第12講微積分在經(jīng)濟上應用(數(shù)三專題)

1、第12講 微積分在經(jīng)濟上的應用（數(shù)三專題）本講是數(shù)三的專門內(nèi)容，也叫微積分在經(jīng)濟上的應用，主要包括：導數(shù)、積分、偏導數(shù)、無窮級數(shù)、微分方程等在經(jīng)濟上的應用，差分方程的解法等，一般出題是4分的小題，有些年份出10分左右的大題，需要說明的是，這些應用要求在大綱上是分散且隱蔽的。12.1基礎知識一、復利與連續(xù)復利復利計算公式：mmrAA)1 ( 其中A表示一開始的本金，r表示每一期的利率，m表示復利的總期數(shù)，mA表示m期后的余額注意（1）如果年利率為r的利息以年支付一次，則當初始存款為A 元時，t年后的余額tA為ttrAA)1 ( （2）如果年利率為r的利息以年支付n次，那么當初始存款為A元時，t年

2、后余額則為nttnrAA)1 ( （3）對于（2），當n時，rtntntnAenrAA)1 (limlim這時，稱為連續(xù)復利考試時要弄清楚（1），（2），（3）三種情況，題目會明確告訴的。二、邊際與彈性1、邊際函數(shù)與彈性函數(shù)（1）邊際函數(shù)：設)(xf可導為邊際函數(shù)經(jīng)濟上稱為一階導數(shù)數(shù)學上稱)()(xfxf，并稱)(0 xf 為)(xf在0 xx 處的邊際值。注意：邊際概念表示當x在某一給定值附近有微小變化時y的瞬時變化。（2）彈性函數(shù)：設)(xf可導，稱)()(lim0 xfxxfxxyyx為)(xf的彈性函數(shù)。注意：彈性概念主要反映的是x變化所導致的)(xf變化的強弱程度或者叫靈敏度2、五個

3、研究對象（1）需求函數(shù)：設需求量為Q，價格為p，稱)(pQQ 為需求函數(shù)。且一般為單減函數(shù)注：需求的價格彈性為dpdQQp（1）dpdQQp，從概念上說，0dpdQ，故0（2）當題設需求0時，我們?nèi)pdQQp（2）供給函數(shù)：設供給量為q，價格為p，稱q=q(p)為供給函數(shù)，且一般為單增函數(shù)。注：供給的價格彈性為0dpdqqp（3）成本函數(shù)：總成本=固定成本+可變成本，即)()(10 xCCxC，邊際成本為)(xC當產(chǎn)量為時，再生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品所增加的總成本，x（4）收益函數(shù)：xPxR)(,價格銷量，Px邊際收益)(xR（5）利潤函數(shù)：)()()(xCxRxL，使得0)(xL的x稱為盈虧平衡

4、點（也稱為保本點）邊際利潤為)()()(xCxRxL三、一階常系數(shù)線性差分方程形如)0)(1axfayyxx的方程，稱為一階常系數(shù)線性差分方程，現(xiàn)在的考研大綱，只要求大家會求解這種方程即可，請類比一階常系數(shù)線性微分方程的解法去記憶，很容易記?。?）先看齊次方程，對于01xxayy其特征方程為aa0，則通解為CaCyx,)(為任意常數(shù)（2）再考慮非齊次方程，xmxxxPayy)(1，其中)(xPm為x的m次多項式，則設定kmxxxQY).(*其中，1，x照抄2，)(xQm為x的m次一般多項式3，aak, 1, 012.2典型例題分析一、導數(shù)在經(jīng)濟中的應用例1、設某酒廠有一批新釀的好酒，如果現(xiàn)在（

5、假定t=0）就出售，總收入為R0(元），如果窖藏起來待來日按陳酒價格出售，t年末總收入為teRR520.假定銀行的年利率為r，并以連續(xù)復利計息，試求窖藏多少年售出可使總收入的現(xiàn)值最大，并求r=0.06時的t值解：根據(jù)連續(xù)復利公式，這批酒在窖藏t年末售出總收入R的現(xiàn)值為rttA Re)(,而teRR520，故rtteRtA520)(，令0)51(520rteRdtdArtt得駐點20251rt ，又101)51(3252022trteRdtAdrtt0)5 .12(32510220reRdtAdrtt，所以20251rt 是極大值點也即最大值點，此時總收入的現(xiàn)值最大，當年時，11910006.

