高中數(shù)學必修4《第一章 三角函數(shù)》：1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

1、（1 1）周期性）周期性（2 2）奇偶性）奇偶性（3 3）對稱性）對稱性( 2 ,0)( ,-1)23( ,0)( ,1)2要點回顧要點回顧. 正弦曲線、余弦函數(shù)的圖象正弦曲線、余弦函數(shù)的圖象1)1)圖象作法圖象作法-幾何法幾何法五點法五點法2)2)正弦曲線、余弦曲線正弦曲線、余弦曲線x6yo-12345-2-3-41余弦曲余弦曲線線(0,1)( ,0)2( ,-1)( ,0)23( 2 ,1)x6yo-12345-2-3-41正弦曲正弦曲線線(0,0)思考思考1 1：今天是：今天是20122012年年3 3月月2121日，星期三，那么日，星期三，那么7 7天后是星期幾？天后是星期幾？3030

2、天后呢？為什么？天后呢？為什么？因為因為 30=2+7x4 30=2+7x4 所以所以3030天后與天后與2 2天后相同，天后相同，故故3030天后是天后是星期五星期五1. 1.一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(xf(x), ),如果存在一個如果存在一個非零非零的常數(shù)的常數(shù)T T，使得當，使得當x x取定義域內(nèi)的每一個值取定義域內(nèi)的每一個值時，都有時，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )，那么函數(shù)，那么函數(shù)f(xf(x) )就叫就叫做做概念概念2.2.對于一個周期函數(shù)對于一個周期函數(shù)f(xf(x), ),如果在它所有的如果在它所有的周期中存在一個周期中存在一個最小的正數(shù)最小的正

3、數(shù)，那么這個最那么這個最小的正數(shù)就叫做小的正數(shù)就叫做f(xf(x) )的的非零常數(shù)非零常數(shù)T T叫做這個函數(shù)的叫做這個函數(shù)的說明：說明：我們現(xiàn)在談到三角函數(shù)周期時，如果我們現(xiàn)在談到三角函數(shù)周期時，如果不加特別說明，一般都是指的最小正周期。不加特別說明，一般都是指的最小正周期。xyo-2 - 2 3 4 結(jié)合圖像：在定義域內(nèi)任取一個 ，k2由誘導公式可知： 正弦函數(shù)正弦函數(shù))(sinRxxyxxkxsin)2sin()()2(xfkxf 正弦函正弦函數(shù)數(shù) 是周期函數(shù)，周期是是周期函數(shù)，周期是)(sinRxxy即思考思考2：余弦函數(shù)是不是周期函數(shù)？如：余弦函數(shù)是不是周期函數(shù)？如果是，周期是多少？果

4、是，周期是多少？性質(zhì)性質(zhì)1 1：正弦函數(shù)：正弦函數(shù)y=sinxy=sinx，余弦函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosxy=cosx都都是周期函數(shù)，且它們的周期為是周期函數(shù)，且它們的周期為)0,(2kzkk由誘導公式可知：xkxcos)2cos(即)()2(xfkxf最小正周期是最小正周期是2XX+2yx024-2y=sinx(xR)自變量自變量x增加增加2時函數(shù)值時函數(shù)值不斷重復(fù)地不斷重復(fù)地出現(xiàn)的出現(xiàn)的oyx48xoy612三角函數(shù)的周期性三角函數(shù)的周期性: :3.T是是f(x)的周期，那么的周期，那么kT也一定是也一定是f(x)的周期的周期.(k為非零整數(shù)為非零整數(shù)):1.,()( )( ).sin()

5、sin,424f xTf xTyf xxx 例例定定義義是是對對定定義義域域中中的的值值來來說說的的只只有有注注意意: :每每一一個個個個別別的的滿滿足足不不能能說說值值: :是是的的周周期期如如2sin()sin ,sin.22xxxyx 就就是是說說不不能能對對 在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的每每一一個個值值使使因因此此不不是是的的周周期期sin()sin.323但但是是判斷下列說法是否正確判斷下列說法是否正確（1 1） 時，時， 則則 一定不是一定不是 的周期的周期 3x 2sin()sin3xx 23 sinyx （ ）（2 2） 時，時， 則則 一定是一定是 的周期的周期 76x 2sin

6、()sin3xx 23 sinyx （ ） 求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期：cosx是以是以2為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .(2)sin(2 )sin(22 )sin 2() ,sin2xxxyx 是以是以為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .解解:(1)對任意實數(shù)對任意實數(shù) 有有 RxxyRxxyRxxy),621sin(2)3(,2sin)2(,cos3) 1 ()2()2sin(3sin3)(xfxxxfx(3)112sin()2sin(2 )262612sin(4 ),26xxx12sin()26yx是以是以為周期的周期函為周期的周期函數(shù)數(shù)求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期

