04-1995年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、佃 95 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試、選擇題1已知 a= 355,b=444,C=533,則有A.avbvCB.CVbva C.cvavb D.avcvb2.方程組+=的王整數(shù)解的組數(shù)是bxz - yz = 231A.1 B.2 C.3 D.43.如果方程(x - 1)(x2- 2x- m) = 0 的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù) m 的取值范圍是(三 B 竺13C V m三1-44.如果邊長(zhǎng)順次為 25、39、52 與 60 的四邊形內(nèi)接于一圓，那么此圓的周長(zhǎng)為A.62nB.63nC.64nD.65n5 .設(shè) AB 是。0 的一條弦，CD 是的直徑，且與弦 AB 相交，記M=

2、|ZB r.SACABSADABI，N=2SOAB，則A . M N B . M = N C .6 .設(shè)實(shí)數(shù) a、b 滿足不等式IIA . a 0 且 b 0B . av0 且 bMvN D . M、N 的大小關(guān)系不確定 aI(a+b)I v|a|a+bII，貝UC . a 0 且 bv0D . av0 且 bv0、填空題1在 12, 22, 32，952這 95 個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有 _個(gè)。2.己知包是右程+袞一壬的根.貝U上亠擴(kuò)：的值等于_ -a + a一a一a3.設(shè)爺為正實(shí)數(shù)，貝愜數(shù)廠/-x+2的最小值x是_ -4以線段 AB 為直徑作一個(gè)半圓，圓心為 O, C 是半圓周上的點(diǎn)

3、，且0C2= AC BC,貝 U/ CAB =_ .第二試、已知/ ACE = / CDE = 90，點(diǎn) B 在 CE 上，CA = CB= CD，經(jīng) A、C、D 三點(diǎn)的圓交 AB 于 F （如圖）求證戸為厶CDE 的內(nèi)心、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，試在二次函數(shù)廠尋冷+1*二龍二壯一m :廠芥勺捱人：理由三、試證：每個(gè)大于 6 的自然數(shù) n,都可以表示為兩個(gè)大于 1 且互質(zhì)的 自然數(shù)之和佃 95 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案第一試一、選擇題1 講解：這類指數(shù)幕的比較大小問題，通常是化為同底然后比較指 數(shù)，或化為同指數(shù)然后比較底數(shù)，本題是化為同指數(shù)，有c= (53)11=

4、12511v243=(35)11=av25611= (44)11= b。選 C。利用 Ig2 = 0.3010, Ig3 = 0.4771 計(jì)算 Iga、lgb、lgc 也可以，但沒有優(yōu)越性。2 講解：這類方程是熟知的。先由第二個(gè)方程確定 z = 1,進(jìn)而可求出 兩個(gè)解：(2，21, 1)、(20，3，1).也可以不解方程組耳+y = 23p直接判斷：因?yàn)?x 工 y(否則不是正整數(shù))，故方程組或無解或有兩個(gè)解， 對(duì)照選擇支，選 B。3.講解：顯然，方程的一個(gè)根為 1，另兩根之和為 x1+ x2= 2 1o三 根能作為一個(gè)三角形的三邊，須且只須丨 X1 -X2I v1 又I -XaI =:耳=

5、J4一4mED，在 CE 上取 CF= ED,則有 OF = OE，且 SC囹3ACEADEAEF 2SAOE同理，SBCESBDE2SABOE相加，得 SABCSADAB 2SOAB，即 M N 選 B .若過 C、D、O 分別作 AB 的垂線（圖 3），CE 丄 AB、DF 丄 AB、OL 丄AB，垂足分別為 E、F、L.連 CF、DE，可得梯形 CEDF.又由垂徑分弦 定理，知 L 是 EF 的中點(diǎn).根據(jù)課本上做過的一道作業(yè)：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的 連線平行底邊，并且等于兩底差的一半，有| CE-DF | 2OL .即 M N .選 B .6.講解：取 a -1、b 2 可否定 A、C、D，選

