小學(xué)工程問題歸納及經(jīng)典練習題

1、解工程問題的方法工程問題是研究工作量、工作效率和工作時間三者之間關(guān)系的問題。這三者之間的關(guān)系是： 工作效率×工作時間=工作量工作量÷工作時間=工作效率工作量÷工作效率=工作時間根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系，只要知道三者中的任意兩種量，就可求出第三種量。由于工作量的已知情況不同，工程問題可分為整數(shù)工程問題和分數(shù)工程問題兩類。在整數(shù)工程問題中，工作量是已知的具體數(shù)量。解答這類問題時，只要按照上面介紹的數(shù)量關(guān)系計算就可解題，計算過程中一般不涉及分率。在分數(shù)工程問題中，工作量是未知數(shù)量。解這類題時，也要根據(jù)上面介紹的數(shù)量關(guān)系計算，但在計算過程中要涉及到分率。一、工作總量是具體數(shù)量的

2、工程問題例1 建筑工地需要1200噸水泥，用甲車隊運需要15天，用乙車隊運需要10天。兩隊合運需要多少天？（適于四年級程度）解：這是一道整數(shù)工程問題，題中給出了總工作量是具體的數(shù)量1200噸，還給出了甲、乙兩隊完成總工作量的具體時間。先根據(jù)“工作量÷工作時間=工作效率”，分別求出甲、乙兩隊的工作效率。再根據(jù)兩隊工作效率的和及總工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作時間”，求出兩隊合運需用多少天。甲車隊每天運的噸數(shù)：（甲車隊工作效率）1200÷15=80（噸）乙車隊每天運的噸數(shù)：（乙車隊工作效率）1200÷10=120（噸）兩個車隊一天共運的噸數(shù)：80+

3、120=200（噸）兩個車隊合運需用的天數(shù)：1200÷200=6（天）綜合算式：1200÷（1200÷15+1200÷10）=1200÷（80+120）=1200÷200=6（天）答略。*例2 生產(chǎn)350個零件，李師傅14小時可以完成。如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時可以完成。如果小王單獨做這批零件，需多少小時？（適于四年級程度）解：題中工作總量是具體的數(shù)量，李師傅完成工作總量的時間也是具體的。李師傅1小時可完成：350÷14=25（個）由“如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時可以完成”可知，李師傅和徒弟小王每小

4、時完成：350÷10=35（個）小王單獨工作一小時可完成：35-25=10（個）小王單獨做這批零件需要：350÷10=35（小時）綜合算式：350÷（350÷10-350÷14）=350÷（35-25=350÷10=35（小時）答略。*例3 把生產(chǎn)2191打毛巾的任務(wù)，分配給甲、乙兩組。甲組每小時生產(chǎn)毛巾128打，乙組每小時生產(chǎn)毛巾160打。乙組生產(chǎn)2小時后，甲組也開始生產(chǎn)。兩組同時完工時超產(chǎn)1打。乙組生產(chǎn)了多長時間？（適于四年級程度）解：兩組共同生產(chǎn)的總?cè)蝿?wù)是：2191-160×2+1=1872（打）兩組共同生產(chǎn)

5、的時間是：1872÷（160+128）=6.5（小時）乙組生產(chǎn)的時間是：6.5+2=8.5（小時）綜合算式：（2191-160×2+1）÷（160+128）+2=1872÷288+2=6.5+2=8.5（小時）答略。練習題：1、筑路隊疾患修筑一條長2400米的公路，甲隊單獨做需要20天完成，乙隊單獨需要30天完成。如果兩隊同時開工共同修筑，只需幾天就可以完成？2、甲、乙兩個工程隊合修一條長42千米的水泥路，甲隊每天修0.5千米，比乙隊的2倍多0.1千米。（1）乙隊每天修多少千米？（2）兩隊合修多少天可以修完？3、紅星服裝廠計劃生產(chǎn)2800套夏季學(xué)生服，已

6、經(jīng)生產(chǎn)了5天，每天生產(chǎn)80套，剩下的20天完成，平均每天要生產(chǎn)多少套？4、王師傅加工一種零件，由原來的每個用12分鐘降低到每個8分鐘，原來每天加工300個，現(xiàn)在每天加工多少個？5、用兩臺機器生產(chǎn)108個齒輪。第一臺4.5小時能生產(chǎn)18個，第二臺1.6小時能生產(chǎn)8個。兩臺機器一同生產(chǎn)一段時間以后，還剩45個。兩臺機器一同生產(chǎn)了多少小時？綜合算式：答略。二、工作總量不是具體數(shù)量的工程問題工程問題方法總結(jié)一：基本數(shù)量關(guān)系： 工效×時間=工作總量 二：基本特點： 設(shè)工作總量為“1”，工效=1/時間 三：基本方法： 算術(shù)方法、比例方法、方程方法。 四：基本思想： 分做合想、合做分想。 五：類型

