萊布尼茨與微積分

1、萊布尼茨與微積分今天 , 微積分已成為基本的數(shù)學(xué)工具而被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域。恩格斯說過: “在一切理論成就中 , 未有像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了, 如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績, 那就正是在這里?！苯酉聛砦覍奈鍌€方面來介紹萊布尼茨的生平事跡。一、人物簡介戈特弗里德威廉萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz , 1646年 1716 年) ，德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。涉及的領(lǐng)域及法學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、語言學(xué)等40 多個范疇，被譽為十七世紀(jì)的亞里士多德。和牛頓先后獨立發(fā)明了微積分。二、人物生平早期(致力于哲學(xué))：1.

2、生于公元1646 年 7 月 1 日書香之家，父親道德哲學(xué)教授，母親出身于教授家庭。2. 8 歲時，萊布尼茨進入尼古拉學(xué)校，學(xué)習(xí)拉丁文、希臘文、修辭學(xué)、算術(shù)、邏輯、音樂以及圣經(jīng)、路德教義等。3. 1661 年， 15 歲的萊布尼茨進入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律。4. 1663年5月，他以論個體原則方面的形而上學(xué)爭論一文獲 學(xué)士學(xué)位。晚期（致力于自然科學(xué)）：1. 1667年2月，萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇數(shù)學(xué)論文論組合的藝 術(shù)2. 1672年，萊布尼茨作為一名外交官出使巴黎， 深受惠更斯的啟發(fā)， 決心鉆研高等數(shù)學(xué)，并研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作， 開始微積分的創(chuàng)造性工作。3. 1684年10月在

3、教師學(xué)報上發(fā)表的論文一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類 型的計算，是最早的微積分文獻。4. 1686年發(fā)表他的第一部積分學(xué)論文深奧的幾何與不可分量及無限的分析，提出擺線方程y 而下，這篇論文中第2x x2一次出現(xiàn)在印刷板物上。5. 1713年，萊布尼茨發(fā)表了微積分的歷史和起源一文，總結(jié)了 自己創(chuàng)立微積分學(xué)的思路，說明了自己成就的獨立性。6. 公元1716年11月14日，由于膽結(jié)石引起的腹絞痛臥床一周后，萊布尼茨孤寂地離開了人世，終年 70歲。三、個人成就（一）微積分的創(chuàng)立1 .創(chuàng)立了很多微積分符號1675年到1677年他創(chuàng)造出了 dx,dy,這些符號，

4、用dx表示相鄰兩個x的差；dy表示相鄰兩個y的差，也是函數(shù)的微分；用 電表示成 dx切線的斜率；代替了以前的和號“omn "（是sum的第一個字母）；ydx表水面積。2 .給出了 dy的演算法則加法和減法：如果 v x y w z,則dv dx dy dw dz乘法 :y vx, dy xdv vdx除法：d v vdymydv,等。y y3 .微積分基本定理萊布尼茲在手稿中闡述：給定一條曲線，其縱坐標(biāo)為y,求該曲線下的面積。他假設(shè)可以求出一條曲線（他稱之為割圓曲線），它的縱坐標(biāo)為z, 使得：dz y即dz ydx 。他發(fā)現(xiàn)曲線的面積 ydx dz z ,萊布尼 dx茲通常假設(shè)曲線z

5、通過原點。這就將求面積的問題轉(zhuǎn)化成了反切線的問題，即要求曲線的面積只需要找到一條曲線，使它 的切線的斜率為dz y,如果實在區(qū)間a,b上，則只需用在0,b的面積減去0,a dx的面積便得到a ydx z b z a。問題的關(guān)鍵：沒有發(fā)現(xiàn)微分和積分是互逆的兩種運算，而這正是微積分建立的關(guān)鍵 所在。只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分 學(xué)。微積分創(chuàng)建工作的完成：1、萊布尼茨1684年10月在教師學(xué)報上發(fā)表的論文一種求 極大極小的奇妙類型的計算，是最早的微積分文獻。對微積分的創(chuàng) 建有著劃時代的意義。2、萊布尼茨從幾何問題出發(fā)，運用分析學(xué)方法引進微積分概念、得出微積分運算法則。3、萊

6、布尼茨創(chuàng)建巧妙簡潔的微積分符號，對微積分的發(fā)展有極大影響。4、1713年，萊布尼茨發(fā)表微積分的歷史和起源一文，總結(jié)了 自己創(chuàng)建微積分的歷程。牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分的比較：牛頓堅持唯物論的經(jīng)驗論，特別重視實驗和歸納推理。他在研究經(jīng)典 力學(xué)規(guī)律和萬有引力定律時，遇到了一些無法解決的數(shù)學(xué)問題 一因此 牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長度、重心、最大最小值等問題的方法流數(shù)法“牛頓的研究采用了最初比和最后比的方法。他認為流數(shù)是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬間的比值，消失量的最后比就是量在消失的瞬間 的比值。”這個解釋太模糊了，算不上精確的數(shù)學(xué)概念，只不過是一種 直觀

7、的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度與末速度的數(shù)學(xué)抽 象，在物體作位置移動的過程中的每一瞬間具有的速度是自明的 ，牛 頓就是從這個客觀事實出發(fā)提出了最初比和最后比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點。萊布尼茲的微積分創(chuàng)造始于研究“切線問題”和“求積問題”，他從微分三角形認識到：求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的 比值；求曲邊圖形的面積則依賴于在橫坐標(biāo)的無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo) 之和或無限薄的矩形之和。萊布尼茲認識到求和與求差運算是可逆 的。萊布尼茲用無窮小的思想給出了微積分的基本定理 ，并發(fā)展成為 高階微分。萊布尼茲在微積分的研究過程中，連續(xù)性原則成為其工作 的基石，而連續(xù)性原則是扎根

