復(fù)變函數(shù)試題與答案

1、選擇題1i當(dāng)z時(shí),1i(A)i2.設(shè)復(fù)數(shù)(A)3.復(fù)數(shù)Z第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)10075zz(B)50Z的值等于(C)(D)z滿足arc(Z2)(B)arc(z2)5，那么Z6(C)(D)tani(2)的三角表示式是(A)seccos()isin(2)(B)sec.，3cos(/3isiM1)(C)seccos(isin(3-)(D)seccos(yisin(-)4.若Z為非零復(fù)數(shù),-2Z與2zZ的關(guān)系是(A)z2Z2(C)z2Z25.設(shè)x,y為實(shí)數(shù),的軌跡是()(A)圓2zZ2zZz1x(B)6.一個(gè)向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)/、2-2(B)ZZ2zZ(D)不能比較大小111yi,z2xViTyi且有橢圓

2、(C)雙曲線Z1Z212,則動(dòng)點(diǎn)(D)拋物線一,向右平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為31而,則原向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(x,y)(A) 2(B) 1 3i(O .3 i(D) . 3 i2(A)z.使得zz成立的復(fù)數(shù)z是(A)不存在的(B)唯一的(C)純虛數(shù)(D)實(shí)數(shù)z為復(fù)數(shù)，則方程i的解是(A)(C)(D)4i9.滿足不等式2的所有點(diǎn)z構(gòu)成的集合是(A)有界區(qū)域(B)無界區(qū)域(C)有界閉區(qū)域(D)無界閉區(qū)域10.方程z23i我所代表的曲線是(A)中心為半徑為J2的圓周(B)中心為3i,半徑為2的圓周(C)中心為23i,半徑為雙的圓周(D)中心為3i,半徑為2的圓周卜列方程所表示的曲線

3、中,不是圓周的為(B)(C)1az(a1)(D)zzazazaac0(c0)12.設(shè)f(z)z,乙23i,z2f(乙z2)(A)44i(B)44i(C)44i(D)4i13. limIm(zo)xX0zz0(A)等于i(B)等于i(C)等于0(D)不存在14.函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在點(diǎn)z°x0iy°處連續(xù)的充要條件是(A) u(x, y)在(X0,y0)處連續(xù)(B) v(x, y)在(X0, y0)處連續(xù)(C)u(x,y)和v(x,y)在(x°,y°)處連續(xù)(D)u(x,y)v(x,y)在(x。3。)處連續(xù)八I,，zz115.設(shè)zC且z1

4、,則函數(shù)f(z)的最小值為()z(A)3(B)2(C)1(D)1二、填空題1 設(shè)z(1i)(2i)(3i)則|z(3i)(2i)2 .設(shè)z(23i)(2i),則argz3 .設(shè)zV5,arg(zi)3.則z44,復(fù)數(shù)(cos5一isin5)2的指數(shù)表示式為(cos3isin3)5 .以方程z67JT5i的根的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的面積為6 .不等式|z2|z25所表示的區(qū)域是曲線的內(nèi)部2z1i7 .方程1i1所表示曲線的直角坐標(biāo)方程為2(1i)z8 .方程|z12i|z2i所表示的曲線是連續(xù)點(diǎn)和的線段的垂直平分線9 .對(duì)于映射,圓周x410. lim (1 z 2z ) z 1 i三、若復(fù)數(shù)z

5、滿足zz (1 2i)z (1 2i)z 3 0,試求z 2的取值范圍.四、設(shè)a 0 ,在復(fù)數(shù)集C中解方程z22z a.(y1)21的像曲線為z五、設(shè)復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件為1或IM(z)0.六、對(duì)于映射11、2(z)，求出圓周|z4的像.七、試證1.亙0(z2z20)的充要條件為z1z2z1z2zz20(zj0,kj,k,j1,2,，nD的充要條件為z1z2znz1z2zn八、若lim f (z) A 0,則存在 x x0一1,0,使得當(dāng)0z4時(shí)有|f(z)-|A.九、設(shè)z試證x|y2x|y.十、設(shè)zxiy,試討論下列函數(shù)的連續(xù)性:1.f(z)2xy22xy0,2.f(z)3xy22xy0,

