FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)

1、2北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院概述:IIR 和FIR 比較IIR 與FIR 性能比較IIR 數(shù)字濾波器:幅頻特性較好;但相頻特性較差; 有穩(wěn)定性問(wèn)題;FIR 數(shù)字濾波器:可以嚴(yán)格線性相位,又可任意幅度特性 因果穩(wěn)定系統(tǒng)可用FFT 計(jì)算(計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積 但階次比IIR 濾波器要高得多3北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院概述:IIR 和FIR 比較IIR 與FIR 設(shè)計(jì)方法比較IIR DF :無(wú)限沖激響應(yīng),H(Z 是z -1的有理分式,借助于模擬濾波器設(shè)計(jì)方法,階數(shù)低(同樣性能要求。其優(yōu)異的幅頻特性是以非線性相位為代價(jià)的。缺點(diǎn):只能設(shè)計(jì)特定類型的濾波器,不能逼近任意的頻響。FIR DF

2、 :有限沖激響應(yīng),系統(tǒng)函數(shù)H(Z 是z -1的多項(xiàng)式,采用直接逼近要求的頻率響應(yīng)。設(shè)計(jì)靈活性強(qiáng)缺點(diǎn):設(shè)計(jì)方法復(fù)雜;延遲大;階數(shù)高。(運(yùn)算量比較大,因而在實(shí)現(xiàn)上需要比較多的運(yùn)算單元和存儲(chǔ)單元FIR DF 的技術(shù)要求:通帶頻率p ,阻帶頻率s 及最大衰減p ,最小衰減s 很重要的一條是保證H(z 具有線性相位。4北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院概述:FIR DF 設(shè)計(jì)方法FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)FIR 濾波器的任務(wù):給定要求的頻率特性,按一定的最佳逼近準(zhǔn)則,選定h(n 及階數(shù)N 。三種設(shè)計(jì)方法:n 窗函數(shù)加權(quán)法o 頻率采樣法p FIR DF 的CAD -切比雪夫等波紋逼近法5北京郵電大學(xué)信息與通信工程

3、學(xué)院概述:FIR DF 零極點(diǎn)FIR 濾波器的I/O 關(guān)系:10N r y(nh(rx(n r=0121(, ,.,=h n n N FIR 濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù):1211011N N N rN r h(z h(z .h(N H(zh(rzz =+=在Z 平面上有N-1 個(gè)零點(diǎn);在原點(diǎn)處有一個(gè)(N-1階極點(diǎn),永遠(yuǎn)穩(wěn)定。FIR 系統(tǒng)定義:一個(gè)數(shù)字濾波器DF 的輸出y(n,如果僅取決于有限個(gè)過(guò)去的輸入和現(xiàn)在的輸入x(n, x(n-1,. ., x(n-N+1,則稱之為FIR DF 。FIR 濾波器的單位沖激響應(yīng):6北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院FIR DF 的頻率響應(yīng)為:FIR 濾波器的最重要特點(diǎn)

4、是能實(shí)現(xiàn)線性相位。具有線性相移特性的FIR 濾波器是FIR 濾波器中應(yīng)用最廣泛的一種。1j (r 0(H (e N j jn n H e h n e=H r (:振幅響應(yīng),它是一個(gè)取值可正可負(fù)的實(shí)函數(shù)。( = arg H(e jw 為數(shù)字濾波器的相位響應(yīng)。概述:FIR DF 頻率響應(yīng)7北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院信號(hào)通過(guò)線性濾波器時(shí),其幅度和相位可能會(huì)發(fā)生改變,濾波器幅頻特性|H(|和相頻特性( 可能會(huì)隨頻率的變化而改變。如:輸入正弦信號(hào)Acos(n 0則:輸出為|H(0| Acos(n 0+,其中相移=(0輸出頻率和輸入頻率相同,但幅度和相位都發(fā)生了變化輸出信號(hào)比輸入信號(hào)滯后的樣點(diǎn)數(shù)n (

5、位移 可由下式求得:設(shè):n 0+=0000(n -=-濾波器在數(shù)字頻率0 處的相位延遲(位移由于相位延遲n 的不同,最終產(chǎn)生了相位失真。確保不產(chǎn)生相位失真的辦法:使不同頻率的信號(hào)通過(guò)濾波器時(shí)有相同的延遲n 。概述:相位失真8北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院對(duì)不同的頻率有恒定的相移,不同的相位延遲n ,會(huì)產(chǎn)生相位失真.如:方波y(t 可以用無(wú)數(shù)奇次諧波的正弦波的疊加來(lái)得到:41111y(tsin(tsin(3tsin(5tsin(7tsin(9t3579=+若每個(gè)正弦波相移/2 弧度:確保所有頻率具有相同相位延遲的簡(jiǎn)單方法:隨著頻率的變化而改變相位,使濾波器具有線性相位特性,即使所有頻率的相位延遲