7、：RxxyRxxyRxxy),621sin(2)3(,2sin)2(,cos3) 1 (你能從上面的解答過程你能從上面的解答過程中歸納一下這些函數(shù)的中歸納一下這些函數(shù)的周期與解析式中的哪些周期與解析式中的哪些量有關(guān)系嗎？量有關(guān)系嗎？2221212xycos3xy2sin)621sin(2xy 函數(shù) 周期)621sin(2xy2TT4T4T212函數(shù) 及函數(shù) 的周期 RxxAy),sin(RxxAy),cos(兩個函數(shù)RxxAy),sin(RxxAy),cos(（其中 為常數(shù)且A0),A的周期僅與自變量的系數(shù)有關(guān)，那么如何的周期僅與自變量的系數(shù)有關(guān)，那么如何用自變量的系數(shù)來表述上述函數(shù)的周期？用

8、自變量的系數(shù)來表述上述函數(shù)的周期？2T解：解： sinf xAxsin2Axsin2Ax2sinAx2fx2Tsin(),cos(),(,2,0,0):.yAxxRyAxxRAAT 一般地，函數(shù)及函數(shù)其中為常數(shù) 且的周期為歸納總結(jié)歸納總結(jié)P36 練習練習1練習2：求下列函數(shù)的周期課堂練習：課堂練習：RxxyRxxyRxxyRxxy),431sin() 4 (,cos21) 3 (,4cos) 2 (,43sin) 1 (38342432T242T212T632312T 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) y=Asin(x+) 及及y=Acos(x+) （其中（其中A , ,為常數(shù)，為常數(shù)，且且 A0,

9、0 ）的周期是）的周期是: :周期求法：周期求法： 1. 1.定義法：定義法： 2.2.公式法：公式法：2 (0)T 3.3.圖象法圖象法: :小小 結(jié)結(jié) f(x+T)=f(x)2.2.奇偶性奇偶性(1) ( )sin ,f xx xRxR 任意任意()sin()fxxsin x ( )f x ( )sin ,f xx xR為為奇奇函數(shù)函數(shù)(2) ( )cos ,f xx xRxR 任意任意()cos()fxxcos x ( )f x ( )cos ,f xx xR為為偶偶函數(shù)函數(shù)x22322523yO23225311PP正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象53113.,.22222x對稱軸：對稱軸：

10、,2xkkZ .(,0),(0,0),( ,0),(2 ,0). 對稱中心：對稱中心：(,0)kkZ P余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象.,0, 2.x 對稱軸：對稱軸：,xkkZ 35.(,0),(,0),(,0),(,0).2222 對稱中心：對稱中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO23225311練習練習 為函數(shù)為函數(shù) 的一條對稱軸的是的一條對稱軸的是（ ）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：經(jīng)驗證，當解：經(jīng)驗證，當.12C x 時時232x12x 為對稱軸為對稱軸例題例題 求求 函數(shù)的對稱軸和對稱中心函數(shù)

11、的對稱軸和對稱中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令則則sin(2)sin3yxz sinyz 的對稱軸為的對稱軸為,2zkkZ 232xk 解得：對稱軸為解得：對稱軸為,122xkkZ(2)sinyz 的對稱中心為的對稱中心為(,0) ,kkZ 23xk 對稱中心為對稱中心為62xk zk (,0) ,Z62kk解解（1）令）令則則的對稱軸為的對稱軸為解得：對稱軸為解得：對稱軸為的對稱中心為的對稱中心為對稱中心為對稱中心為 求求 函數(shù)的對稱軸和對稱中心函數(shù)的對稱軸和對稱中心1cos()24yx 421xzzcos1cos()24yx zycoskz kx421Zkkx,22zyc

12、os)2(zkk),0 ,2(,2kz2421kxZkkx,22Zkk),0 ,22(Zkkx,22探究：探究：正弦函數(shù)正弦函數(shù)的最大值和最小值的最大值和最小值最大值：最大值：2x當當 時，時， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：2x當當 時，時，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311零點：零點：)(Zkkx3.3.最值最值探究：余弦探究：余弦函數(shù)函數(shù)的最大值和最小值的最大值和最小值最大值：最大值：0 x當當 時，時， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：x當當 時，時，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311零點：零點：)(2Zkkx3

13、.3.最值最值例例1.下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小值時的自變量值時的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么的集合，并說出最大、最小值分別是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：這兩個函數(shù)都有最大值、最小值這兩個函數(shù)都有最大值、最小值.（1）使函數(shù)）使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的x的集合，就是的集合，就是使函數(shù)使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |2,x xkkZ 使函數(shù)使函數(shù) 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是

14、使函數(shù)使函數(shù) 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |(21) ,x xkkZ 函數(shù)函數(shù) 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR例例1.下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小值時的自變量值時的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么的集合，并說出最大、最小值分別是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：（2）令）令t=2x,因為使函數(shù)因為使函數(shù) 取最大值的取最大值的t的集合是的集合是3sin ,yt tR |

15、2,2t tkkZ 222xtk 由由4xk 得得所以使函數(shù)所以使函數(shù) 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ 同理，使函數(shù)同理，使函數(shù) 取最小值的取最小值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ函數(shù)函數(shù) 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值是-3。3sin2 ,yx xR 例題例題x22322523yO23225311求使函數(shù)求使函數(shù) 取得最大值、最小值的取得最大值、最小值的自變量的集合，并寫出最大值、最小值。自變量的集合，并寫出最大值、最小值。)22cos(3xy化未知為已知化未知為已知分析：分析：令令22xz則則zy

