零點(diǎn)的概率為_解析：f(x)x2a，故f(x)在x1,1上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3axb在1,1上有且僅有一個零點(diǎn)，即有f(1)·f(1)<0成立，即(ab)(ab)<0，則(ab)(ab)>0，可化為或由線性規(guī)劃知識在平面直角坐標(biāo)系aOb中畫出這兩個不等式組所表示的可行域，再由幾何概型可以知道，函數(shù)f(x)x3axb在1,1上有且僅有一個零點(diǎn)的概率為可行域的面積除以直線a0，a1，b0，b1圍成的正方形的面積，計(jì)算可得面積之比為.答案：10設(shè)不等式組表示區(qū)域?yàn)锳，不等式組表示的區(qū)域?yàn)锽.(1)在區(qū)域A中任

34、取一點(diǎn)(x，y)，求點(diǎn)(x，y)B的概率；(2)若x，y分別表示甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)數(shù)，求點(diǎn)(x，y)在區(qū)域B中的概率解：(1)設(shè)集合A中的點(diǎn)(x，y)B為事件M，區(qū)域A的面積為S136，區(qū)域B的面積為S218，P(M).(2)設(shè)點(diǎn)(x，y)在區(qū)域B為事件N，甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)(x，y)的個數(shù)為36個，其中在區(qū)域B中的點(diǎn)(x，y)有21個，故P(N).11(2010年江蘇南通模擬)已知集合Ax|1x0，集合Bx|axb·2x10,0a2,1b3(1)若a，bN，求AB的概率；(2)若a，bR，求AB的概率解：(1)因?yàn)閍，bN，(a，b)可取(0,1)，(0,2

35、)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9組令函數(shù)f(x)axb·2x1，x1,0，則f(x)abln2·2x.因?yàn)閍0,2，b1,3，所以f(x)0，即f(x)在1,0上是單調(diào)遞增函數(shù)f(x)在1,0上的最小值為a1.要使AB，只需a10，即2ab20.所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7組所以AB的概率為.(2)因?yàn)閍0,2，b1,3，所以(a，b)對應(yīng)的區(qū)域?yàn)檫呴L為2的正方形(如圖)，面積為4.由(1)可知，要使AB，只需f(x)mina102ab20，

36、所以滿足AB的(a，b)對應(yīng)的區(qū)域是如圖陰影部分所以S陰影×1×，所以AB的概率為P.12將長為1的棒任意地折成三段，求：三段的長度都不超過a(a1)的概率解：設(shè)第一段的長度為x，第二段的長度為y，第三段的長度為1xy，則基本事件組所對應(yīng)的幾何區(qū)域可表示為(x，y)|0x1,0y1,0xy1，此區(qū)域面積為.事件“三段的長度都不超過a(a1)”所對應(yīng)的幾何區(qū)域可表示為A(x，y)|(x，y)，xa，ya,1xya即圖中六邊形區(qū)域，此區(qū)域面積：當(dāng)a時，為(3a1)2/2，此時事件“三段的長度都不超過a(a1)”的概率為P(3a1)2；當(dāng)a1時，為.此時事件“三段的長度都不超過a

37、(a1)”的概率為P13(1a)2.第2講古典概型 1已知集合A1,0,1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，其中xA，yA.記點(diǎn)P落在第一象限為事件M，則P(M)等于()A. B. C. D.2若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m，n作為P點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)P在圓x2y225內(nèi)的概率為()A. B. C. D.3下課以后，教室里最后還剩下2位男同學(xué)，2位女同學(xué)如果沒有2位同學(xué)一塊兒走，則第2位走的是男同學(xué)的概率是()A. B. C. D.4(2011年安徽)從正六邊形的6個頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于()A. B. C. D.5連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量a

38、(m，n)與向量b(1，1)的夾角為，則的概率是()A. B. C. D.6(2011年全國新課標(biāo))有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為()A. B. C. D.7(2010年江蘇)盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_8從含有2件正品和1件次品的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后再放回，連續(xù)取兩次，則兩次取出的產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率是_9從含有3個元素的集合的子集中任取一個，則所取得的子集是含有2個元素的集合的概率是_10(2011年山東)甲、乙兩校各有

