第7章《平面圖形的認(rèn)識(二)》考點(diǎn)+易錯

1、第7章平面圖形的認(rèn)識（二，考點(diǎn)+易錯6知識梳理基本事實(shí): 相察兩H線平行直線平行的條件:楣等.兩直線平行互補(bǔ).兩直毆平行陰歷的平移口線平行的性及二兩在線平街一同位加阿白線半程.內(nèi)錯的.眄直疑平行.同旁內(nèi)用平面圖形的認(rèn)識=一)4位2形的界他和苫下一務(wù)應(yīng)形三邊關(guān)索I兩邊之和 第二功特殊線段二曲形3個內(nèi)角的和等丁,n邊脂的內(nèi)福孫等不重難點(diǎn)分類解析考點(diǎn)1和平移有關(guān)的圖形周長、面積計(jì)算【考點(diǎn)解讀】本考點(diǎn)解題時，一般運(yùn)用平移的性質(zhì)（如:連接平移前后對應(yīng)點(diǎn)的線段的長等于平移的距離）來解決有關(guān)圖形的周長、面積計(jì)算問題.例1如圖所示是重疊的兩個直角三角形，將直角三角形ABC沿BC方向平移到 DEF .如果AB

2、8cm, BE 4cm, DH 3cm,那么圖中陰影部分的面積為 cm2分析：陰影部分是一個梯形，用我們目前所學(xué)的知識無法求出該梯形的上、下底和高，因而 不能運(yùn)用梯形的面積公式求其面積.注意到 DEF是由 ABC經(jīng)過平移得到的，因此S ABC S DEF , 即 S HEC S梯形 ABEH S DEF SI影， 于SI影S梯形 ABEH1小-（8 8 3） 4 26（cm2）.答案：26【規(guī)律技法】本題考查平移的性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一條直線上） 且相等，對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等，對應(yīng)角相等.解題的關(guān)鍵是找到平移的對 應(yīng)點(diǎn).【反饋練習(xí)】1. （2018 蘇

3、州期中）如圖，將 ABC沿BC方向平移2 cm得到 DEF .若 ABC的周長為16 cm,則四邊形ABFD的周長為（）A. 16 cm點(diǎn)撥：由平移的性質(zhì)可知D. 22 cmBE FC AD 2cm, AC DF .2. （2018 揚(yáng)州期末）如圖是某公園里一處長方形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD,長AB 50m,寬BC 30m,為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），小路的寬士為 1 m,那么小明沿著小路的中間從出口A到出口 B所走的路線（圖中虛線）長為 m.點(diǎn)撥:分別求出小明橫向和縱向移動的距離即可.考點(diǎn)2利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求角度大小【考點(diǎn)解讀】本考點(diǎn)解題時要熟

4、練掌握平行線的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，這是解題的基礎(chǔ)，要善于分解圖形，即將較復(fù)雜的圖形分解出“兩條平行線被第三條直線所截”與“三角形”的圖形，然后分析各角之間的聯(lián)系 .例2 （2017 重慶）如圖，AB/CD , E是CD上一點(diǎn)，AEC 42 , EF平分 AED交AB于點(diǎn)F ,求 AFE的度數(shù).分析：由互補(bǔ)的性質(zhì)求出AED的度數(shù)，由角平分線的定義得出DEF的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可求出AFE的度數(shù).解答：因?yàn)?AEC 42 ,所以 AED 180 42138 .因?yàn)镋F平分 AED ,1所以 DEF AED 69 .2因?yàn)?AB/CD ,所以 AFE DEF 69 .【規(guī)律技法】本題主要考

5、查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵例3 （2017 寧波）已知直線mn,將一塊含 30°角的直角三角尺 ABC按如圖方式放置（ABC 30 ）,其中A,B兩點(diǎn)分別落在直線 m,n上.若1 20 ,則 2的度數(shù)為（）A. 20 °B. 30°C. 45°D. 50°分析:如圖，因?yàn)閙n,所以 231.因?yàn)?1 20 ,3 30 ,所以 2 50 .答案:D【規(guī)律技法】平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩 直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).【反饋練習(xí)】3.如圖，已知ABCD, AE交CD于點(diǎn)C, DE AE于點(diǎn)E .若

