結(jié)構(gòu)力學(xué)3精講

1、第 八 部分位 移 法Displacement method8-1、位移法的基本概念、位移法的基本概念n一、位移法的提出一、位移法的提出n 從理論上講，用力法可以分析各種（所有）超從理論上講，用力法可以分析各種（所有）超靜定結(jié)構(gòu)。困難是當(dāng)未知量較多時(shí)，力法方程不靜定結(jié)構(gòu)。困難是當(dāng)未知量較多時(shí)，力法方程不易求解。這個(gè)困難對(duì)于計(jì)算工具落后（無(wú)電子計(jì)易求解。這個(gè)困難對(duì)于計(jì)算工具落后（無(wú)電子計(jì)算機(jī)）的年代，是一個(gè)很難解決的問(wèn)題。算機(jī)）的年代，是一個(gè)很難解決的問(wèn)題。n 上世紀(jì)初，在力法的基礎(chǔ)上提出了位移法，位上世紀(jì)初，在力法的基礎(chǔ)上提出了位移法，位移法最主要的研究對(duì)象是高次超靜定剛架（多層移法最主要的研

2、究對(duì)象是高次超靜定剛架（多層多跨剛架）。多跨剛架）。分析上圖所示剛架分析上圖所示剛架n 剛架在荷載作用下，發(fā)生黃線所示變形。剛架在荷載作用下，發(fā)生黃線所示變形。n 其中，固端其中，固端C，無(wú)任何位移；鉸支端，無(wú)任何位移；鉸支端A，無(wú)線位移，只有鉸無(wú)線位移，只有鉸位移；結(jié)點(diǎn)位移；結(jié)點(diǎn)B，為剛結(jié)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)為剛結(jié)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)B結(jié)點(diǎn)的兩桿桿端有相同的轉(zhuǎn)角結(jié)點(diǎn)的兩桿桿端有相同的轉(zhuǎn)角B B，忽略軸向變形，認(rèn)為無(wú)線位移。忽略軸向變形，認(rèn)為無(wú)線位移。n 討論討論：如何確定每根桿件的內(nèi)力？：如何確定每根桿件的內(nèi)力？n AB桿：桿：可視為一端鉸支，一端剛結(jié)的梁，在可視為一端鉸支，一端剛結(jié)的梁，在B端發(fā)生桿端轉(zhuǎn)端發(fā)生桿端

3、轉(zhuǎn)角角B Bn 桿端彎矩：桿端彎矩： MBA=3EIB B /l (a)n （桿端彎矩對(duì)桿端順時(shí)針為正）（桿端彎矩對(duì)桿端順時(shí)針為正）n BC桿：桿：可將其視為兩端剛結(jié)的梁，其上承受豎向荷載可將其視為兩端剛結(jié)的梁，其上承受豎向荷載FP ，同時(shí)在同時(shí)在B 端發(fā)生轉(zhuǎn)端發(fā)生轉(zhuǎn)B B。n其桿端彎矩可由兩部分疊加而成：其桿端彎矩可由兩部分疊加而成：n M BC= -FPl /8+4EIB B /l (b)n同理：同理： MCB = +FPl/8+2EIB B /l n 由由（a）、（）、（b）式可見(jiàn)，如式可見(jiàn)，如B B已知，則：已知，則： MBA、 M BC 、MCB即可知，整個(gè)剛架的彎矩圖即可畫出。即可

4、知，整個(gè)剛架的彎矩圖即可畫出。n 因此，以因此，以B B為基本未知量，并設(shè)法求出，則各桿內(nèi)力均為基本未知量，并設(shè)法求出，則各桿內(nèi)力均可定出?？啥ǔ?。 n由平衡條件：由平衡條件：n剛結(jié)點(diǎn)剛結(jié)點(diǎn)B處，桿端彎矩應(yīng)滿足平衡條件處，桿端彎矩應(yīng)滿足平衡條件nMB=0 MBA+M BC =0n 3EIB B /l FPl /8+4EIB B /l =0 (c)n 7EIB B /l FPl /8 =0n B B=FPl2/56EIn將將B B代入代入(a) (b)式式,則則:nMBA= 3EI/l FPl2/56EI = +3FPl/56nM BC=-FPl/8+4EI/l FPl2/56EI = - 3F

5、Pl/56nMCB=+FPl/8+2EI/L FPl2/56EI = +9FPl/56彎矩圖如下圖所示彎矩圖如下圖所示:3FPl/569FPl/56FP l /4MBA= +3FPl/56MBC= - 3FPl/56MCB= +9FPl/56由簡(jiǎn)例可見(jiàn)位移法的基本思路由簡(jiǎn)例可見(jiàn)位移法的基本思路:n (1)、根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何條件、根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何條件(包括變形連續(xù)條件和邊界支承包括變形連續(xù)條件和邊界支承條件條件)確定某些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。確定某些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。n (2)、把每根桿件視為單跨超靜定桿、把每根桿件視為單跨超靜定桿,建立其桿端內(nèi)力與桿建立其桿端內(nèi)力與桿端位移之間的關(guān)系。端位

6、移之間的關(guān)系。n (3)、根據(jù)平衡條件求解結(jié)點(diǎn)位移。、根據(jù)平衡條件求解結(jié)點(diǎn)位移。n (4)、結(jié)點(diǎn)位移代入桿端內(nèi)力公式解出最后內(nèi)力。、結(jié)點(diǎn)位移代入桿端內(nèi)力公式解出最后內(nèi)力。整體結(jié)構(gòu)整體結(jié)構(gòu)（變形協(xié)調(diào)）（變形協(xié)調(diào)）拆拆搭搭(還原還原)原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)若干根桿件若干根桿件（平衡條件）（平衡條件）三、需解決的問(wèn)題三、需解決的問(wèn)題n 1、單跨（超靜定）桿件在桿端發(fā)生各種位移作、單跨（超靜定）桿件在桿端發(fā)生各種位移作用下的桿端力，以及單跨桿在各種外因（包括荷載等用下的桿端力，以及單跨桿在各種外因（包括荷載等因素）作用下的桿端力。因素）作用下的桿端力。n 2、討論結(jié)構(gòu)上的哪些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。、討論結(jié)構(gòu)上

7、的哪些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。n 3、位移法方程的建立及其求解。、位移法方程的建立及其求解。 8-2 等截面直桿的剛度方程等截面直桿的剛度方程 在各類結(jié)構(gòu)中，?？砂l(fā)現(xiàn)如下幾種類型的單跨桿。在各類結(jié)構(gòu)中，?？砂l(fā)現(xiàn)如下幾種類型的單跨桿。 因?yàn)槭菑慕Y(jié)構(gòu)中取出來(lái)的，桿件兩端并不一定是真正因?yàn)槭菑慕Y(jié)構(gòu)中取出來(lái)的，桿件兩端并不一定是真正的固定端、鉸支端、滑動(dòng)端、的固定端、鉸支端、滑動(dòng)端、，各桿端都可能有線位移，各桿端都可能有線位移和角位移。和角位移。 本教材采用本教材采用a)圖模型代替上圖所述各單跨桿圖模型代替上圖所述各單跨桿件，有普遍性。件，有普遍性。 梁的兩端均為從結(jié)構(gòu)梁的兩端均為從結(jié)構(gòu)(梁、剛架）中