6、第二章解析函數(shù)、選擇題：一，21.函數(shù)f(z)3z在點(diǎn)z0處是()(A)解析的(B)可導(dǎo)的(C)不可導(dǎo)的(D)既不解析也不可導(dǎo)2 .函數(shù)f(z)在點(diǎn)z可導(dǎo)是f(z)在點(diǎn)z解析的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件也非必要條件3 .下列命題中，正確的是()(A)設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，則cos(xiy)1(B)若z0是函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)，則f(z)在點(diǎn)z0不可導(dǎo)(C)若u,v在區(qū)域D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程，則f(z)uiv在D內(nèi)解析(D)若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則ig在D內(nèi)也解析4 .下列函數(shù)中，為解析函數(shù)的是()(A)x2y22xyi(B)x2xyi(C)2

7、(x1)yi(y2x22x)(D)x3iy3z05 .函數(shù)f(z)z2Im(z)在處的導(dǎo)數(shù)()(A)等于0(B)等于1(C)等于1(D)不存在6 .若函數(shù)f(z)x22xyy2i(y2axyx2)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，那么實(shí)常數(shù)a()(A)0(B)1(C)2(D)27 .如果f(z)在單位圓|z1內(nèi)處處為零，且f(0)1,那么在|z1內(nèi)f(z)()(A)0(B)1(C)1(D)任意常數(shù)8 .設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則下列命題中，正確的是(A)若|f(z)在D內(nèi)是一常數(shù)，則f(z)在D內(nèi)是一常數(shù)(B)若Re(f(z)在D內(nèi)是一常數(shù)，則f(z)在D內(nèi)是一常數(shù)(C)若f(z)與fCzlED內(nèi)解

8、析，則f(z)在D內(nèi)是一常數(shù)(D)若arg f(z)在D內(nèi)是一常數(shù)，則 f(z)在D內(nèi)是一常數(shù)9.設(shè) f (z) x2 iy2,則 f (1 i)()(A) 2(B) 2i(C) 1 i(D) 2 2i10. ii的主值為()(A) 0(B) 111. ez在復(fù)平面上()(A)無可導(dǎo)點(diǎn)(C)有可導(dǎo)點(diǎn)，且在可導(dǎo)點(diǎn)集上解析(C) e2(D) e(B)有可導(dǎo)點(diǎn)，但不解析(D)處處解析12.設(shè)f (z) sin z ,則下列命題中，不正確的是()(A) f (z)在復(fù)平面上處處解析(B) f(z)以2為周期iz iz e e (C)f (z)(D) f(z)是無界的13 .設(shè) 為任意實(shí)數(shù)，則1 ()(

9、A)無定義(C)是復(fù)數(shù)，其實(shí)部等于 114 .下列數(shù)中，為實(shí)數(shù)的是 ()(A) (1 i)3(B) cosi15 .設(shè)是復(fù)數(shù)，則()(A) z在復(fù)平面上處處解析(C) z 一般是多值函數(shù)、填空題(B)等于1(D)是復(fù)數(shù)，其模等于 13 i(C) ln i(D) e 2(B) z的模為其”(D) z的輻角為z的輻角的倍1.設(shè) f(0) 1, f (0) 1則limz 02 .設(shè)f(z)uiv在區(qū)域D內(nèi)是解析的，如果uv是實(shí)常數(shù)，那么f(z)在D內(nèi)是一uv3 .導(dǎo)函數(shù)f(z)i在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為xx3 3333,33.、4 .設(shè)f(z)xyixy,則f(萬-i)225 .若解析函數(shù)f(z)