6、 B .一般地，對(duì)已知不等式平方，有Ia|(a+b)a|a+b|.顯然丨 a | | (a+ b) | 0 (若等于 0,則與上式矛盾)，有霞+b枝Ia+bI lai,兩邊都只能取 1 或-1，故只有 1-1,即a+ b - -I a -TTT_K有 av0 且 a+ b 0,從而 b -a 0.選 B.二、填空題1.講解：本題雖然以計(jì)算為載體，但首先要有試驗(yàn)觀察的能力.經(jīng)計(jì)算 12, 22,，102,知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有 42= 16, 62= 36.然后， 對(duì)兩位數(shù) 10a+ b,有(10a+ b)2= 20a (5a+ b) + b2.其十位數(shù)字為 b2的十位數(shù)字加上一個(gè)偶數(shù)，故兩位數(shù)

7、的平方中，也中有 b = 4 或 6 時(shí)，其十位數(shù)字才會(huì)為奇數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，在 1, 2,，95 中 個(gè)位數(shù)出現(xiàn)了幾次 4 或 6,有 2X9+ 1= 19.2講解：這類問題一般都先化簡(jiǎn)后代值，直接把 a=邏亞代入將導(dǎo)致復(fù)雜的計(jì)算.由已知，有+曠原式=-曲+1)a2(a-1)( a +1)2_(a2+a)+l_ 4+ 1_ on學(xué)生在這道題上的錯(cuò)誤主要是化簡(jiǎn)的方向不明確，最后又不會(huì)將a2+ a作為整體代入.這里關(guān)鍵是整體代入，抓住這一點(diǎn)，計(jì)算可以靈活.比如，由有由一，得a3-a=-(a1) .(由一并將代入，得于是，原式=la5+a+l)計(jì) T)= 16(1 + 1)=20.還可由得a2+ a

8、+ 1=扌,寧即得所求.3講解：這個(gè)y= (x 1)2 + (衣- -j= + 111,或疔竺二仝衛(wèi)+ Qi.因而 x = 1 時(shí)，y 有最小值 1.4 講解：此題由筆者提供，原題是求 sin/ CAB，讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合的方法求特殊角的三角函數(shù)值首先ZACB = 90tt,進(jìn)imoc二；AB.與 AB2=AB2+ AC2 聯(lián)立，可推出AC+BC= |AB而式、表明，AB、AC 是二次方程|ABK+學(xué)=0的兩個(gè)根，解得sin75、 sin解法如下:代入己cA0B叫.2=嗎五當(dāng)西+匹AB時(shí)，42LtiZCAS= 6t-(ZCA = 15aA當(dāng)EC=呢耳工AB時(shí)，anZCAB=蠱=盤走(N

9、CAB = 15 ).改為求/ CAB 之后，思路更寬一些如，由1 1 *Sg產(chǎn)詁OBC/OCS仏拇嚴(yán)簽關(guān)產(chǎn)“l(fā)oCnZAOC,得anZ AOC = 1 當(dāng)ZAOC = 30時(shí)，ZCAE= (180*一 )-75-:當(dāng)ZAOC= 150吋?ZCAS= |(lS0fl-15*第二試一、講解：首先指出，本題有 IMO29-5 （ 1989 年）的背景，該題是：在直角 ABC 中， 斜邊 BC 上的高， 過 ABD 的內(nèi)心與厶 ACD 的內(nèi)心的直線 分別交邊 AB 和 AC 于 K 和 L， ABC 和厶 AKL 的面積分別記為 S 和 T.求證 S 2T.在這個(gè)題目的證明中，要用到 AK = AL

10、 = AD .今年的初中聯(lián)賽題相當(dāng)于反過來，先給出AK = AL = AD（斜邊上的高），再求證 KL 通過 ABD、 ADC 的內(nèi)心（圖 7）.其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個(gè)：其一，連 FC、FD、FE,然后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線；其二是過 F 作三邊的垂線，然后證明其中兩條垂線段相等.下面是幾個(gè)有代表性的證法.證法 1:如圖 6,連 DF，則由已知，有ZCDE的平井線連 BD、CF，由 CD = CB，知/ FBD = / CBD 45=/ CDB 45=/ FDB，得 FB= FD，即 F 到 B、D 和距離相等，F(xiàn) 在線段 BD 的垂直平分線上,從而也在等腰三角形 CB

