2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題01

1、2015 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題 01第一試一、填空題：本大題共 8 小題，每小題 8 分，共 64 分.2x71.設(shè)fl(x)=-，fn+(x)=fi(fn(x),x2,x#3,則(2013(2014)=.x32 .設(shè)A=(-2,4),B=x|x2+ax+4=0,x?R R.若A，B的非空子集個(gè)數(shù)為 1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.x_0,3 .設(shè)R是滿足!y20,的點(diǎn)(x,y 溝成的區(qū)域，則區(qū)域R的面積為.(其中儀表示不超過(guò)實(shí)xyxy1)的一個(gè)頂點(diǎn).若以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線 C交于 3 個(gè)點(diǎn)，則m的取值范圍是.6 .甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第奇數(shù)局，甲贏的概率為3,第偶數(shù)

2、局，乙贏的概率為3.每一局沒(méi)有平局，44規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多 2 次時(shí)游戲結(jié)束.則游戲結(jié)束時(shí)，甲乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.ACBD7 .設(shè)五邊形ABCDE滿足/A=/B=/C=/D=120,則 ACBDACBD 的最小值為AEED8 .過(guò)正四面體ABCD的頂點(diǎn)A作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面BCD所成的角為75.這樣的截面共可作出個(gè).二、解答題：本大題共 3 小題，共 56 分.9 .(本小題滿分 16 分).試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得2是不等式x x+logK2 23a)?的最小整數(shù)解.1log2a10 .(本小題滿分 20 分)、數(shù)列ann3 定義為a

3、=1,a2=4,an=Jan/an書(shū)+1(n之2).求證：數(shù)列匕/鵬為整數(shù)列；求證：2anan由+1(n*)是完全平方數(shù).11 .(本小題滿分 20 分)已知 S,P(非原點(diǎn))是拋物線 y=x2上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn) P 處的切線分別交 x,y 軸于 Q,R.(1)若PQ=九PR,求九的值;(2)若 SP_LPR,求 APSR 面積的最小值.2015 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題 01加試一、（本小題滿分 40 分）一、如圖，為MBC的外心，03關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為求證：.QDM=.O2DA.1*+（n 匚N）.證明：對(duì)任意 mCN,存在 nCN,使得Sn=m.n三、（本小題滿分 50 分）試求所有的正整

4、數(shù)n,使得存在正整數(shù)數(shù)列a1a2Man,使得和ai+aj（1ij0,則根據(jù)二次函數(shù)圖像性質(zhì)， 必有f(-2)f(4)?0,即(8-2a)(20+4a)?0,解得 a34 或 a?5,但 a=4 應(yīng)舍去， 而 a=-5經(jīng)驗(yàn)證滿足條件.綜上所述，有a?(?,5-4(4,+?).x_0,3 .設(shè)R是滿足|y 至 0,的點(diǎn)(x,y 族勾成的區(qū)域，則區(qū)域R的面積為.(其中x表示不超過(guò)實(shí)xyxy5數(shù)x的最大整數(shù)).解：9.一方面，當(dāng)x+y3時(shí)，有x+Iyx+y3時(shí)，有l(wèi)x十ly+x+y3,而卜+y1,從而Ix+y殳2,于是x+y+k】+y】:5,這與條件矛盾.故區(qū)域R的面積為9.24 .二兀函數(shù) f(x,

5、y)=Gcos4x+7+Jcos4y+7+Jcos4x+cos4y-8sin2xsin2y+6 的最大值為.解：6夜.設(shè)cos2x=a,cos2y=b,則0Ma,bM1.f=22(Ja2-a+1+Jb2-b+1+Ja2-ab+b2)JI_(1-a(1-b)1,故f6V2.當(dāng)ab1,或a0b1或a=1,b=0時(shí)，f取到最大值 6&.5 .已知B是雙曲線C:2x2-4y2+1=0上靠近點(diǎn)A(0,m)(m1)的一個(gè)頂點(diǎn).若以點(diǎn)A為圓心,半徑的圓與雙曲線 C交于 3 個(gè)點(diǎn)，則m的取值范圍是.圓與雙曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y應(yīng)滿足上述方程，并要求y3解：雙曲線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y140,2字,1AB=

6、?x2+(y-m)2=AB2x2-4y2+1=02，得:-2._36y-4my+2m-=0,即6由0a,b1,a2a,Va2-a+13213一對(duì)應(yīng)兩個(gè)父點(diǎn)，從而m-.6 .甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第奇數(shù)局，甲贏的概率為3,第偶數(shù)局，乙贏的概率為 0.每一局沒(méi)有平局,規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多 2 次時(shí)游戲結(jié)束.則游戲結(jié)束時(shí)，甲乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.解：”.設(shè)游戲結(jié)束時(shí)，甲乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為37 .設(shè)五邊形ABCDE滿足/A=/B=NC=/D=120,則3解：一延長(zhǎng)AB與DC相交于點(diǎn)H,延長(zhǎng)EA與CB相交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)ED與BC相交于點(diǎn)G.4則AAFB,ADCG,