10、uiv的實(shí)部uxy,那么f(z)6 .函數(shù)f(z)zIm(z)Re(z)僅在點(diǎn)z處可導(dǎo)157.設(shè)f(z)-z5(1i)z,則方程f(z)0的所有根為58 .復(fù)數(shù)ii的模為9 .Imln(34i)10 .方程1ez0的全部解為、設(shè)f(z)u(x,y)iv(x,y)為zxiy的解析函數(shù)，若記，一、，z zw(z, z) u(2zz、.，zzzz、w)iv(,)，則；0.2i22iz四、試證下列函數(shù)在z平面上解析，并分別求出其導(dǎo)數(shù)1. f(z)cosxcoshyisinxsinhy;xz、x、2. f(z)e(xcosyysiny)ie(ycosyixsiny);dwd2w五、設(shè)w32zwe0,求,

11、2".dzdzxy2(xiy)0六、設(shè)f(z)x2y4,z0試證f(z)在原點(diǎn)滿足柯西-黎曼方程，但卻不可導(dǎo)0,z0七、已知uvx2y2,試確定解析函數(shù)f(z)uiv.八、設(shè)s和n為平面向量，將s按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),即得n.如果f(z)uiv為解析函數(shù),則有上_v,_u_v(與分別表示沿s,n的方向?qū)?shù)).snnssn九、若函數(shù)f(z)在上半平面內(nèi)解析，試證函數(shù)f丘)在下半平面內(nèi)解析.十、解方程sinzicosz4i.第三章復(fù)變函數(shù)的積分、選擇題：1.設(shè)c為從原點(diǎn)沿y2x至1i的弧段，則/xiy2)dz()(A)5.i6(B)15.i66(C)15.i66(D)5.-i62.設(shè)c為不經(jīng)

12、過點(diǎn)1與1的正向簡單閉曲線，則2dz為(c(Z1)(z1)(A)(B)(C)0(D)(A)(B)(C)都有可能3 .設(shè)5:z1為負(fù)向，c2:z3正向，則sslzdz()ccC2Z(D) 4 i(A)2i(B)0(C)2icosz4 .設(shè)c為正向圓周z2,貝M2dz()c(1z)(A)sin1(B)sin1(C)2isin1(D)2isin15.設(shè)c為正向圓周z(A)2i(3cos1sin1)3zcosz(1z)dz(B)0(Qicosl(D)2isin1e6.設(shè)f(z)。d,其中I4zf(i)(A)2i(B)(0(D)17.設(shè)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析且不為零，c為B內(nèi)任何一條簡單閉曲線，

13、則積分J2ff(z)dz()f(z)(A)于2i(B)等于(C)(D)不能確定8.的直線段,則積分zezdzc9.e(A)1一2設(shè)c為正向圓周(A)型i210.設(shè)c為正向圓周(A)2ie(B)(C)1e.一i2(D)e.i22xsin(z),貝廠dzcz1(B)21,ai(B)紅e(C)0(00(D)(D)icosi11.設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部全屬于D.如果f(z)在c上的值為2,那么對(duì)c內(nèi)任一點(diǎn)Zo,f(Zo)()(A)等于0(B)等于1(C)等于2(D)不能確定12.下列命題中，不正確的是()1(A)積分odz的值與半徑r(r0)的大小無關(guān)zarz

14、a(B)0(x2iy2)dz2,其中c為連接i到i的線段c(C)若在區(qū)域D內(nèi)有f(z)g(z)，則在D內(nèi)g(z)存在且解析(D)若f(z)在0|z1內(nèi)解析，且沿任何圓周c:|zr(0r1)的積分等于零，則f(z)在z0處解析22一13 .設(shè)c為任意實(shí)常數(shù)，那么由倜和函數(shù)uxy確定的解析函數(shù)f(z)uiv是()(A)iz2c(B)iz2ic(C)z2c(D)z2ic14 .下列命題中，正確的是()(A)設(shè)Vi,V2在區(qū)域D內(nèi)均為U的共軻調(diào)和函數(shù)，則必有ViV2(B)解析函數(shù)的實(shí)部是虛部的共軻調(diào)和函數(shù)(C)若f(z)uiv在區(qū)域D內(nèi)解析，則一u為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)x(D)以調(diào)和函數(shù)為實(shí)部與虛部的函數(shù)是

