數(shù)學(xué)運(yùn)算之和差倍問(wèn)題

1、數(shù)學(xué)運(yùn)算之和差倍問(wèn)題和差倍問(wèn)題 （一）核心要點(diǎn)提示： 和、差倍問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和（或差）與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的值。 （和+差）÷2=較大數(shù) （和差）÷2=較小數(shù) 較大數(shù)一差較小數(shù) 這一題型應(yīng)作為一個(gè)基本常識(shí)掌握，以加快解題的速度。 （二）例題與解析： 1、甲班和乙班共有圖書(shū)160本。甲班的圖書(shū)本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書(shū)多少本? 解析：設(shè)乙班的圖書(shū)本數(shù)為l份，則甲班圖書(shū)為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書(shū)本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書(shū)本數(shù)的4倍。還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書(shū)本數(shù)，然后再求甲班的圖書(shū)本數(shù)。用下圖表示它們的關(guān)系

2、： 解：乙班：160÷（3十1）40（本） 甲班：40×3120（本） 或16040120（本） 2、河?xùn)|小學(xué)畫(huà)展上展出了許多幅畫(huà)，其中有16幅畫(huà)不是六年級(jí)的，有15幅畫(huà)不是五年級(jí)的，現(xiàn)知道五、六年級(jí)共有25幅畫(huà)，求其它年級(jí)的畫(huà)共有多少幅? 解析：由“其中有16幅畫(huà)不是六年級(jí)的，有15幅畫(huà)不是五年級(jí)的”可知五年級(jí)比六年級(jí)多16-15=1（幅）畫(huà)，又知“五、六年級(jí)共有25幅畫(huà)”，根據(jù)和差問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系可知五年級(jí)有（25+1）÷2=13（幅）畫(huà)，因此，其它年級(jí)的畫(huà)共有16-13=3（幅）。 3、有50名學(xué)生參加聯(lián)歡會(huì)，第一個(gè)到會(huì)的女生同每個(gè)男生握過(guò)手，第二個(gè)到會(huì)的女生

3、只差1個(gè)男生沒(méi)握過(guò)手，第三個(gè)到會(huì)的女生只差2個(gè)男生沒(méi)握過(guò)手，如此等等，最后一個(gè)到會(huì)的女生和7個(gè)男生握過(guò)手，那么這50名學(xué)生中有幾名男生? 解析：從題目中已經(jīng)知道參加聯(lián)歡會(huì)的男生和女生共有50名。因此，如果能知道男生人數(shù)與女生人數(shù)的差，即可按和差問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系求出男生有多少人。 為了使題目中的條件更容易分析，我們不妨將女生的順序反過(guò)來(lái)，從后往前看。也就是說(shuō)：最后一個(gè)到會(huì)的女生同7個(gè)男生握過(guò)手；倒數(shù)第二個(gè)到會(huì)的女生同8個(gè)男生握過(guò)手；倒數(shù)第三個(gè)到會(huì)的女生同9個(gè)男生握過(guò)手，如此等等，第一個(gè)到會(huì)（即倒數(shù)最后一個(gè)）的女生同全部男生握過(guò)手。由此，立即可知，男生人數(shù)比女生的人數(shù)多6個(gè)人。因此，男生人數(shù)為 （5

4、0+6）÷2=28（人）"和差倍問(wèn)題"例題詳解2三個(gè)小組共有180人，一、二兩個(gè)小組人數(shù)之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數(shù)。分析：要點(diǎn)：先把一，二小組看成一個(gè)整體！把第三小組看成一個(gè)整體，我們把這種方法叫“化三為二”即把三個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成二個(gè)問(wèn)題，先求出第一，二小組的人數(shù)，再求出第一小組的人數(shù)。這也是一個(gè)和差問(wèn)題。解：（18020）÷2100（人）第一，二小組的人數(shù) （1002）÷249（人）第一小組的人數(shù)綜合：（18020）÷22÷249（人）第一小組的人數(shù)答：第一小組的人數(shù)是49人。4在一個(gè)減