6、A 42 ,則 D .（第3題）（第4題）點(diǎn)撥:先由ABCD得到 ECD A 42 ,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得出D即可.4 .如圖，已知直線 ab,若 1 45 ,2 30 ,則 P .點(diǎn)撥:過點(diǎn)P作直線a或直線b的平行線，從而把P分成兩個角，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得P 12.考點(diǎn)3多邊形的內(nèi)角和公式【考點(diǎn)解讀】在理解的基礎(chǔ)上熟記多邊形的內(nèi)角和公式，并明確可以根據(jù)公式由多邊形的邊數(shù)求得這個多邊形的內(nèi)角和，也可以由多邊形的內(nèi)角和求得這個多邊形的邊數(shù)例4 （2017 云南）若一個多邊形的內(nèi)角和為900° ,則這個多邊形是（）A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形分析：設(shè)這

7、個多邊形的邊數(shù)為n .由多邊形的內(nèi)角和公式，得（n 2） 180 900，解得n7.故這個多邊形是七邊形答案:C【規(guī)律技法】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式（n 2）g180的應(yīng)用，將已知數(shù)據(jù)代入求解即可.例5 一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為1 080。，那么原多邊形的邊數(shù)為（）A. 7B. 7 或 8C. 8或9D. 7或8或9分析:設(shè)內(nèi)角和為1 080。的多邊形的邊數(shù)是n.由題意，得（n 2）gl801080，解得n 8.故原多邊形的邊數(shù)為 7或8或9.答案:D【規(guī)律技法】已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題來解決【反饋練習(xí)】5 .（2018 無錫期末）如果一

8、個多邊形的每一個外角都等于60。，那么這個多邊形一定是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.八邊形點(diǎn)撥:每一個外角都等于 60° ,則每一個內(nèi)角都等于120° .設(shè)這個多邊形是n邊形，則可得方程120n 180（n 2）,解方程即可.本題也可根據(jù)“多邊形的外角和為360?！鼻蠼?6 .下面的多邊形中，內(nèi)角和為 540°的是（）點(diǎn)撥：由多邊形的內(nèi)角和公式得出內(nèi)角和為540。的多邊形的邊數(shù)即可.考點(diǎn)4 三角形的三邊關(guān)系【考點(diǎn)解讀】“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”是解決問題的理論依據(jù)，在實(shí)際應(yīng)用時，可以根據(jù)“較小兩邊之和是否大于最大邊”來判斷 例6 一個等腰三角形的兩

9、邊長分別為4, 8,則它的周長為（）A. 12B. 16C. 20D. 16 或 20分析：因?yàn)轭}中沒有指明底邊和腰的長，所以分類討論如下：當(dāng)4為腰長時，4+4=8,故此種情況不存在；當(dāng)8為腰長時，8 4 8 8 4,符合題意.綜上可知此三角形的周長為8+8+4=20.答案:C【規(guī)律技法】當(dāng)題目中的條件沒有明確說明時，需分類討論考慮所有情況，并驗(yàn)證每種情況是否成立.例7已知a, b, c為三角形的三邊長，且 a, b滿足a2 9 （b 2）2 0,則第三邊長c的取值范圍是.分析：由題意，得a2 9 0, b 2 0,解得a 3,b 2.因?yàn)? 2 1,3 2 5,所以 1 c 5.答案：1 c

10、 5【規(guī)律技法】（1）當(dāng)幾個非負(fù)數(shù)的和為 0時，這幾個非負(fù)數(shù)都等于0;（2三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.【反饋練習(xí)】7. （2018 南京期末）已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2, 5,則這個等腰三角形的周長為.點(diǎn)撥:根據(jù)腰長和底邊長的不同分類討論，再排除其中不能成立的結(jié)果即可8. （2018 揚(yáng)州期末）如果三角形的兩邊長分別為5和7,第三邊長為偶數(shù)，那么這個三角形的周長可以是（）A. 10B. 11C. 16D. 2 6點(diǎn)撥:先求出第三邊長的取值范圍，再取其中的偶數(shù)即為第三邊長 考點(diǎn)5三角形中的重要線段【考點(diǎn)解讀】三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供

11、了重要的線段或角的關(guān)系，尤其三角形的任意一條中線都能把三角形分成面積相等的兩部分，為計(jì)算線段的長度、角的度數(shù)、三角形的周長和面積都起到很大的作用例8 如圖，已知 ABC. 畫 ABC的中線AD,高AH .判斷 ABD與 ACD的面積是否相等，說明理由； (2)畫 ABD中邊AD上的高BE和 ACD中邊AD上的高CF ,并利用(1)的結(jié)論說明： BE CF . 分析:先畫出中線和高，注意鈍角三角形 ABD的高BE的畫法；在圖中，利用AH是 ABD19和 ACD的公共高且BD CD,即可判斷Sabd S ACD,在圖中，根據(jù)S ABD S ACD一 11 可得 ADgBE ADgCF ,所以 BE