39、3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率11(2011年廣東揭陽模擬)已知集合A2,0,2，B1,1，設(shè)M(x，y)|xA，xB，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個元素(x，y)(1)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2y21上的概率；(2)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域D：內(nèi)(含邊界)的概率12(2011年廣東六校聯(lián)考)某運(yùn)動員進(jìn)行20次射擊練習(xí)，記錄了他射擊的有關(guān)數(shù)據(jù)，得到下表：環(huán)數(shù)78910命中次數(shù)278

40、3(1)求此運(yùn)動員射擊的環(huán)數(shù)的平均數(shù)；(2)若將表中某一環(huán)數(shù)所對應(yīng)的命中次數(shù)作為一個結(jié)果，在四個結(jié)果(2次、7次、8次、3次)中，隨機(jī)取2個不同的結(jié)果作為基本事件進(jìn)行研究，記這兩個結(jié)果分別為m次、n次，每個基本事件為(m，n)求“mn10”的概率第3講幾何概型 1(2010屆廣東惠州調(diào)研)如圖K1431，在半徑為R的圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，它落在陰影部分內(nèi)接正三角形上的概率是()A. B. C. D. 圖K1431 圖K14322(2011年福建)如圖K1432，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自ABE內(nèi)部的概率等于()A. B. C. D.3設(shè)a，

41、b(0,1)，則關(guān)于x的方程x22ax4b20在(，)上有兩個不同的零點(diǎn)的概率為()A. B. C. D.4ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離小于1的概率為()A. B1 C. D15在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個數(shù)x，cos的值介于0到之間的概率為()A. B. C. D.6設(shè)不等式組所表示的區(qū)域?yàn)锳，現(xiàn)在區(qū)域A中任意丟進(jìn)一個粒子，則該粒子落在直線yx上方的概率為()A. B. C. D.7如圖K1433點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長度小于1的概率為_圖K14338(2011年湖南)已知圓

42、C：x2y212，直線l：4x3y25.(1)圓C的圓心到直線l的距離為_(2)圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為_9在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為_10如圖K1434，平面上畫了兩條平行且相距2a的平行線把一枚半徑r<a的硬幣任意投擲在這個平面上，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率圖K143411如圖K1435，已知正三棱錐SABC的底面邊長為a，高為h，在正三棱錐內(nèi)取一點(diǎn)M，試求點(diǎn)M到底面的距離小于的概率圖K143512設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)

43、，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間0,3任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率第五節(jié) 簡單幾何體的面積和體積A組1(2010年東北四校聯(lián)考)已知一個長方體的同一頂點(diǎn)處的三條棱長分別為1，2，則其外接球的表面積為_解析：設(shè)外接球半徑為r，則(2r)212()2228，故r22.S球4r28.答案：82(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角邊長為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體積是_解析：如圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體VS·hR2·h×22×2.答案

44、：3(2010年南京調(diào)研)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)若截面BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為_解析：設(shè)ACa，CC1b，則由BC12BC2CC12，BC12DC12DB2，即得(a2b2)×2a2b2，得b22a2，又×a26，a28，V×8×48.答案：84矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為_解析：由題意知，球心到四個頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對角線AC上，且其半徑為AC長度的一半，則V球×()3.答案：5已知過球面上三點(diǎn)

45、A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且ACBC6，AB4，則球的半徑等于_，球的表面積等于_解析：如右圖，設(shè)球的半徑為r，O是ABC的外心，外接圓半徑為R，則OO面ABC.在RtACD中，cosA，則sinA.在ABC中，由正弦定理得2R，R，即OC.在RtOCO中，由題意得r2r2，得r.球的表面積S4r24×54.答案：546在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，過A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCDA1C1D1，且這個幾何體的體積為.(1)證明：直線A1B平面CDD1C1；(2)求棱A1A的長；(3)求經(jīng)過A1，C1，B