8、截出的。梁、剛架）中截出的。b)圖與圖與a)圖相互可替代。圖相互可替代。（參考分段疊加法）（參考分段疊加法）a)EI，lb)EI，l 注意：注意：桿端彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則與通常關(guān)于桿端彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則與通常關(guān)于彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則不同。彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則不同。 （1）、此處規(guī)則是針對(duì)桿端彎矩，而不是）、此處規(guī)則是針對(duì)桿端彎矩，而不是針對(duì)桿中任一截面的彎矩。針對(duì)桿中任一截面的彎矩。 （ 2 ） 、當(dāng)取桿件（或取結(jié)點(diǎn)）為隔離體、當(dāng)取桿件（或取結(jié)點(diǎn)）為隔離體時(shí)，桿端彎矩是隔離體上的外力，建立隔離體時(shí)，桿端彎矩是隔離體上的外力，建立隔離體平衡方程時(shí)，力矩一律以順時(shí)針（或逆時(shí)針）平衡方程時(shí)，力矩一律以順時(shí)針（或逆

9、時(shí)針）轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。轉(zhuǎn)向?yàn)檎?桿端彎矩有雙重身份：既是桿件的內(nèi)力又桿端彎矩有雙重身份：既是桿件的內(nèi)力又是隔離體外力。是隔離體外力。 因此，這里的規(guī)則是把桿端彎矩視為外力，因此，這里的規(guī)則是把桿端彎矩視為外力，為了便于建立平衡方程而規(guī)定的。為了便于建立平衡方程而規(guī)定的。MABMBAlEIBAA B由單位荷載法，得：由單位荷載法，得：BAABBBAABAMiMiMiMi31616131 其中其中 i=EI/l 為桿件線剛度。為桿件線剛度。二、由桿端位移求桿端力二、由桿端位移求桿端力 1、桿端轉(zhuǎn)角與桿端、桿端轉(zhuǎn)角與桿端彎矩之間的關(guān)系彎矩之間的關(guān)系lBAEIAB2、桿端轉(zhuǎn)角與桿端相對(duì)線位移之間的關(guān)系、桿

10、端轉(zhuǎn)角與桿端相對(duì)線位移之間的關(guān)系lBA3、考慮兩種因素、考慮兩種因素11361163AABBABABBAMMiilMMiil 解聯(lián)立方程，得解聯(lián)立方程，得liiiMliiiMBABABAAB642624（8-5）4、矩陣形式：、矩陣形式：BAQABBAABlilililiiiliiiFMM21266642624（8-7）其中：其中：稱為彎曲桿件的剛度矩陣稱為彎曲桿件的剛度矩陣稱為彎曲桿件的剛度矩陣稱為彎曲桿件的剛度矩陣26426246612iiiliiiliiilll三、由荷載求固端彎矩三、由荷載求固端彎矩n 圖示兩端固定梁圖示兩端固定梁承受荷載的情況。承受荷載的情況。nMFAB， MFBAn

11、稱為稱為固端彎矩固端彎矩 。nFFQAB ， FFQBAn稱為稱為固端剪力固端剪力。n 正負(fù)號(hào)規(guī)定同桿正負(fù)號(hào)規(guī)定同桿端力。端力。ABFPq(x)MFABMFBAFFQABFFQBA 根據(jù)荷載的不同，可用根據(jù)荷載的不同，可用力法計(jì)算出固端彎矩和固端力法計(jì)算出固端彎矩和固端剪力。表剪力。表8 1 。 對(duì)于下列三種桿件：對(duì)于下列三種桿件： （1）兩端固定（剛結(jié)）的梁。）兩端固定（剛結(jié)）的梁。 （2）一端固定、另一端簡(jiǎn)支的梁。）一端固定、另一端簡(jiǎn)支的梁。 （3）一端固定、另一端滑動(dòng)支承的梁。）一端固定、另一端滑動(dòng)支承的梁。 表表8-1給出了幾種常見(jiàn)荷載作用下個(gè)桿端彎矩和桿端剪給出了幾種常見(jiàn)荷載作用下個(gè)

12、桿端彎矩和桿端剪力。由于它們是只與荷載形式有關(guān)的常數(shù)，所以又稱為載力。由于它們是只與荷載形式有關(guān)的常數(shù)，所以又稱為載常數(shù)。常數(shù)。 表中的桿端彎矩，固端剪力的正負(fù)號(hào)均按位移法正負(fù)表中的桿端彎矩，固端剪力的正負(fù)號(hào)均按位移法正負(fù)號(hào)規(guī)定給出。使用是應(yīng)注意彎矩的受拉方向。號(hào)規(guī)定給出。使用是應(yīng)注意彎矩的受拉方向。 各類桿件在各種荷載作用下桿端彎矩、固端剪力的計(jì)算，各類桿件在各種荷載作用下桿端彎矩、固端剪力的計(jì)算，均可應(yīng)用力法算出，在此不再討論，可自學(xué)。均可應(yīng)用力法算出，在此不再討論，可自學(xué)。 由于實(shí)際結(jié)構(gòu)中，各桿方向有所不同，不會(huì)與表中情況由于實(shí)際結(jié)構(gòu)中，各桿方向有所不同，不會(huì)與表中情況完全一樣，在使用中

13、應(yīng)具體情況，具體分析。完全一樣，在使用中應(yīng)具體情況，具體分析。四、等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程四、等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程n （1）、兩端固定梁n 等截面兩端固定梁同時(shí)承受已知的桿端位移和荷載的作用，桿端彎矩的一般公式為：(8-12)(8-13)桿端剪力的一般公式為： 426246FABABABFBAABBAMiiiMlMiiiMl2266126612FQABABQABFQBAABQBAiiiFFllliiiFFlll (2)、一端剛結(jié)，一端鉸結(jié)223303333FABAABBAFQABAQABFQBAAQBAMiiMlMiiFFlliiFFll (3)、一端剛結(jié)，一端滑動(dòng)FABA

14、BABFBAABBAMiiMMiiM 8-3、 8-4 剛架的計(jì)算剛架的計(jì)算一、位移法基本未知量的確定一、位移法基本未知量的確定 上一節(jié)討論了桿端位移與桿端力之間的關(guān)上一節(jié)討論了桿端位移與桿端力之間的關(guān)系?？梢哉J(rèn)為：如果結(jié)構(gòu)上每根桿件的兩端的系。可以認(rèn)為：如果結(jié)構(gòu)上每根桿件的兩端的角位移和相對(duì)線位移成為已知，則由此可以得角位移和相對(duì)線位移成為已知，則由此可以得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有內(nèi)力。到整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有內(nèi)力。 各桿件是由結(jié)點(diǎn)聯(lián)在一起的，桿端位移即各桿件是由結(jié)點(diǎn)聯(lián)在一起的，桿端位移即為結(jié)點(diǎn)位移。由此可知，位移法的基本未知量為結(jié)點(diǎn)位移。由此可知，位移法的基本未知量是是剛結(jié)點(diǎn)的角位移剛結(jié)點(diǎn)的角位移和和結(jié)點(diǎn)

