江蘇省無錫地區(qū)中考數(shù)學選擇填空壓軸題專題7圓的綜合問題

1、專題07圓的綜合問題例1 .如圖，點A是半圓上的一個三等分點，點B為弧AD的中點，P是直徑CD上一動點，。的半徑是2,貝U P PB的最小值為（）A. 2B . y5C./3+1D. 2 2p.同類題型1.1如圖，O O是 ABC勺外接圓，已知 AD平分/ BAC。于點D,連結CD延長AC BDD相 交于點F.現(xiàn)給出下列結論：2若 AD= 5, BD= 2,則 DE=-;5/ ACB= / DCF（D FDM FCB41若直徑 AGL BD交BDT點 H, AC= FC= 4, DF= 3,則 cosF=;則正確的結論是（同類題型1.2 一張圓形紙片，小芳進行了如下連續(xù)操作:C.D.AJB圖(

2、4)二-ID圖(1)(3)(4)(n8圖C3)將圓形紙片左右對折,圖折痕為S門）B圖(5)將圓形紙片上下折疊，使將圓形紙片沿EF折疊,AB如圖（2）所示.B兩點重合，折痕 CD與AB相交于M如圖（3）所示.使B、M兩點重合，折痕 EF與AB相交于N,如圖（4）所示.連結AE AF,如圖（5）所示.經過以上操作小芳得到了以下結論：CD/ EF;四邊形 MEBF!菱形；' AEF為等邊三角形； $ AEF ： S圓=3 0 4兀，以上結論正確的有（）A. 1個B.2個C.3個D.4個例2.如圖， ABC中，BC= 4, / BAC= 45° ,以4啦 為半徑，過 R C兩點作。0

3、,連OA則線段 OA的 最大值為.1同類題型2.1如圖，已知。O的半徑為1,銳角 ABCrt接于。Q BDLAC于點D, OMLAB于點M, OM=-,3則sin / CBD勺值等于（c-子A楙1D-2同類題型2.2如圖，直線l經過。O的圓心Q與O O交于A、B兩點，點C在。O上，/ AOC= 30° ,點P 是直線l上的一個動點（與圓心 O不重合），直線CP與。相交于點 M且M2 OM則滿足條件的/ OCP 的大小為.同類題型2.3如圖， ABC / BAC= 90° , AC= 12, AB= 10, D是AC上一個動點，以 AD為直徑的。O交BD于E,則線段CE的最小

4、值是（)C. 7D. 8例3.如圖，直線l 1 / l 2 ,。與11和12分別相切于點 A和點B.點M和點N分別是l1和l2上的動點,mN&l 1和l2平移.o O的半徑為1, z 1 = 60° .下列結論錯誤的是（43A. MN=工 3B.若MNW0O相切，則AM=小C.若/ MON90 ,則 MNW。相切D. l 1和l2的距離為2同類題型3.1如圖，已知 A、B兩點的坐標分別為（ 2, 0）、（0, 1）, OC的圓心坐標為（0, 1）,半 徑為1.若D是。C上的一個動點，射線 AD與y軸交于點E,則 ABEB積的最大值是 .同類題型 3.2我們將在直角坐標系中圓心

5、坐標和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”.如圖，直線 l :y=kx + 4 4 與x軸、y軸分別交于 A、B, Z OAB= 30° ,點P在x軸上，O P與l相切，當P在線段OA上運動時，使得。P成為整圓的點的直線相切，則。O的半徑為P個數(shù)是（）C. 10D. 12A.例4.如圖，正方形C"c-CabBC= a,a+ b的是（ABCD正三角形同類題型4.1如圖，在菱形 ABCDK 切點為N,分另交AC BC于點E, F,CA b, AB= c,下列圖形中。O與 ABC的某兩條邊或三邊所在C.0D.AEF都內接于。Q EF與對角線AC BD交于點OBC CD分別相交于點 G H

6、,則EF的值為GH以O時直徑畫圓 M過D作。M的切線,已知AE= 5, CE= 3,則DF的長是B同類題型4.2如圖，已知 ABC勺外接圓。O的半彳仝為1, 口 E分別是 AB AC上的點，BD= 2AD EG= 2AE 則sin / BAC勺值等于線段（）B . BC的長- 2C. - DE的長3_ 3D. 2 DE的長例5.如圖，AB是。O的直徑，點 C是。上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為 D,直線DC與AB的延長線交于點 P,弦CE平分/ ACB交八8于.點F,連結BE BE= 7，2 .下列四個結論： AC平分/ DAB pF2 =PBpa若BC=2 OP則陰影部分的面積為4n4

