二重積分的概念

1、第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念二重積分的概念第九章重積分第九章重積分一、二重積分的概念一、二重積分的概念二、二重積分的性質二、二重積分的性質 積積分分區(qū)區(qū)域域為為空空間間一一區(qū)區(qū)域域域域積積分分區(qū)區(qū)域域為為平平面面上上一一區(qū)區(qū)),(),(zyxfuyxfzy=f(x) 積分區(qū)域為區(qū)間積分區(qū)域為區(qū)間重積分與定積分區(qū)別在于被積函數(shù)中自變量重積分與定積分區(qū)別在于被積函數(shù)中自變量個數(shù)與積分區(qū)域個數(shù)與積分區(qū)域這這就就是是重重積積分分的的概概念念 柱體體積柱體體積=？特點：曲頂特點：曲頂.上上連連續(xù)續(xù)且且在在頂頂是是曲曲面面軸軸的的柱柱面面而而母母線線平平行行的的邊邊界界為為準準線線面面是是以以側側為為底底

2、的的有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域面面上上以以曲曲頂頂柱柱體體指指DyxfzzDDxoy)0(),(:,: oxyzDz=f(x,y)曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點特點：平頂：平頂.取取極極限限來來解解此此問問題題求求和和近近似似代代替替分分割割以以平平代代曲曲樣樣，類類似似于于曲曲邊邊梯梯形形面面積積那那解解決決的的方方法法,: .,:在在變變高高頂頂是是曲曲的的現(xiàn)現(xiàn)在在的的問問題題在在于于播放播放 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示基本思想基本思想：用若干個小平頂柱體用若干個小

3、平頂柱體體積之和近似表示曲體積之和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積具體步驟如下：具體步驟如下：1、 分割分割2、 近似近似在每個在每個i 上任取一點上任取一點 ),(ii ),(iiifV i 3、求和、求和.),(1iiniifV 4、取極限、取極限.),(lim10iiniifV ,max11nxzyoD),(yxfz i ),(ii n把把D任意分成任意分成個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1 ,2 ，,n 其中其中i 表示表

4、示 第第i個小閉區(qū)域，也表示它的面?zhèn)€小閉區(qū)域，也表示它的面 對應的小曲頂柱體體積為對應的小曲頂柱體體積為.iV 積積. .求平面薄片的質量求平面薄片的質量i),(ii將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質量之和所有小塊質量之和近似等于薄片總質量近似等于薄片總質量.),(lim10iiniiM xyo二、二重積分的概念二、二重積分的概念如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域

5、在閉區(qū)域 D D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .(1) 在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的任意的.(2)當當),(yxf在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在的極限必存在，即二重積分必存在.對二重積分定義的說明：對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義曲曲頂頂柱柱體體體體積積當當 Ddyxfyxf ),(0),(.),(,),(柱柱體體體體積積的的代代數(shù)數(shù)和和若若干干部部分分為為負負在在若若干干部部分

6、分為為正正上上，當當在在 DdyxfyxfD 曲頂柱體體積的負值曲頂柱體體積的負值當當 Ddyxfyxf ),(0),( DDDdddyxfyxf 1),(1),(:時時當當思思考考題題以以D為底面積，為底面積，高為高為1的柱體體積的柱體體積D的面積的面積 在直角坐標系下用平在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元素為性質性質當當 為常數(shù)時為常數(shù)時，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質性質 Ddyxgyxf ),(),(.),(),(

7、DDdyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質）（二重積分與定積分有類似的性質）三、二重積分的性質三、二重積分的性質性質性質對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性質性質 若若 為為D的面積，的面積，.1 DDdd 性質性質若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 則有則有 設設M、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 為為 D 的的面面積積，則則性質性質 DMdyxfm),(（二重積分

8、估值不等式）（二重積分估值不等式）性質性質（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） ),(),(fdyxfD DDdyxffDMdyxfm ),(1),(),(),(1:使使得得上上至至少少存存在在一一點點在在證證明明 ),(),(),(),(fdfdfdyxfDDD在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee ,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 , ab由性質由性質6 6知知區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM5143122 m)2, 1( yx 故故4

9、252 I. 5 . 04 . 0 I解解解解2 yx在在 D 內內有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D估計積分值：,dd)94(D22yxyx其中，。4| ),(D22yxyx解解記94),(22yxyxf令xf02 xyf08y解方程組得駐點：, )0, 0(此時。9)0, 0(f例例而422D22)94(),(yxyxyxf2313y其中，,40222yxy故25),(13yxfD),(yx從而2525 ,13 , 9max),(maxDyxf925 ,13 , 9min),(minD Dyxf又Dd|D|4故 D22dd)94(yxyx1002549436 |d)(| MXfm 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割