15、線位移。結(jié)點(diǎn)線位移。1、變形假定（傳統(tǒng)）、變形假定（傳統(tǒng)） （1）、受彎直桿忽略軸向變形和剪切變）、受彎直桿忽略軸向變形和剪切變形的影響。形的影響。 （2）、受彎直桿彎曲變形是微小的（?。?、受彎直桿彎曲變形是微小的（小變形）。變形）。 、假定彎曲后，桿端間距不變；、假定彎曲后，桿端間距不變； 、圓弧可用垂直于半徑的一小段直線、圓弧可用垂直于半徑的一小段直線代替。代替。 2、位移法的基本未知量、位移法的基本未知量 （1）、剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移。每個(gè)剛結(jié)）、剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移。每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有一個(gè)獨(dú)立的角位移未知量。點(diǎn)有一個(gè)獨(dú)立的角位移未知量。 （2）、獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。）、獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。 在傳統(tǒng)的位移法中

16、，由于考慮了桿件在傳統(tǒng)的位移法中，由于考慮了桿件的變形假定，結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的確定有一的變形假定，結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的確定有一定的難度。定的難度。 、一般剛、一般剛架（簡(jiǎn)單），可架（簡(jiǎn)單），可直接觀察判斷。直接觀察判斷。判斷方法：判斷方法：n=n+n=2+1=3 、附加鏈桿法，由兩個(gè)已知不動(dòng)點(diǎn)出發(fā)、附加鏈桿法，由兩個(gè)已知不動(dòng)點(diǎn)出發(fā)（無(wú)線位移點(diǎn)），引出的兩個(gè)不平行的受彎直桿（無(wú)線位移點(diǎn)），引出的兩個(gè)不平行的受彎直桿的相交點(diǎn)也不動(dòng)。的相交點(diǎn)也不動(dòng)。 控制所有結(jié)點(diǎn)成為不動(dòng)點(diǎn)，所需添加的最少控制所有結(jié)點(diǎn)成為不動(dòng)點(diǎn)，所需添加的最少鏈桿數(shù)鏈桿數(shù),則為獨(dú)立線位移的個(gè)數(shù)。則為獨(dú)立線位移的個(gè)數(shù)。ABCDEF原 結(jié) 構(gòu)

17、ABCDEFn=n+n=2+1=3 、幾何法，把剛結(jié)、幾何法，把剛結(jié)點(diǎn)（包括固定端支座）變點(diǎn)（包括固定端支座）變成鉸結(jié)點(diǎn)，則此鉸結(jié)體系成鉸結(jié)點(diǎn)，則此鉸結(jié)體系的自由度數(shù)目即為原結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)目即為原結(jié)構(gòu)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的個(gè)數(shù)。獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的個(gè)數(shù)。（將此機(jī)構(gòu)變?yōu)閹缀尾蛔儯▽⒋藱C(jī)構(gòu)變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，所需加上的最少鏈體系，所需加上的最少鏈桿數(shù)，即為獨(dú)立線位移的桿數(shù)，即為獨(dú)立線位移的個(gè)數(shù)。個(gè)數(shù)。) 因?yàn)椴豢紤]各桿因?yàn)椴豢紤]各桿長(zhǎng)度的改變，所以結(jié)點(diǎn)長(zhǎng)度的改變，所以結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的個(gè)數(shù)，可獨(dú)立線位移的個(gè)數(shù)，可以用幾何構(gòu)造分析方法以用幾何構(gòu)造分析方法得出。得出。n=n+n= 4+2=6舉例舉例： （1）、等高

18、剛架。）、等高剛架。位移法：位移法： n=n+n=6+2=8。 位移法：位移法：n=n+n=7+3=10 。力法：力法： n=34=12 。力法：力法：n=34=12 。（2）、剛架有組合結(jié)點(diǎn)）、剛架有組合結(jié)點(diǎn)位移法：n=n+n=4+2=6力法：n=3+2=5 。組合結(jié)點(diǎn)組合結(jié)點(diǎn)（3）、剛架有剛性桿）、剛架有剛性桿(EI1=) n=n+n=0+1=1 (EI1) n=n+n=2+1=3 n=n+n=0+1=1(EA=)n=n+n=0+2=2(EA)（4）、有斜桿的剛架nn=n+n=2+1=3 n=3+2=5 (0)n n=2+1=3 (=0)n （分析計(jì)算較麻煩）（5）、考慮受彎直桿的軸向變形

19、，）、考慮受彎直桿的軸向變形， 考慮受彎曲桿的變形情況考慮受彎曲桿的變形情況n各桿各桿 EI=c ， EA=cnn=n+n=2+4=6 各桿各桿EI=cn=n+n=2+2=4（6）、ABCD213n= n+n =2+1=3注意13，32桿（7）、剛架有內(nèi)力靜定的桿件）、剛架有內(nèi)力靜定的桿件ABCDEn= n+n =2+1=3ABDCEn= n+n =2+0=2（8）、用位移法計(jì)算桁架結(jié)構(gòu)n= n+n =0+5=5求各桿的桿端彎矩。作最后彎矩圖。求各桿的桿端彎矩。作最后彎矩圖。M13=4i（3FP a2 /160i）=3FP a /40M31=2i（3FP a2 /160i）=3FP a /80

20、M12=6i（3FP a2 /160i）- 3FP a /16= - 3FP a /40FPM 圖23117FP a /803FP a /803FP a /40 （3）解如下聯(lián)立方程：解如下聯(lián)立方程：7i B - 6i/l +FP l/8=0-6i/l B +15i/l2 - FP /2=0 解得： （4）、將B 、代入各桿桿端轉(zhuǎn)角位移方程，即得出各桿端彎矩。2955222552PBPF liF li FP MBA= 4iB 6 i /l + FPl /8= 27/552 FP l MAB=2i B 6i /l FP l/8 = -183/552 FP l MBC = 3i B =27/552

21、 FP l MDC= 3i /l= 66/552 FP l27552PF l183552PF l60552PF l66552PF l小結(jié)： 從計(jì)算過(guò)程可見(jiàn)，位移法的基本方程都是平衡方程。 對(duì)應(yīng)每一個(gè)轉(zhuǎn)角未知量，有一個(gè)相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力矩平衡方程。 對(duì)應(yīng)每一個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移未知量，有一個(gè)相應(yīng)截面上的力的平衡方程。 直接平衡法先拆后搭，根據(jù)結(jié)點(diǎn)或截面平衡列基本方程。8-5、位移法的基本體系、位移法的基本體系 為了分析計(jì)算的需要，引用兩種附加約束裝為了分析計(jì)算的需要，引用兩種附加約束裝置：置： 附加剛臂：附加剛臂：只阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，不能阻止結(jié)點(diǎn)只阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，不能阻止結(jié)點(diǎn)移動(dòng)。移動(dòng)。 附加鏈桿：附加鏈桿：

22、只阻止結(jié)點(diǎn)沿某一方向的移動(dòng)只阻止結(jié)點(diǎn)沿某一方向的移動(dòng)，不能阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。，不能阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。 本節(jié)介紹通過(guò)位移法的基本體系建立位移本節(jié)介紹通過(guò)位移法的基本體系建立位移法典型方程的方法。法典型方程的方法。如圖：如圖：FP基本結(jié)構(gòu)1 、位移法基本體系、位移法基本體系結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)B 被完全固定。被完全固定。桿桿AB 兩端固定（兩端固定（剛結(jié)）的單跨梁；剛結(jié)）的單跨梁；桿桿BC 一端固定一端固定（剛結(jié)）一端鉸支的單（剛結(jié)）一端鉸支的單跨梁?？缌?。實(shí)際為單跨超靜定實(shí)際為單跨超靜定桿的組合體。桿的組合體。 基本體系與原結(jié)構(gòu)的區(qū)別在于：增加了人為基本體系與原結(jié)構(gòu)的區(qū)別在于：增加了人為約束，把基本未知量由被動(dòng)的位