7、943;若PC= 24,則tan/ PCB=4 .其中正確的是（）A.B .C.D .E同類題型5.1如圖，在半徑為2cm,圓心角為90。的扇形 OABK 分別以 OA OB為直徑作半圓，則圖中 陰影部分的面積為.同類題型5.2某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示.圓O的圓心與矩形 ABCDt角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（ E為上切點），與左右兩邊相交（F, G為其中兩個交點），圖中陰影部分為 不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1四 根據設計要求，若/ EOF= 45。，則此窗戶的透光率（透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值）為 同類題型5.3如圖，將半徑為2,圓心角為1

8、20°的扇形OA瞰點A逆時針旋轉60° ,點Q B的對應點分別為O' , B',連接BB ,則圖中陰影部分的面積是（）B . 2 ,3- -3-同類題型5.4如圖，已知矩形 ABC用，AEB= 3, AD= 2,分別以邊 AD BC為直徑在矩形 ABCD勺內部作半 圓。和半圓O2 , 一平行于 AB的直線EF與這兩個半圓分別交于點 E、點F,且EF 2 （ EF與AB在圓心。一 八小和Q的同側），則由AE , EF, FB , AB所圍成圖形（圖中陰影部分）的面積等于 DC參考答案例1 .如圖，點A是半圓上的一個三等分點，點B為弧AD的中點，P是直徑CD上一

9、動點，。0的半徑是2,貝U P PB的最小值為（A. 2B . ,D . 2C. /3 +1解：作A關于MN勺對稱點 Q,連接CQ BQ BC CDT P,此時AN PB= QP PB= QB PN PB的最小值為QB勺長度，連接OQ 0B 點A是半圓上的一個三等分點，/ ACD= 30° . B弧AD中點, ./ B0D= Z ACD= 30° , /Q0呼 2/ QCD= 2X30° = 60 , B0Q= 30° + 60° = 90° .。0的半徑是2, 0B= 0Q= 2,BQ=選D.0+0(2=22 ,即P加PB的最小值為

10、2 ./2.同類題型1.1如圖，O 0是ABC勺外接圓，已知 AD平分/ BAC。0于點D,連結CD延長AC BD相 交于點F.現(xiàn)給出下列結論：_ 2若 AD= 5, BD= 2,則 D& -;5/ ACB= / DCF 4 FDM FCB41若直徑 AGL BD交 BD點 H, AC= FC= 4, DF= 3,則 cosF= ;48則正確的結論是（）A.B .C.D.解：如圖1,. ADW / BAC / BAA / CAD / CA關 / CBD ./ BAD= C CBDBDE= / BDEBD&AADB BD DE"Air Bd )4由 AD= 5, BD=

11、 2,可求 DE=,5不正確；/FCDF /ACD= 180 , / ACID- Z ABD= 180 , ./ FCD= /ABD若/ ACB= / DCF 因為/ ACB= / ADB則有：/ ABD= /ADB與已知不符，故不正確；如圖3,/ F=Z F, Z FAD=Z FBQFDAA FCB故正確；如圖4,又F=Z F, . FCDA FBAFCFD''RET FA ,32由 AU Fe 4, DF=3,可求：AF= 85 FB=, o23BD=BFD口一， 3 .直徑 AGLBQ23加41.F+rHH 41 -cosF=af= '故正確; 故選：C.(2)將

12、圓形紙片上下折疊，使 A、B兩點重合，折痕 CD與AB相交于M如圖(3)所示.（3）將圓形紙片沿 EF折疊，使B、M兩點重合，折痕 EF與AB相交于N,如圖（4）所示.（4）連結AE AF,如圖（5）所示.經過以上操作小芳得到了以下結論：CD/ EF;四邊形 以上結論正確的有（A. 1個解：紙片上下折疊 ./ BMD= 90° ,紙片沿EF折疊，.Z BNF= 90 ,MEBF1菱形；* AEF為等邊三角.形；SAEF : S圓=34兀，）B . 2個A、B兩點重合,R M兩點重合,C. 3個D, 4個./ BMD= / BN已 90.CD/ EF,故正確；根據垂徑定理，BMB直平分