15、解析函數(shù)15 .設(shè)v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)為u(x,y)的共軻調(diào)和函數(shù)，則下列函數(shù)中為D內(nèi)解析函數(shù)的是()(A)v(x,y)iu(x,y)(B)v(x,y)iu(x,y)(0u(x, y) iv(x, y)(D) i 、填空題1 .設(shè)c為沿原點(diǎn)z0到點(diǎn)z1i的直線段，則2Zdzc,“z23z2,2 .設(shè)c為正向圓周z41,則-dzc(z4)23.設(shè) f (z) 口I I 2sin(-)-d z，其中|z 2,則f (3)4 .設(shè)c為正向圓周z3,則0UdzcIzez5 .設(shè)c為負(fù)向圓周z4,則。5dzc(zi)5c 都有 o f (z)dz 0，那c6 .解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的7

16、.設(shè)f(z)在單連通域B內(nèi)連續(xù)，且對(duì)于B內(nèi)任何一條簡單閉曲線么f(z)在B內(nèi)8 .調(diào)和函數(shù)(x,y)xy的共軻調(diào)和函數(shù)為329 .右函數(shù)u(x,y)xaxy為某一解析函數(shù)的虛部，則常數(shù)a10.設(shè)u(x, y)的共軻調(diào)和函數(shù)為v(x,y),那么v(x,y)的共軻調(diào)和函數(shù)為三、計(jì)算積分1.zlO 2I R(z6z1)(z dz淇中R 2)0, R NR 2;2. - zl 2zdz22z2 2B).試證四、設(shè)f(z)在單連通域B內(nèi)解析，且滿足1f(z)1(x1 .在B內(nèi)處處有f(z)0;2 .對(duì)于B內(nèi)任意一條閉曲線c,都有of-(z)dz0cf(Z)五、設(shè)f(z)在圓域zaR內(nèi)解析，若maxf(z

17、)M(r)(0rR),|za|r則|f(n)(a)”二(n1,2,).rz六、求積分口dz,從而證明ecoscos(sin)d.Izl1z°設(shè)f (z)在復(fù)平面上處處解析且有界，對(duì)于任意給定的兩個(gè)復(fù)數(shù)a,b,試求極限Rim。£)dz并由此推證f(a)z R (z a)(z b)八、設(shè)f(z)在z R(R 1)內(nèi)解析，且f(0)f (b)(劉維爾 Liouville 定理).1, f (0) 2,試計(jì)算積分 口(z 1)2fWdz iz 1z22i并由此得出0cos3f(e)d之彳t.九、設(shè)f(z)uiv是z的解析函數(shù)，證明24 f (z)2 2(1 f(z) )22I2ln

18、(1|f(z)|)2x21n(1|f(z)十、若uu(xyy2),試求解析函數(shù)f(z)uiv.、選擇題:1.設(shè)an(A)2.3.4.第四章級(jí)數(shù)(4(n12),則(B)等于1卜列級(jí)數(shù)中，條件收斂的級(jí)數(shù)為(A)(n1(C)n1卜列級(jí)數(shù)中,(B)limnan()(C)等于i(D)不存在13i)n2(B)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)為(C)n2InnnCnZn0(D)(B)(D)(34i)nn!(1)ni1,n1nn(1)in12n2i處收斂，那么該級(jí)數(shù)在z2處的斂散性為(A)絕對(duì)收斂(C)發(fā)散(B)條件收斂(D)不能確定設(shè)備級(jí)數(shù)nCnZ,n0nCnZcnnZ1的收斂半徑分別為R1,R2,R3，則R1,R2,R3之

