數(shù)值計算方法第4章2ppt課件

1、)4(,)(,)3(,)(,)()()(1)2(210221010210221010210101000 xxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxxfxxxfxf得，則點為了提高精度，增加節(jié)）式得：式代入（上有一般的，在節(jié)點）式得：式代入（nxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf,.,)()(,)(,)()()(3)4(21021021010101000插值公式和余項。上的在節(jié)點分別為、其中Newton)()()()()(,.,)().()(,.,).()(.,)(,)()()(010110110110210101000ninnn

2、nnnnnnxxfxRxNxRxNxxxxfxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf)()()()()(,)()(,)(,)()(,)(,)()()()()()()()(,)()()()()(20202020020201210021210020210121002021010101010010100 xfxxxfxfxxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxxfxNxfxxxfxfxxxfxxfxxxfxNxfxNnnn可以驗證：。的最大值與最小值之間介于其中，故有差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即：因此他們的余式也相等由插值的唯一性知：類似地可

3、以證明nnnnnniinxxxxnfxxxxfxnfxxxxfxxLxNnixfxN,.,)!1)(,.,)()!1)(,.,)(),()(),.2 , 1 , 0()()(10) 1(10) 1(10重點插商為重點插商。為使用方便，我們規(guī)定,.,.,.,.,.,101010010010limlimnnnhnhnxxxxfdxdhxxxxfxxxhxfxxxxhxfxxxxxfNewton插值計算插商表1一階插商二階插商三階插商單元號F(0)F(1)F(2)F(3)F(n)(kxf)(0 xf)(1xfkx0 x1x2x3x)(2xf)(3xf,10 xxf,20 xxf,30 xxf,210

4、 xxxf,310 xxxf,3210 xxxxfnx)(nxf,0nxxf,10nxxxf,210nxxxxf插商表2求Nn(x)n插商表1計算簡單，好實現(xiàn)，但數(shù)值不穩(wěn)定。n插商表2在計算機上穩(wěn)定性好，但算法復(fù)雜。n計算Nn(x)常采用秦九韶程序取n=4 例題n在實踐運用中 ，常是等距節(jié)點情況，即n n 這里h0為常數(shù)，稱為步長，這時Newton插值公式就可以簡化，為此我們引入差分概念。),.,2 , 1 , 0(niihaxi等距節(jié)點Newton插值公式n插商與差分的關(guān)系n1用前插表示N(x)n 在等距節(jié)點條件下有：00101101)()(,fhxxxfxfxxf0100220102102

5、1210!1,.,!21211),),fhnxxxffhhfhfhxxxxfxxfxxxfnnn一般有),(),().(1()!1()(!) 1).(1(.! 2) 1(! 1)()(,00) 1(10020000hxxfntttnhxRfnntttfttftfthxNxNNewtonthxxnnnnnn式插值公式和余式具有形則若令2用后插表示N(x) 同樣有：插值公式為：則到排序為：如果將節(jié)點,.,).()(.,)(,)()()(,.,.,0111121110110 xxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxNNewtonxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

6、nnnnnnnnnnnnnnnnnnfhnxxxxffhhfhfhxxxxfxxfxxxffhxxxfxfxxf!1,.,!21211,1)()(,011221221121111一般有),(),().(1()!1()(!) 1).(1(.! 2) 1(! 1)()() 0() 1(12nnnnnnnnnnnnnnxnhxfnsssnhxRfnnsssfssfsfshxNxNsshxx則一般取若令例題000191. 0,000886. 0,003992. 0018033. 0,081450. 0,367879. 0000191. 0,001077. 0,005955. 0,032858. 0,1

7、81269. 0, 155545352550504030200ffffffffffff而：即：nLagrange插值公式所求得L(x)保證了節(jié)點處的函數(shù)值相等，也就是保證了函數(shù)的延續(xù)性，但不少實踐問題還需求插值得光滑度，也就是還要求它在節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值也相等，導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高那么光滑度越高。現(xiàn)代的仿生學(xué)就是一個典型的例子。在設(shè)計交通具的外形，就是參照海豚的標(biāo)本上知點及知點的導(dǎo)數(shù)，做插值在計算機上模擬海豚的外形制成飛機、汽車等外形。Hermite插值多項式n構(gòu)造H(x)njjjjnjjiiiiiiiifxyxxHnifxfxHxfxHxHnixffxfyxii00)()()(),.2, 1 ,0()

8、()(),()()(),.,2, 1 ,0()(),(令滿足希望，已知ijijxnixnixijijxLagrangeiijiijjj01)(4,.2, 1 ,00)(3,.2, 1 ,00)(201)(1）（）（）（）（插值函數(shù)我們設(shè)想由?)(?)(xxjj如何求0)(, 1)()(.)()(.)()(0:)()(.)()(.)()(0:)(11101110jjjnjjnjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxxxjjjjjjj而為一次多是項式。次多項式，故是由于所以令的二重零點。是則)(12)()()().()().()()().()().()()()()()(,.,.,222121212

9、02212121201110 xCnxHxlxCxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCxxxxxxxjnjjjjjjjnjjjjnjj)()()()(2xlBAxxBAxxCjj即令0)()(2)()(2)()()(0)()(10)(, 1)(22jjjjjjjjjjjjjjjjjjxlBAxAxlxlBAxxAlxBAxxlBAxxxjj即得：由)(21)(20)()(21jjjjjjjjjxlxBxlAxlBAxABAx得由)()()(21 ()()(21)(2()(22xlxlxxxlxlxxxlxjjjjjjjjjjj故得：由同理可得)()()(2xlxxxjjj)()()(,)

10、(,.,.,1)(, 0)(0)(.)()(.)()(0)(.)()(.)()(211101111011110 xlDCxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxjjjnjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj所以設(shè)的二重零點是知道)()()(11)()()(2)()(0)(22xlxxxxDCxlxlDCxxClxDCxxjjjjjjjjjjjjjjjj所以解得：算法實現(xiàn)).()(.).()().()(1)(),).()().()(1)()(11213132020102100nnnnnjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxAxlxxxxxxAxxxxxxAxlxl則其中例如：）首先如何實現(xiàn)（nijnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxAxl1002010102010030100302000)(1)(1.)(1)(1).()(.).()().()(1)(所以有njiijnjjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxxl101110)(1)(1.)(1)(1.)(1)(1)(不是一般性算法4.3.1Hermite插值余項特例n=1)2112111111313111331)()()21()()()21()()()()()(:)(,)()()(,)()()(,1131