13、EF,又紙片沿EF折疊，R M兩點重合,BN= MN .BM EF互相垂直平分，四邊形 MEB層菱形，故正確；如圖，連接 ME則ME= MB= 2MN ./ MEN= 30 , EMN= 90° 30° = 60又AM=ME（都是半徑）， .Z AEM= / EAM .Z AEM=-Z EMN=- x 60 = 30 , 22' ./AEF= /AEMF Z MEN= 30° + 30 = 60 ,同理可求/ AFE=60 ,/ EAF= 60 ,.AEF是等邊三角形，故正確； 設圓的半徑為r,則MN= 2，EN=坐r,13EF= 2EN= 3 r, AN

14、= r+2r =213Saaef： $圓=（2*43*耍） 綜上所述，結論正確的是共 選D.nr2=3J3: 4 it ,故正確;4個.同類題型1.3同類題型1.4例2.如圖， ABC中，BC= 4, / BAC= 45° ,以4啦 為半徑，過 R C兩點作。0,連OA則線段 OA的 最大值為. _ 1 一 ， 一 、，_解：作O巳BC于F,則BF= C已2 BG= 2,如圖，連結 OB在 RtAOBF, O已勺0自bJ= f(4'2 22 = 2'"7 , . / BAC= 45 , BC= 4, 點A在BC所對應的一段弧上一點， 當點A在BC的垂直平分線

15、上時 OA最大，此時 AF± BC AB= AC作BDLAC于D,如圖，設BD= x,.ABM等腰直角三角形，AB= i'2B> '2 x,AC I2 x,在 RtABDC,B(2=C2+ BD2 ,42= (、2xx) 2 + x2 ,即x2=4 (2 + 4 ),1_ 1-. 2AF. BO 2 BD. AC,x x;2x . AF= -4=2.j2 +2,. AO= AF+ OF= 272+2+2口 ,即線段OA勺最大值為2%歷+ 2+2-5.同類題型2.1如圖，已知。的半徑為1,銳角 ABCft接于。_ _1Q BDL AC于點 D, OMLAB于點 M

16、, OM=-,3則sin / CBD勺值等于（C 22 3A也 ,2解：連接AO . OM_ AB于點 M AO= BOAOM= / BOM. / AOB= 2/ C / MO® /C,1.OO的半徑為1,銳角 ABC接于。O, BCLAC于點D, OM=-,31MO 3 1sin / CBD= sin Z OBM：-=-OB 1 3_ 1則sin / CBD勺值等于-.3選B.占P八、 IOCP解：根據題意，畫出圖（1）,同類題型2.2如圖，直線l經過。O的圓心 Q 與O O交于A、B兩點，點 C在。O上，/ AOC= 30° , 是直線l上的一個動點（與圓心 O不重合）

17、，直線CP與。O相交于點M且MP= OM則滿足條件的/E O /P AQ圖1在 QOC, OC= OM . / OM&/ OCP 在OPW, MP= MO / MOP / MPO 又AOC= 30 ,. ./MP® /OCR /AOC= /OCR 30 ,在OPW, / MOP/ MPO /OMG 180 ,即(/ OCP- 30 ) + (/ OCP- 30 ) +Z OCP= 180 , 整理得，3ZOCP= 120° ,./ OCP= 40° .,_zX o jr爵當P在線段一OA勺延長線上(如圖 2).OG= OM ，一一。，一 1 小/ OMP=

18、( 180 - / MOC X 2 ，. OM= PM，一 。，一一/ OPM=( 180 - / OMP X 2 ，在 4OM呻，30° +Z MOC /OMP Z OPIW 180° ,把代入得/ MOC20 ,則/ OMP80 ./ OCP= 100° ;莖當P在線段OA勺反向延長線.上(如圖3),. OC= OM ，一一 0 1-/ OCP= OMC=( 180 - / COM X 2 ， .OM= PM 一 。 1 /./ P= (180 -Z OMP x 2 ， / AOC= 30 , Z COM / POIW 150° ，/ P= / PO

19、M 2/ P= / OCP= / OMO,聯(lián)立得/ P= 10 ° , ./OCP= 180° 150° 10° =20° . 故答案為：40°、20°、100° .同類題型2.3如圖，ABC3, / BAC= 90° , AC= 12, AB= 10, D是AC上一個動點，以 AD為直徑的。O交BD于E,則線段CE的最小值是（）解：如圖，連接 AE則/ AED- / BEA= 90° ,C. 70DQ點E在以AB為直徑的。Q上,AB= 10,. QA= QB= 5,當點Q E C三點共線時，Q