19、間的關(guān)系是(A)R1R2R3(B)R1R2R3(C)R1R2R3(D)R1R2R36.(A)(C)(D)21,則哥級(jí)數(shù)qnzn的收斂半徑Rn0.一nsin7.2-(-)n的收斂半徑R1n2(A)(B) 2(C)(D)8.9.(A)(D)ln( 1 z)ln，1 zz設(shè)函數(shù)的泰勒展開式為cosz(D)nCnzn 0(A)(B) 1(B)ln( 1In -1,那么騫級(jí)數(shù)z)Cnz0的收斂半徑R(D)1內(nèi)的和函數(shù)為(A)z1(B)0(C)1(D)不存在的1處的泰勒展開式為(-1，11.函數(shù)2在zz(A)(1)nn(z1)n1(z1|1)(B)(1)n1n(z1)n1(z11)(C)n(z1)n1n1

20、(z11)(D)n(zn11)n1(z11)12.函數(shù)sinz,在z一處的泰勒展開式為（2(A)2n(B)(1)n0(2n)!2n(z3)(z(C)(1)n10(2n1)!(z2)2n(D)(1)n10(2n)!2n(zi)(z13.設(shè)f(z)在圓環(huán)域H:R1R2內(nèi)的洛朗展開式為Cn(zz°)nn繞zo的任一條正向簡單閉曲線，那么oC(z(A)2ic1(B)2(C)2ic2(D)2if(zo)14.若Cn3n(1)n,4n,0,1,2,1,2,則雙邊騫級(jí)數(shù)Cnzn的收斂域?yàn)椋?B)（C）41(D315.設(shè)函數(shù)f(z)z(z1)(z4)在以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式有m個(gè)，那么m(

21、)(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空題1 .若哥級(jí)數(shù)Cn(zi)n在zi處發(fā)散，那么該級(jí)數(shù)在z2處的收斂性n0為,2 .設(shè)備級(jí)數(shù)CnZn與Re(Cn)zn的收斂半徑分別為R和R2，那么Ri與R2之間的關(guān)n0n0玄旦不TH.3 .哥級(jí)數(shù)(2i)nz2n1的收斂半徑Rn04 .設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，zO為內(nèi)的一點(diǎn)，d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離，那么當(dāng)z4d時(shí)，f(z)Cn(zz°)n成立，其中Cn.n05 .函數(shù)arctanz在z0處的泰勒展開式為.6 .設(shè)備級(jí)數(shù)gzn的收斂半徑為R,那么哥級(jí)數(shù)(2n1)cnzn的收斂半徑n0n0為.1zn7,雙邊哥級(jí)數(shù)(1)7(1)(1

22、一)的收斂域?yàn)?n1(z2)n1218 .函數(shù)ezez在0|z內(nèi)洛朗展開式為.9 .設(shè)函數(shù)cotz在原點(diǎn)的去心鄰域0|zR內(nèi)的洛朗展開式為gzn,那么該洛朗級(jí)數(shù)n收斂域的外半徑R.1 .z(z i)10.函數(shù)在1zi內(nèi)的洛朗展開式為.1n三、若函數(shù)(Fibonacci)數(shù)r在z0處的泰勒展開式為anz，則稱an為菲波那契1zzn0列，試確定an滿足的遞推關(guān)系式，并明確給出an的表達(dá)式.四、試證明1.ez1ez1ze國(z);2. (3 e)z ez 1(e 1)z (z 1);五、設(shè)函數(shù)f (z)在圓域z R內(nèi)解析，Sn心)(0)k!zk試證七、設(shè)f (z)anzn ( zRi ), g(z)