7、與方法：一：分做合想:1.合想,2.假設(shè)法,3.巧抓變化(比例),4.假設(shè)法。二：等量代換：方程組的解法代入法，加減法。 三：按勞分配思路：每人每天工效每人工作量按比例分配 四：休息請假： 方法：1.分想：劃分工作量。2.假設(shè)法：假設(shè)不休息。 五：休息與周期： 1. 已知條件的順序：先工效，再周期，先周期，再天數(shù)。 2. .天數(shù)：近似天數(shù)，準確天數(shù)。 3. 列表確定工作天數(shù)。 六：交替與周期：估算周期，注意順序！ 七：注水與周期：1.順序，2.池中原來是否有水，3.注滿或溢出。 八：工效變化。 九：比例：1.分比與連比，2.歸一思想，3.正反比例的運用，4.假設(shè)法思想(周期)。 十：牛吃草問題

8、：1.新生草量，2.原有草量，3.解決問題。 工程問題當知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也就是知道了所需的時間比。 因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會使我們的解題思路更靈活一些. 兩個人的問題 標題上說的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體.（一）兩個人的問題例11 一件工作，由A做20天完成，B做15天完成。（1）兩隊合做5天可以完成工程的幾分之幾？（2）兩隊合做6天，還剩下工程的幾分之幾？（3）兩隊合做幾天完成？解：（1） （2） （3）答：（1）兩隊合做5天可以完成工程的。（

9、2）兩隊合做6天，還剩下工程的。（3）兩隊合做8天完成。【解析】此題是工作效率問題。A用20天完成，總工程是“1 ”，所以甲隊的工作效率是，乙對的工作效率是。問題（1）要求完成的工程量，用工作效率×工作時間；問題（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用總工程量“1”減去已做工程量；問題（3）要求完成時間，用總工程量“ 1”÷總工效。例1.2、一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，現(xiàn)在甲、乙做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？ 解：（1）（2） 答：乙需要做1天可以完成全部工作?！窘馕觥恳鉀Q此題，就要清楚此工程的過程，此工程是甲和乙完

10、成一件工作，先是甲和乙一起做，之后轉(zhuǎn)由乙單獨完成，求的是乙單獨完成剩下的工作時間?？偣こ淌恰? ”，就可以知道：甲的工作效率是，乙對的工作效率是。求乙單獨完成剩下的工作時間，還需要知道乙的工作總量，乙的工作總量=1-甲乙一起3天做的工作量。甲和乙3天的工作總量：工作效率×工作時間工作總量 ，剩下：乙完成剩下的工作時間：利用工作總量÷工作效率工作時間 練習一1、 一項工程，甲隊單獨做24天完成，乙隊單獨做16天完成。甲、乙兩隊合做，多少天可以完成？（適于六年級程度）解：把這項工程的工作總量看作1。甲隊單獨做24天完成，做1天完成答略。2、一項工程，由甲工程隊修建需要20天，由

11、乙工程隊修建需要30解：把這項工程的工作總量看作1，由甲工程隊修建需要20天，知甲工 3、一項工程，甲、乙合做5天可以完成，甲單獨做15天可以完成。乙單獨做多少天可以完成？（適于六年級程度）解：把這項工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合需要多長的時間。=7.5（天）答：乙單獨做7.5天可以完成。例2.1 ：一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成?，F(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？ 解一：把這件工作看作1，甲每天可完成這件工作的九分之一，做3天完成的1/3。乙每天可完成這件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天） 答：

12、乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時間是 （18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 解三：甲與乙的工作效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了3天，相當于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天）. 練習 二1、一項工程，甲獨做需15天，乙獨做需12天，現(xiàn)在甲乙合作若干天后，乙再接著做3天，就完成了全部工程，問甲乙合作了多少天？2、一項工程，甲隊單獨做需20天完成，如果甲乙合作12天可以完成，如果乙隊單獨做，多少天可以完成？例3.1 ：一件工作，甲、乙兩人合作30天