7、ABCH均為正三角形.設(shè)AB=x,BC=y,CD=z.容易得到四邊形EAHD為平行四邊10.（本小題滿分 20 分）、數(shù)歹Uann.定義為a=1,a2=4,an8ACBDAEED的最小值為形，則EA=HD=y+z.在MBC中，由余弦定理，AC=Jx2+y2+xy,于曰ACAEx2y2xyyz同理，史ED+z2+yz.故ACBD_x2y2xyy2z2yzAEED注意到，Jxfxymy)*3xyACBD_x2y2xyAEED等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z成立故最小值為3.48.過(guò)正四面體ABCD的頂點(diǎn)A作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面BCD所成的角為75.這樣的截面共可作出.一一、6.答案：1

8、8.設(shè)正ABCD中心為O,以O(shè)為圓心，X-cot75為半徑作圓.則圓O在ABCD的內(nèi)部,3且所求截面與平面BCD的交線是該圓的切線.有三種情況：（1）切線與BCD的一邊平行時(shí)，有 6 個(gè)這樣的截面；（2）切線B1G（其中B在邊BC上，C1在邊CD上）且CB1=GD,則截面AABC1為等腰三角形.這樣的截面有 6 個(gè)；（3）作BE切圓O,交CD于E,由ABCEeAACE,有BE=AE,對(duì)應(yīng)AABE是等腰三角形，這樣的截面共有 6 個(gè).故滿足條件的截面共有 18 個(gè).二、解答題：本大題共 3 小題，共 56 分.9.（本小題滿分 16 分）.試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得2是不等式x x+ +1og1

9、og2（2 2二3a）2的最小整數(shù)解.110g2a解：首先2x-3a0,1一，一0,且a#一.原不等式等價(jià)于21og22-3ax-2a0.11og2a(1)當(dāng)1+log2a0,.2x-3a.2xx2有10g22+x20,整理有23a24a0.a解得2x4a,2log24a.注意到當(dāng)aa 一時(shí)，10g24aa1.2故要使2是不等式當(dāng)110g2a0 x10g2(2x-3a)11og2a12的最小整數(shù)解，有10g24a2,解得a1,于，即042,rr1.即0a-不滿足條件.綜上所述,2E,1a的取值范圍為（3,1）.1:a1.2有 2 2+ +10g10gTaTa1,0=1斗（書(shū)-4an+1尸a2卡

10、-4anan+4中42222=an平4an吊an+an-1=（an邛-an）（2anan平+1）.因此2anan卡+1=（an+-an）.故命題得證！11.（本小題滿分 20 分）已知 S,P（非原點(diǎn)）是拋物線 y=x2上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn) P 處的切線分別交 x,y 軸于 Q,R.（1）若玩=ZPR,求九的值;（2）若 SP_LPR,求 APSR 面積的最小值.y1 八八解：(1)設(shè)過(guò) P(x1,yI),則 P 處的切線 2x1x=y1+y,Q(一，0),2x1y1PQ=(上PR=l(-x1,-2y1)tt2x1-y1=-2?.y1(2)設(shè) S(x2,y2),則SP-LPRtt(x1-x2,x1

11、2- -乂乂 22)(-%,-2%2)=022二x1(x1x2)2x1(x12、八、八, ,、1-x2)=0=x1(x1x2)=-3=x2=-x1-2x1ISPHXI-x21j1+工4XI而、1Q1(4x121)2,S24XI=12x1=2x1314：2，坪1-24x12Hx1IJ4x12,3+x1十,令 S=2x+x+8x11,/c2/1(x0),貝 US=6x+1208x8x221c/2二x,S0二x123 時(shí)，對(duì)滿足0waSN0和 V 正整數(shù) k出若都Skwm+a,Q士m+b,則SkSk至 ba.但b-a一一一11kN 時(shí) Sk-Ski=SNn總存在正整數(shù) n,使得 nN0時(shí)有kN00m

12、Wm+acSnm+bwm+1.所以Sn=m.三、(本小題滿分 50 分)試求所有的正整數(shù)n,使得存在正整數(shù)數(shù)列a1a2父an,使得和ai+aj(1ijlog22014,從而r211.從而m10.下證，m的最小值為 10.記這 2014 個(gè)點(diǎn)分別為1,2,，2014,我們標(biāo)記線段ij(ij)上的數(shù)字為t,其中t為滿足2t|ij的最大非負(fù)整數(shù).因?yàn)閕,j2014,所以tW10.現(xiàn)設(shè)i,j,k為任意不同的三點(diǎn)，若線段ij,ik被標(biāo)記為同一數(shù)字s,則i-j=2sa,i-k=2sb,這里a,b均為奇數(shù)，于是j-k=(i-k)-(j-k)=2s(b-a),由于b-a為偶數(shù)，知線段jk上標(biāo)記的數(shù)字大于s,滿足題設(shè)條件；若線段ij,i期記為不同的數(shù)字t,s(ts),則i一j=2ta,ik=2sb,這里a,b均為奇數(shù)， 于是j-k=(ikfj-JkW(方tb-)a由于2ba