23、 bnzn ( zn 0n 0R2),則對(duì)任意的r(0 r R),在z rR2 內(nèi)an bnzn0 f( )g(-) °n 0211r八、設(shè)在z R內(nèi)解析的函數(shù)f(z)有泰勒展開式f (z) a。 az a2z2nanz試證當(dāng)0 r12.2R 時(shí)廠 0 f(re ) d2 2nan r九、將函數(shù)ln( 2 z)在0z(z 1)1內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).十、試證在0 z內(nèi)下列展開式成立:/n1n1.1zd1. Sn(z)f()n-r(zrR).2irz、zn1f()2. f(z)Sn(z)丁口n1/、d(zrR)。2111r(z)z112ezCoCn(znf)其中Cnecoscosnd(n0

24、,1,2,).n1Z第五章留數(shù)一、選擇題：1.函數(shù)co在zi2內(nèi)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為()2z3(A)(B) 2(C) 3(D) 42.設(shè)函數(shù)f (z)與g(z)分別以Z(A)可去奇點(diǎn)(C) m級(jí)極點(diǎn)(A) 5(B) 4(C)3(D) 214. z 1 是函數(shù)(z 1)sin的()z 1(A)可去奇點(diǎn)(C) 一級(jí)零點(diǎn)一 ，3 2z z3 ,5. z 是函數(shù)。2 的()z(A)可去奇點(diǎn)(C) 二級(jí)極點(diǎn)(B) 一級(jí)極點(diǎn)(D)本性奇點(diǎn)(B) 一級(jí)極點(diǎn)(D)本性奇點(diǎn)6-設(shè) f (z) anzn 在 zn 0R內(nèi)解析，k為正整數(shù)，那么Res上口,0() z(A) ak(B) k!ak(C) ak 1(D) (k

25、1)!ak 1a為本性奇點(diǎn)與m級(jí)極點(diǎn)，則za為函數(shù)f(z)g(z)的()(B)本性奇點(diǎn)(D)小于m級(jí)的極點(diǎn)2、一一一，1ex3.設(shè)z0為函數(shù)-的m級(jí)極點(diǎn)，那么m()4zsinz7.設(shè)za為解析函數(shù)f(z)的m級(jí)零點(diǎn)，那么Res且，a()f(z)(A) m(B)(C) m 1(D) (m 1)8.在下列函數(shù)中,Resf (z),00的是(A) f (z)ez 12- z(B)f(z)則 z(C) f (z) sinz cosz(D)f(z) 4 e9 .下列命題中，正確的是(A)設(shè) f(z) (zZo) m (z)在z0點(diǎn)解析,m為自然數(shù),則zo為f (z)的m級(jí)極點(diǎn).(B)如果無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是函數(shù)f

26、(z)的可去奇點(diǎn)，那么Re sf(z),(C)若z 0為偶函數(shù)f (z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則 Resf(z),0(D)若；f (z)dzc0 ,則f (z)在c內(nèi)無奇點(diǎn)10 . Re sz3 2i cos ,z(B)(C)(D)2.i 311 - Resz2e1”i1 (Ai6(B)(C)(D)12.下列命題中，不正確的是Res f (z),z°(A)若Zo()是f(z)的可去奇點(diǎn)或解析點(diǎn)，則P(z)-P(Zo)(B)若P(z)與Q(z)在Zo解析，Zo為Q(z)的一級(jí)零點(diǎn)，則Res,ZoQ(z)Q(z0)(C ) 若Zo為 f(z)的 m 級(jí)極八、5n m 為自然數(shù)1 dnResf(

27、z),zolim nn! x x0 dz(zn 1Zo)f(z)(D)如果無窮遠(yuǎn)點(diǎn)f (z)的一級(jí)極點(diǎn)- 1f (-)的一級(jí)極點(diǎn)，z并且Re sf (z),1lzm0zf(Z)13.設(shè) n1為正整數(shù)，則dz(A) 0(B)(C)(D)2n14.積分9 z103 z2-dz 1(A) 0(B)(C)10(D)2115.積分。z sin - dzIzl 1(A) 0(B)(C)(D)二、填空題1.設(shè)z 0為函數(shù).3sin z的m級(jí)零點(diǎn)，那么2 .函數(shù)f (z)1-在其孤立奇點(diǎn)zk1cosz1一(k 0, 1, 2,Resf(z),zj213.設(shè)函數(shù)f(z)expz,貝UResf(z),0z4.設(shè)z

