多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分

1、6.2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分6. 2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算1 .偏導(dǎo)數(shù)定義對(duì)于二元函數(shù)zf(x,y),如果只有自變量x變化而自變量y固定這時(shí)它就是x的一元函數(shù)這函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)就稱為二元函數(shù)zf(x,y)對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù)。定義：設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(xoyo)的某一鄰域內(nèi)有定義當(dāng)y固定在yo而x在xo處有增量x時(shí)相應(yīng)地函數(shù)有增量f(xox,yo)f(Xo,yo)如果極限limx o則稱此極限為函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(xof(xox,yo)f(xo,yo)存在yo)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)記作：Zxxxyyoxxxo，zxyyoxxo，或fx(xo,yo)°yyo即：fx(Xo,yo)x

2、,yo)f(xo,yo)類似地，函數(shù)z記作：zyx xo ' y y0x xoy y0y x X0y y0,或 fy(x0, yo)。f(x,y)在點(diǎn)(xoyo)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為:.f(xo,yoy)f(xO,yo)limyoy偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：fx(x, y)lim x o類似地可定義函數(shù)z f (x, y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù) 記為偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)它就稱為函數(shù)zf(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)記作f,zx,或fx(x,y)。xf(xx,y)f(x,y)zy,或fy(x,丫)。偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：f

3、y(x, y)lim。，f(x,y y) f(x,y)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算求_L時(shí) 只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì) x求導(dǎo)數(shù); x只要把x暫時(shí)看作常量而對(duì)y求導(dǎo)數(shù)。討論：下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確?fx(x°,y0) "xy4%, fy(x°,y0)fy(x,y)x0 , y0一.d一.一一.d一.一九就。，,。)版fJ,丫。)XX0，fy(x0,Yo)dyf(Xo,y)yy00偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù) 數(shù)定義為u f(x y z)在點(diǎn)(x y z)處對(duì)x的偏導(dǎo)fx(x,y,z)嘰f(x x,y,z) f(x,y,z)其中(xyz)是函數(shù)uf(xyz)的定義域的

4、內(nèi)點(diǎn)它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題z x2 3xy y2 在點(diǎn)(12)處的偏導(dǎo)數(shù)2x 3y 3xy2yqx 1 21 32y 21 31 22 7zx2sin2y的偏導(dǎo)數(shù)。2xsin2y;2x2cos2y。yz xy(x Qx 1)求證x Inx y2z證xx_z _1_y x ln xy 1yxyxylnxxyx y- xylnx ln xxyxy 2zMx2y2z2的偏導(dǎo)數(shù)。.一 r斛xxxx2y2 z2 r例5已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù))證因?yàn)閜RT上耳pVVV2VRT2RpTpTpVTV"R下R所以上上工RTRVRT1VTpV2pRpV例5說明的問題

5、偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào)不能看作分子分母之商。3 .偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義一元函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)從幾何上看表示曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，那么二元函數(shù)的偏導(dǎo)在幾何上表示什么呢？我們知道，二元函數(shù)zf(x,y)在空間中表示一曲面，在(,yo)處對(duì)X求偏導(dǎo)時(shí)把y看成常量，這日z是關(guān)于x的一元函數(shù)，所以一z|(x，y。)表示曲面zf(x,y)與平面yyo的交線在xz+(x0,y0)處沿x軸正向的切線斜率(如圖).同理，一(x0,y0)表示曲面在該點(diǎn)處沿y軸正向的切線斜率.4 .偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)例如對(duì)于多元函數(shù)來說即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在f(x, y)在點(diǎn)(0 0)有 fx(0 0) 0

6、 fy(0 0)提示：f(x,0) 0 f (0, y)fx(0.0) -df(x,0)dx當(dāng)點(diǎn)P(x y)沿x軸趨于點(diǎn)(0 0lim f (x, y) l(x,y) (0,0)xy 22c22 x y 0x y0 x2 y2 00但函數(shù)在點(diǎn)(0 0)并不連續(xù)00fy(0,0) dyf(0,y) 0時(shí)有m f (x, 0) lim 0 00x 0當(dāng)點(diǎn)P(x y)沿直線y. xylim 2 , 2(x,y) (0,0) x2 y2y kx)kx趨于點(diǎn)(0 0)時(shí)if kx2lim 二2T x 0x2 k2x2k1 k2因此limf(x,y)不存在故函數(shù)f(xy)在(00)處不連續(xù)(x,y)(Q0

7、)6.2.2全微分1 .全微分的定義根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系有偏增量與偏微分：f(xx,y)f(x,y)fx(x,y)x,f(xx,y)f(x,y)為函數(shù)對(duì)x的偏增量fx(x,y)xfx(xy)x為函數(shù)對(duì)x的偏微分f(x,yy)f(x,y)fy(x,y)y,f(x,yy)f(x,y)為函數(shù))對(duì)y的偏增量，fy(x,y)y為函數(shù)對(duì)y的偏微分。全增量：zf(xx,yy)f(x,y)計(jì)算全增量比較復(fù)雜我們希望用x、y的線性函數(shù)來近似代替之定義如果函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)的全增量zf(xx,yy)f(x,y)可表不為zAxByo()(x)2(y)2)其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y