23、移變成為受人約束，把基本未知量由被動(dòng)的位移變成為受人工控制的主動(dòng)的位移。工控制的主動(dòng)的位移。 基本體系是用來(lái)計(jì)算原結(jié)構(gòu)的工具與橋梁。基本體系是用來(lái)計(jì)算原結(jié)構(gòu)的工具與橋梁。一方面，它可以代表原結(jié)構(gòu)；另一方面它的計(jì)算一方面，它可以代表原結(jié)構(gòu)；另一方面它的計(jì)算又比較簡(jiǎn)單。又比較簡(jiǎn)單。整體結(jié)構(gòu)整體結(jié)構(gòu)（變形協(xié)調(diào)）（變形協(xié)調(diào)）鎖住鎖住放松放松(還原還原)原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)若干根單跨桿若干根單跨桿件的組合體件的組合體（平衡條件）（平衡條件） 利用基本體系建立位移法基本方程。利用基本體系建立位移法基本方程。分兩步考慮：分兩步考慮： 第一步，控制附加約束，使結(jié)點(diǎn)位移全部為零第一步，控制附加約束，使結(jié)點(diǎn)位移全部為零，

24、這時(shí)，剛架處于鎖住狀態(tài)，即基本體系。施加荷，這時(shí)，剛架處于鎖住狀態(tài)，即基本體系。施加荷載后，可求出基本體系中的內(nèi)力，同時(shí)，在附加約載后，可求出基本體系中的內(nèi)力，同時(shí)，在附加約束上會(huì)產(chǎn)生約束力矩。束上會(huì)產(chǎn)生約束力矩。 第二步，再控制附加約束，使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生結(jié)第二步，再控制附加約束，使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移，這時(shí)，附加約束中的約束力將隨之改變。點(diǎn)位移，這時(shí)，附加約束中的約束力將隨之改變。如果控制結(jié)點(diǎn)，使與原結(jié)構(gòu)的實(shí)際值正好相等，則如果控制結(jié)點(diǎn)，使與原結(jié)構(gòu)的實(shí)際值正好相等，則約束力即完全消失。這是基本體系形式上雖然還有約束力即完全消失。這是基本體系形式上雖然還有附加約束，但實(shí)際上它們已經(jīng)不起作用，基本

25、體系附加約束，但實(shí)際上它們已經(jīng)不起作用，基本體系實(shí)際上處于放松狀態(tài)，與原結(jié)構(gòu)完全相同。實(shí)際上處于放松狀態(tài)，與原結(jié)構(gòu)完全相同。BCAD基本結(jié)構(gòu)FPBCADll/2l/2EI=常數(shù)1 1 2F1 =0BCADFP12基本體系1MBAMBCF1=0F2=0FQBAFQCD F2 =0ABCD1=1k11k21 M1 圖圖ABCD2=1M2 圖圖k22k12ABCDFPF1PF2Pk11 1+k122+F1P=0k21 1+k222+F2P=0 位移法典型方程。位移法典型方程。計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)：計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)：1234k11k21 1=1k121234 2=1M1 圖M2 圖4i3i1k11 =7i

26、k21= - 6i/l3i4i2i-6i/l001k12 = - 6i/lk22=15i/l2-6i/l12i/l23i/l26i/l6i/l3i/lk221234F1PF2PFPMP 圖10F1P=FP l/8F2P= -FP /2FP l/8FP l/8FP l/8- FP /20k11=3i+4i=7ik21= - 6i/lk12= - 6i/lk22=12i/l2+3i/l2=15i/l2F1P= FP l/8F2P= - FP /2由反力互等，有： k12 = k21 n 將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法典型方程將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法典型方程 7i 1 - 6i/l 2 +FP l/8=0

27、-6i/l 1+15i/l2 2 - FP /2=0 解出：解出： 所設(shè)的所設(shè)的 1 、 2方向與實(shí)際位移方向一致。方向與實(shí)際位移方向一致。2955222552PBPF liF li 求出求出 1 、 2后，可用疊加法計(jì)算剛后，可用疊加法計(jì)算剛架最后彎矩圖。架最后彎矩圖。FP183/552 FP lM= 1 M1 + 2 M2 +MP27/552 FP l60/552 FP l66/552 FP l注意：注意：n （1）、基本體系與原結(jié)構(gòu)變形相同：）、基本體系與原結(jié)構(gòu)變形相同：n荷載作用下，附加剛臂產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)荷載作用下，附加剛臂產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角角 1 ，附加鏈桿產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同

28、的水平線位，附加鏈桿產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的水平線位移移 2。n （2）、基本體系與原結(jié)構(gòu)受力相同：）、基本體系與原結(jié)構(gòu)受力相同：n原結(jié)構(gòu)上無(wú)附加人為約束，結(jié)點(diǎn)力為零。原結(jié)構(gòu)上無(wú)附加人為約束，結(jié)點(diǎn)力為零。n基本體系上使附加人為約束后令反力為零。基本體系上使附加人為約束后令反力為零。四、位移法典型方程（四、位移法典型方程（n個(gè)基本未知量）個(gè)基本未知量） k11 1+k12 2+ k1n n+F1P=0nk21 1+k22 2+ k2n n+F2P=0 (8-1a) nkn1 1+kn2 2+ knn n+FnP=0n可寫成矩陣形式：可寫成矩陣形式：n k +FP=0 (8-19)n其中， k 稱為結(jié)構(gòu)

29、剛度矩陣 111212122212nnnnnnkkkkkkkkkk討論：討論：n 1、主系數(shù)、副系數(shù)（反力系數(shù)，剛度系、主系數(shù)、副系數(shù)（反力系數(shù)，剛度系數(shù)）、自由項(xiàng)數(shù)）、自由項(xiàng)n 主系數(shù)主系數(shù)kii（主反力）：（主反力）：n i=1時(shí)，附加約束時(shí)，附加約束i方向的反力（或反方向的反力（或反力矩）。力矩）。n 恒為正，不為零。恒為正，不為零。 n 副系數(shù)副系數(shù)kij（ij）（副反力）：）（副反力）：n j=1時(shí)，附加約束時(shí)，附加約束i方向的反力（或方向的反力（或反力矩）。反力矩）。n 可正，可負(fù)，可為零。由反力互等定可正，可負(fù)，可為零。由反力互等定理理 ： kij = kjin 自由項(xiàng)自由項(xiàng)Fi

