三角函數(shù)中輔助角公式的應(yīng)用

1、bcosx 2)。a b輔助角公式在高考三角題中得應(yīng)用對(duì)于形如y=asinx+bcosx的三角式，可變形如下:，2,2,.ay=asinx=bcosx 7a b (sin x ， .a b可編輯范本ab上式中的,a與一b的平方和為1,2.22.2a b a ba八b.八故可記, =cos 0 , .- =sin 0 ,2,2，2/，a b. a bya2 b2 (sin x cos cosx sin ) a2 b2 sin(x )Io由此我們得到結(jié)論：asinx+bcosx=v a2 b2 sin(x ) , ( * )其中。由abcos ,-= sin 來(lái)確定。通常稱式子(*)為輔助角公式，

2、它可以將多 2222.a b. a b個(gè)三角式的函數(shù)問(wèn)題，最終化為y=Asin( x )+k的形式。下面結(jié)合近年高考三角題，就輔助角公式的應(yīng)用，舉例分類簡(jiǎn)析。.求周期例1求函數(shù)y 2cos(x )cos(x ) J3sin2x的最小正周期。44斛，y 2cos(x )sin(x ). 3 sin 2x44sin(2x ).3sin2x23 sin 2x cos2x2sin(2x -) 6所以函數(shù)y的最小正周期T=兀。評(píng)注：將三角式化為 y=Asin( x )+k的形式，是求周期的主要途徑。二.求最值 例2.已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x 0, 1 ,求f(x

3、)的最大值和最小值。2解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=、2sin(2x)。4由 0& x& - 0 2x 0 -2444當(dāng)2x ,即x=0時(shí)，sin(2x )最小值 一4442,一一 3當(dāng)2x ，即x - 時(shí)sin(2x )取取大值1。4284從而f(x)在0,上的最大值是1,最小值是 金。2三.求單調(diào)區(qū)間 xx(v 2 sin( ) , tan(),令一 x x例3.已知向量a(2 cos- ,tan(- -), 22 4 bf (x) 一？一 ,求函數(shù)a bf(x)在0,兀上的單調(diào)區(qū)間。2 . 2cosxsin(x22

4、解：f(x) 一 axx、tan( )tan( )2 42422cos2(貢n|二 cos與22x x1 tan tan 12. xtan 1 tan x x 2 x d22sin x cosx2sin cos 2cos 1,2 sin(x 一)。4先由0&x&反之再由一0x40 0 0 x&42所以f(x)在0,上單調(diào)遞增，在J上單調(diào)遞減。評(píng)注：以向量的形式給出條件或結(jié)論,是近兩年來(lái)三角命題的新趨勢(shì),但最終仍要?dú)w結(jié)為三角式的變形問(wèn)題。而化為 y=Asin(水+ )+k的形式，是求單調(diào)區(qū)間的通法。四.求值域例4.求函數(shù)f (x) COS(6k 12x) cos(6k 12x) 2 3sin(- 2x)(x R,k Z)的值域。解：f(x) cos(2k - 2x) cos(2k - 2x) 2.3sin(- 2x)2cos(32x) 2,3sin(- 2x)4sin( 32x)cos cos( 2x)sin 6364sin(2x一)。2所以函數(shù)f(x)的值域是-4, 4。五.圖象對(duì)稱問(wèn)題例6.如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=一對(duì)稱，那么a=()解：可化為sin2(-)(B)板(C) 1(D)V1 a2 sin(2x )。知acos2( ) 71 a2-1一時(shí)，y取得最值、；1 a2,即8a) 0