13、可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？ 解：共做了6天后， 原來，甲做 24天，乙做 24天， 現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率 如果乙獨做，所需時間是 50天 如果甲獨做，所需時間是 75天 答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天. 練習三1、甲乙兩人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù)，甲先做5天，因有事外出，這時只完成任務(wù)的，如果接下來由乙完成，還需要多少天？2、一批零件，先由20人生產(chǎn)了10天完成任務(wù)的，余下的工程要提前10天完成，還要增加

14、多少人？3、甲乙二人合作一批零件需20天，甲比乙多做了這批零件的1/9，甲單獨做需多少天完成？ 4、一項工程，甲乙兩隊需10天完成，甲乙兩隊合作了幾天，因乙隊有事調(diào)離，由甲隊又干了8天，又知甲隊獨做需20天完成，問甲、乙兩隊合干了多少天？例4.1： 一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量 余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是 2+8+ 1= 11（天）. 答：從開始到完工共用了11天. 解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天

15、完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊合作 （30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）. 解三：甲隊做1天相當于乙隊做3天. 在甲隊單獨做 8天后，還余下（甲隊） 10-8= 2（天）工作量.相當于乙隊要做2×3=6（天）.乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）6-2=4（天）工作量. 4=3+1， 其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天. 解四： 方法：分休合想（題中說甲乙兩隊沒有在一起休息，我們就假設(shè)他們在一起休息.) 甲隊每天工作量為1/10，乙為1/30，因為甲休息了2天，而乙休息了8天，因為

16、8>2，所以我們假設(shè)甲休息兩天時，乙也在休息。那么甲開始工作時，乙還要休息：8-2=6(天）那么這6天內(nèi)甲獨自完成了這項工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量為1-6/10=4/10，而這剩下的4/10為甲乙兩人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)÷(1/10+1/30)=3天。所以從開始到完工共需：8+3=11(天） 例4.2：一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊休息了多少天？ 解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工

17、作量是 （1÷20）×16+（1÷30）×16=4/3 由于兩隊休息期間未做的工作量是4/3-1=1/3 乙隊休息期間未做的工作量是 1/3-1/20×3=11/60 乙隊休息的天數(shù)是 11/60÷(1/30)=11/2 答：乙隊休息了5天半. 解二：設(shè)全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩隊休息期間未做的工作量是 （3+2）×16- 60= 20（份）. 因此乙休息天數(shù)是 （20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）. 解三：甲隊做2天，相當于乙隊做3天. 甲隊休息3天，相當于乙隊休息

18、4.5天. 如果甲隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當于乙隊6天工作量，乙休息天數(shù)是 16-6-4.5=5.5（天）. 練習四1、一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？2、加工一批零件，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成，現(xiàn)在兩人合作完成，中間甲休息了2.5天，乙休息了若干天（兩人沒有同事休息一天），這樣共用14天完工，問乙休息了多少天？3、一件工作，甲單獨做需要12天完成，乙單獨做需要10天完成，現(xiàn)在甲乙合作8天完成任務(wù)，已知這段時間甲休息了2天看，那么乙休息了

19、多少天？4、一項工程，甲單獨做需要12天完成，乙單獨做需要8天完成，現(xiàn)在兩人合作，中途休息了2天，乙沒有休息，完成這件工程共用了多少天？ 例題5 一項工程，甲、乙兩隊合作15天完成，若甲隊做5天，乙隊做3天，只能完成工程的，乙隊單獨完成全部工程需要幾天？【思路導(dǎo)航】此題已知甲、乙兩隊的工作效率和是，只要求出甲隊貨乙隊的工作效率，則問題可解，然而這正是本題的難點，用“組合法”將甲隊獨做5天，乙隊獨做3天，組合成甲、乙兩隊合作了3天后，甲隊獨做2天來考慮，就可以求出甲隊2天的工作量×3，從而求出甲隊的工作效率。所以 1÷【（×3）÷（53）】20（天） 答：

20、乙隊單獨完成全部工程需要20天。練習五1、 師、徒二人合做一批零件，12天可以完成。師傅先做了3天，因事外出，由徒弟接著做1天，共完成任務(wù)的。如果這批零件由師傅單獨做，多少天可以完成？2、 某項工程，甲、乙合做1天完成全部工程的。如果這項工程由甲隊獨做2天，再由乙隊獨做3天，能完成全部工程的。甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？3、 甲、乙兩隊合做，20天可完成一項工程。先由甲隊獨做8天，再由乙隊獨做12天，還剩這項工程的。甲、乙兩隊獨做各需幾天完成？例題6一項工程，甲隊獨做12天可以完成。甲隊先做了3天，再由乙隊做2天，則能完成這項工程的?，F(xiàn)在甲、乙兩隊合做若干天后，再由乙隊單獨做。做完后