30、P ：n 荷載單獨(dú)作用下，附加約束荷載單獨(dú)作用下，附加約束i方向上的方向上的反力（或反力矩）。可正，可負(fù)，可為零。反力（或反力矩）?？烧韶?fù)，可為零。 n 2、基本方程是按一定規(guī)則寫出的，它、基本方程是按一定規(guī)則寫出的，它不依結(jié)構(gòu)的形式不同而異?；痉匠讨忻坎灰澜Y(jié)構(gòu)的形式不同而異?；痉匠讨忻恳粋€(gè)系數(shù)都是由結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)單位位移引起一個(gè)系數(shù)都是由結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)單位位移引起的附加約束反力。結(jié)構(gòu)的剛度愈大，反力的附加約束反力。結(jié)構(gòu)的剛度愈大，反力（或反力矩）數(shù)值愈大。（或反力矩）數(shù)值愈大。n 因此，基本方程又成為剛度方程；位因此，基本方程又成為剛度方程；位移法稱為剛度法。移法稱為剛度法。n 1、基本體系

31、法與轉(zhuǎn)角位移方程法、基本體系法與轉(zhuǎn)角位移方程法（直接利用平衡方程法），本質(zhì)完全相同，（直接利用平衡方程法），本質(zhì)完全相同，所用方法（途徑）不同。所用方法（途徑）不同。n 直接平衡法直接平衡法先拆后搭先拆后搭，根據(jù)結(jié)點(diǎn)或，根據(jù)結(jié)點(diǎn)或截面平衡列基本方程。截面平衡列基本方程。n 基本體系法基本體系法先鎖后松先鎖后松，根據(jù)放松原，根據(jù)放松原則建立位移法基本方程。則建立位移法基本方程。n 2、請(qǐng)同學(xué)們想一想，請(qǐng)同學(xué)們想一想，力法只能計(jì)算超力法只能計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，不能計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)。而位移法靜定結(jié)構(gòu)，不能計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)。而位移法既能計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，也可計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)。既能計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，也可計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)。為什么

32、？為什么？進(jìn)一步討論：進(jìn)一步討論：提問(wèn)：提問(wèn)：n 從概念出發(fā)，請(qǐng)同學(xué)們考慮：從概念出發(fā)，請(qǐng)同學(xué)們考慮：n 圖示結(jié)構(gòu)，選兩種基本體系，計(jì)算出的內(nèi)力是圖示結(jié)構(gòu)，選兩種基本體系，計(jì)算出的內(nèi)力是否一樣？為什么？否一樣？為什么？n 基本體系基本體系與與橫梁?jiǎn)卧膭偠认禂?shù)是否一橫梁?jiǎn)卧膭偠认禂?shù)是否一樣？為什么？樣？為什么？FPFPFP提問(wèn)： 左圖所示剛架，用左圖所示剛架，用位移法求解時(shí)有兩個(gè)位移法求解時(shí)有兩個(gè)未知量未知量D 、DE。 1、當(dāng)寫各桿的桿、當(dāng)寫各桿的桿端彎矩，桿端剪力表端彎矩，桿端剪力表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意些什達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意些什么？么？ 2、取什么樣的隔、取什么樣的隔離體，建立什么樣的離體，建立什

33、么樣的平衡方程。平衡方程。 桿桿AD,桿桿BE的的側(cè)移為正側(cè)移為正;桿桿CD的的側(cè)移為負(fù)。側(cè)移為負(fù)。 取結(jié)點(diǎn)取結(jié)點(diǎn)D為隔離為隔離體，建立力矩平衡方體，建立力矩平衡方程。程。 取桿取桿DE為隔離為隔離體，建立截面剪力平體，建立截面剪力平衡方程。衡方程。 8-6 、 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算n 對(duì)稱結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用很多。對(duì)稱結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用很多。n 對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)的變對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)的變形和受力均為正對(duì)稱的。形和受力均為正對(duì)稱的。n 對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)的變對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)的變形和受力均為反對(duì)稱的。形和受力均為反對(duì)稱的。n 在以上情

34、況下，可取半結(jié)構(gòu)計(jì)算。在以上情況下，可取半結(jié)構(gòu)計(jì)算。 什么是結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性什么是結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性 （1）、結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承）、結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承情況，對(duì)某軸（或點(diǎn)）對(duì)稱。情況，對(duì)某軸（或點(diǎn)）對(duì)稱。 （2）、桿件的截面和材料性質(zhì)，）、桿件的截面和材料性質(zhì)，對(duì)此軸（或點(diǎn)）也對(duì)稱。對(duì)此軸（或點(diǎn)）也對(duì)稱?？紤]兩種荷載情況考慮兩種荷載情況（1）、對(duì)稱荷載作用）、對(duì)稱荷載作用FPFPFPFPX1X2FPFPFPFP MP圖是對(duì)稱的，有圖是對(duì)稱的，有3P=0 因此因此,反對(duì)稱未知力反對(duì)稱未知力X3=0； 只有正對(duì)稱未知力只有正對(duì)稱未知力X1，X2。 故故：M=M1 X1+M2 X2+MP 最后彎矩圖也是正對(duì)

35、稱的。最后彎矩圖也是正對(duì)稱的。 結(jié)論：對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱荷載作用下，反結(jié)論：對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱荷載作用下，反對(duì)稱未知力必為零，結(jié)構(gòu)所有的反力、內(nèi)力及對(duì)稱未知力必為零，結(jié)構(gòu)所有的反力、內(nèi)力及變形均為正對(duì)稱的。變形均為正對(duì)稱的。 提問(wèn)：彎矩圖和軸力圖是正對(duì)稱的，剪力圖卻是提問(wèn)：彎矩圖和軸力圖是正對(duì)稱的，剪力圖卻是反對(duì)稱的，這是為什么？反對(duì)稱的，這是為什么？（2）、反對(duì)稱荷載）、反對(duì)稱荷載FPFPX3FPFPFPFPFPFP MP圖是反對(duì)稱的，有圖是反對(duì)稱的，有1P=0，2P=0。 因此因此,正對(duì)稱未知力正對(duì)稱未知力X1=0，X2=0。 只有反對(duì)稱未知力只有反對(duì)稱未知力X3。 故：故：M=M3 X3+M

36、P 最后彎矩圖也是反對(duì)稱的。最后彎矩圖也是反對(duì)稱的。 結(jié)論：對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下，正結(jié)論：對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下，正對(duì)稱未知力必為零，結(jié)構(gòu)所有的反力、內(nèi)力及對(duì)稱未知力必為零，結(jié)構(gòu)所有的反力、內(nèi)力及變形均為反對(duì)稱的。變形均為反對(duì)稱的。 提問(wèn)：彎矩圖和軸力圖是反對(duì)稱的，剪力圖卻是提問(wèn)：彎矩圖和軸力圖是反對(duì)稱的，剪力圖卻是正對(duì)稱的，這是為什么？正對(duì)稱的，這是為什么？一、奇數(shù)跨對(duì)稱剛架一、奇數(shù)跨對(duì)稱剛架 1、正對(duì)稱荷載、正對(duì)稱荷載2、反對(duì)稱荷載、反對(duì)稱荷載FPFPFPFPFPFP思考：下列各圖所示結(jié)構(gòu)可取什么樣的半結(jié)構(gòu)？思考：下列各圖所示結(jié)構(gòu)可取什么樣的半結(jié)構(gòu)？注意：對(duì)稱軸上的變形特點(diǎn)，應(yīng)具