11、D 的頂角平分線上，CF 是/ECD 的平分線.由于卩是厶 CDE 上兩條角平分線的交點(diǎn)，因而就是 CDE 的內(nèi)心.證法 2:同證法 1,得出/ CDF= 45= 90 45=/ FDE 之后，由于/ ABC= / FDE，故有 B、E、D、F 四點(diǎn)共圓連 EF,在證得/ FBD= / FDB 之后，立即有/ FED = / FBD = / FDB = / FEB,即卩 EF 是/ CED 的平分線.本來，點(diǎn) E 的信息很少，證 EF 為角平分線應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)共 圓把許多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到 E 上來了，因而證法 2 并不比證法 1 復(fù)雜.由這個(gè)證明可知，卩是厶 DCB 的外心.ZCD

12、F=ZCAB = 45e二 *ZCDE,知 DF 是ZCDE 的平分線.故 F 為 CDE 的內(nèi)心.證法 4:如圖 8，只證 CF 為/ DCE 的平分線.由/ AGC = / GBA + /GAB = 45+/ 2，/ AGC= / ADC= / CAD= / CAB+ / 1=45 + / 1得/ 1 = / 2.從而/ DCF=/ GCF，得 CF 為/ DCE 的平分線.證法 5:首先 DF 是/ CDE 的平分線，故 CDE 的外心 I 在直線 DF 上.現(xiàn)以 CA 為 y 軸、CB 為 x 軸建立坐標(biāo)系，并記 CA = CB = CD = d,則直線AB 是一次函數(shù)y= -x +

13、d 的圖象（圖 9）.若記內(nèi)心 I 的坐標(biāo)為（x1, y1）,貝 Ux1+ y1= CH + IH=CH + HB = CB= d滿足， 即 I 在直線 AB 上， 但 I 在 DF 上， 故 I 是 AB 與 DF 的交點(diǎn).由交點(diǎn)的 唯一性知 I 就是 F,從而證得 F 為 RtACDE 的內(nèi)心.還可延長(zhǎng) ED 交。0 于巴，而 CP 為直徑來證.二、講解：此題的原型由筆者提供.題目是:坐標(biāo)平面上縱、橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)”對(duì)二次函數(shù)廠*疋+*; X 3 找岀其狡 于第一象限內(nèi)，縱坐標(biāo)小于橫坐標(biāo)的格點(diǎn).這個(gè)題目的實(shí)質(zhì)是解不等式1 lx2+ lx-1995x,求正整數(shù)解直接解，數(shù)字較繁但有

14、巧法，由1 + 2 +孟=1221= 1995 +y及 K yvx,知 1+2+ (x1)v1995V1+2+ x.但 1953= 1 + 2+-+ 62v1995V1+ 2+-+ 62+ 63= 2016，得 x = 63,從 而 y=21,所求的格點(diǎn)為(21, 63).經(jīng)過命題組的修改之后，數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計(jì)算.解法h己知即k2+1SI si ,有 x2 x+ 18 0 時(shí)，有 x2 11x+ 18 0，得 2 x 9,代入二次函數(shù)，得合乎條件的 4 個(gè)整點(diǎn)：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);當(dāng) xv0 時(shí)，有x2+ 9x+ 18 0,得-6 x0,取 x = 2,4,7

15、,9,12,14；順次代入，得(2, 2)、(4, 3)、(7, 6)、(9,9),且當(dāng) x 9 時(shí)，由Q,知y-盂再無滿足尺 “I的解.對(duì) x0，取 x= -1,-3,-6,-8,順次代入，得（-3, 3）、（-6, 6）,且當(dāng) x J-C-6 +）2- = 0?104 4知 y-x，再無滿足 yw|x |的解.故一共有 6 個(gè)整點(diǎn)，圖示略.解法 3：先找滿足條件 y=| x |的整點(diǎn)，即分別解方程x2 11x+ 18 = 0 x2+ 9x+ 18= 0 可得（2, 2）、（9，9）、（-6，6）、（-3，3）.再找滿足 yv|x 丨的整點(diǎn)，這時(shí)26 時(shí)，在 2, 3,，n 2 中，必有一 個(gè)數(shù) A 與 n 互質(zhì)（2 A 1,則 d 也是 n 的約數(shù)，從而 A 與 n