28、a為函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，那么Resf(z),af(z)5.雙曲正切函數(shù)tanh z在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)為6.設(shè) f(z)，則"(Z),7.設(shè) f(z)1 cosz,則 Resf (z),08.9.積分Q|z|-dz 1 sin z10.積分ixxe2 dx1 x2三、計(jì)算積分zsinz:-7 dz . z)2四、利用留數(shù)計(jì)算積分d22(a °)a sin五、利用留數(shù)計(jì)算積分2_x2 x 2,-2dxx4 10x2 9六、利用留數(shù)計(jì)算下列積分:xsin xcos2xx2 1dxcos(x 1),；dxx2 113二.積分二;zedzlzl1七、設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，m

29、為正整數(shù)，試證a為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是lim(za)mf(z)b,其中b0為有限數(shù).zaRes f (z), a;八、設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，試證：若f(z)是奇函數(shù)，則Resf(z),a若f(z)是偶函數(shù)，則Resf(z),aResf(z),a.九、設(shè)f(z)以a為簡單極點(diǎn)，且在a處的留數(shù)為A,證明lim-za1十、若函數(shù)(z)在zf(z)f(z)21上解析，當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，(z)取實(shí)數(shù)而且(0)1A.0,f(x,y)表示2(x iy)的虛部，試證明02f(cos,sin)d12tcost2、選擇題:(1t1)第六章共形映射2z構(gòu)成的映射將z平面上區(qū)域G縮小，那么該區(qū)域G是(A)(

30、B)z1(C)z2(D)2.映射w3z在Zo2i處的旋轉(zhuǎn)角為(A)0(B)一2(C)(D)3.映射w._2ize在點(diǎn)Zoi處的伸縮率為(A)1(B)(C)(D)i4.在映射wize4下，區(qū)域Im(z)0的像為()(A)Re(w)(B)Re(w)(C)Im(z)-22(D)Im(w).25.下列命題中,正確的是()(A)wzn在復(fù)平面上處處保角(此處n為自然數(shù))(B)映射z34z在z0處的伸縮率為零(C)若wfi(z)與wf2(z)是同時(shí)把單位圓1映射到上半平面Im(w)分式線性變換，那么fi(z)f2(z)(D)函數(shù)wz構(gòu)成的映射屬于第二類保角映射6.1i關(guān)于圓周(x2)2(y1)24的對(duì)稱點(diǎn)

31、是(A)6(B)(C)(D)i7.函數(shù)wargz映射為3(A)w(B)(C)Im(w)(D)Im(w)08.將點(diǎn)z1,i,1分別映射為點(diǎn),1,0的分式線性變換為(B)(B)w(C)-ie2(D)一ie29.分式線性變換2z12z把圓周2zz1映射為()(E)(B)(F)(D)10.分式線性變換wz1.將區(qū)域：z1且Im(z)0映射為()1z(A)argw(B)argw02(C)一2argw(D)0argw11.設(shè)a,b,c,d,為實(shí)數(shù)且adbc0，那么分式線性變換wazb把上半平面映射為wczd平面的()(A)單位圓內(nèi)部(C)上半平面(B)單位圓外部(D)下半平面12.把上半平面Im(z)0映

32、射成圓域w2且滿足w(i)0,w(i)1的分式線性變換亞仁)為()，、izzi(A)2i(B)2iizzi(C)2iz(D)z2-z13.把單位圓z1映射成單位圓w1且滿足w(1)0,w(0)0的分式線性變換w(z)為()(A)2zi2iz(B)i2z2iz(C)2zi2iz(D)i2z2iz14.把帶形域0Im(z)映射成上半平面Im(w)0的一個(gè)映射可寫為()(A)w2ez(B)we2zz(C)wieiz(D)we一，e1i15.函數(shù)w將甲形域0Im(z)映射為()ez1i(A)Re(w)0(B)Re(w)0(C)w1(D)w1、填空題1 .若函數(shù)f(z)在點(diǎn)Z0解析且f(Z0)0,那么映