8、有關(guān)則稱函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)可微分而稱AxBy為函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)的全微分記作dz即dzAxBy如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分2 .可微與連續(xù)可微必連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)這是因?yàn)槿绻鹺f(xy)在點(diǎn)(xy)可微則zf(xxyy)f(xy)AxByo()于是limz00從而limf(xx,yy)limf(x,y)zf(x,y)(x,y)(0,0)0因此函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)處連續(xù)3 .可微條件定理1(必要條件)如果函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)可微分則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)一z、一z必定存在且函數(shù)xyzf(xy)在點(diǎn)(xy)的全微分為：dz證設(shè)函數(shù)

9、z f(x y)在點(diǎn)P(x y)可微分于是對(duì)于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)y。時(shí)有(xxyy)有zAxByo()特別當(dāng)f(xxy)f(xy)Axo(|x|)上式兩邊各除以x,再令x0而取極限，就得limf(xx，y)f(x，y)Ax0x從而偏導(dǎo)數(shù)二存在且二Axx同理可證偏導(dǎo)數(shù)-z存在且_zByy所以：dzxyxy偏導(dǎo)數(shù)二、二存在是可微分的必要條件但不是充分條件xy,xyx2y20例如，函數(shù)f(x,y)Jx2y2在點(diǎn)(00)處雖然有fx(00)0及fy(00x2y200)0(00)不可微分即zfx(00)xfy(00)y不是較高階的無窮小這是因?yàn)楫?dāng)(xy)沿直線yx趨于(00)時(shí)zfx(0,0)x

10、fy(0,0)yxyxx10(x)2(y)2(x)2(x)22定理2(充分條件)如果函數(shù)zf(xy)的偏導(dǎo)數(shù)衛(wèi)、在點(diǎn)(xy)連續(xù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分xy定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)按著習(xí)慣x、y分別記作dx、dy并分別稱為自變量的微分zf(xy)的全微分可寫作dzdxdyxy二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)例如函數(shù)uf(xyz)的全微分為du-udx-udy-udzxyz例1計(jì)算函數(shù)zx2yy2的全微分解因?yàn)?xyx22yxy所以dz2xydx(x22y)dy例2計(jì)算函數(shù)zexy在點(diǎn)(21)處的全微分解因?yàn)?/p>

11、yexyxexyxyZ°/ZoNx2ex22eXy1yy1所以dze2dx2e2dy例3計(jì)算函數(shù)uxsin-yeyz的全微分yeyz解因?yàn)?11coszeyzxy22z所以dudx(jcos或zeyz)dyyeyzdz*二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)二元函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)P(xy)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(xy)fy(xy)連續(xù)并且|x|y郡較小時(shí)有近似等式zdzfx(xy)xfy(xy)y即f(xxyy)f(xy)fx(xy)xfy(xy)y我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算例4有一圓柱體受壓后發(fā)生形變它的半徑由20cm增大到2005cm高度由100cu減少到99cm求此圓柱體

12、體積變化的近似值解設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V則有V r2h已知r20h100r005h1根據(jù)近似公式有V dVVrrVhh2rhrr2h220100005202(1)200(cm3)即此圓柱體在受壓后體積約減少了200cm3例5計(jì)算(104)202的近似值解設(shè)函數(shù)f(xy)xy顯然要計(jì)算的值就是函數(shù)在x104y202時(shí)的函數(shù)值f(104202)取x1y2x004y002由于f(xxyy)f(xy)fx(xy)xfy(xy)yxyyxy1xxylnxy(1 04)2 02 12 2所以12100412ln1002108例6利用單擺擺動(dòng)測(cè)定重力加速度g的公式是現(xiàn)測(cè)得單擺擺長(zhǎng)l與振動(dòng)周

13、期T分別為l=100±0.1cm、T二2±0.004s.問由于測(cè)定l與T的誤差而引起g的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差各為多少？解如果把測(cè)量l與T所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作|Al|與|AT|,則利用上述計(jì)算公式所產(chǎn)生的誤差»、口一，42l.|Ag|.|Al| |AT|都很小 因此我們可以用dg來近似就是一兀函數(shù)g4T21的全增量的絕對(duì)值地代替Ag這樣就得到g的誤差為 g dg pgT T1 g|L l4 2(4 (T2gl斤T2ll尹t)其中i與t為l與T的絕對(duì)誤差把l=100 T=2, 1=0.1, 2=0.004代入上式約為得g的絕對(duì)誤差則z的誤差4 2(0.1 2 1002223