6、保持恒定,這種方法可通過(guò)使系統(tǒng)的相位函數(shù)(為頻率的線性函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。概述:相位失真p 41111y (t=cos(tcos(3tcos(5tcos(7tcos(9t3579+ 可見(jiàn)相移之后正弦波之和已不再是方波。9北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院線性相移FIR DF 約束條件和頻率響應(yīng)三個(gè)內(nèi)容:n 約束條件恒延時(shí)濾波h(n 偶對(duì)稱:恒相延時(shí)和恒群延時(shí)同時(shí)成立 h(n 奇對(duì)稱:僅恒群延時(shí)成立o 頻率響應(yīng)Type I :h(n 偶對(duì)稱、N 為奇數(shù) Type II :h(n 偶對(duì)稱、N 為偶數(shù) Type III :h(n 奇對(duì)稱、N 為奇數(shù) Type IV :h(n 奇對(duì)稱、N 為偶數(shù)p FIR DF

7、零極點(diǎn)分布10北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院相延時(shí):(p =群延時(shí):(g d d =線性相移FIR DF 約束條件:恒延時(shí)濾波恒延時(shí)濾波濾波器的延時(shí)分為相延時(shí)和群延時(shí)兩種1(|(|(N j jn j j j r n H e h n e H e e H e =令j (=arg H(e 恒延時(shí)濾波器:p ( 或g ( 是不隨變化的常量,這時(shí)濾波器具有線性相位特性。11北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院(=(負(fù)號(hào)是因?yàn)橄到y(tǒng)必有時(shí)延由于FIR 濾波器的傳遞函數(shù)為:1010(cos sin N j jn n N n H e h n e h n n j n =w(w1010(sin (arg(arctan (

8、cos N j n N n h n n H e h n n =故:線性相移FIR DF 約束條件:恒延時(shí)恒相延時(shí)和恒群延時(shí)同時(shí)成立要使p 、g 都不隨變化,( 必須是一條過(guò)原點(diǎn)直線12北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院于是:1010(sin sin tan(cos (cos N n N n h n n h n n =110(sin cos (cos sin N N n n h n n h n n =1(in(N n h n s n =h(0sin(h(N-1sin h(nsin -n h(N-0 h(1sin h(0sin(h(N-1 h (1 1 -( h N-1(N-2s s s in in

9、-(-nsi (n N (N-1-n -2 N-1in 0+=+=-+-線性相移FIR DF 約束條件:恒延時(shí)13北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院可以證明,當(dāng)112( (0n N-1N h n h N n =且 12(p g N =線性相移FIR DF 約束條件:上式成立,此時(shí)恒相延時(shí)和恒群延時(shí)同時(shí)成立時(shí),線性相位濾波器的必要條件是:不管N 為偶數(shù),還是N 為奇數(shù),系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(n 都關(guān)于中心點(diǎn)(N-1/2 偶對(duì)稱。當(dāng)N 為奇數(shù)時(shí)對(duì)稱中心軸位于整數(shù)樣點(diǎn)上; 當(dāng)N 為偶數(shù)時(shí)對(duì)稱中心軸位于非整數(shù)樣點(diǎn)上。h(n 為偶對(duì)稱,N 為偶數(shù)12N 7nh(nh(n 為偶對(duì)稱,N 為奇數(shù)12N 6nh(n14

10、北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院02(=于是有:11(sin cos(tan cot 2sin(cos N n N n h n nh n n=110j (r (H (e (cos sin N N j j n n n H e h n e h n n j n =線性相移FIR DF 約束條件: 只要求恒群延時(shí)成立若只要求群延時(shí)g ( 為一常數(shù),則相移特性為不過(guò)原點(diǎn)的直線。(21010(sin (arg(arctan 2(cos N j n Nn h n n H e h n n =故15北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院11(cos cos (sin sin N N n n h n n h n n =1(