12、 CF .解答：(1) ABC的中線AD ,高AH如圖所示.ABD與 ACD的面積相等，理由如下： 因?yàn)锳D邊BC上的中線，所以BD CD.1 -1 因?yàn)?Sabd 11BDgAH, S acd 2CDgAH ,所以 S ABD S ACD .(2) ABD的高BE和 ACD的高CF如圖所示.因?yàn)?S ABD S ACD-1 _1所以 ADgBE - ADgCF ,所以BE CF .;(2)等底等高的三角形的面積相等【規(guī)律技法】(1)三角形的中線平分三角形的面積【反饋練習(xí)】9 .如圖，BE,CF是 ABC的兩條角平分線，若BAC 62，則 DAC 點(diǎn)撥:三角形的三條角平分線交于同一點(diǎn).10 .

13、如圖，AD為 ABC的中線，BE為 ABD的中線.(1)在 BED中作邊BD上的高；(2)若 ABC的面積為60, BD 5,求點(diǎn)E到邊BC的距離.點(diǎn)撥:三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分易錯題辨析易錯點(diǎn)1平行線的判定張冠李戴例1如圖，點(diǎn)E在AC的延長線上，下列條件中，能判斷ABCD的是()AB. DDCED.D ACD 180A.34C.12錯誤解答：A , B或D錯因分析：3和 4是直線AC,BD被直線BC所截形成的內(nèi)錯角，由 34可得BD/AC ; D和 DCE是直線AE,BD被直線CD所截形成的內(nèi)錯角，由D DCE可得BDAE; 1與 2是直線AB,CD被直線BC所截形成的內(nèi)錯角

14、，由 12可得AB/CD ; D與 ACD是直線AC,BD被直線CD所截形成的同旁內(nèi)角，由D ACD 180可彳# ACBD .找錯直線關(guān)系會導(dǎo)致判斷錯誤.正確解答:C易錯辨析：實(shí)際判定時，一定要分清哪兩條直線被哪一條直線所截易錯點(diǎn)2在復(fù)雜圖形中找不到基本圖形例2如圖，直線AB,CD分別和直線 MN相交于點(diǎn)E,F, EG平分BEN, FH平分 DFN .若ABCD ,你能說明EG和FH也平/行嗎？：''飛/',V7/1 _錯誤解答：因?yàn)镋G平分 BEN ,所以1 BEN.因?yàn)镕H平分 DFN ,所以12 DFN .因?yàn)?ABCD ,所以 BEN DFN ,所以 12,所

15、以 EGFH2錯因分析：能在復(fù)雜的圖形中正確地找出同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角，是運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)的前提；認(rèn)清同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是弄清截線和被截線，截線就是它們的公共邊，其余兩條邊就是被截線，而 1和 2不是直線EG,FH被某條直線所截得的同位角，錯解由于找錯了同位角而導(dǎo)致錯誤.正確解答：因?yàn)镋G平分 BEN ,LC 1所以 3 BEN .因?yàn)镕H平分 DFN ,1. ,1所以 4 - DFN .因?yàn)?AB/CD ,所以 BEN DFN ,所以 34.因?yàn)?3,4是直線EG, FH被直線MN所截得的同位角，所以 EG/FH .易錯辨析：在運(yùn)用平行線的性質(zhì)或判定時，要正確認(rèn)識“三線

16、八角”易錯點(diǎn)3找錯平移前后圖形對應(yīng)點(diǎn)例3如圖，線段AB經(jīng)過平移有一端點(diǎn)到達(dá)點(diǎn) C,畫出線段AB平移后的線段CD.錯誤解答:錯因分析：平移是由平移的方向和距離決定的，本題中未指明哪一端點(diǎn)（A還是B）移動到點(diǎn)C ,故應(yīng)有兩種情況，即點(diǎn) A平移到點(diǎn)C或點(diǎn)B平移到點(diǎn)C.正確解答：如圖，線段CD的位置有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)A平移到點(diǎn)C時，則點(diǎn)D在點(diǎn)C的下方，因此圖中的線段 CD1即為所求 當(dāng)點(diǎn)B平移到點(diǎn)C時，則點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方，因此圖中的線段 CD2即為所求.易錯辨析：本題沒有明確平移前后圖形的對應(yīng)點(diǎn)，應(yīng)分情況作圖易錯點(diǎn)4忽略條件不明確引起的分類討論例4已知等腰三角形的周長為 16 cm, 一腰上的中線把等腰