37、體分析。注意：對(duì)稱軸上的變形特點(diǎn)，應(yīng)具體分析。FPFPFPFPqqqq二、偶數(shù)跨對(duì)稱剛架二、偶數(shù)跨對(duì)稱剛架 1、正對(duì)稱荷載、正對(duì)稱荷載FPFPFP2、反對(duì)稱荷載、反對(duì)稱荷載FPFPFPFPFPFPFP思考：下列各圖所示結(jié)構(gòu)可取什么樣的半結(jié)構(gòu)？思考：下列各圖所示結(jié)構(gòu)可取什么樣的半結(jié)構(gòu)？注意：對(duì)稱軸上的變形特點(diǎn)，應(yīng)具體分析。注意：對(duì)稱軸上的變形特點(diǎn)，應(yīng)具體分析。FPFPFPFPFPFPFPFPn上圖所示結(jié)構(gòu)最終可簡(jiǎn)化成什么樣的半結(jié)構(gòu)，進(jìn)行計(jì)算？FPFPFPFPqqn上圖所示結(jié)構(gòu)最終可簡(jiǎn)化成什么樣的半結(jié)構(gòu)，進(jìn)行計(jì)算？FPFP2EI2EI2EIEIEI例：求圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力例：求圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力,作內(nèi)力圖。作

38、內(nèi)力圖。EI=常數(shù)常數(shù)a a aqqABCDqABaa/2解：（1）取半結(jié)構(gòu)如圖?；疚粗浚篈點(diǎn)轉(zhuǎn)角A (2)、求桿端彎矩：令EI/a=iDqABaa/22ii1242qaiMAAB1222qaiMABAADAiM2AADiM2 （3）、由結(jié)點(diǎn)）、由結(jié)點(diǎn)A的力矩平衡條件的力矩平衡條件 MA=0 ： MAB+MAD=0MADMABA01262qaiAiqaA722362qa3642qa362qa362qa362qaMAB3642qaMBA362qaMAD362qaMDADABC362qa3642qa362qa362qa3642qa362qa例:求圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力,作內(nèi)力圖。EA=EI/20n解：n

39、（1）取半結(jié)構(gòu)如圖。n 基本未知量：B點(diǎn)轉(zhuǎn)角B和豎向線位移。n （2） 求固端力：nMFBC =-ql2/3=-10102/3n = -333kNmnMFCB=-ql2/6=-10102/6n = -167kNmnFQBC=q l=1010n = 100kNn(3)、求桿端力:n桿AB：nMAB=2iAB B - 6iAB/ln =2EI/20B-6EI/202nMBA=4iAB B - 6iAB/ln =4EI/20B-6EI/202nFQBA=-(MAB + MBA)/ln =-6EI/202B-12EI/203n桿BC:nMBC=EI/10 B 333nMCB=-EI/10 B 167n

40、FQBC= 100kNn桿BD:n桿BD伸長(zhǎng)3/5,其軸力為:nFNBD=EA/l(3/5 )=(EI/20/25)n (3/5)=3EI/(52025)(4)、列位移法方程： MB= MBA+MBC=0 Y=3/5FNBD+ FQBA- FQBC= 0 0.3B 0.015=333/EI-0.015B +0.00222=100/EI(5)、解方程： B =5080/EI ;=79400/EI。n（6）、求桿端力，作內(nèi)力圖。n 將求得的未知量代入桿端彎矩，桿端剪力表達(dá)式，求出各桿端力。并作內(nèi)力圖。8-7 支座移動(dòng)時(shí)的計(jì)算n一、支座移動(dòng)時(shí)的計(jì)算n 用位移法計(jì)算支座移動(dòng)時(shí)的結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，計(jì)算方法與荷

41、載作用下的計(jì)算相同，不同的地方是固端彎矩、固端剪力的計(jì)算。需要將已知的支座移動(dòng)轉(zhuǎn)化為固端彎矩和固端剪力。n 舉例說(shuō)明。 例：圖示剛架支座A發(fā)生水平位移a，豎向位b=4a，轉(zhuǎn)角位移=a/l，用位移法求解，作M圖。llabEI2EI 解： 1、基本未知量，基本體系。llabEI2EI基本體系Z1令：i=EI/li2i2、作 M1 , M 圖，計(jì)算 k11 , F1 1i2i3i8i4iM 1 圖i2i r11=11iab-3i/l(-b)=12iAB桿： MFAB= 42i - 62i/l(-a)=20i MFBA= 22i - 62i/l(-a)=16i 20i16iM 圖 F1=28i 3、列

42、方程，求解n k11 1+ F1 =0n 11i 1 +28i =0n 1 = - 28/11 = - 28/11 4、 作彎矩圖 M= 1 M1 + MMAB = - 28/11 4i+20i = 108i /11MBA= - 28/11 8i+16i = - 48i /11MBC= - 28/11 3i+12i = 48i /11彎矩圖MAB = 108i /11MBA= - 48i /11MBC= 48i /11108i/1148i/11* 二、溫度改變時(shí)的計(jì)算 在此，固端力（桿端彎矩）是由溫度改變引起的。溫度改變引起的固端力由兩部分組成的： 1、桿件內(nèi)外溫差，使桿件彎曲，引起一部分固端

43、彎矩； 2、溫度改變時(shí)桿件產(chǎn)生軸向變形，使結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移，從而使桿端產(chǎn)生相對(duì)橫向線位移，又產(chǎn)生另一部分固端彎矩。 見(jiàn)書P.206 P.207。習(xí)題課：超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算位移法n 重點(diǎn)：重點(diǎn)：掌握用位移法計(jì)算荷載作用下的超靜定剛架。n 要求：要求：n 1、基本未知量的確定。n 2、準(zhǔn)確地做出位移法基本體系。n 3、列出位移法典型方程，求解并作彎矩圖。n （兩種方法掌握一種）習(xí)題:用位移法計(jì)算圖示剛架,作M圖。l/2ABCDEI=1I=2I=4I=1lllM0習(xí)題:用位移法計(jì)算圖示剛架,作M圖。7kN/mABCDEFEIEIEIEIEI1=6m6m6m習(xí)題:用位移法計(jì)算圖示剛架,作M圖。34m1245

44、0EIEI1.5EI0.8EI10kN/m20kN2m6m6m習(xí)題:用位移法計(jì)算圖示剛架,作M圖。解:由對(duì)稱性可取半結(jié)構(gòu)計(jì)算習(xí)題：判斷基本未知量。（最少）習(xí)題：用位移法概念，快速計(jì)算圖示 各題。各桿EI=常數(shù)。 彎矩圖為零,為什么？有什么規(guī)律?l/2FPFPl/2 l/2l/2l/2l/2FPFPllllFP習(xí)題：用位移法概念，快速作出 剛架的彎矩圖。各桿EI=常數(shù)。習(xí)題:用對(duì)稱性計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)。2FPFPFPFPFPFP /2FP /2FP /2FP /2FPFPFP /2FP /2FP /2FP /2FPFPFP /2FP /2FP /2FP /2FP /2FP /2FP /2FP /2FP