8、于他哲學(xué)中無限的本質(zhì)的思想。一、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的相同點：1、都使微積分不再是幾何學(xué)的延伸，建立在符號運算的基礎(chǔ)上，具 有一般性，使之成具有廣泛應(yīng)用的學(xué)科；2、把求積問題歸結(jié)為微分問題的逆問題，從而建立了微積分基本定 理；3、把微積分建立在實無窮小的基礎(chǔ)上，后來他們?yōu)榛乇軣o窮小運算上的矛盾，不自覺地使用了極限概念；4、用代數(shù)的方法從過去的幾何形式中解脫出來；都研究了微分與反微 分之間的互逆關(guān)系。二、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的不同點：1、他們建立微積分的出發(fā)點不同。牛頓是在力學(xué)研究的基礎(chǔ)上，運 用幾何方法研究微積分的；萊布尼茲主要是在研究曲線的切線和面積 的問題上，運用分析學(xué)方法引進微積

9、分要領(lǐng)的。2、微積分工作的側(cè)重點不同。牛頓關(guān)心微積分體系和基本方法的建立；而萊布尼茲運算公式的建立與推廣。在積分上，牛頓偏重于求積 分的逆運算，即不定積分；而萊布尼茨側(cè)重于求微分的和，即定積分。牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學(xué)， 造詣精深；但萊布尼茲 的表達形式簡潔準(zhǔn)確，勝過牛頓。3、對微積分具體內(nèi)容的研究不同。牛頓先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概 念；萊布尼茲則先有積分概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。4、對無窮小認識的程度不一樣。牛頓不分階，而萊氏分階，認識比 前者深刻。雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法不同， 但他們殊途同歸，各自 獨立完成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)，正是因為有了牛頓與萊布尼茲的工 作，才使微積

10、分成為獨立的學(xué)科并給整個自然科學(xué)帶來革命性的影 響。他們創(chuàng)立的微積分，對科學(xué)發(fā)展具有深遠的影響（二）數(shù)學(xué)上的貢獻1、始創(chuàng)微積分。2、對負數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)的探討。3、首次引入行列式的概念。4、數(shù)理邏輯的首創(chuàng)者和真正奠基人。（三）物理方面的貢獻1、提出了能量守恒定律的雛形。2、證明了永動機的荒謬性。3-提出馬里奧特一一萊布尼茨理論。4、利用微積分求極值的方法推導(dǎo)出折射定律。（四）哲學(xué)?突出了著名的“單子論”? ”沒有兩片完全相同的樹葉，世界上沒有性格完全相同的人。萊布尼茨（五）“乘法機”的發(fā)明?受八卦啟發(fā)，率先為計算機設(shè)計系統(tǒng)提出二進制運算法則，為 計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。?能進行乘除運算的“乘

11、法機”的發(fā)明。四、著作目錄? 1663年5月，以論個體原則方面的形而上學(xué)爭論一文獲學(xué) 士學(xué)位。? 1664年1月，萊布尼茨完成了論文論法學(xué)之艱難，獲哲學(xué) 碩士學(xué)位。? 1667年2月 他以論文論身份獲法學(xué)博士學(xué)位 。? 1667年發(fā)表了他的第一篇數(shù)學(xué)論文論組合的藝術(shù)。? 1684年10月發(fā)表論文一種求極大極小的奇妙類型的計算， 是最早的微積分文獻。? 1677年，萊布尼茨發(fā)表通向一種普通文字，人們公認他是 世界語的先驅(qū)。? 1677年，萊布尼茨發(fā)表通向一種普通文字，人們公認他是 世界語的先驅(qū)。? 1693年，萊布尼茨發(fā)表原始地球一書一定程度上促進了 19 世紀(jì)地質(zhì)學(xué)理論的發(fā)展。? 1703發(fā)表

12、論文二進位算術(shù)的闡述一關(guān)于只用 0和1兼論其用 處及伏羲氏所用數(shù)字的意義，為二進制的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。? 1713年，萊布尼茨發(fā)表微積分的歷史和起源一文，總結(jié)了 其獨立創(chuàng)建微積分的總過程。五、評價“當(dāng)一個人考慮到自己并把自己的才能和萊布尼茨的才能來作比較時，就會弄到恨不得把書都丟了去找個世界上比較偏僻的角落藏起來 以便安靜的死去。這個人是混亂的大敵：罪錯綜復(fù)雜的事物一進入他 的心靈就弄得秩序井然。他把兩種幾乎不相容的品質(zhì)結(jié)合在一起了， 這就是探索發(fā)現(xiàn)的精神和講求條理的精神； 而他借以積累起最廣泛的 各種不同種類知識最堅毅又最五花八門的研究既沒有剝?nèi)踹@一品質(zhì)， 也沒有剝?nèi)趿硪环N品質(zhì)。就哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家這兩個詞所能具有的最充 分的意義來說，他是一位哲學(xué)家和一位數(shù)學(xué)家。”一一狄德羅六、總結(jié)萊布尼茨是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符 號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我 們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時萊布尼茨精心選用的。微積分