11、cos(0N n h n n =可以證明,當(dāng)112( (0n N-1N h n h N n =且 12(g N =上式成立,此時(shí)故線性相移FIR DF 約束條件:恒群延時(shí)16北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院FIR 濾波器單獨(dú)滿足恒定群延時(shí)的必要條件為:沖激響應(yīng)h(n 對(duì)中心點(diǎn)(N-1/2 成奇對(duì)稱。此時(shí),無(wú)論N 為奇數(shù)或偶數(shù),濾波器的相頻特性均為線性,并包含有/2 的固定相移:因此,信號(hào)通過(guò)此類濾波器時(shí)不僅產(chǎn)生(N-1/2 個(gè)取樣點(diǎn)的延遲,還將產(chǎn)生90o 的相移,通常這類濾波器又被稱為90o 移相器,并具有很好的應(yīng)用價(jià)值。N-1(22=1111222N N N h h N h =當(dāng)N 為奇數(shù)時(shí),

12、故102N h =12N 7h(n 為奇對(duì)稱,N 為偶數(shù)nh(n12N 6h(n 為奇對(duì)稱,N 為奇數(shù)nh(n線性相移FIR DF 約束條件:恒群延時(shí)17北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院00,(1 2(1N h n h N n =相時(shí)延和群時(shí)延同時(shí)成立 奇對(duì)稱:( 對(duì)所有的頻率成分都有一個(gè)90相移。因此,有四種類型的FIR DF :線性相移FIR DF 約束條件線性相位約束條件對(duì)于任意給定的值N ,當(dāng)FIR 濾波器的h(n 相對(duì)其中心點(diǎn)(N-1/2 是對(duì)稱時(shí),不管是偶對(duì)稱還是奇對(duì)稱,此時(shí)濾波器的相移特性是線性的,且群延時(shí)都是= (N-1/2 。偶對(duì)稱:( 為過(guò)原點(diǎn)的,斜率為-的一條直線0,(22

13、1 2(1 N h n h N n =僅群時(shí)延同時(shí)成立I N II N III N IV N 類型 : h(n偶對(duì)稱,為奇數(shù)類型: h(n偶對(duì)稱,為偶數(shù)類型: h(n奇對(duì)稱,為奇數(shù)類型: h(n奇對(duì)稱,為偶數(shù)18北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type Ih(n 偶對(duì)稱,N 為奇數(shù)(恒相時(shí)延、恒群時(shí)延此時(shí),由于h(n 序列的長(zhǎng)度為奇數(shù),因此濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可進(jìn)行以下拆分(前后對(duì)稱部分、中心點(diǎn):1111121200121(2N N N N j wjwjnwj N n nw jnw n n N H e h n eh n e h n e h e =+=+h(n 為偶

14、對(duì)稱,N 為奇數(shù)12N 6nh(n對(duì)上式的第二和式作變量替換(n=N-1-m 后得到:1111122(1201(12N N N j wjwjnwj N w jnw n n N H e h n eh N n e e h e=+由對(duì)稱條件1(h n h N n =則H(e j 表示為:19北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type I1112201112211122(111221(21(21(12c s 2o 2N N jj n N N jn N N jn j N jn N N j j j j w jn n n N H e h n h eN eh h n N eh h

15、e e e e e n e e N n =+=+=+令12N n n =則上式為1122112(21011(2(cos 22(cos (N N j j N N j j rn n N N H e eh h n n ea n n e H =+=20北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院由此可以看出其線性相位特性。由于cos(n 對(duì)于=0、2都是偶對(duì)稱,所以幅度響應(yīng)H r ( 對(duì)=0、2也是偶對(duì)稱。線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type I其中1(21(2(2N a n h n 0N a n h n n 0=振幅響應(yīng):12r H (cos N n a n n =相頻響應(yīng):N-1(-2=024681h(n2

16、4680.81a(n12123frequency Unit:pi M a g n t u d eMagnitude Response12-30-20-100frequency Unit:piP h a s ePhase ResponseN=9Hr (w21北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院h(n 偶對(duì)稱,N 為偶數(shù)(恒相時(shí)延、恒群時(shí)延由于h(n 序列的長(zhǎng)度為偶數(shù),因此濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可拆分成如下兩部分(前后對(duì)稱部分,中心點(diǎn)處無(wú)值:線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type IIh(n 為偶對(duì)稱,N 為偶數(shù)12N 7nh(n對(duì)上式的第二和式作變量替換(n=N-1-m 后得到:由對(duì)稱條件1(h n