5、法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于120，而減數(shù)是差的3倍，那么差等于多少？分析：這是一個(gè)和倍問(wèn)題。減數(shù)是差的3倍，那么被減數(shù)就是差的4倍，所以被減數(shù)、減數(shù)與差的和就是差的8倍，應(yīng)該等于120，所以差120÷815。解：120÷（1312）15 答：差等于15。6有50名學(xué)生參加聯(lián)歡會(huì)，第一個(gè)到會(huì)的女同學(xué)同全部男生握過(guò)手，第二個(gè)到會(huì)的女生只差一個(gè)男生沒(méi)握過(guò)手，第三個(gè)到會(huì)的女生只差2個(gè)男生沒(méi)握過(guò)手，以此類(lèi)推，最后一個(gè)到會(huì)的女生同7個(gè)男生握過(guò)手。問(wèn)這些學(xué)生中有多少名男生？分析：這是和差問(wèn)題。我們可以這樣想：如果這個(gè)班再多6個(gè)女生的話，最后一個(gè)女生就應(yīng)該只與1個(gè)男生握手，這時(shí)，男

6、生和女生一樣多了，所以原來(lái)男生比女生多（71）6個(gè)人！男生人數(shù)就是：解：（506）÷228（人）。 答：男生人數(shù)是2 8人。注：還有一種解法，765432128（人）我的分析方法還不能說(shuō)得很清楚。請(qǐng)大家指正。8甲、乙、丙共有100本課外書(shū)。甲的本數(shù)除以乙的本數(shù)，丙的本數(shù)除以甲的本數(shù)，商都是5，余數(shù)也都是1。那么乙有多少本書(shū)？分析：這是和倍問(wèn)題?？炊}后可以這樣理解，“甲、乙、丙3個(gè)數(shù)是100，甲是乙的5倍多1，丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是幾？”。即：乙是1倍；甲是乙的5倍多1；丙是乙的（5×5）倍多（1×51）6。那么100減去（16）的差對(duì)應(yīng)（155

7、15;5）倍，這樣可求出乙是多少。解：1001（1×51）÷（11×51×5×5）91÷313（本） 答：乙有3本書(shū)。10有貨物108件，分成四堆存放在倉(cāng)庫(kù)時(shí)，第一堆件數(shù)的2倍等于第二堆件數(shù)的一半，比第三堆的件數(shù)少2，比第四堆的件數(shù)多2問(wèn)每堆各存放多少件？分析：如果我們把第一堆看成1倍，那么可以算出第二堆就是（2×2）4倍，第三堆是2倍多2件，第四堆是2倍少2件，那么一共就剛好是14229倍（第三堆和第四堆剛好一個(gè)多2件一個(gè)少2件正好抵消），那么1倍就是108÷912件，第二堆就是12×448件，第三堆就

8、是12×2226件，第四堆就是12×2222件。解：（10822）÷（12×222）108÷912（件）第一堆12×2×248（件）第二堆； 12×2226（件）第三堆； 12×2222（件）第四堆；答：每堆各有12件、48件、26件、22件。12用中國(guó)象棋的車(chē)，馬，炮分別表示不同的自然數(shù)。如果：車(chē)÷馬2，炮÷車(chē)4，炮馬56，那么“車(chē)馬炮”等于多少？分析：這是一個(gè)差倍問(wèn)題。依題有，馬是1倍，車(chē)是馬的2倍，炮是車(chē)的4倍，所以炮與馬的倍數(shù)差是（2×41）7倍，而炮與馬的兩數(shù)差是5

9、6，根據(jù)差倍問(wèn)題的公式就可分別求出車(chē)、馬、炮的值。解：56÷（81）8馬；8×216車(chē)16×464炮8166488車(chē)馬炮 答：車(chē)、馬、炮的和是8814甲、乙兩位學(xué)生原計(jì)劃每天自學(xué)的時(shí)間相同，若甲每天增加自學(xué)時(shí)間半小時(shí)，乙每天減少自學(xué)時(shí)間半小時(shí)，則乙自學(xué)6天的時(shí)間僅相等于甲自學(xué)一天的時(shí)間。問(wèn)：甲、乙原計(jì)劃每天自學(xué)多少分鐘？分析：差倍問(wèn)題。原來(lái)時(shí)間相同，現(xiàn)甲多半小時(shí)，乙少半小時(shí)，現(xiàn)在的兩數(shù)差是（3030）60分鐘，現(xiàn)在的差數(shù)差是（61）5倍，這樣可求出現(xiàn)乙每天自學(xué)的時(shí)間，加上30分鐘，可得原計(jì)劃每天自學(xué)時(shí)間。解：（3030）÷（61）30123042（分鐘）

