解三角函數(shù)題時常用的數(shù)學(xué)思想方法

1、解三角函數(shù)題時常用的數(shù)學(xué)思想方法廈門一中 廖獻武三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。靈活地借助數(shù)學(xué)思想方法解題，往往可以避免復(fù)雜的運算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度，加快解題速度。在教學(xué)中應(yīng)加以歸納與訓(xùn)練，這樣會有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力，增強學(xué)生分析問題、解決問題的能力。本文通過實例介紹解三角函數(shù)題時常用的數(shù)學(xué)思想方法。一、函數(shù)與方程的思想方程的思想,就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手,把變量之間的聯(lián)系用方程的關(guān)系來反映,然后通過解方程或?qū)Ψ匠踢M行討論的方法,使問題得到解決.例1 已知求的值.解:令,則 又 由、解得 即解得 .函數(shù)的思想就是在解決問題的過程中,把變量之

2、間的關(guān)系抽象成函數(shù)關(guān)系,把具體問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,通過對函數(shù)相應(yīng)問題的解決,便可達到解決具體問題的目的.例2 已知x，y ，且x3+sinx2a=0，4y3+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值.解：設(shè)f（u）=u3+sinu。由式得f（x）=2a，由式得 f（2y）=2a.因為f（u）在區(qū)間上是單調(diào)奇函數(shù)，所以f（x）=f（2y）=f（2y）.又所因x,2y，所以x=2y，即x+2y=0。所以cos（x+2y）=1.方程與函數(shù)是互相聯(lián)系的，利用函數(shù)與方程之間的對立統(tǒng)一關(guān)系，能進一步提高綜合運用知識分析問題和解決問題的能力例3 試求方程的實根的個數(shù)以及所有實根的和解：解決這類問題

3、宜從函數(shù)的角度來考慮由得，即設(shè)，方程的實根，即是以上兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)由于，均為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，因此只須畫出內(nèi)的圖象由于和的單調(diào)性，可知在的任意兩個相鄰的對稱軸之間，這兩個函數(shù)最多只能有一個交點（見圖2），而的對稱軸方程為，當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象共有25個交點，又由于兩個圖象均過原點，所以當(dāng)時，兩個圖象共有個交點，即方程共有51個實根由于這些實根關(guān)于原點對稱，可知這51個實根之和為0二、數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合思想就是把抽象的數(shù)和直觀的形雙向聯(lián)系與溝通,使抽象思想與形象思維有機地結(jié)合起來化抽象為形象,以期達到化難為易的目的.三角函數(shù)中可利用的圖形有兩類，即函數(shù)圖象和三角函數(shù)線（單位

4、圓）例4 若,記，對于函數(shù)，給出下列4個命題：該函數(shù)的值域是；當(dāng)且僅當(dāng)時，該函數(shù)取得最大值1；該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時，上述命題中正確的的命題是解：根據(jù)題意，已知函數(shù)即為，由此圖象可知，該函數(shù)值域是；當(dāng)或時，該函數(shù)取得最大值1；該函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，所以命題、都不正確，而命題是正確的三、分類討論的思想分類討論的思想就是整體問題分解為幾個部分問題來解決,它是邏輯劃分思想在解數(shù)學(xué)題中的具體運用.它有三個重要的原則，即不越級、不重復(fù)、不遺漏例5 求函數(shù)的最大值和最小值.解:,設(shè)則時,在上單調(diào)遞減, 時,時,時, 在上為增函數(shù), 例6 已知函數(shù)的定義域為，值域為，求a

5、和b的值解：因為a值與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)，所以對a要分a>0，,a<0三種情況進行討論，1）當(dāng)時，則解得2）當(dāng)時，與值域為不符，故舍去.3）當(dāng)時，則解得在三角運算中，有關(guān)三角函數(shù)所在象限符號的選取常需要進行討論，三角函數(shù)與二次函數(shù)綜合問題以及三角函數(shù)最值等問題也要注意討論.四、化歸（轉(zhuǎn)化）思想化歸思想在三角函數(shù)中應(yīng)用非常普遍，主要體現(xiàn)在：化多角的形式為單角的形式；化多種函數(shù)名稱為一種函數(shù)名稱；化未知角為已知角；化高次為低次；化特殊為一般。轉(zhuǎn)化時要特別注意問題的等價性例7. 設(shè)為第四象限的角，若，則tan2=_.解：因為=，所以，tan2=.又因為為第四象限的角，所以tan=，從而求得

6、tan2=.例8 已知，求：的取值范圍解析：由已知得，解得：或又由已知得令，則（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）因為二次函數(shù)圖象的對稱軸方程為，故的取值范圍是評析要注意轉(zhuǎn)化的等價性，這里取不到最小值五、換元的思想換元的思想就是對較復(fù)雜問題有時恰當(dāng)?shù)貙ψ兞孔魈鎿Q,可以達到化繁為簡,化未知為已知的目的.例9 求函數(shù)的值域解:令,則且,又由得.由此可得所求函數(shù)值域為: .例10 求函數(shù)y=的最值.【思考與分析】 本題屬較復(fù)雜的函數(shù)求最值問題，用我們以前學(xué)習(xí)的知識很難解決，但注意到y(tǒng)=由，故可用sin2+cos2=1換元求解.解：原函數(shù)定義域為），且為奇函數(shù).先考慮x，）的情況，原函數(shù)變?yōu)閥=由可用換元法求解.令=c

7、os，代入，得y=sin+cos= 1y（x1）.又原函數(shù)是奇函數(shù)， y-1（x-1）.故原函數(shù)的最大值為，最小值為.【小結(jié)】 平方關(guān)系sin2+cos2=1，常用來進行三角換元.六、整體思想有時從整體的角度解題，可以減少計算量或避免分類討論.例11. 證明cos.證明：設(shè)，b=，則ab=.因為b0，所以a=。即原式得證.七、特殊化（具體化）思想對一些比較復(fù)雜或抽象的問題，若先將其特殊化或具體化，可以更容易找到解題思路例12 函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則函數(shù)在（ ）A是增函數(shù) B是減函數(shù) C可以取得最大值M D可以取得最小值解：由于和兩函數(shù)圖象的相對位置關(guān)系不變，所以可令，區(qū)間為，則，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得答案為C評述此題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，兼考分析思維能力要求對基本函數(shù)的性質(zhì)能熟練運用（正用和逆用）；取特殊值可降低難度，簡化命題八. 類比聯(lián)想的方法例13. 已知為非零常數(shù)，xR，且f（x+）=。問f（x）是否是周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由.分析：由于探索的是周期函數(shù)的問題，容易聯(lián)想到三角函數(shù).又f（x+）=的結(jié)構(gòu)的形式極易與tan（x+）=進行類比，故可把tanx看成是f（x）