20、&CE= CQ（最短），而QE長度不變，故此時 CEM小，. AC= 12,. QC= yAQAC =13,. CE= QC- QE= 13 5=8,選D.例3.如圖，直線11 /l2 ,。與11和l2分別相切于點 A和點B.點M和點N分別是11和l2上的動點, MNg-1 1和12平移.O O的半徑為1, Z 1 = 60° .下列結論錯誤的是（）A. MN= 4yB .若MMWO O相切，則A陣小C.若/ MON 90 ,則 MNW。O 相切D. 11和12的距離為2解：A、平移MN1點B與N重合，/ 1 = 60° , rAB= 2,解直角三角形得 MtN=-

21、,正確;3R當MNW圓相切時，M, N在AB左側以及 M, N在A, B右側時，AM=43 或坐，錯誤;3C 若/ MON90° ,連接 NOH1 延長交 MA點 C,則 AOR BON故CO= No MO啞AMoC故MN上的高為1,即O到MN勺距離等于半徑.正確; 口 1 1 / 1 2 ,兩平行線之間的距離為線段 AB的長，即直徑 AB= 2,正確.選B.同類題型3.1如圖，已知 A B兩點的坐標分別為（一2, 0）、（0, 1）, 0C的圓心坐標為0,1）,半徑為1 .若D是。C上的一個動點，射線AD與y軸交于點E,則 ABEM積的最大值是解：當射線 AD與OC相切時， ABE

22、®積的最大. 連接AC. /AO仔 Z ADC= 90 , AG= AC OC= CD RtAAOCRtAADC(HD ,AD= AO= 2,連接CD設EF= x, DE2 =EF. OE.CF= 1,DE= lx(x+2), . CD& AAOE .CD CEACT AE '即2=x+ 12+ 'x(x+ 2)2解得x=£, 3c、2 / BEX AO 2 (3+ + )11$ ABE= -2=2=百同類題型 3.2我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”.如圖，直線 l :y=kx + 4或 與x軸、y軸分別交于 A B, /

23、OAB= 30。，點P在x軸上，O P與l相切，當P在線段OA 上運動時，使得。P成為整圓的點P個數(shù)是（）C. 10D. 12解：:直線l: y=kx+43與x軸、y軸分別交于A B, .B (0, 4gh(3), . OB= 4 3 , 在 RUA aO沖，/ OAB= 30 ,OA= J3OB= I3X 4 J3 =12, ,O P l相切:設切點為 M 連接PM則PMhAB 1 .PM= 2 PA設 P (x, 0),PA= 12-x, 1_ 1 O P 的半徑 PM= 2PA= 6 5 x, .x為整數(shù)，PM整數(shù)， .x 可以取 0, 2, 4, 6, 8, 10, 6 個數(shù)， ，使得

24、。P成為整圓的點P個數(shù)是6. 故選：A.同類題型3.3已知ACL BC于C BO a,，一一 ab ,的直線相切，則。O的半徑為-的是(a+ b解：設。O的半徑為r,CA= b, AB= c,下列圖形中。O與 ABC的某兩條邊或三邊所在 )A -.-O O ABCJ切圓，一 1 1. $ ABC= £ (a+b+c)r =2 ab,aba+b + cR 如圖，連接 OD 則 OD= OG= r, OA= br, .AD是O O的切線，. ODL AB即/ AOD= / C= 90 ,. AD6 AACBOA AB= OD BC即(b r) ： c= r ： a,.- ab解得：r=；

25、a+ cG連接OE OD ACM BC是O O的切線，. OEL BC ODL AC ./ OEB= Z ODC= Z C= 90° , 四邊形ODCE1矩形，O氏OE .矩形ODCE1正方形，EC= O氏 r, O曰 AC. OE AC= BE： BCr ： b= ( a r) ： a,ab.r =-； a+b '口解：設 AC BA BCWO O的切點分別為 H F、E;連接OD OE . AC BE是。O的切線， ./ODC= /OE仔 / DCE= 90° ;，四邊形ODC是矩形；. OD= OE .矩形ODC是正方形；即 OE= OD= CD= r,則 A

26、D= AF= b- r;連接OB OF由勾股定理得：BF2= O-Of2 , B=oBO ,. OB= OB OF= OEBF= BE一,一 c+ b a則 B- AF= BOCE c+b-r = a+r,即=2.故選C.ABC用正三角形 AEF都內接于。O EF與BC。皿別相交于點 G H,則EF的值為例4.如圖，正方形解：加圖，連接AC BD OFGH設。O的半徑是r,則 OF= r,. AO / EAF的平分線，OAF= 60° + 2 = 30° ,. OA= OF ./ OFA= / OAF= 30 ,COF= 30° + 30° = 60。3