6、0tr例2、設商品的需求函數(shù)為Q=100-5p，其中Q，p分別表示需求量和價格，如果商品需求彈性的絕對值大于1，求商品價格的取值范圍。解：需求量Q對價格p的彈性ppdpdQQp51005，由于需求彈性的絕對值大于1，即151005 pp又Q=100-5p0，解得20,10(p例3設某產(chǎn)品的成本函數(shù)為,2cbqaqC需求函數(shù)為)(1pdeq，這里p為單價，a,b,c,d,e都是正的常數(shù)，且db，求（1）利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤（2）需求對價格的彈性（3）需求對價格彈性的絕對值為1時的產(chǎn)量解答過程略(1)(2)(aebdq時利潤最大為caebdL)(4)(2（2）需求價格彈性為eqeqd （3）

7、q=ed2例4：設某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為2213400)(xxxC，而需求函數(shù)為xp100，其中x為產(chǎn)量（假定等于需求量），p為價格，求（1）邊際成本；（2）邊際收益；（3）邊際利潤；（4）收益的價格彈性過程略（1）xdxxdC3)(（2）xdxxdR50)(3)xxdxdL350(4)-1二、積分在經(jīng)濟中的應用例5、設某商品從時刻0到時刻t的銷售量為)0(, 0,)(kTtkttx，欲在T時將數(shù)量為A的該商品銷售完，求：（1）t時的商品剩余量，并確定k的值（2）在時間段0,T上的平均剩余量解（1）在時刻t商品的剩余量為, 0,)()(TtktAtxAty由TAkkTA, 0，所以, 0,)(T

8、ttTAAty（2）)(ty在, 0T上的平均值為ToAdttyTy2)(1即在時間段, 0T上的平均剩余量為2A三、多元函數(shù)微分學在經(jīng)濟中的應用例6：假設某企業(yè)在兩個互相分割的市場上出售同一種產(chǎn)品，兩個市場的需求函數(shù)分別為221112,218QpQp其中21, pp分別表示該產(chǎn)品在兩個市場的價格（單位：萬元 噸），21,QQ表示該產(chǎn)品在兩個市場的銷售量（即需求量，單位：噸）并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是52 QC，其中Q表示該產(chǎn)品在兩個市場的銷售總量，即21QQQ(1)如果該企業(yè)實行價格差別策略，試確定兩個市場上該產(chǎn)品的銷售量和價格，使該企業(yè)獲最大利潤（2）如果該企業(yè)實行價格無差別策略

9、，試確定在兩個市場上該產(chǎn)品的銷量及統(tǒng)一的價格，使該企業(yè)的總利潤最大化，并比較兩種價格策略下的總利潤大小解（1）總利潤)52(2211QQpQpCRL510162212221QQQQ令010201642121QLQLQQ解得7,10, 5, 42121ppQQ而因為駐點唯一，且實際問題一定存在最大值，故最大值必定在駐點處達到，最大利潤為52萬元（2）若實行價格無差別策略，則21pp ，于是又約束條件，6221QQ構造拉格朗日函數(shù))62(510162),(2121222121QQQQQQQQF令062010202164212121QQFQFQFQQ解得，8, 2, 4, 52121ppQQ則最大利潤為49萬元，比較可見，差別化價格策略利潤要大于統(tǒng)一價格策略的總利潤四、常微分方程與差分方程在經(jīng)濟中的應用例7已知某商品的需求量x對價格p的彈性33p而市場對該商品的最大需求量為1（萬件），求需求函數(shù)解：由彈性定義，,33pdpdxxp分離變量得dppxdx23解得ccexp,3為待定系數(shù)，由條件, 10 xp時，得c=1，所以需求函數(shù)為3pex例8某公司每年的工資總額在比上一年增加0020的基礎上，再追加2百萬元，若以tW表示第t年的工資總額求tW所滿足的差分方程，并求解解，22 . 11ttWW即22 . 11ttWW，特征