17、h N n =則H(e j 表示為:11122(N n N N N j jn jn jn n n H e h n eh n eh n e=+1122101(N N j jn j N jn n n H e h n e h N n e e =+22北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type II令2Nn n=,則上式為:1211212122(cos(jn j N w j j n n n N NN jH e h n en e e N n h e =+=11212212122212(cos(cos(NN jw jw n NN jw j n rNH e eh n n w eb

18、 n n w e H =其中22212(,.,/Nb n h n n N =(注意n 從1 開(kāi)始,即b(0=0,或沒(méi)有定義23北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type II與所設(shè)計(jì)的b(n 或h(n 無(wú)關(guān),恒為0。這種類型(即h(n 偶對(duì)稱,N 為偶數(shù)不能用于高通或帶阻濾波器。(2由于cos(n-1/2 對(duì)于=是奇對(duì)稱,所以,H r (w 對(duì)=也是奇對(duì)稱;以=0、2為偶對(duì)稱。振幅響應(yīng):N 2r n 11H (b(n cos (n-2=相頻響應(yīng):N-1(-2=02460.20.4h(n24680.81b(n12frequency Unit:pi M a g n t

19、u d eMagnitude Response12-30-20-100frequency Unit:piP h a s ePhase ResponseN=8n 從1開(kāi)始Hr (w注意:(1在= 處,有:21102(cos N r n H b n n =24北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院111111222(1(100111111222201(22(1(11(2sin(2(sin(2212(sin 2N N N j jn j N jn jn j N jn n n n N N N N jj n n N j H e h n e h N n e e h n e e e N N eh n j n e h

20、n n n j N eh n =+=1120N n = h(n 奇對(duì)稱,N 為奇數(shù)(恒群時(shí)延h(n 長(zhǎng)度為奇數(shù),拆分成前后兩部分:線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type III對(duì)上式的第二和式作變量替換,并利用對(duì)稱條件h(n=-h(N-1-n,得:11112112(N N N j jn jn jn N n n n H e h n e h n e h n e =+=+12N 6h(n 為奇對(duì)稱,N 為奇數(shù)nh(n25北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院Hr (w線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type III12N n n =,則上式為:111222(sin (N N j j j r n H e e

21、c n n eH =其中1212212(,.,(/N c n h n n N =令振幅響應(yīng):121(sinN r n H c n n =(相頻響應(yīng):2N-1(-2=02468-0.424680.20.40.60.81c(n12Magnitude Response12-30-20-10010frequency Unit:piP h a s ePhase Response 0.5pin 從1開(kāi)始26北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院與c(n 或h(n 的值無(wú)關(guān),因此,這種類型的濾波器不適用于低通、帶阻或高通濾波器設(shè)計(jì),而且,這說(shuō)明jH r (w 是純虛數(shù),對(duì)于逼近理想數(shù)字希爾伯特變換和微分器,它是很有

22、用的。理想的希爾伯特變換是一個(gè)全通濾波器,它對(duì)輸入信號(hào)產(chǎn)生90 度的相移,它頻繁用于通信系統(tǒng)中的調(diào)制。微分器廣泛用于模擬和數(shù)字系統(tǒng)中對(duì)信號(hào)求導(dǎo)。(2由于sin(n 對(duì)于=0、2 都是奇對(duì)稱,所以,H r (w 以=0、2為奇對(duì)稱。注意:(1 在= 0 和處,有:121(sin N j r n H e c n n =線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type III27北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type IVh(n 奇對(duì)稱,N 為偶數(shù)(恒群時(shí)延1122212(sin(n NN j w j j r H e ed n ne H =012N 7h(n 為奇對(duì)稱,N 為

23、偶數(shù)nh(n其中212322(,.,N N d n h n n =211(d(sin -2N r n H n n =122N (= 28北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):Type IV2468-0.4-0.2024680.20.412Magnitude Response12-30-20-10010frequency Unit:piP h a s ePhase Response 0.5piHr (w與d(n 或h(n 的取值無(wú)關(guān),因此傳輸函數(shù)H(z 在z = 1 處為零點(diǎn)。顯然,這種類型不能用于實(shí)現(xiàn)低通濾波器。又有,所以這類濾波器適用于設(shè)計(jì)希爾伯特變換和微分器。注意:

24、(1 在=0 處,有:2112(sin(Nj r n H e d n n =(2由于sin(n-1/2 在=處偶對(duì)稱,在0、2是奇對(duì)稱,所以,H r (w 以=偶對(duì)稱,0、2為奇對(duì)稱。29北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院一般形式:(j j r H e eH =偶對(duì)稱:12(N =奇對(duì)稱:122(N =(兩個(gè)恒時(shí)延條件(一個(gè)恒時(shí)延條件( H r ( 為的實(shí)函數(shù)線性相移FIR DF 頻率響應(yīng):小結(jié)30北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院一般的FIR DF 的零、極點(diǎn):11111(N N nN N nN n n f z H z h n zzh n zz =n 在z=0處,有一個(gè)(N-1階的極點(diǎn),故濾波器穩(wěn)定

25、;o 其零點(diǎn)要求f(z=0,根據(jù)代數(shù)理論,它為N-1階多項(xiàng)式,應(yīng)有N-1 個(gè)根,所以有N-1 個(gè)零點(diǎn)。如果h(n 為實(shí)數(shù)值,其根肯定是共軛對(duì)稱的。線性相移FIR DF 零極點(diǎn)分布31北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院1(h n h N n =1,.,0=N n 1101(N N n nn n H z h n z h N n z =令:m=N-1-n (11(101(101(=z H zzm h zzm h z H N N m mN N m m N 于是:(11(=z H z z H N 線性相移FIR DF 零極點(diǎn)分布線性相移FIR DF 的零極點(diǎn):9如果z i 是H(z 的零點(diǎn),即H(z i =

26、 0則H(z -1 =0,即z i -1亦為H(z 的零點(diǎn)。32北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院上面提到z i 肯定是共軛的,故z i * 亦必為其零點(diǎn) 于是零點(diǎn)有:11,*,*i i i i z zz z 1-1Z a1Z a21/b b總結(jié):(1 一般情況,i j i ie r z =,有四個(gè)零點(diǎn):ij i i e r z =ij i i e r z =*i j i i e r z =11ij i i er z 11*(=(2 r=1,單位圓上的零點(diǎn):ii j i j ie z e z - =(共軛對(duì)(3 位于實(shí)軸上的實(shí)數(shù):b, 1/b (實(shí)軸上的倒數(shù)對(duì)。(4 z i =1:單零點(diǎn)(11*i

27、 i i iz z z z =33北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院思路:理想數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的FIR 數(shù)字濾波器(j jn d dn H e h n e=1(N j jn n H e h n e =窗函數(shù)截短(d h n h n 要求:線性相位盡可能降低逼近誤差FIR DF 窗口法(傅里葉級(jí)數(shù)法h d (n 無(wú)限長(zhǎng),且非因果h(n 有限長(zhǎng),且因果34北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院設(shè)所要求的DF 的頻率響應(yīng)是H d (e j ,需要注意:它可能是低通、高通、帶通和帶阻FIR DF ,沒(méi)有特指某種類型的數(shù)字濾波器。不管是何種FIR DF ,它的頻率響應(yīng)是頻域中的周期函數(shù),周期為2,所以它可以展開(kāi)為傅氏

28、級(jí)數(shù)形式:(j jn d d n H e h n e =12(j jn d d h n H e e d =窗口法:基本原理式中h d (n 是傅里葉系數(shù),也是單位取樣響應(yīng)序列。由傅里葉級(jí)數(shù)理論可得:35北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院因此,所要求的DF 的系統(tǒng)函數(shù)便可求得:顯然,H d (z 是非因果的,且h d (n 的持續(xù)時(shí)間為-+,物理上不可實(shí)現(xiàn)。我們可以采用逼近H d (e j 的方法n 首先把h d (n 先截短為有限項(xiàng),把h d (n 截為2M+1項(xiàng),得:(nd d n H z h n z =窗口法:基本原理1(Mnd n MH z h n z=(nd dn H z h n z=36

29、北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院o 然后把截短后的h d (n 右移,使之變成因果性的序列。令H(z 等于H 1(z 乘以z -M 得:p 令h(n= h d (n-M, n=0, 1, 2, ., 2M ,則210(MMM n M nd n n d Mh H z z H z h n M n z z +=20(Mnn H z h n z =20(Mj jn n H e h n e =頻率響應(yīng)z=e j 窗口法:基本原理顯然H(z 是物理可實(shí)現(xiàn)的其沖激響應(yīng)h(n 的持續(xù)時(shí)間也是有限的選擇h d (n = h d (N-1-n,保證H(z 具有線性相位。37北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院對(duì)h d (