16、cos3 P46 A2最值問題121(4)sin23xy 123xz 解解：令令1sin2zy （1）1）要要使使有有最最大大值值，必須必須2,2zkkz 12322kx 43xk 使原函數(shù)取得使原函數(shù)取得最大值最大值的集合是的集合是|4,3kkZx x 1sin2zy （2）2）要要使使有有最最小小值值，必須必須2,2zkkz 12322xk 543kx 使原函數(shù)取得使原函數(shù)取得最小值最小值的集合是的集合是5|4,3xkkZx 31(3)sin226yx 因為有因為有負負號號，所以，所以結(jié)論要結(jié)論要相相反反3sin2yz sinyz 1、_，則，則f（x）在這個區(qū)間上是）在這個區(qū)間上是增增函

17、數(shù)函數(shù).)()(21xfxf4.4.正弦余弦函數(shù)的單調(diào)性正弦余弦函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)函數(shù)( ),yf x若在指定區(qū)間任取若在指定區(qū)間任取 ，12x x、且且 ，都有：，都有：21xx函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在一個區(qū)間上的走向。函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在一個區(qū)間上的走向。觀察正余弦函數(shù)的圖象，探究其單調(diào)性觀察正余弦函數(shù)的圖象，探究其單調(diào)性2、_，則，則f（x）在這個區(qū)間上是）在這個區(qū)間上是減減函數(shù)函數(shù).)()(21xfxf增函數(shù)：上升增函數(shù)：上升減函數(shù)：下降減函數(shù)：下降探究探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性正弦函數(shù)的單調(diào)性5335, 222 222 ， ，當當 在區(qū)間在區(qū)間上時，上時，x曲線逐漸上升，曲線逐漸上升，

18、sin的值由的值由 增大到增大到 。11753357, ,22222 222， ， ，當當 在區(qū)間在區(qū)間x上時，曲線逐漸下降，上時，曲線逐漸下降， sin的值由的值由 減小到減小到 。11x22322523yO23225311探究：探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性正弦函數(shù)的單調(diào)性x22322523yO23225311正弦函數(shù)在每個閉區(qū)間正弦函數(shù)在每個閉區(qū)間2,2()22kkkZ都是增函數(shù)，其值從都是增函數(shù)，其值從1增大到增大到1；而在每個閉區(qū)間而在每個閉區(qū)間32,2()22kkkZ上都是上都是減函數(shù)，其值從減函數(shù)，其值從1減小到減小到1。探究探究：余弦函數(shù)余弦函數(shù)的單調(diào)性的單調(diào)性 3 , 2 0 2 3

19、 ,4 ， ， ，當當 在區(qū)間在區(qū)間x.上時上時曲線逐漸上升，曲線逐漸上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。11曲線逐漸下降，曲線逐漸下降， sin的值由的值由 減小到減小到 。11 2 , 0,23 , ，當當 在區(qū)間在區(qū)間x上時上時x22322523yO23225311探究：探究：余弦函數(shù)的單調(diào)性余弦函數(shù)的單調(diào)性x22322523yO23225311由余弦函數(shù)的周期性知：由余弦函數(shù)的周期性知：其值從其值從1減小到減小到1。而在每個閉區(qū)間而在每個閉區(qū)間上都是減函數(shù)，上都是減函數(shù)，2,2kk 其值從其值從1增大到增大到1 ；在每個閉區(qū)間在每個閉區(qū)間2,2kk都是都是增函數(shù)增函數(shù)， 2.求函

20、數(shù)的單調(diào)增區(qū)間123sinyx sinyz 2222zkk1222223xkk 54433kxk4,433,5kkkZ 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間5334,4kk 12sin, 2 ,23xyx 1,k 2 2 1711,330,k 5,33 1,k 711,33 求函數(shù)的單調(diào)求函數(shù)的單調(diào)增增區(qū)間區(qū)間1sin23yx sinyz 32222zkk5114433xkk4,4133,51kkkZ 123zx 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間1sin23yx sin()sin 1sin23yx sinyz sinyz cos()cos 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間1cos23yx sin()sin 1cos23yx cosyz c

21、osyz cos()cos23233(2)cos()coscos5554cos417cos)417cos(解：上是減函數(shù)在且, 0cos,5340 xy 3coscos542317cos()cos()54應(yīng)應(yīng) 用用 舉舉 例例例例2：利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。豪萌呛瘮?shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?317(2)cos;54與cos即分析：比較同名函數(shù)值的大小，往往可以利用函數(shù)的單調(diào)性，但需要考慮它是否在同一單調(diào)區(qū)間上，若是，即可判斷，若不是，需化成同一單調(diào)區(qū)間后再作判斷。已知三角函數(shù)值求角 已知 求3sin2 3sin602 60 3sin420sin(60360 )2 3sin780sin(602360 )2 60360 ,kkZ 3sin( 300 )sin(60360 )2 1203