函數(shù)的單調(diào)性正式

1、問題提出問題提出 德國(guó)有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對(duì)人類德國(guó)有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對(duì)人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究. .他經(jīng)過測(cè)試，得他經(jīng)過測(cè)試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：到了以下一些數(shù)據(jù)：時(shí)間間隔時(shí)間間隔 t剛記剛記憶完憶完畢畢20分分鐘后鐘后60分分鐘后鐘后8-9小時(shí)小時(shí)后后1天天后后2天天后后6天天后后一個(gè)一個(gè)月后月后記憶量記憶量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明，記憶量以上數(shù)據(jù)表明，記憶量y y是時(shí)間是時(shí)間間隔間隔t t的函數(shù)的函數(shù). . 艾賓浩斯根據(jù)這艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的些數(shù)據(jù)描

2、繪出了著名的“艾賓浩艾賓浩斯遺忘曲線斯遺忘曲線”, ,如圖如圖. .123tyo20406080100 y 隨隨 x 的增大而增大的增大而增大 y 隨隨 x 的增大而減小的增大而減小增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榱x域?yàn)?i: 如果對(duì)于屬于定如果對(duì)于屬于定義域?yàn)榱x域?yàn)?i內(nèi)某個(gè)區(qū)間上內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的的任意兩個(gè)自變量的值值x1、x2 ,當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)時(shí),都有都有f(x1)f(x2),那么就那么就說說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)增函數(shù). 如果對(duì)于屬于定義域內(nèi)某區(qū)間上的如果對(duì)于屬于定義域內(nèi)某區(qū)間上的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值 x

3、1 , x2 , 當(dāng)當(dāng) x1 x2 時(shí)，都時(shí)，都有有 f(x1 ) f(x2 ) ，那么就說，那么就說 f (x) 在這個(gè)區(qū)間在這個(gè)區(qū)間上是上是增函數(shù)增函數(shù)。 如果對(duì)于屬于定義域內(nèi)某區(qū)間上的如果對(duì)于屬于定義域內(nèi)某區(qū)間上的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值 x1 , x2 , 當(dāng)當(dāng) x1 f(x2 ) ，那么就說，那么就說 f (x) 在這個(gè)區(qū)間在這個(gè)區(qū)間上是上是減函數(shù)減函數(shù)。單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù) 如果函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是如果函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是 增函數(shù)或是減函數(shù)增函數(shù)或是減函數(shù)單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是 增函數(shù)或是減函數(shù)增函數(shù)或是減函數(shù)遞增區(qū)間遞增區(qū)間遞減區(qū)間

4、遞減區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言 的,它是一個(gè)局部概念.注：判斷下列兩個(gè)命題的正誤： 1、f(x)是a,b上增函數(shù) 若存在x1,x2a,b且x1x2，則f(x1)f(x2)。 2、若存在x1,x2a,b且x1x2，則f(x1)f(x2) f(x)是a,b上增函數(shù) 。（正確）（錯(cuò)誤） 根據(jù)圖像，說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出在根據(jù)圖像，說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出在此區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)。此區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)。-5 0 1 2 5 x -2y- 0 1 xy0 xy函數(shù)在定義域上是否為單調(diào)函數(shù)？函數(shù)在定義域上是否為單調(diào)函數(shù)？例例3 證明函數(shù)證明函數(shù) 在在(0,+)上上是減函數(shù)是減函數(shù).x

5、xf1)( 證明：設(shè) 是（0，+）上的任意兩個(gè) 實(shí)數(shù)，且 ，則 21,xx21xx 2112212111)()(xxxxxxxfxf 由 ，得), 0(,22 xx021 xx又由 ， 得21xx 012 xx于是 ，即0)()(21 xfxf)()(21xfxf 所以， 在（0，+)上是減函數(shù).xxf1)( 小小 結(jié)結(jié)利用定義確定或證明函數(shù)利用定義確定或證明函數(shù)f(x)f(x)在給定的在給定的 區(qū)間區(qū)間d d上的單調(diào)性的一般步驟：上的單調(diào)性的一般步驟： 1.1.取數(shù)取數(shù): :任取任取x x1 1，x x2 2dd，且，且x x1 10時(shí)，函數(shù)遞增。當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增。當(dāng)k0y-o xyab2a

6、0二次函數(shù)二次函數(shù) y = ax2 + bx + c (a0)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 函數(shù)遞減函數(shù)遞減2,(abx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 函數(shù)遞增函數(shù)遞增),2 abx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 函數(shù)遞增函數(shù)遞增2,(abx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 函數(shù)遞減函數(shù)遞減),2 abx 例、求函數(shù)例、求函數(shù) f(x) = x2 + 2x + 3 的單的單 調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間。調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間?？偨Y(jié)方法：總結(jié)方法： 畫圖時(shí)注意：畫圖時(shí)注意： 1、開口方向、開口方向 2、對(duì)稱軸、對(duì)稱軸 3、定義區(qū)間、定義區(qū)間畫圖畫圖 觀察觀察 寫結(jié)論寫結(jié)論增加條件：增加條件：x ( 0 , 3，如何求解，如何求解二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與什么有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與什么有關(guān) 練習(xí)：練習(xí)：1、已知、已知y=(2k+1)x在在r上是減函數(shù)，則上是減函數(shù)，則k應(yīng)應(yīng)滿足條件滿足條件_.2、函數(shù)、函數(shù)f(x) = 4x2 mx + 5,當(dāng)當(dāng)x-2,+)-2,+) 時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x(-,-2(-,-2時(shí)是減函時(shí)是減函 數(shù)，求數(shù)