10、 答：原計(jì)劃每天自學(xué)42分鐘。涉及4個(gè)或4個(gè)以上的對(duì)象，已知數(shù)量關(guān)系，不便直接運(yùn)用，與其它知識(shí)相關(guān)聯(lián)的復(fù)雜和差倍問(wèn)題?！镜湫蛦?wèn)題】 1. 四年級(jí)有4個(gè)班，不算甲班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問(wèn)這四個(gè)班共有多少人？解答：用131+134=265，這是1個(gè)甲、丁和2個(gè)乙、丙的總和，因?yàn)橐摇⒈麅砂嗟目側(cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，所以用265-1=264就剛好是3個(gè)乙、丙的和，264÷3=88，就是說(shuō)乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以四個(gè)班的和是88+89=177人.2. 有四個(gè)數(shù)，其中每

11、三個(gè)數(shù)的和分別是45，46，49，52，那么這四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)是多少？解答：大家想想，我如果把4個(gè)數(shù)全加起來(lái)是什么？實(shí)際上是每個(gè)數(shù)都加了3遍！大家一定要記住這種思想?。?5+46+49+52）÷3=64就是這四個(gè)數(shù)的和，題目要求最小的數(shù)，我就用64減去52（某三個(gè)數(shù)和最大的）就是最小的數(shù)，等于12.3. 在一個(gè)兩位數(shù)之間插入一個(gè)數(shù)字，就變成一個(gè)三位數(shù)。例如：在72中間插入數(shù)字6，就變成了762。有些兩位數(shù)中間插入數(shù)字后所得到的三位數(shù)是原來(lái)兩位數(shù)的9倍，求出所有這樣的兩位數(shù)。解答：對(duì)于這個(gè)題來(lái)說(shuō)，首先要判斷個(gè)位是多少，這個(gè)數(shù)的個(gè)位乘以9以后的個(gè)位還等于原來(lái)的個(gè)位，說(shuō)明個(gè)位只能是0或

12、5！先看0，很快發(fā)現(xiàn)不行，因?yàn)?0×9=180，30×9=270，40×9=360等等，不管是幾十乘以9，結(jié)果百位總比十位小，所以各位只能是5。略作計(jì)算，不難發(fā)現(xiàn)：15，25，35，45是滿足要求的數(shù)4. 某班買(mǎi)來(lái)單價(jià)為0.5元的練習(xí)本若干，如果將這些練習(xí)本只給女生，平均每人可得15本；如果將這些練習(xí)本只給男生，平均每人可得10本。那么，將這些練習(xí)本平均分給全班同學(xué)，每人應(yīng)付多少錢(qián)?解答：對(duì)于這種問(wèn)題，如果給一個(gè)學(xué)過(guò)工程問(wèn)題的學(xué)生來(lái)做的話，簡(jiǎn)直太簡(jiǎn)單了，但工程問(wèn)題是六年級(jí)的內(nèi)容，四年級(jí)的學(xué)生怎么辦呢？我們可以這樣考慮：我就假設(shè)班上有2個(gè)女生（動(dòng)動(dòng)腦筋，為什么不假設(shè)

13、成有1個(gè)女生？），那么就一共有30個(gè)練習(xí)本，進(jìn)而推出有3個(gè)男生，用30÷（2+3）=6，說(shuō)明每人應(yīng)該有6個(gè)練習(xí)本，所以每人要付3元錢(qián).5. 動(dòng)物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒，那么平均分給三群猴子，每只可得多少粒？解答：和上個(gè)題目一樣我想找到1個(gè)數(shù)，它既是12的倍數(shù)，又是15的倍數(shù)，還要是20的倍數(shù)。你能找到嗎？可以找到最小的是60，那么我就假設(shè)共有60?；ㄉ?，那么可以算出來(lái)第一群猴子有5個(gè)，第二群猴子有4個(gè)，第三群猴子有3個(gè)，那就一共有5+4+3=12只猴子，60÷

14、;12=5，所以每個(gè)猴子是5粒.6. 一個(gè)整數(shù)，減去它被5除后余數(shù)的4倍是154，那么原來(lái)整數(shù)是多少？解答：首先，被除數(shù)除以除數(shù)，余數(shù)肯定小于除數(shù)。所以在這個(gè)題里，余數(shù)肯定不大于4，這就確定了原來(lái)整數(shù)只能是：154+4×0，154+4×1，154+4×2，154+4×3，154+4×4中的一個(gè)，檢驗(yàn)一下，很快得到結(jié)果是154+4×2=162.7. 若干名家長(zhǎng)（爸爸或媽媽?zhuān)麄兌疾皇抢蠋煟┖屠蠋熍阃恍┬W(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知家長(zhǎng)和老師共有22人，家長(zhǎng)比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人中，爸