30、n 的截短必然產(chǎn)生誤差,即以|H(e j | 近似|H d (e j | 。定義逼近誤差為均方誤差:2212|(|j j d H e H e d =而H d (e j 可以展開(kāi)為:1012(cos(sin(j jn d dn n n n n a H e h n ea nb n =+式中:020(; (d n d d n d d a h a h n h n b j h n h n =+=窗口法:性能分析|H(e j | 對(duì)|H d (e j | 的逼近38北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院因?yàn)閨H(e j | 是對(duì)h d (n 截短而產(chǎn)生的,假定:0112(cos(sin(MMj n n n n A

31、 H e A n B n =+即當(dāng)|n|M 時(shí),A n = 0, B n =0。所以把上述兩式代入逼近誤差中,利用三角函數(shù)的正交性可得:(2222201112MMn n n n nn n n n M a A a A b B ab =+=+由于上式中每一項(xiàng)都是正的,所以,只有當(dāng)0012,., n n n n A a A a B b n M =時(shí)2min=最小。窗口法:性能分析39北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院說(shuō)明:當(dāng)用|H(e j |H d (e j | 時(shí),要使2 =min ,|H(e jw | 的截短后的單位取樣響應(yīng)h(n 的系數(shù)必須等于所要求的幅頻響應(yīng)|H d (e jw |展成傅里葉級(jí)數(shù)

32、的系數(shù)h d (n。有限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)是在最小均方意義上對(duì)原信號(hào)的最佳逼近其逼近誤差為:22|(d n M h n =截短的長(zhǎng)度M 越大,逼近誤差2愈小(因?yàn)閔 d (n 值愈小。窗口法:性能分析40北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院將h d (n 截短:0(,|(,dh n n Mh n else=相當(dāng)于將h d (n 與一窗函數(shù)w R (n 相乘,即(d R h n h n w n =窗口法:Gibbs 效應(yīng)其中10,|(,R n Mw n else=在一定意義上來(lái)看,窗函數(shù)決定了我們能夠“看到”多少個(gè)原來(lái)的沖激響應(yīng),“窗”這個(gè)用詞的含義也就在此。41北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院窗函數(shù)的頻譜窗口

33、法:Gibbs 效應(yīng)jM -jM -j Mj jn jn R R -j n n -M2M+12M+1-j j-j222-jj -j 222e -e e W (e w (ne e 1-e (2M 1N e e -esin sin 22sin sinee -e 22=+=此矩形窗譜為一鐘形偶函數(shù),在=+2/N 之間為其主瓣,主瓣寬度= 4/N ,在主瓣兩側(cè)有無(wú)數(shù)幅度逐漸減小的旁瓣, 見(jiàn)圖所示。22sin(/(sin(/j R N W e =2/N-2/N主瓣第1個(gè)旁瓣第2個(gè)旁瓣42北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院1212(j j j d R j j dR H e H e W e H e W e d

34、= 截短,根據(jù)時(shí)域相乘映射為頻域卷積,得:窗口法:Gibbs 效應(yīng)為便于分析,我們假定|H d (e jw | 是理想低通濾波器LPF 。式中積分等于由c 到c 區(qū)間內(nèi)W N e j(w- 下的面積,隨著變化,窗函數(shù)的主瓣和不同正負(fù)、不同大小的旁瓣移入和移出積分區(qū)間,使得此面積發(fā)生變化,也即|H(e jw | 的大小產(chǎn)生波動(dòng)。-w cw c (j R W e 43北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院2N2N W R (-c 0cH d (0.50.50.08950.08950.04680.0468卷積窗口法:Gibbs 效應(yīng)-w cw c -H d (44北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院現(xiàn)在分析幾個(gè)特

35、殊頻率點(diǎn)的濾波器性能n = 0 時(shí):由于一般情況下都滿足c 2/ N ,因此,H(0 的值近似等于窗譜函數(shù)W R (e jw 與軸圍出的整個(gè)面積。窗口法:Gibbs 效應(yīng)2N2NW R (-w c0w c-H d (ccj01R 1H (e W (d 2=o =c 時(shí):此時(shí)窗譜主瓣一半在積分區(qū)間內(nèi)一半在區(qū)間外,因此,窗譜曲線圍出的面積,近似為=0 時(shí)所圍面積的一半,即。011122(=cc cj j Rc H e H e wd 111(H (02c H -w cw c H d (w =w cW R (w-p =c -2/N 時(shí),正肩峰此時(shí)窗譜主瓣全部處于積分區(qū)間內(nèi),而其中一個(gè)最大負(fù)瓣剛好移出積