46、，D四點(diǎn)的球的表面積解：(1)證明：法一：如圖，連結(jié)D1C，ABCDA1B1C1D1是長方體，A1D1BC且A1D1BC.四邊形A1BCD1是平行四邊形A1BD1C.A1B平面CDD1C1，D1C平面CDD1C1，A1B平面CDD1C1.法二：ABCDA1B1C1D1是長方體，平面A1AB平面CDD1C1.A1B平面A1AB，A1B平面CDD1C1.A1B平面CDD1C1.(2)設(shè)A1Ah，幾何體ABCDA1C1D1的體積為，VABCDA1C1D1VABCDA1B1C1D1VBA1B1C1，即SABCD×h×SA1B1C1×h，即2×2×h&#

47、215;×2×2×h，解得h4.A1A的長為4.(3)如圖，連結(jié)D1B，設(shè)D1B的中點(diǎn)為O，連OA1，OC1，OD.ABCDA1B1C1D1是長方體，A1D1平面A1AB.A1B平面A1AB，A1D1A1B.OA1D1B.同理ODOC1D1B.OA1ODOC1OB.經(jīng)過A1，C1，B，D四點(diǎn)的球的球心為點(diǎn)O.D1B2A1D12A1A2AB222422224.S球4×(OD1)24×()2×D1B224.故經(jīng)過A1，C1，B，D四點(diǎn)的球的表面積為24.B組1(2008年高考湖北卷)用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體

48、積為_解析：截面圓的半徑為1，又球心到截面距離等于1，所以球的半徑R，故球的體積VR3.答案：2在三棱錐ABCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，ABC，ACD，ADB的面積分別為，則該三棱錐的體積為_解析：AB·AC，AD·AC，AB·AD，AB，AC1，AD.V··1··.答案：3(2010年福建廈門檢測)已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面相切，若這個球的體積是，則這個三棱柱的體積是_解析：由R3，得R2.正三棱柱的高h(yuǎn)4.設(shè)其底面邊長為a，則·a2.a4.V(4)2·448.答案：484(

49、2009年高考陜西卷改編)若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為_解析：所求八面體體積是兩個底面邊長為1，高為的四棱錐的體積和，一個四棱錐體積V1×1×，故八面體體積V2V1.答案：5(2009年高考全國卷)已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3，則球O的表面積等于_解析：由題意得圓M的半徑r，又球心到圓M的距離為，由勾股定理得R2r2()2，R2，則球的表面積為4×2216.答案：166(2009年高考江西卷)體積為8的一個正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O的體積等于_解析：設(shè)正

50、方體棱長為a，則a38，a2.S正方體S球，6×224R2，R .V球R3( )3.答案：7若長方體的三個共頂點(diǎn)的面的面積分別是，則長方體的體積是_解析：可設(shè)長方體同一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為a，b，c，列出方程組解得所以長方體的體積V1××.8在一個錐體中，作平行于底面的截面，若這個截面面積與底面面積之比為13，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為_解析：利用一個錐體被平行于底面的截面所截得的小錐體與原錐體體積之比等于相似比的立方，而這個截面面積與底面面積之比等于相似比的平方答案：139(2010年南通調(diào)研)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則四面體A

51、B1CD1的外接球的體積為_解析：四面體AB1CD1的外接球即為正方體的外接球，所以2r.r3，V球r3×2736.答案：3610(2009年高考寧夏、海南卷)如圖，在三棱錐PABC中，PAB是等邊三角形，PACPBC90°.(1)證明：ABPC；(2)若PC4，且平面PAC平面PBC，求三棱錐PABC的體積解：(1)證明：因?yàn)镻AB是等邊三角形，PACPBC90°，所以RtPBCRtPAC，可得ACBC.如圖，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD、CD，則PDAB，CDAB，所以AB平面PDC，所以ABPC.(2)作BEPC，垂足為E，連結(jié)AE.因?yàn)镽tPBCRtPAC，所以AEPC，AEBE.由已知，平面PAC平面PBC，故AEB90°.因?yàn)镽tAEBRtPEB，所以AEB，PEB，CEB都是等腰直角三角形由已知PC4，得AEBE2，AEB的面積S2.因?yàn)镻C平面AEB，所以三棱錐PABC的體積V×S×PC.11如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面CDE；(2)求證：AF平面BCE；(3)求四棱錐CABED的體積解：(1)證明：F為等邊三角形CD邊上的中點(diǎn)，AFCD，DE平面ACD，AF平面ACD，AFDE，又CDDED