15、爸有多少人？解答：家長(zhǎng)比老師多，所以老師少于22÷2=11人，也就是不超過(guò)10人，家長(zhǎng)就不少于12人。在至少12個(gè)家長(zhǎng)中，媽媽比爸爸多，所以媽媽要多于12÷2=6人，也就是不少于7人。因?yàn)榕蠋煴葖寢尪?人，所以女老師不少于9人，但老師最多就10個(gè)，并且還至少有1個(gè)男老師，所以老師必須是10個(gè)（9個(gè)女老師，1個(gè)男老師），家長(zhǎng)12個(gè)人中，有7個(gè)媽媽?zhuān)敲窗职志陀?2-7=5人.8. 一次數(shù)學(xué)考試共有20道題，規(guī)定：答對(duì)一題得2分，答錯(cuò)一題扣1分，未答的題不計(jì)分?？荚嚱Y(jié)束后，小明共得23分，他想知道自己做錯(cuò)了幾道題，但只記得未答的題的數(shù)目是個(gè)偶數(shù)。請(qǐng)你幫助小明計(jì)算一下，他答錯(cuò)了

16、多少道題？解答：20個(gè)題，如果全部做對(duì)的話，可以得20×2=40分。如果不答1道題的話就要少2分，如果做錯(cuò)一道的話就要少3分。小明得了23分，比總分少40-23=17分。因?yàn)闆](méi)有做的題是偶數(shù)，所以我們可以先想想如果有0道題沒(méi)答的話，17分都是做錯(cuò)了少的，可是17÷3=52，不可能！再考慮如果有2道題沒(méi)做的情況，2道題沒(méi)做就少4分，還有17-4=13分是因?yàn)樽鲥e(cuò)了少的，13÷3=41，也不可能！考慮4道題沒(méi)做的話，就少了8分，還有17-8=9分是因?yàn)樽鲥e(cuò)了少的，9÷3=3，所以有3道題是做錯(cuò)的.9. 某種商品的價(jià)格是：每一個(gè)1分錢(qián)，每五個(gè)4分錢(qián)，每九個(gè)7分

17、錢(qián)，小趙的錢(qián)至多能買(mǎi)50個(gè)，小李的錢(qián)至多能買(mǎi)500個(gè)。小李的錢(qián)比小趙的錢(qián)多多少分錢(qián)？解答：先在腦袋里算一下，是不是九個(gè)7分錢(qián)最合算??？先看小趙：50÷9=55，所以他有5×7+4=39分錢(qián)；再看小李：500÷9=555，所以他有55×7+4=389分錢(qián)，那么小李就比小趙多389-39=350分錢(qián)。千萬(wàn)不要認(rèn)為用（500-50）÷9×7=350就可以了，比如我把500換成400，方法就不對(duì)了！10. 某幼兒園的小班人數(shù)最少，中班有27人，大班比小班多6人。春節(jié)分桔子25箱，每箱不超過(guò)60個(gè)，不少于50個(gè)，桔子總數(shù)的個(gè)位數(shù)字是7。若每人分

18、19個(gè)，則桔子數(shù)不夠，現(xiàn)在大班每人比中班每人多分一個(gè)，中班每人比小班每人多分一個(gè)，剛好分完。問(wèn)這時(shí)大班每人分多少桔子？小班有多少人？（本題是本講中最難的問(wèn)題?。┙獯穑菏紫冉圩拥膫€(gè)數(shù)在1250（=25×50）和1500（=25×60）之間。下面大家?guī)臀铱匆韵聝煞N分桔子的辦法的區(qū)別是多少？（1）大班每人a+1個(gè)，中班每人a個(gè)，小班每人a-1個(gè)；（2）無(wú)論大中小班，每人a個(gè)。在第一種分法中，我讓大班的孩子每人都拿出來(lái)1個(gè)去補(bǔ)給小班的孩子，每人補(bǔ)1個(gè)，因?yàn)榇蟀嗳吮刃“喽?人，所以最后就還多6個(gè)桔子。如果我從所有桔子中拿出6個(gè)來(lái)，就可以使得原題中的第一種分法變?yōu)槲业牡诙N分法。因?yàn)榻?/p>