33、射wf(z)在Z0處具有2 .將點(diǎn)z2,i,2分別映射為點(diǎn)w1,i,1的分式線性變換為.3 .把單位圓|z1映射為圓域|w11且滿足w(0)1,w(0)0的分式線性變換w(z)4 .將單位圓z1映射為圓域|w|R的分式線性變換的一般形式為.15 .把上半平面Im(z)0映射成單位圓w(z)1且滿足w(1i)0,w(12i)的分式3線性變換的w(z)=6 .把角形域0argz一映射成圓域w4的一個(gè)映射可寫為.4z37 .映射we將帶形域0Im(z)二7映射為.48 .映射wz3將扇形域：0argz餐且z2映射為.39 .映射wlnz將上半z平面映射為.11_.10 .映射w-(z一)將上半單位圓

34、：z2且Im(z)0映射為一“a1zb1a2zb2二、僅Wi(z),w2(z)是兩個(gè)分式線性變換，如果記c1zd1c2zd2aibici d iaz bcz dzziz z2其中R 4 az2 a R五、求分式線性變換 w(z)，使z i映射為w i ,且使z i,i i映射為wi,六、求把擴(kuò)充復(fù)平面上具有割痕：Im( z) 0且Re(z) 0的帶形域Im( z) 映a1b1a2b2abc1d1c2d2cd試證1.Wi(z)的逆變換為w11(z)2.Wi(z)與W2(z)的復(fù)合變換為WiW2(Z)四、設(shè)zi與z2是關(guān)于圓周：zaR的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，試證明圓周可以寫成如下形式1.射成帶形域Im(w)

35、的一個(gè)映射.七、設(shè)ba0,試求區(qū)域D:zaa且zbb到上半平面Im(w)0的一個(gè)映射w(z).八、求把具有割痕:l ,、 c 口 iIm( w) 0且一2Re(z) i的單位圓z i映射成上半平面的一個(gè)映射.九、求一分式線性變換， 它把偏心圓域z： z- I 5i且z i -映射為同心圓環(huán)域 i wR,并求R的值.22十、利用儒可夫斯基函數(shù)，求把橢圓與y-i的外部映射成單位圓外部wi的一個(gè)映射.541. V22. arctan 83.1 2i第二章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)5 (或5 2(2)3 2(2)1)7227. x y 18. 1 2i,2 i9. Re(w)10. 7 2i、1.(B)2.(A)

36、3.(D)4.(C)5.(B)6.(A)7.(D)8.(B)9.(D)10.(C)11.(B)12.(C)13.(D)14.(C)15.(A)4.e16i5.33、75<2,/5v1'2(或75<2z2<5/2).四、當(dāng)0a1時(shí)解為(1J'1a)i或(Via1)當(dāng)1a時(shí)解為(J1a1).2 .表示w平面上的橢圓17u一cos六、像的參數(shù)方程為 f (z)在復(fù)平面處處連續(xù)0(%15v一sin2十、1.f(z)在復(fù)平面除去原點(diǎn)外連續(xù)，在原點(diǎn)處不連續(xù);第二章解析函數(shù)、1.(B)6.(C)11.(A)12.(B)7.(C).(C)13.(D)8.(。.(D)14.(C)9.(A).(B)10155.(A).(D).(C)二、填空題2.常數(shù)3.u,可微且滿足2u-2X4.27427.一i85.2xyiic或z2ic,2k2k7.82(cos-9.arctan四、1.f(z)五、dw2w七、sinz;dzd2wdz2f(z)十、z2v-2Xc為實(shí)常數(shù)6.