截面的幾何性質(zhì)

1、第五章截面的幾何性質(zhì)授課日期月日節(jié)授課班級(jí)教學(xué)目標(biāo)1、掌握慣性矩、極慣性矩、慣性半徑的概念及計(jì)算，平行移 軸公式及常見(jiàn)組合截面的慣性矩計(jì)算。2、理解慣性積、形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念。教學(xué)內(nèi)容1、圖形的慣性矩2、極慣性矩、3、慣性積、慣性半徑，4、平行移軸公式重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1、圖形的慣性矩2、極慣性矩、3、慣性積、慣性半徑，4、平行移軸公式難點(diǎn)：1、圖形的慣性矩2、極慣性矩3、平行移軸公式教學(xué)方式米用啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問(wèn) 題。計(jì)劃學(xué)時(shí)4講課提綱：1） 討論的問(wèn)題：介紹與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量（靜矩、慣性矩、慣性積）的定義及計(jì) 算方法；平行移軸公式，轉(zhuǎn)軸公式

2、等。2）工程實(shí)際：在實(shí)際工程中發(fā)現(xiàn)，同樣的材料，同截面積，由于橫截面的形狀不同，構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度有明顯不同，如一張紙（或作業(yè)本），兩端放在鉛筆上，明顯彎曲，更不能承載東西了 但把同一張紙折成波浪狀（象石棉瓦狀），這時(shí)紙的兩端再擱在鉛筆上，不僅不彎曲，再放上一支鉛筆，也不彎曲可見(jiàn)，材料截面的幾何形狀對(duì)強(qiáng)度、剛度是有一定影響的， 研究截面幾何性質(zhì)的目的就是解決如何用最少的材料，制造出能承擔(dān)較大荷載的桿件的問(wèn)題的（一）截面的靜矩和形心一、靜矩的定義設(shè)平面圖形7-1，取zoy坐標(biāo)系，取面積元 dA，坐標(biāo)為（z,y） ，整個(gè)截面對(duì)z、y軸的靜矩為：Sz = AydA整個(gè)截面對(duì)z軸的靜矩；s- zdA整個(gè)

3、截面對(duì)y軸的靜矩；y la1）若將dA理解為垂直于紙面的力, 稱為面積矩。若形心坐標(biāo)為ydA便是對(duì)z軸的力矩，Sz則為對(duì)z軸的合力矩，故 （乙，yc靜矩也可寫成：s A ydA 二 A ycsy 二 zdA 二 A zcA性質(zhì)：1、同一截面對(duì)不同軸的靜矩亦不同；靜矩可以是正、可以是負(fù)或零;2、單位：mm34、當(dāng)坐標(biāo)軸原點(diǎn)過(guò)形心,2）反之，若 Sx =Sy =0 ，坐標(biāo)軸原點(diǎn)必過(guò)截面形心。、形心位置的計(jì)算形心位置：二 Zcsy對(duì)面積連續(xù)分布的（非組合圖形）圖形:A zdAAA ydAA對(duì)組合圖形:遲ZqA耳=送Ai為yciAiiyc' AiSyYzciA ；iSz 八 yci AiA -

4、第i個(gè)分圖形的面積； zci、yci -第i個(gè)分圖形的形心坐標(biāo);解：取如圖7-1示的坐標(biāo)系，先求 sz,sySz = .A ydA = y z dy32R sin r cos 尬4RSz/3yc A3 兀sz = A zdA= z y dz= Rcosv Rsi-Rsin巾)-Q R3cos)sin2)1 .I sinI 371 2SyA4R3 :三、組合截面的靜矩例2:如圖7-2，由兩個(gè)矩形截面組合成的2A =270 50mm ,解：因?yàn)槭墙M合0Q-T形截面，y軸為對(duì)稱軸，300 30mm2,對(duì)乙y軸的靜矩。故有:圖形，又關(guān)于軸對(duì)稱,Zci A =0,(乙=Z2 =0);270圖7-2、慣性

5、矩的定義定義：面積對(duì)坐標(biāo)軸的二次矩yciA二y?A215 300 30 專 30 270 込23"625 105(mm)2,（二）慣性矩和慣性積，方位設(shè)一平面圖形7-3，取一元面積dA，坐標(biāo)為（z,y），距原點(diǎn)的距離為角為 v，定義：I z = a y2dA;I y = A z2dA -;I zy 二 a zydAIz，ly 平面圖形對(duì)z,y軸的慣性積lyz平面圖形對(duì)z,y軸的慣性積 、性質(zhì)1、Iz，ly恒為正，lyz可正、可負(fù)、也可以為零，其正負(fù)值與坐標(biāo)軸的位置有關(guān)。2、單位：（長(zhǎng)度）4;例:計(jì)算直徑為d的圓截面對(duì)形心軸z,y的慣性矩和慣性積。解：用平面極坐標(biāo)Iz A y2dA廠

6、dA= pd9_ y = Psin 0;z= PcosO.d fO。2 ?2sin2, - d- d，=i。2 ? 3d J ； sin2 丁"cos2 呵d?叮d 44 i2丿d4由于對(duì)稱：lz=ly -d4641極慣性矩：|.：=lz |y=2lz=2lyd32對(duì)過(guò)形心的一對(duì)軸的慣性積I zy = zydA = o2.2 二costsi n”dvd=0因坐標(biāo)軸是對(duì)稱軸，如對(duì)左右的dA ,（如上圖），zydAzydA = o 1=1-1 >=結(jié)論：截面如有一根對(duì)稱軸，則截面對(duì)這根軸與另一根與之垂直的軸的lzy=0“訓(xùn)31）對(duì)矩形截面，過(guò)形心軸的慣性矩：2）若為組合圖形，對(duì) z

7、軸，y軸的慣性矩:lyi，因 I z = iy2 dA,原面積對(duì)z軸的慣性矩就等于將各元面積對(duì)z軸的慣性矩求和，因iIozb+ |質(zhì)量連續(xù)分布，求和則為積分。應(yīng)用于圓環(huán)的情形，可看成兩個(gè)圓形截面,I 廠 I：；-IIz Iy =2Iz =2Iy,Ip 1 仏 D4 兀 d4、I z = I y2232dD.32丿二 D464（1），3）慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑）的概念如以r表示某一截面對(duì)某軸的慣性半徑，定義（三）慣性矩和慣性積的平行移軸公式、公式如圖7-5示：任一平面過(guò)形心 c的坐標(biāo)系ZOY，截面對(duì)Z、y的慣性矩為lz,ly, Izy與 ZOY平行的坐標(biāo)系為 Z '0'，由圖知截面對(duì)Z'、y'的慣性矩為|z、|y、|zyz'：=b z / = a ylyAz 2dA 二 A z b 2dA=I y 0 b2 A=A z2dA 亠 * 2zbdA 亠 iA b2dAlz = lz a2AI