36、分區(qū)間,這時(shí)得到最大值,形成正肩峰。之后,隨著值的不斷增大,H(e jw 的值迅速減小,此時(shí)進(jìn)入濾波器過(guò)渡帶。c c R c H wd H MaxN N =H d (W R (w-H d (W R (w-46北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院n 理想濾波器的不連續(xù)點(diǎn)演化為過(guò)渡帶o 通帶與阻帶內(nèi)出現(xiàn)起伏過(guò)渡帶:正負(fù)肩峰之間的頻帶。其寬度等于窗口頻譜的主瓣寬度。對(duì)于矩形窗W R (e jw , 此寬度為4/N 。肩峰及波動(dòng):這是由窗函數(shù)的旁瓣引起的。旁瓣越多,波動(dòng)越快、越多。相對(duì)值越大,波動(dòng)越厲害,肩峰越強(qiáng)。肩峰和波動(dòng)與所選窗函數(shù)的形狀有關(guān),要改善阻帶的衰減特性只能通過(guò)改變窗函數(shù)的形狀。加窗處理對(duì)理想

37、矩形頻率響應(yīng)的影響窗口法:Gibbs 效應(yīng)47北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院p Gibbs 現(xiàn)象在對(duì)h d (n 截短時(shí),由于窗函數(shù)的頻譜具有旁瓣,這些旁瓣在與H d (e jw 卷積時(shí)產(chǎn)生了通帶內(nèi)與阻帶內(nèi)的波動(dòng),稱為吉布斯現(xiàn)象。長(zhǎng)度N 的改變只能改變坐標(biāo)的比例及窗函數(shù)W R (e jw 的絕對(duì)大小,但不能改變肩峰和波動(dòng)的相對(duì)大小(因?yàn)椴荒芨淖兇昂瘮?shù)主瓣和旁瓣的相對(duì)比例,波動(dòng)是由旁瓣引起的,即增加N ,只能使通、阻帶內(nèi)振蕩加快,過(guò)渡帶減小,但相對(duì)振蕩幅度卻不減小。結(jié)論:過(guò)渡帶寬度與窗的寬度N 有關(guān),隨之增減而變化。阻帶最小衰減(與旁瓣的相對(duì)幅度有關(guān)只由窗函數(shù)決定,與N 無(wú)關(guān)。窗口法:Gibbs

38、 效應(yīng)48北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院Gibbs 現(xiàn)象;窗口法:Gibbs 效應(yīng)49北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院設(shè)計(jì)FIR DF 時(shí),窗函數(shù)不僅可以影響過(guò)渡帶寬度,還能影響肩峰和波動(dòng)的大小(阻帶的衰減,因此,選擇窗函數(shù)應(yīng)使其頻譜:n 主瓣寬度盡量小,以使過(guò)渡帶盡量陡。o 旁瓣相對(duì)于主瓣越小越好,這樣可使肩峰和波動(dòng)減小,即能量盡可能集中于主瓣內(nèi)。對(duì)于窗函數(shù),這兩個(gè)要求是相互矛盾的,要根據(jù)需要進(jìn)行折衷的選擇,窗口法:常用窗函數(shù)w20lg|W(w/W(0|B3dBAD (dB/Oct為了定量地比較各種窗函數(shù)的性能,給出三個(gè)頻域指標(biāo):n 3db 帶寬B ,單位為(最大可能的頻率分辨力o 最大旁瓣峰

39、值A(chǔ)(dB,A 越小,由旁瓣引起的譜失真越小p 旁瓣譜峰漸進(jìn)衰減速度D (dB/oct 一個(gè)好的窗口,應(yīng)該有最小的B 、A 及最大的D 。2N=50北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院以下介紹的窗函數(shù)均為偶對(duì)稱函數(shù),都具有線性相位特性。設(shè)窗的寬度為N ,窗函數(shù)的對(duì)稱中心點(diǎn)在(N-1/2處。因此,均為因果函數(shù)。矩形窗最簡(jiǎn)單的窗函數(shù),從阻帶衰減的角度看,其性能最差。它的頻率響應(yīng)函數(shù)為:窗口法:基本窗函數(shù)_矩形窗1010,(, n N w n else=1222sin (sin N j N W e=22sin (sin r N W =振幅響應(yīng)51北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院為了對(duì)過(guò)渡帶和阻帶衰減進(jìn)行精確