45、 /2FP /2FP /2FP /2FP /2第 九 部分漸 進(jìn) 法及超靜定力的影響線漸進(jìn)法的提出漸進(jìn)法的提出n 計(jì)算超靜定剛架或連續(xù)梁計(jì)算超靜定剛架或連續(xù)梁,無(wú)論采用力法或位移法無(wú)論采用力法或位移法, 均需建立和求解線性代數(shù)方程組。當(dāng)未知量較多時(shí)，均需建立和求解線性代數(shù)方程組。當(dāng)未知量較多時(shí)，計(jì)算工作非常繁重。有時(shí)幾乎不可能完成。為此，提計(jì)算工作非常繁重。有時(shí)幾乎不可能完成。為此，提出了漸進(jìn)法，以避免解算聯(lián)立方程組。出了漸進(jìn)法，以避免解算聯(lián)立方程組。n 本章介紹：本章介紹：n 1、力矩分配法。、力矩分配法。n 2、無(wú)剪力分配法、無(wú)剪力分配法n 3、力矩分配法與位移法的聯(lián)合應(yīng)用、力矩分配法與位

46、移法的聯(lián)合應(yīng)用9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念 力矩分配法是漸進(jìn)法的一種，是位移力矩分配法是漸進(jìn)法的一種，是位移法的變體。適用范圍是：連續(xù)梁和無(wú)結(jié)點(diǎn)法的變體。適用范圍是：連續(xù)梁和無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移的剛架。線位移的剛架。 以逐次漸進(jìn)的方法來(lái)計(jì)算桿端彎矩以逐次漸進(jìn)的方法來(lái)計(jì)算桿端彎矩。其結(jié)果的精度隨計(jì)算輪次的增加而提高。其結(jié)果的精度隨計(jì)算輪次的增加而提高,最終收斂于精確解。物理概念生動(dòng)形象，最終收斂于精確解。物理概念生動(dòng)形象，計(jì)算方法單一重復(fù)。計(jì)算方法單一重復(fù)。力矩分配法的基本概念：力矩分配法的基本概念：n 1、等截面直桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、等截面直桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 n 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 S。（等截

47、面直桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)，。（等截面直桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)，勁度系數(shù)）勁度系數(shù)）n 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度表示桿端（件）對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的抵抗能力，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度表示桿端（件）對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的抵抗能力，即：使桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需力矩。即：使桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需力矩。n 在此在此:n A端端轉(zhuǎn)動(dòng)端，施力端，近端。轉(zhuǎn)動(dòng)端，施力端，近端。n B端端遠(yuǎn)端。遠(yuǎn)端。一、名詞解釋一、名詞解釋n剛度系數(shù)剛度系數(shù) 遠(yuǎn)端支承情況遠(yuǎn)端支承情況 S=3i (9-2) 鉸支鉸支 S=i (9-3) 滑動(dòng)滑動(dòng) S=0 (9-4) 自由自由SAB=MAB=4EI/l=4iEI, lEI, lSAB=MAB=3EI/l=3iEI, lSAB=MAB=EI/l=iSAB=

48、MAB=0S=4i (9-1) 固定固定(剛結(jié)剛結(jié))注注:n (1)、遠(yuǎn)端支承情況不同，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度遠(yuǎn)端支承情況不同，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SAB的數(shù)值不的數(shù)值不同。同。n （2）、）、 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SAB是施力端無(wú)線位移條件下的是施力端無(wú)線位移條件下的剛度。（剛度。（A端只能轉(zhuǎn)動(dòng)，不能有線位移）端只能轉(zhuǎn)動(dòng)，不能有線位移）2、分配系數(shù)、分配系數(shù) D ABCMAAMMABMACMAD 以右圖所示為例： 轉(zhuǎn)角位移A。 MAB=SAB A =4iAB A MAC=SAC A = iAC A (a) MAD=SAD A =3iAD A M=0 M= SAB A +SAC A + SAD A AS各桿A端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和

49、。AABACADAMMSSSS 代入（a）式，可得： MAB=(SAB / S)M MAC=(SAC / S)M (b) MAD=(SAD/ S)M MAj= Aj M (9-5) Aj =S Aj / S (9-6) Aj 分配系數(shù)。 Aj桿A端的（力矩）分配系數(shù)。 即：相當(dāng)于把結(jié)點(diǎn)外力偶按各桿的桿端分配系數(shù)分配到各個(gè)桿端。 注意，同一結(jié)點(diǎn)各桿桿端分配系數(shù)之和應(yīng)等于 1 ，即： Aj = AB + AC + AD=1 各桿A端（施力端）的彎矩與該桿端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度成正比。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度愈大，所擔(dān)負(fù)的彎矩愈大。3、傳遞系數(shù)、傳遞系數(shù) C 力偶力偶M加于結(jié)點(diǎn)加于結(jié)點(diǎn)A，使結(jié)點(diǎn)所聯(lián)結(jié)的各桿使結(jié)點(diǎn)所聯(lián)結(jié)的各桿

50、近端產(chǎn)生彎矩，同時(shí)，也使各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生彎近端產(chǎn)生彎矩，同時(shí)，也使各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生彎矩。矩。 近端彎矩近端彎矩 遠(yuǎn)端（傳遞）彎矩遠(yuǎn)端（傳遞）彎矩 傳遞系數(shù)傳遞系數(shù)遠(yuǎn)端固定遠(yuǎn)端固定 MAB=SABA MBA=2iAB A CAB=1/2遠(yuǎn)端定向遠(yuǎn)端定向 MAB=SAB A MBA= -iABA CAB=-1遠(yuǎn)端鉸支遠(yuǎn)端鉸支 MAB=SAB A MBA=0 CAB=0 CBA = MBA /MAB 遠(yuǎn)端彎矩遠(yuǎn)端彎矩/近端彎矩（近端彎矩（9-10）n MAj = Aj M n 稱為分配彎矩。稱為分配彎矩。n MCBA=CBA MAB n 稱為傳遞彎矩。稱為傳遞彎矩。二、基本運(yùn)算（單結(jié)點(diǎn)的力矩分配）二、基本運(yùn)

51、算（單結(jié)點(diǎn)的力矩分配）FPBACAMBAMABMACFPMFBAMFAB阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的約束A1BCMAMFABMFACABC放松約束M ABM ACM CBA+=二、基本運(yùn)算（單結(jié)點(diǎn)的力矩分配）二、基本運(yùn)算（單結(jié)點(diǎn)的力矩分配）n1、鎖住結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角、鎖住結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角n 把結(jié)構(gòu)分為把結(jié)構(gòu)分為AB、AC兩段，各桿端產(chǎn)生固端彎兩段，各桿端產(chǎn)生固端彎矩。矩。n MA=0 MAF = MFAB + MFACn 在此，不平衡力矩在此，不平衡力矩=固端彎矩之和，也稱約束固端彎矩之和，也稱約束力矩，順時(shí)針為正。力矩，順時(shí)針為正。n2、放松結(jié)點(diǎn)、放松結(jié)點(diǎn)n 放松放松A處的約束，梁的處的約束，梁的1處轉(zhuǎn)角即恢復(fù)到原狀處轉(zhuǎn)角即

