立體幾何證明垂直專(zhuān)項(xiàng)含練習(xí)題及答案

1、立 體 幾 何 證 明一.復(fù)習(xí)引入1 .空間兩條直線的位置關(guān)系有：,三種。2 .（公理4）平行于同一條直線的兩條直線互相 .3 .直線與平面的位置關(guān)系有,三種。4 .直線與平面平行判定定理：如果的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行5 .直線與平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這 個(gè)平面相交，那么.6 .兩個(gè)平面的位置關(guān)系：,.7 .判定定理1:如果一個(gè)平面內(nèi)有立線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.8 .線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面 .9 .如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的 平行.10 .如果兩個(gè)平

2、面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都 于另一個(gè)平面.二.知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一、直線和平面垂直的定義與判定定義判定語(yǔ)百描述如果直線l和平卸a內(nèi)的任意一條直線都垂 直，我們就說(shuō)直線l與平面互相垂直，記作 l ± a一條直線與一個(gè)平卸內(nèi)的兩條相交直線都垂 直，則這條直線與該平面垂直 .圖形條件b為平向a內(nèi)的直線，而l對(duì)這 一直線總有l(wèi)，al ± m , l ± n , mnn = B, m , n結(jié)論要點(diǎn)詮釋?zhuān)憾x中“平面內(nèi)的任意一條直線”就是指“平面內(nèi)的所有直線”，這與“無(wú)數(shù)線面垂直）條直線”不同（線線垂直知識(shí)點(diǎn)二、直線和平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)語(yǔ)百描述一條直線垂直于 個(gè)平

3、囿，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線垂直于向一個(gè)平卸的兩條直線平行 9形條4'4結(jié)論知識(shí)點(diǎn)三、二面角I .二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角( dihedral angle).這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫彳二面角的面 .記作二面角 一AB.(簡(jiǎn)記P ABQ)二面角的平面角的三個(gè)特征 ：i . 點(diǎn)在棱上ii . 線在面內(nèi)iii . 與棱垂直n .二面角的平面角：在二面角一1 一 的棱l上任取一點(diǎn) O ,以點(diǎn)O為垂足，在半平面，內(nèi)分別作垂直于棱1的射線OA和OB ,則射線OA和OB構(gòu)成的 AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大??；范圍：00180

4、0.知識(shí)點(diǎn)四、平面和平面垂直的定義和判定定義判定文字描述兩個(gè)平卸相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直 一個(gè)平卸過(guò)另一個(gè)平卸的垂線，則這兩個(gè)平 面垂直圖形結(jié)果a Pl 0 =1 a -1- 0 =90 O a _L 0(垂直問(wèn)題中要注意題目中的文字表述，特別是 “任何”“隨意”“無(wú)數(shù)”等字眼)三.常用證明垂直的方法立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一 些方法：(1) 通過(guò)“平移”。(2) 利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)。(3) 利用勾股定理。(4) 利用直徑所對(duì)的圓周角是直角E為PD中點(diǎn).1 AB=1 DC 2B(第2題圖)C(1

5、) 通過(guò)“平移”，根據(jù)若a/ /b,且b,平面a ,則a,平面a1 .在四棱錐 P-ABCD, PBCiEH角形，AB1平面 PBC AB/ CD求證：An平面PDC.2 .如圖，四棱錐 P-ABCD的底面是正方形，PAL底面ABCD, /PDA=45°，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).求證：平面 PCEL平面PCD;(2)利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)3、在三棱錐 P ABC 中，AC BC 2, ACB 90°, AP BPPC AC .(I )求證：PC AB ;(3)利用勾股定理4.如圖，四棱錐 P ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA CD,PA 1,PD 求證：PA平面

6、ABCD ；(4)利用直徑所對(duì)的圓周角是直角5、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，F(xiàn)AL平面ABC.(1)求證：平面FACL平面PBC;課堂及課后練習(xí)題：1 .判斷下列命題是否正確，對(duì)的打“，”，錯(cuò)誤的打“x”。(1)垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行()(2)垂直于同一平面的兩條直線互相平行( )(3) 一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線垂直()2 .已知直線 a,b 和平面 ，且 a b, a ,則 b 與APBDBC的位置關(guān)系是3 .如圖所示，在四棱錐P ABCD中，AB 平面PAD,AB/CD,PD AD,E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)1是CD上的點(diǎn)，且DF AB,PH為

7、 PAD中AD邊上的局 2(1)證明：PH 平面ABCD；4 .如圖所示，四棱錐P ABCD 底面是直角梯形 BA AD, CD AD, CD 2AB, PA 底面 ABCD,E為PC的中點(diǎn)，PA = AD。證明：BE 平面PDC ;5 .如圖，在三棱錐P ABC中，/ PAB是等邊三角形， /PAC=/ PBC=90 o證明：ABXPC6 .如圖，四面體 ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)， (1)求證：AO 平面BCD ;(2)求異面直線 AB與CD所成角的大小；7 .如圖，四棱錐S ABCD中，AB BC , BC CD ,側(cè)面SAB為等邊三角形,AB BC 2,CD SD 1(I

8、)證明：SD平面SAB;8 .如圖，在圓錐PO中，已知PO = J2 ,。O的直徑AB 2,c是狐AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn).證明：平面POD 平面PAC；課堂及課后練習(xí)題答案：11. ) V(2) V(3) V2. b/或者b3.證明：因?yàn)镻H為 PAD中AD邊上的高，所以 PH AD ,又因?yàn)?AB 平面PAD ,所以AB PH , ABI AD=A,所以 PH 平面 ABCD4. 分析：取PD的中點(diǎn)F,易證AF/BE,易證AFL平面PDC從而B(niǎo)E 平面PDC.5.證明：因?yàn)?PAB是等邊三角形，PAC PBC 90 ,所以 Rt PBC Rt PAC ,可彳導(dǎo) AC BC。如圖，取AB中點(diǎn)D ,連結(jié)PD, CD,則 PD AB, CD AB,所以AB 平面PDC ,所以AB PC o6. (1)證明：連結(jié) OC在 AOC中，由已知可得 AO 1,CO J3.而 AC 2, AO2 co2 AC2,AOC 90o,即 AO OC.Q BD I OC O, AO 平面 BCD7.BCDE 為AB,SE .3.(I)取AB中點(diǎn)