17、三角形分成周長之差為4 cm的兩個三角形，求該等腰三角形的各邊長. 錯誤解答：設(shè)等腰三角形 ABC中，AB AC,腰AC上的中線BD把 ABC分成 ABD和 CBD ,所以 ABD和 CBD的周長之差等于AB與BC的長度之差，所以AB BC 4cm.設(shè) BC xcm,則 AC AB (x 4) cm,所以 2(x 4) x 16 ,解得8_ 820x ,所以 BC cm, AB AC cm. 333錯因分析：本題由于分析時考慮欠周密而導(dǎo)致漏掉BC AB 4 cm這種情況，雖然這種情況不存在，但必須經(jīng)過分析說明 .同時，由題意畫出圖形，以便思考和書寫解題過程，這是正 確的解題方法，但本題的錯解中

18、也忽略了這一步驟正確解答：設(shè)等腰三角形 ABC中，AB AC, BD是中線.如圖，若AB BC 4cm,設(shè) BC xcm,則 AC AB (x 4) cm,所以 2(x 4) x 16 ,解得x 8. 3820所以BC -cm, AB AC cm,符合題息.33如圖，若BC AB 4cm,設(shè) BC xcm,則 AC AB (x 4) cm,所以 2(x 4) x 16,解得x 8.所以 BC 8 cm, AC AB 4 cm.§cm,20cm,如cm.333因?yàn)檫呴L為4 cm, 4 cm, 8 cm的三條線段不能構(gòu)成三角形,所以這種情況不成立.綜上所述，這個等腰三角形的三邊長分別為

19、易錯辨析：當(dāng)題目中未給出明確圖形時，需根據(jù)實(shí)際情況分類討論，避免漏解 易錯點(diǎn)5誤用多邊形內(nèi)角和公式導(dǎo)致錯誤例5已知多邊形的內(nèi)角和是 9000 ,求這個多邊形的邊數(shù).錯誤解答：因?yàn)?00 1805,所以這個多邊形的邊數(shù)為5.錯因分析：誤以為多邊形的內(nèi)角和公式是n180 .正確解答：因?yàn)?00 1802 7,所以多邊形的邊數(shù)為 7.易錯辨析：多邊形的內(nèi)角和公式是 （n 2）g180 .反饋練習(xí)1 .若一個多邊形的每個內(nèi)角均為120。，則這個多邊形是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形點(diǎn)撥:用兩種方式表示內(nèi)角和，列方程求解2 .已知三角形的兩邊長分別是 4和10,則此三角形第三邊的長可能是

20、（）A. 5B. 6C. 12D. 16點(diǎn)撥:根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷.3 .如圖，在 ABC 中，CE AB 于點(diǎn) E, DF AB 于點(diǎn) F , AC / ED , CE 是 ACB 的平分線，則圖中與FDB相等的角（不包含 FDB）的個數(shù)為（）A. 3B. 4D. 6C. 5點(diǎn)撥:通過兩直線平行得到同位角相等且內(nèi)錯角相等.4 .一個多邊形，它的內(nèi)角和比外角和的4倍多180° ,求這個多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和的度數(shù)點(diǎn)撥:通過多邊形內(nèi)角和公式列方程求解.5 .如圖，已知 CB/OA, C OAB 120，點(diǎn)EE,F在射線CB上，且 12,34.(1)求EOB的度數(shù)；(2)若平行移動AB

21、,則 OBC: OFC的值是否隨之變化？若變化，找出規(guī)律或求出其變 化范圍；若不變，求出這個比值.點(diǎn)撥：(1)根據(jù)平行線及角平分線的性質(zhì)解答；(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出OBC BOA,OFC FOA.探究與應(yīng)用探究1過一點(diǎn)作已知直線的平行線例1如圖，B,D兩點(diǎn)在河的同一側(cè)，點(diǎn)C在河的另一側(cè)，為了求得 BCD的度數(shù)，過B,D兩點(diǎn)分別引兩條平行線 AB,DE(ABDE),測得 ABC 80, CDE 140 .請你計(jì)算BCD的度數(shù).點(diǎn)撥:若過點(diǎn)C作AB的平行線CF ,則根據(jù)平行線的性質(zhì)，BCF與 DCF的度數(shù)都可求出，這樣可把BCD的度數(shù)轉(zhuǎn)化為 BCF與 DCF度數(shù)白差.解答:如圖，過點(diǎn)C作CF

