靜距、慣性矩及慣性積的概念公式

1、工程構(gòu)件典型截面幾何性質(zhì)的計(jì)算 2.1面積矩1.面積矩的定義圖2-2.1任意截面的幾何圖形如圖2-31所示為一任意截面的幾何圖形(以下簡稱圖形。定義:積分和 分別定義為該圖形對z 軸和y 軸的面積矩或靜矩,用符號S z 和S y ,來表示,如式(22.1 (22.1面積矩的數(shù)值可正、可負(fù),也可為零。面積矩的量綱是長度的三次方,其常用單位為m 3或mm 3。2.面積矩與形心平面圖形的形心坐標(biāo)公式如式(22.2 (22.2或改寫成,如式(22.3 (22.3面積矩的幾何意義:圖形的形心相對于指定的坐標(biāo)軸之間距離的遠(yuǎn)近程度。圖形形心相對于某一坐標(biāo)距離愈遠(yuǎn),對該軸的面積矩絕對值愈大。 圖形對通過其形心

2、的軸的面積矩等于零;反之,圖形對某一軸的面積矩等于零,該軸一定通過圖形形心。3.組合截面面積矩和形心的計(jì)算組合截面對某一軸的面積矩等于其各簡單圖形對該軸面積矩的代數(shù)和。如式(22.4 (22.4式中,A 和y i 、z i 分別代表各簡單圖形的面積和形心坐標(biāo)。組合平面圖形的形心位置由式(22.5確定。 (22.52.2極慣性矩、慣性矩和慣性積1.極慣性矩任意平面圖形如圖2-31所示,其面積為A 。定義: 積分稱為圖形對O 點(diǎn)的極慣性矩,用符號I P ,表示,如式(22.6(22.6 極慣性矩是相對于指定的點(diǎn)而言的,即同一圖形對不同的點(diǎn)的極慣性矩一般是不同的。極慣性矩恒為正,其量綱是長度的4次方

3、,常用單位為m 4或mm 4。(1圓截面對其圓心的極慣性矩,如式(27 (22.7 (2對于外徑為D、內(nèi)徑為d 的空心圓截面對圓心的極慣性矩,如式(22.8 (22.8式中,d /D 為空心圓截面內(nèi)、外徑的比值。 2.慣性矩在如圖6-1所示中,定義積分,如式(22.9 (22.9稱為圖形對z 軸和y 軸的慣性矩。慣性矩是對一定的軸而言的,同一圖形對不同的軸的慣性矩一般不同。慣性矩恒為正值,其量綱和單位與極慣性矩相同。同一圖形對一對正交軸的慣性矩和對坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩存在著一定的關(guān)系。如式22.10I P =I z +I y (22.10上式表明,圖形對任一點(diǎn)的極慣性矩,等于圖形對通過此點(diǎn)且在其

4、平面內(nèi)的任一對正交軸慣性矩之和。表6-1給出了一些常見截面圖形的面積、形心和慣性矩計(jì)算公式,以便查用。工程中使用的型鋼截面,如工字鋼、槽鋼、角鋼等,這些截面的幾何性質(zhì)可從附錄的型鋼表中查取。3.慣性積 如圖232所示,積分定義為圖形對y ,、z 軸的慣性積,用符號I yz 表示,如式(211 (211 圖2-2.2具有軸對稱的圖形慣性積是對于一定的一對正交坐標(biāo)軸而言的,即同一圖形對不同的正交坐標(biāo)軸的慣性積不同,慣性積的數(shù)值可正、可負(fù)、可為零,其量綱和單位與慣性矩相同。由慣性積的定義可以得出如下結(jié)論:若圖形具有對稱軸,則圖形對包含此對稱軸在內(nèi)的一對正交坐標(biāo)抽的慣性積為零。如圖2-32所示,y 為

5、圖形的對稱軸.則整個(gè)圖形對y 、z 軸的慣,性積等于零。常見圖形的面積、形心和慣性矩表22.1序號圖形面積形心位置慣性矩(形心軸 1 2 3 4 5 6 2.3組合截面的慣性矩 1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式任意平面圖圖2-33所示。z對正交的形心軸,y1為與形心軸平行的另 一對正交軸，平行軸間 的距離分別為 已知圖形對形心軸的 慣性矩 Iz、Iy 和慣性 Izy，現(xiàn)求圖形對 軸的慣性矩 Iz1 性積 Iz1y1。有慣性矩和 慣性積的平行移軸公 式如式(22.12 (22.13 (22.12 Iz1y1=Izy+abA (22.13 可見，圖形對于形心軸的慣性矩是對所有平行軸的 慣性矩中最小

6、的一個(gè)。在應(yīng)用平行移軸公式(22.12 時(shí)，要注意應(yīng)用條件，即 y、z 軸必須是通過形心的軸， 且 z1、 y1軸必須分別與 z、 y 軸平行。 在應(yīng)用式(22.13 計(jì)算慣性積時(shí)，還須注意 a、b 的正負(fù)號，它們是截面 形心 c 在 z1oy1坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。 2組合截合慣性矩計(jì)算 組合圖形對某一軸的慣性矩，等于其各組成部分簡 單圖形對該軸慣性矩之和，如式(22.14 (22.14 在計(jì)算組合圖形對 z、y 軸的慣性矩時(shí)，應(yīng)先將組 合圖形分成若干個(gè)簡單圖形，并計(jì)算出每一簡單圖形對 平行于 z、y 軸的自身形心軸的慣性矩，然后利用平行 移軸公式(22.12計(jì)算出各簡單圖形對 z、y 軸的慣性

7、 矩，最后利用式(22.14求總和。 2.4主慣性軸和主慣性矩 過圖形上任一點(diǎn)都可得到一對主軸，通過截面圖形 形心的主慣性軸，稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣 性矩稱為形心主慣性矩。在對構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度、剛度和穩(wěn) 定計(jì)算中，常常需要確定形心主軸和計(jì)算形心主慣性 矩。因此，確定形心主軸的位置是十分重要的。由于圖 形對包括其對稱軸在內(nèi)的一對正交坐標(biāo)軸的慣性積為 零，所以對于如圖6-4所示具有對稱軸的截面圖形，可 根據(jù)圖形具有對稱軸的情況，觀察確定形心主軸的位 置。 (1如果圖形有一根對稱軸，則此軸必定是形心主 軸、而另一根形心主軸通過形心，并與對稱軸垂直，如 圖2-34 b、d所示。 (2如果圖形有兩根對稱軸，則該兩軸都為形心主 軸，如圖6-4 a、c所示。 (3如果圖形具有3根或更多根對稱軸，過圖形形心 的任何軸都是形心主、軸，且圖形對其任一形心主軸的 慣性矩都相等，如圖6-4 e、f所示。 圖 2-2.4 具 有 對 稱軸的截面圖形 抗彎截面系數(shù) 在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，彎曲正應(yīng)力最大，其值為 比值 Iz/ymax 僅與截