19、子的總數(shù)個(gè)位是7，減去6后的個(gè)位是1，這么多桔子可以分給所有的孩子，并且讓每人一樣多，所以總的人數(shù)和每人所分到的桔子數(shù)都是奇數(shù)！但很明顯每人19個(gè)是不夠的，所以只能是每人17個(gè)，15個(gè)，13個(gè)等等，15個(gè)當(dāng)然不可能了（因?yàn)槿魏螖?shù)乘以15后，各位不是5就是0），下面我們來(lái)看看可不可能是13個(gè)或更少：至少有1250個(gè)桔子，1250÷13=962，那么至少有96人，那么大班與小班和起來(lái)就至少96-27=69人?？墒切“嗳俗钌俨粫?huì)超過(guò)中班的27人，所以大班小班和起來(lái)不應(yīng)該超過(guò)27+（27+6）=60人，這與我剛才的結(jié)果是矛盾的！所以每人不可能是13個(gè)或者更少，這就說(shuō)明了每人應(yīng)該是17個(gè)蘋(píng)果。

20、現(xiàn)在總的蘋(píng)果數(shù)個(gè)位是7-6=1，每人17個(gè)蘋(píng)果，所以總的人數(shù)個(gè)位應(yīng)該是3！再看：1250÷17=739，1500÷17=884，這時(shí)就可以找到總?cè)藬?shù)一定是83。因?yàn)槿绻?3的話，桔子還沒(méi)有分完。所以大班小班共有83-27=56人，用和差問(wèn)題的公式可以很快得到小班人數(shù)是：（56-6）÷2=25人.11. 一個(gè)正方體木塊放在桌子上，每一面都有一個(gè)數(shù)，位于對(duì)面兩個(gè)數(shù)的和都等于13，小張能看到頂面和兩個(gè)側(cè)面，看到的三個(gè)數(shù)和為18；小李能看到頂面和另外兩個(gè)側(cè)面，看到的三個(gè)數(shù)的和為24，那么貼著桌子的這一面的數(shù)是多少？解答：大家先想想，我如果用18加上24的話，得到是哪幾個(gè)

21、面的和？是4個(gè)側(cè)面和2個(gè)頂面的和！四個(gè)側(cè)面的和應(yīng)該是：13+13=26，這時(shí)就可以計(jì)算出頂面的數(shù)是：（18+24-26）÷2=8，于是底面的數(shù)是：13-8=5.12. 左圖是一個(gè)道路圖。A處有一大群孩子，這群孩子向東或向北走，在從A開(kāi)始的每個(gè)路口，都有一半人向北走，另一半人向東走，如果先后有60個(gè)孩子到過(guò)路口B，問(wèn)：先后共有多少個(gè)孩子到過(guò)路口C？解答：自己先嘗試一下假設(shè)A處有1個(gè)孩子，2個(gè)孩子時(shí)有什么問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)后來(lái)就會(huì)出現(xiàn)半個(gè)孩子的情況，這是不行的，所以再假設(shè)有4個(gè)，8個(gè)，16個(gè)孩子，發(fā)現(xiàn)后來(lái)還是會(huì)出現(xiàn)半個(gè)孩子，于是我們就假設(shè)A處有32個(gè)孩子吧?。ㄗ约簞?dòng)動(dòng)腦筋：為什么是1，2，4，8

22、，16，32這些數(shù)？這些數(shù)有什么規(guī)律嗎？）最后經(jīng)過(guò)計(jì)算能發(fā)現(xiàn)C處有8個(gè)孩子經(jīng)過(guò)，B處有10個(gè)孩子經(jīng)過(guò)。但事實(shí)上B處有60個(gè)孩子經(jīng)過(guò)，所以原來(lái)A處就應(yīng)該是6個(gè)32個(gè)孩子！所以就有8×6=48個(gè)孩子經(jīng)過(guò)C點(diǎn).13. 比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的，其中黑色皮子為正五邊形，白色皮子為正六邊形，并且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長(zhǎng)相等。縫制的方法是：每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起；每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。如果一個(gè)足球表面上共有12塊黑色正五邊形皮子，那么，這個(gè)足球應(yīng)有白色正六邊形皮子多少塊？解答：先算黑皮子共有多少條邊：12×5=60條。這60條邊都是與白皮子縫合在一起的，對(duì)于白皮子來(lái)說(shuō)：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的，那么白皮子就應(yīng)該一共有60×2=120條邊，120÷6=20，所以共有20塊白皮子.14. 5個(gè)空瓶可以換1瓶汽水，某班同學(xué)喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來(lái)的空瓶換的，那么他們至少要買(mǎi)汽水多少瓶？解答：大致上可以這樣想：先買(mǎi)161