21、發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等。求兩段一共用了幾天？【思路導(dǎo)航】此題很容易先求乙隊的工作效率是：（×3）÷2；再由條件“做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等”的題意，可組合成由兩個乙隊和一個甲隊合做需若干天完成，即可求出相等的時間。（1） 乙隊每天完成這項工程的 （×3）÷2（2） 兩段時間一共是 1÷（×2+）×26（天） 答：兩段時間一共是6天。練習六1、 一項工程，甲隊獨做15天完成。若甲隊先做5天，乙隊再做4天能完成這項工程的?，F(xiàn)由甲、乙兩隊合做若干天后，再由乙隊單獨做。做完后發(fā)現(xiàn)，兩段時間相等。這兩段時間一共是幾天？2、 一項工程，甲

22、、乙合做8天完成。如果先讓甲獨做6天，再由乙獨做，完成任務(wù)時發(fā)現(xiàn)乙比甲多了3天。乙獨做這項工程要幾天完成？3、 某工作，甲單獨做要12天，乙單獨做要18天，丙單獨做要24天。這件工作先由甲做了若干天，再由乙接著做；乙做的天數(shù)是甲3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙的2倍。終于完成了這一工作。問總共用了多少天？（二）、多人的工程問題 例1. 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成，問甲一人獨做需要多少天完成？ 解： （天） （天） （天）答：獨做完成，甲需90天，乙需60天，丙需180天?！窘馕觥看祟}有別與以上3題，是要對工作效率更深刻的理解，尋找

23、數(shù)學(xué)量之間的關(guān)系。1、有一項工程，甲隊獨做需8天，乙隊獨做需10天，丙隊獨做需20天，現(xiàn)在由丙隊先獨做9天后，再由甲乙合作，問再需多少天可以完成？2、一項工程，甲乙兩人合作8天完成，乙丙兩人合作9天完成，甲丙兩人合作18天完成，如果丙一人來做，完成這項工程需要多少天？3、一項工程，甲乙兩人合作8天完成，乙丙兩人合作6天完成，丙丁兩人合作12天完成，那么甲丁兩人合作多少天可以完成？4、一項工程，甲乙兩人合作6天完成，乙丙兩人合作9天完成，甲丙兩人合作15天完成，現(xiàn)在甲乙丙三人合作需多少天？5、生產(chǎn)一批零件，甲乙兩人合作12小時完成，乙丙兩人合作15小時完成，甲丙兩人合作20小時完成，現(xiàn)在甲乙丙三

24、人合作需多少小時？6、某工程如果由甲乙丙合作18天完成，有乙丙丁隊合作15天完成，由甲乙丁隊合作12天完成，有甲丙丁隊合作20天完成，由甲隊單獨做需要多少天完成？例題2。 一項工作，甲、乙、丙3人合做6小時可以完成。如果甲工作6小時后，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的；如果甲、乙合做3小時后，丙做6小時，也可以完成這項工作的。如果由甲、丙合做，需幾小時完成？【思路導(dǎo)航】將條件“甲工作6小時后，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的”組合成“甲工作4小時，甲、乙、丙合做2小時可以完成這項工作的”，則求出甲的工作效率。同理，運用“組合法”再求出丙的工作效率。 甲每小時完成這項工程的幾分之幾 （&

25、#215;2）÷（62） 丙每小時完成這項工程的幾分之幾 （×3）÷（63）甲、 丙合做需完成的時間為： 1÷（+）7（小時） 答：甲、丙合做完成需要7小時。練習二1、 一項工作，甲、乙、丙三人合做，4小時可以完成。如果甲做4小時后，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的；如果甲、乙合做2小時后，丙再做4小時，可以完成這項工作的。這項工作如果由甲、丙合做需幾小時完成？2、 一項工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。現(xiàn)在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天則可以完成。乙獨做這項工程要幾天就可以完成？3、 一項工程，甲、乙兩隊合做10天完成，乙、丙兩隊合做8天完成?，F(xiàn)在甲、乙、丙三隊合做4天后，余下的工程由乙隊獨做5天完成。乙隊單獨做這項工程需多少天可以完成？4、 一件工作，甲、乙合做4小時完成，乙、丙合做5小時完成?，F(xiàn)在由甲、丙合做2小時后，余下的由乙6小時完成。乙獨做這件工作需幾小時才能完成？例題3：一條公路，甲隊獨修24天可以完成，乙隊獨修3