52、恢復(fù)到原狀態(tài)。態(tài)。n 相當(dāng)于在結(jié)點(diǎn)原有約束力矩的基礎(chǔ)上，相當(dāng)于在結(jié)點(diǎn)原有約束力矩的基礎(chǔ)上，加上反向的一個(gè)力偶荷載加上反向的一個(gè)力偶荷載(- MAF)，也稱為，也稱為旋旋轉(zhuǎn)力矩轉(zhuǎn)力矩。使梁產(chǎn)生新的變形。各桿端產(chǎn)生相。使梁產(chǎn)生新的變形。各桿端產(chǎn)生相應(yīng)的彎矩，即為分配彎矩。各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生傳應(yīng)的彎矩，即為分配彎矩。各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生傳遞彎矩。遞彎矩。n3、兩種情況疊加，得出最后的桿端彎矩。、兩種情況疊加，得出最后的桿端彎矩。 例：用力矩分配法計(jì)算圖示連續(xù)梁，作彎 矩圖。并求中間支座的支座反力。分配系數(shù) 0.571 0.429固端彎矩 -150 150 -90 0分配傳遞 -34.3 -25.7 最后彎矩 -1

53、67.2 115.7 -115.7 0-17.20n解：1、計(jì)算由荷載產(chǎn)生的固端彎矩。n 2、計(jì)算分配系數(shù)。3、疊加得出最后彎矩。n 4、求支座反力。FQABFQBA= -91.42kNFQBA=79.28kNFQCBFyB=170.7kN 最后彎矩 -167.2 115.7 -115.7 0例：用力矩分配法計(jì)算圖示剛架，作彎 矩圖。n解:n 計(jì)算各桿固端彎矩。n 計(jì)算A點(diǎn)各桿端的分配系數(shù)。n 列表進(jìn)行力矩分配法計(jì)算。n 作彎矩圖。100 kN30kN/miAD=1.5iAB=2iAC=24m3m2m4m100 kN30kN/miAD=1.5iAB=2iAC=24m3m2m4m結(jié) 點(diǎn) B A

54、D C桿 端 BA AB AC AD DA CA分配系數(shù) 0.3 0.4 0.3固端彎矩分、傳最后彎矩 0 60.0 0 - 48.0 72.0 0 - 3.6 -4.8 - 3.6 -1.8 -2.4 0 0 56.4 - 4.8 - 51.6 70.2 - 2.4 ( 彎矩單位： kN m )56.460.051.670.2120.04.82.4 M圖 （ kN m ）最后彎矩桿 端 BA AB AC AD DA CA 0 56.4 - 4.8 - 51.6 70.2 - 2.4 9-2、多結(jié)點(diǎn)的力矩分配n 對(duì)于多結(jié)點(diǎn)梁或剛架，逐次對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)應(yīng)用基本運(yùn)算，即可求出各桿端彎矩。n 以三跨梁為

55、例：n 1、B，C處加約束，分成三根單桿。加荷載，求出約束力矩MBF，MCF。n 2、放松結(jié)點(diǎn)B，結(jié)點(diǎn)C仍?shī)A緊。累加總變形如圖，B結(jié)點(diǎn)暫時(shí)平衡。n 3、放松結(jié)點(diǎn)C，重新夾緊結(jié)點(diǎn)B。（在已有變形狀態(tài)下夾緊）。從圖上可見(jiàn)，變形已較接近實(shí)際變形。 以此類推，重復(fù)第2、第3步，連續(xù)梁的變形和內(nèi)力很快達(dá)到實(shí)際狀態(tài)。 4、疊加以上各步，計(jì)算最后彎矩。 綜上所述，多結(jié)點(diǎn)力矩分配即為：每次只放松一個(gè)結(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于單結(jié)點(diǎn)分配傳遞。最后將各步驟所得的桿端彎矩（增量）疊加。FPMABMBAMBCMCDMDCFPMFBCMFCBMBFMCFMBFM BAM BCMCABMCCBMFCMFCM CDMCDCMFB+=M

56、CBMCBCMCBBc例：例：用力矩分配法計(jì)算圖示剛架，作彎矩圖。用力矩分配法計(jì)算圖示剛架，作彎矩圖。n 解：n 計(jì)算各桿桿端彎矩。n 計(jì)算匯交于結(jié)點(diǎn)B、C各桿端的分配系數(shù)。n 列表計(jì)算各桿端彎矩。80kN160kN30kN/m3m3m10m3m5mi=2 i=1i=180kN160kN30kN/m3m3m10m3m5mi=2 i=1i=1分配系數(shù) 0.6 0.4 0.5 0.5固端彎矩0 90.0 - 250.0 250.0 -187.5 112.5 B 分、傳96.0 64.0 32.0 C 分、傳 -47.2 -47.3 -23.6-23.6 B 分、傳14.2 9.4 4.7 C 分、

57、傳 -2.4 -2.3 -1.2 -1.2 B 分、傳 0.7 0.5 0.3 C 分、傳 -0. 1 -0.2 最后彎矩 0200.9 -200.9237.3-237.3 87.780kN160kN30kN/m200.9kNm120kNm237.3kNm375kNm87.7kNm300kNmM 圖結(jié) 點(diǎn) A B C D桿 端 AB BA BC CB CD DC 最后彎矩 0200.9 -200.9237.3 -237.3 87.7例：用力矩分配法計(jì)算圖示連續(xù)梁例：用力矩分配法計(jì)算圖示連續(xù)梁n圖(a)所示連續(xù)梁的懸臂端可轉(zhuǎn)化為圖(b),進(jìn)行計(jì)算。分配系數(shù)0.600 0.4000.500 0.5

58、000.471 0.529固端彎矩 0 0 - 80.0 +40.0 -60.0 +60.0 -25.0 +40.0 - 40 48.00 32.00-16.49 -18.5124.016.00-8.24 6.12 6.12 3.063.06-1.84 1.22-1.44 -1.62-0.61 -0.720.66 0.67 0.33 0.33 -0.20 -0.13-0.16 -0.17-0.07 -0.08 0.07 0.08 0.040.04-0.02 -0.02 -0.01-0.92 -0.10 -0.01-0.02 -0.02-0.01 0.01 0.01桿端彎矩 22.97 45.9

59、4 -45.9462.17 -62.1745.32 -45.32 40.0 -40彎矩圖：桿端彎矩 22.97 45.94 -45.9462.17 -62.1745.32 -45.32 40.0 -40討論：處理懸臂端的另兩種方法n 4/7 3/7 1.0 0n -60 +60 -40n -10 -20 0n +40 +30 n +40 - 40 +40 -40n 0.500 0.500 1.00 0n -60 +60 -40n +30 +30 +15n -18 -35 0n +9 +9 +4n -2 -4 0n +1 +1n +40 - 40 +40 - 40 思考：n 1、（a），（b）兩

60、種不同的處理方法，計(jì)算結(jié)果為何完全相同？n 2、B點(diǎn)的分配系數(shù)不一樣，為什么？在計(jì)算中，我們應(yīng)該注意些什么？例：用力矩分配法計(jì)算圖示對(duì)稱剛架，作例：用力矩分配法計(jì)算圖示對(duì)稱剛架，作M圖。各桿圖。各桿EI=常數(shù)。常數(shù)。6mABCDEF20kN20kN15kN/m3m3m6m3m3m解：解： 由于此對(duì)稱剛架承受正對(duì)稱荷載作用，可利用對(duì)稱性取半剛架進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算過(guò)程如下：ABE20kN3m3m3mO15kN/mABE20kN3m3m3mO結(jié) 點(diǎn) A E B O桿 端 AB EB BE BA BO OB分配系數(shù) 0.445 0.333 0.222固端彎矩分、傳最后彎矩 0.0 0.0 0.0 22.5