22、 / AB .因?yàn)?CF/ AB,所以 BCF ABC 80 .因?yàn)?AB/DE , AB/CF ,所以DECF ,所以 DCFCDE 180 ,所以 DCF 180 CDE 40 .因?yàn)?BCDBCF DCF ,所BCD _ 80 40_402_一一一一一一一一一一一一一一j1.當(dāng)已知和未知的轉(zhuǎn)化不明顯時，常常通過作輔助線的方法加以解決，過一點(diǎn)i作已知直線的平行線是平行問題中常見的作輔助線的方法：2送結(jié)迨根區(qū)基逸理過程也桓區(qū) J【舉一反三】1.如圖，已知 AB/CD ,若 BAE 110 , DCE 120 ,則 AEC探究2無具體角度的計(jì)算及說明C（第1題）如圖，ADBC,點(diǎn)O在AD上，B

23、O,CO分別平分 ABC, DCB .若D m ,求 BOC的度數(shù).點(diǎn)撥：由題意，得BOC 180 ( AOB DOC ).由AD BC及BO,CO分別平分八八-1八八ABC, DCB,可知 AOB DOC -( ABC DCB).解答：因?yàn)?ADBC, BO平分 ABC,1所以 AOB COB ABC.21同理 DOC BCO DCB.2因?yàn)?A Dm,所以 ABC DCB 360 m ,1所以 AOB DOC ( ABC DCB) 180 -m ,_ 1所以 BOC 180 ( AOB DOC) -m .率MF”一”一”一”一一一”一一一”一一一一 j分析主要從以下兩個方面進(jìn)行：(1)由因

24、導(dǎo)果，即從已知條件出發(fā)推出相應(yīng)結(jié)j鵬;(2)色果棗因:艮辱"到苫噸需號備什么回令_. 一一一一一一一一一一一一-2 .如圖，已知D BCD 180, AF和CE分別平分 DAC和 ACB .你能得到AFCE嗎？青說明理由.探究3與三角形中線有關(guān)的面積計(jì)算例3如圖， ABC的三條中線 AD,BE,CF交于點(diǎn)G.若S abc 12,求圖中陰影部分的 面積.ABC的面積為陰影部分點(diǎn)撥:根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，可知 面積的3倍.解答：因?yàn)?ABC的三條中線 AD,BE,CF交于點(diǎn)G ,所以 FG :GC 1:2,所以 S AFG : S AGC 1: 2 .因?yàn)镾 A

25、GE所以S CGE3sACF .同理可得Sbgf3sBCF .因?yàn)镾 ACFBCF所以S CGE1s3，所以S BGF S CGF 4i規(guī)律提示 i求三角形面積的有關(guān)結(jié)論和方法：三角形一邊上的中線把三角形的面積分成I相等的兩部分：利用三角形邊與高的關(guān)系，即抓住等底同高或同底等高：三角形|的重心把三角形的中線分為1:2兩部分（重心到頂點(diǎn)的距離占 2份）.DE, AD .若 S abc 24 cm2,則3 .如圖，D, E分別是 ABC的邊BC, AC的中點(diǎn)，連接DEC的面積為（A. 4 cm 2D. 12 cm2探究4 多邊形的內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用例4如圖，試說明：(2)若 BAC1DEF70 ,3.BAC;DFE點(diǎn)撥：(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和補(bǔ)角的性質(zhì)，用3和 CAE表示出 DEF ,再根據(jù)13整理可得證；(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和補(bǔ)角的性質(zhì)，用2和 BCF表示出DFE ,再根據(jù) 2解答：(1)在ACE中，因?yàn)?所以 因?yàn)?所以DEF DEF 1 3, DEF3整理可得 ACB3 CAE AECAEC 180 ,CAE.(2)在 BCF 中,因?yàn)?所以 因?yàn)?所以 因?yàn)?所以 因?yàn)?所以 規(guī)律提示DFE DFE 2DFE DFE BCA BCA ABC12 BFC2CA