2018-2019學年高中數(shù)學第三章三角函數(shù)3.4函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)

1、342函數(shù)y=Asin(3x+)的圖象與性質(zhì)(二)學習目標1.會用五點法”畫函數(shù)y=Asin(wx+ $ )的圖象.2.能根據(jù)y=Asin(wx+0)的部分圖象，確定其解析式 .3. 了解y=Asin(wx+ $ )的圖象的物理意義，能指出簡諧 運動中的振幅、周期、相位、初相.歹預習導學歹預習導學/ /挑戰(zhàn)自我，點點落實_知識鏈接1.由函數(shù)y= sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)y= sin(wx+ $ )(w0)的圖象？ 答y= sinx的圖象變換成y= sin(wx+ $ )(w0)的圖象一般有兩個途徑：途徑一：先相位變換，再周期變換先將y= sinx的圖象向左($ 0)或向右($ 0)

2、或向右($ 0,w0) ,x 0 ,+)的圖 象，其中A0,w0.描述簡諧運動的物理量有振幅、周期、頻率、相位和初相等，你知道這些物理量分別是指哪些數(shù)據(jù)以及各自的含義嗎？2n答A是振幅，它是指物體離開平衡位置的最大距離；T=是周期，它是指物體往復運動w一次所需要的時間；1f=是頻率，它是指物體在單位時間內(nèi)往復運動的次數(shù)；wx+ $稱為相位；$稱為I2n初相，即x= 0 時的相位.預習導引1 .簡諧振動22簡諧振動y=Asin(wx+ $ )(A0,w0)中，A叫做振幅，周期T=，頻率f=嚴，相位2n是wX+ $，初相是 $ .2.函數(shù)y=Asin(wx+ $ ) (A0,w0)的性質(zhì)如下：3定

3、義域R值域-A,A周期性2n Tw奇偶性nkn0kn(k Z)時是奇函數(shù)；02 +kn(k Z)時是偶函數(shù)；當0 M-(k Z)時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性. nn.單調(diào)增區(qū)間可由2knW wX+0 W2kn+(k Z)得到，單調(diào)減區(qū)間可由n3n(2kn+ 2W wx+0 W2kn+(k Z)得到戸課堂講文臺戸課堂講文臺重點難點L個個擊破_要點一 五點法”作y=Asin(wx+0)的簡圖例 1 用“五點法”作出函數(shù)y= 2sin 2x+n3 的簡圖，并指出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解(1)列表如下:cn2x+onn3n2n22xn6nn37n P5ny02020描點、連線，如圖又因為函數(shù)的周期為n,所以函數(shù)

4、的單調(diào)遞減區(qū)間為|聶+kn,7n2 +kn Lk Z);單調(diào)遞增區(qū)間為5n12$+kn(kZ)由圖象知，在一個周期內(nèi)，函數(shù)在4規(guī)律方法用“五點法”畫函數(shù)y=Asin (wx+0)(xR)的簡圖，先作變量代換，令X=533x+ $ ,再用方程思想由X取 0, ,n, 2n, 2n來確定對應的X值，最后根據(jù)x,y的值描點、連線畫出函數(shù)的圖象.跟蹤演練 1 作出函數(shù)y=3sin xn在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象.2Q3J解列表：X= 3xn一 T0n2n3n_2-2nxn5n4n11n7n223 .(1n、03030y= 2singX - 3 丿2一 2描點畫圖(如圖所示):要點二 求函數(shù)y=A

5、sin(3x+ $ )的解析式n例 2 函數(shù)y=Asin(3x+ $ )(A0,30, | $ | )的圖象的一部分如 圖所示，求此函數(shù)的解析式.解方法一(逐一定參法)由圖象知A= 3,T=密-一i卡-=n,6I6丿2n二3=2, y = 3sin(2x+ $ ).點一才,0 在函數(shù)圖象上，f n )0= 3sin i x2+ $ .n口n X 2+ $ =kn,得$ = + kn(kZ).63nn| $|0,30, |0|n)的圖象，根據(jù)圖中條件,寫出該函數(shù)解析式.T=3n ,2n38方法一（單調(diào)性法）點（n, 0）在遞減的那段曲線上,2nn3+ 0 2+2kn ,2n +2kn(kZ).,

6、2n2n由 sin( +0)=0,得3+ 0一 2kn + n(kZ) 0 =2kn +n(kZ).n|0|0）的最小正周期為n,則該函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于點10y= sin(3x+ $ )(30)的部分圖象如圖，則B. 4D. 2答案 B解析根據(jù)圖象確定函數(shù)的最小正周期，再利用T=空求3.3設函數(shù)的最小正周期為T,由函數(shù)圖象可知 2 =Xo+ X0=-4,n所以T=.2n又因為T= ，可解得3= 4.34.作出y= 3sin iqx亍一個周期上的圖象.解(1)列表：1n2xT0nTn32n2nxn232n52n72n92n0 n 3S“護 T 丿03030描點、連線，如圖所示:定T,即相鄰的

7、最高點與最低點之間的距離為T；相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T.從尋找“五點法”中的第一零點 一生，0 (也叫初始點)作為突破口 .以y=Asin(3x+l 3j0)(A0,30)為例，位于單調(diào)遞增區(qū)間上離y軸最近的那個零點最適合作為“五點”中的第一個點.C.關(guān)于點答案 AnD.關(guān)于直線 x=_3 對稱3.若函數(shù)( )A. 5C. 3TT112.在研究y=Asin(3x+0)(A0,30)的性質(zhì)時，注意采用整體代換的思想.例如，它3n在3X+0=2+ 2kn(k Z)時取得最大值，在3X+0+ 2kn(k Z)時取得最小值.戸分層訓練戸分層訓練J鯛珪糾偏，訓練檢測、基礎達標n1.已知