40、分析,對(duì)窗振幅響應(yīng)進(jìn)行連續(xù)積分(或累積振幅響應(yīng),即矩形窗函數(shù)w(n 以及它的振幅響應(yīng)、累積振幅響應(yīng)如下圖所示。窗口法:基本窗函數(shù)_矩形窗1121222sin (sin ccj r r N H e W d d , N += 0224501Rectangular Window : N=45nw (n -1145Amplitude Responsefrequency in pi unitsW r-10140130Amplitude Response in dBfrequency in pi unitsD e c b e s-115021Accumulated Amplitude Responsefr

41、equency in pi unitsD e c b e sWidth=(1.8*pi/N性能指標(biāo)3dB 帶寬B=0.89 最大旁瓣峰值A(chǔ)= -13dB旁瓣譜峰漸進(jìn)衰減速度D=-6dB/oct 在Matlab 中,實(shí)現(xiàn)矩形窗的函數(shù)為w = boxcar(n。52北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院振幅響應(yīng)在= 1處具有第一個(gè)零點(diǎn):因而主瓣的寬度為2,所以過(guò)渡帶寬也近似為2。大約在= 3/N 處,出現(xiàn)第一個(gè)旁瓣(即主旁瓣,其幅度為:將它與主瓣振幅N 比較,則最大旁瓣峰值A(chǔ)(dB 為A= -13db 。累積振幅響應(yīng)第一個(gè)旁瓣為21dB ,這個(gè)21dB 的阻帶衰減與窗長(zhǎng)度N 無(wú)關(guān)。 根據(jù)最小阻帶衰減,可以

42、精確地計(jì)算出過(guò)渡帶寬為: 它大約是近似帶寬的一半。1122NN=或33221332sin( ,sin(r N W M N N=時(shí)18.s p N=窗口法:基本窗函數(shù)_矩形窗53北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院三角窗(或巴特利特Bartlett 窗由于矩形窗從0 到1 (或1 到0 有一個(gè)突變的過(guò)渡帶,這造成了吉布斯現(xiàn)象。Bartlett 提出了一種逐漸過(guò)渡的三角窗形式,它是兩個(gè)矩形窗的卷積。B=1.28, A=-27dB, D= -12dB/oct ,近似過(guò)渡帶寬8/N ,精確過(guò)渡帶寬6.1/N ,最小阻帶衰減25dB 。與矩形窗來(lái)比較,阻帶衰減性能有所改善,但代價(jià)是過(guò)渡帶的加寬。窗口法:基本窗

43、函數(shù)_三角窗201212,.,(,.,nN n N w n N w N nn N =212242(sin (sin N j N W e N =54北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院22451Triangular Window : N=45nw (n -11022Amplitude Responsefrequency in pi unitsW r-1016027Amplitude Response in dBfrequency in pi unitsD e c i b e l s-116025Accumulated Amplitude Responsefrequency in pi unitsD e

44、 c i b e l sWidth=(6.1*pi/N在Matlab 中,函數(shù)bartlett(n和triang(n用來(lái)計(jì)算相似的三角窗,但55北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院余弦窗B=1.2, A=-23dB, D=-12dB/oct 。近似過(guò)渡帶寬8/N ,精確過(guò)渡帶寬6.5/N ,最小阻帶衰減34dB 。窗口法:基本窗函數(shù)_余弦窗01211(sin ,.,n w n n N N =10122(cos ,.,.,n N N w n n N =21211(Nj W eu u N N =+222sin (sin jN u e=或其中頻率響應(yīng)56北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院窗口法:基本窗函數(shù)_余

45、弦窗224501Triangular Window : N=45nw (n -11027.9994Amplitude Responsefrequency in pi unitsW r-10160230Amplitude Response in dBfrequency in pi unitsD e c i b e l s-116034Accumulated Amplitude Responsefrequency in pi unitsD e c i b e l sWidth=(6.5*pi/N57北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院升余弦窗函數(shù)漢寧窗、漢明窗、布萊克曼窗都是升余弦窗的特例。它們都是頻率為0 2/(N-1 和4/(N-1 的余弦序列的組合。升余弦窗的頻率特性比矩形窗有很大改善。其中A 、B 、C 為常數(shù)。n 當(dāng)A = 0.5,B=0.5,C=0 時(shí),為漢寧