27、FI=r sin60 r, EF=3r x 2= ;3 r,. A0= 2OI, 111-0I = J r, CI= r -2r = 2 r,GH CI 1 一= 一= 一 . BD CO 2 '-1 . GH= 2 BD= r,EF 3rGH= k= W -同類題型4.1如圖，在菱形 ABCDK 對角線 AC BD交于點Q以O時直徑畫圓 M過D作。M的切線, 切點為N,分另1J交 AC BC于點E, F,已知AE= 5, CE= 3,則DF的長是.B解：延長EF,過B作直線平行 AC和EF相交于P,AE= 5, EG= 3,AO= C&OE 即有，OE= EN= 1,_ 1

28、又. DMM DEO 且 MN=j DMDE= 3OE= 3,又 OB BP O是DB中點，所以 E也是中點,EP= DE= 3,BP= 2,又EF64PFB相似比是3: 2,3.八EF=EPX - = 1.8 , 5故可得 DF= D& EF= 3+1.8 =4.8 .同類題型4.2如圖，已知ABC勺外接圓。O的半徑為1, D E分別是AB AC上的點，BD= 2AD EC= 2AE 則sin / BAC勺值等于線段（）A. DE的長B . BC的長C. 2 DE的長D. 3 DE的長32解：如圖，作直徑 CF連接BF,BD=2AD EC=2AE .AD AB= AE： AC= 1

29、： 3,又EAD= / CAB EA5 ACABBC= 3DEBC 3DE 3 一 sin / A= sin /尸=元=2 DE選D.例5.如圖，AB是。O的直徑，點 C是。O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為 D,直線DC與AB的 延長線交于點 P,弦CE平分/ ACB交AB于點F,連結BE BE= 7娘.下列四個結論： AC平分/ DAB pF2 =PB pa若BC= 2 OP則陰影部分的面積為7支為3 ；若PC= 24,則tan /PCB= 3 .其 中正確的是（）A.B .C.D .DE 解：連接OC. OA= OCOAC= / O(A. PC是 0O 的切線，ADL CDOCP=

30、 / D= 90° , . OC/ ad. ./ CAD= / OCA= / OAC.即AC平分/ D用.故正確；; AB是直徑，/ ACB= 90 , ./ PCBF Z ACD= 90° ,又一/ CAID- Z ACD= 90° , ./ CAB= / CAD= / P(B.又. / ACE= / BCE / PFC= / CABb / ACE / PCF= / PCBF / BCE .Z PFC= / PCFPC= PF, / P是公共角， . PC% APAC. PC PA= PB： PC. PC2 =PB. PA即PF2 =PB PA故正確;連接AEE

31、. / ACE= / BCEAE= BE , AE= BE又 AB是直徑， ./AEB= 90 . . ABW2BE=Qx 7婢 =14, . OB= OC= 7, .PD是切線, ./ OCP= 90° ,1 /. BC=2 OPBC是RtOCP勺中線，BC= OB= OC即 OBO等邊三角形， ./ BOC= 60° , SJA BOC= 4P/3 ,邑(扇形 BOC=(60)/(360) X n X 7A(2) = (49)/(6)式， 陰影部分的面積為 攀汽44v3 ；故錯誤;. PCBo PACPB BC,=一PC AC'，八 /_ BC PBtan /

32、PCB= tan / PAC= ,AC PC設 PB= x,貝U PA= x+ 14,. P(2 =PB. PA 242 = x (x+ 14), 解得：x1 =18, x2 =-32, .PB= 18,PB 18 3tan /PCB=同=三=4 ；故正確.故選C.同類題型5.1如圖，在半徑為2cm,圓心角為90°的扇形 OABK 分別以 OA OB為直徑作半圓，則圖中 陰影部分的面積為.解：.扇形 OAB勺圓心角為90。，扇形半徑為 2,，扇形面積為:90 nx 22360汽(cm2 ),1半圓面積為：2*一一 八一汽，2、SQ+ Sm = SW Sp= -2 (cm ),SQ Sp ,連接AR OD兩半圓的直徑相等， ./ AOD= / BOD= 45.S錄色=塹 AOD= 22-x 2X1= 1(cm2),，陰影部分Q的面積為：S扇形AOB_ S圓一S錄色=宜一萬一1 =51（cm2）.O的圓心與矩形ABCDf角線的交點重同類題型5.2某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示.圓 合，且圓與矩形上下兩邊相切（ E為上切點），與左右兩邊相交（F, G為其中兩個交點），圖中陰影部分為 不