8、簡諧運動f(x) = 2sin yx+小正周期T和初相0分別為()答案 A=6，代入(0,1)點得 sinn亍n , nT0氣,n0=?.0(|0|于)的圖象經(jīng)過點(0,1)，則該簡諧運動的最nA.T=6,0=石B.T=6,07tCT=6n,0=ED.T=6n ,7t0=E解析T=2n2n32.已知a是實數(shù)，則函數(shù)y11r:十rK2TT1_i_0M2uXf(x) = 1 +asinax的圖象不可能是(12nn解析令 2X石=kn+n(k Z),答案 D解析當a= 0 時f(x) = 1, C 符合，當 0|a|2n，且最小值為正數(shù)，A 符合，當|a|1 時T2n, B 符合.排除AB C,故選

9、 D.3.y=f(x)是以 2n為周期的周期函數(shù)，其圖象的一部分如圖所示，則( )A.y= 3sin(x+ 1)B.y= 3sin(x+ 1)C.y= 3sin(x 1)D.y= 3sin(x 1)答案 D2n解析A=3, 3 =1，由w X1+0 = n,.=n1,y=f(x)的解析式為/f(x)=3sinx+(n 1)=3sin(x1).4. F 列函數(shù)中，圖象的一部分如下圖所示，則下列解析式正確的是A.B.y= sin2xvC.n iy= cosi4x-3D.lc n Iy=cosi2x6答案 D解析由圖知T=4X$+扌=n,32n=2.n又x= 12 時，y= 1，經(jīng)驗證，可得 D 項

10、解析式符合題目要求.5._函數(shù)y= jsin Sx才與y軸最近的對稱軸方程是 _答案ty冗13kn n二x=2+ 3(kZ.由k= 0，得x=；由k= 1，得x=.6.函數(shù)y= cos(2x+0)( n00,30)上的一個最高點的坐標為鄰最低點間的曲線與x軸交于點 8n，0，若0(1)試求這條曲線的函數(shù)表達式;用“五點法”畫出(1)中函數(shù)在0，n上的圖象.解由題意知A= 2，T= 4Xi|n =n，98丿3 =2，.y=/2sin(2x+ 0).b,nnn又 sinx2+0= 1，. + 0= 2kn + ，k Z，n0 =2kn + ，kZ，j nn、n廠fn、又0 7，2，二0= 4，二y

11、= . 2sin 2x+-.(2)列出x、y的對應值表：xn8n838n58n7n2x+ ；40n2n32n2n答案5n解析函數(shù)y= cos(2x+0)向右平移單位,得至 Uy= sin j2x+ 才，即y= sin j2x+向左平移n個單位得到函數(shù)y= cos(2x+0),y= sin2x+nn向左平移專個單位，得y=sinsinn2x+ n +sincosnn1+2x3，此點到相14二、能力提升&如圖是函數(shù)y=Asin(x+0)(x R)在區(qū)間象.為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將y= sinx(x R)的圖象上所有的點()A.向左平移 號個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的1

12、倍，縱坐標不變32B.向左平移 專個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱坐標不變n1C 向左平移 三個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變62nD.向左平移n個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的 2 倍，縱坐標不變6答案 A解析 由圖象可知A= 1 ,T= (專)=n,2n3=T= 2.nT圖象過點(3 , 0),2n2nsin(+ 0)=0,+ 0 = n +2kn ,kZ,n0 =+2kn ,k乙3n.y=sin(2x+2kn)=sin(2x+3n一1yoA/-1 wauq 厶、y00-遲0描點、連線，如圖所示：1fr k-n688IT5 nr上

13、的圖615故將函數(shù)y= sinx先向左平移個單位長度后，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的-倍,縱坐標不變，可得原函數(shù)的圖象.16得函數(shù)表達式為f(x) = 2sin(2x+)5n又因為當 x= 12 時取得最大值 2,(5 n 5n所以2sin*冠+$ =2，可得花因為n $ 0, 0,30, | $ | y)的最小值為一 2,其圖象相鄰的最高點與 最低點橫坐標差是 3n，又圖象過點(0,1)，求函數(shù)的解析式.解由于最小值為一 2,所以A= 2.又相鄰的最高點與最低點橫坐標之差為3n.又圖象過點(0,1)，所以 sinnn因為|$|0,30)的圖象過點 只匚，0)，圖象與P點最近的一n個最高點

14、坐標為(,5).(1) 求函數(shù)解析式；(2) 指出函數(shù)的增區(qū)間；(3) 求使yW0的x的取值范圍.n解(1)T圖象最高點坐標為(亍 5) ,A= 5.Tn n n4= T 一 12= 7,2nn 3=丁= 2.y= 5sin(2x+ $ ).代入點(,5),對;f(x) = 4cos |7t=4cos對于，f(x) = 4sin故T= 2X3 n= 6n，從而n2n1T=67=3,2n故所求解析式為y=2sin182 2n得 sin( 3n + $)=1.二 3n + $ =2kn +,kZ.nn令k= 0，貝 V $ =,y= 5sin(2x)._. .j nj nj nn n(2)T函數(shù)的增區(qū)間滿足2kn W2xW2kn+ (k Z) , -2 kn W2XW2kn+26232n可(kZ).- kn 0,0w$Wn)是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點, 0 對稱，且在區(qū)間0 寧上是單調(diào)函數(shù)，求$和3的值. 丿 2一解Tf(x)在 R 上是偶函數(shù)，當x= 0 時，f(x)取得最大值或最小值.n即 sin$ =1,得$ =kn + ,kZ,n又 0W $ W n , $ =牙由圖象關(guān)于M，0對稱可知, 又f(x)在 40,n上是