14、0.004)0.5 24.93(cm/s2).0.5 24 2 100220.500z=f(x, y),如果自變量x、y的絕對(duì)誤差分別為Ax x,y,x、y,即I z dz .xy -z x z y z xx y x從而得到z的絕對(duì)誤差約為z%x ； yz的相對(duì)誤差約為zz6. 2.3方向?qū)?shù)f(x y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題設(shè)l是xOy平面上以 量射線l的參數(shù)方程為1 .方向?qū)?shù)的定義現(xiàn)在我們來討論函數(shù)P0(x0y。)為始點(diǎn)的一條射線el(coscos)是與l同方向的單位向xxotcosyyotcos(t0)設(shè)函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)Po(xoyo)的某一鄰域U(Po)內(nèi)有定義P(xot

15、cosyotcos)為l上另一點(diǎn)且PU(Po)如果函數(shù)增量f(xotcosyotcos)f(xoyo)與P到Po的距離|PPo|t的比值f%tcos羋tcos)f的,yo)t當(dāng)P沿著l趨于Po(即tto)時(shí)的極限存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在點(diǎn)Po沿方向l的方向?qū)?shù)記作上即l為同)flimf(%tcos*tcos)f%*)l(飛以)tot從方向?qū)?shù)的定義可知方向?qū)?shù)f就是函數(shù)f(xy)在點(diǎn)Po(xoyo)處沿方向l的l(xc)變化率2 .方向?qū)?shù)的計(jì)算定理如果函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)Po(xoyo)可微分那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在且有fx(x0,yo)cosfy(xo,yo)co

16、sl(x(),yo)其中coscos是方向l的方向余弦簡(jiǎn)要證明設(shè)xtcosytcos則f(xotcosyotcos)f(xoyo)fx(xoyo)tcosfy(xoyo)tcoso(t)所以.f(xotcos,yotcos)yo)lim-00-fx(xo,yo)cosfy(x0,yo)sintot這就證明了方向?qū)?shù)的存在且其值為£l (xo,yo)fx(xo, yo)cosfy(xo,yo)cos提示f (xox, yoy) f(xo,yo)fx(xo, yo) xfy(xo, yo) y o( x)2 ( y)2)x t cosy t cos、.( x)2 ( y)2t討論函數(shù)z

17、f (x y)在點(diǎn)P沿x軸正向和負(fù)向 提示：沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何沿x軸正向時(shí) coscos o l x沿x軸負(fù)向時(shí) cos1 cos 0fx例1求函數(shù)z xe2y在點(diǎn)P(1 0)沿從點(diǎn)P(1 0)到點(diǎn)Q(21)的方向的方向?qū)?shù)解這里方向l即向量PQ (1, 1)的方向與l同向的單位向量為el(J2,因?yàn)楹瘮?shù)可微分且 _ze2y1x (1,0)(1,0)zy (1,0)2xe2 y(1,0)所以所求方向?qū)?shù)為H10)1722(72)1對(duì)于三元函數(shù)導(dǎo)數(shù)為f(x yz)來說它在空間一點(diǎn)P0(x° y0 Z0)沿 ei (cos cos cos )的方向ff(x0 tcos , y

18、° t cos ,z° t cos ) f(x0,y0,z°)lim l區(qū)伙a) t 0t如果函數(shù)f(x y z)在點(diǎn)(x0 y0 z0)可微分則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向ei (coscos cosfx(x0, y0,z°)cosfy(x0, y0,z°)cosfz(x°, y°, z°)cos例2求f(x y z) xy yz zx在點(diǎn)(1 1 2)沿方向l的方向?qū)?shù)其中l(wèi)的方向角分別為6045 60解與l同向的單位向量為el (cos60 cos 45 cos60所以fx(112)(yz)|(112)3fy(112)

19、(xz)|(112)3fz(112)(yx)|(112)2fjq1 q 立 o1才(1,1,2) 3 2 3 22 22(5 3.2)3.梯度設(shè)函數(shù)z f(x y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0 y0) D都可確定一個(gè)向量 fx(x0 y0)i fy(x0 y0)j這向量稱為函數(shù)f(x y)在點(diǎn)P0(x0 y0)的梯度記作grad f(x0 y0)即gradf(xoyo)儀(xoyo)ify(xoyo)j梯度與方向?qū)?shù)如果函數(shù)f(xy)在點(diǎn)Po(xoyo)可微分ei(coscos)是與方向l同方向的單位向量則:fx(xO,yo)cosfy(xo，yo)cosl(xo,y

20、o)gradf(xoyo)ei|gradf(xoyo)|cos(gradf(xoyo)Aei)這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系特別當(dāng)向量ei與gradf(xoyo)的夾角o即沿梯度方向時(shí)方向?qū)?shù)取得最大值這個(gè)最大值l(xo,yo)就是梯度的模gradf(xoyo)|這就是說函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值討論:的最大值結(jié)論函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致而它的模為方向?qū)?shù)的最大值4.等值線我們知道一般說來二元函數(shù)zf(xy)在幾何上表示一個(gè)曲面這曲面被平面zc(c是

21、常數(shù))所截得的曲線L的方程為zf(x,y)zc這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*它在xOy平面上的方程為f(xy)c對(duì)于曲線L*上的一切點(diǎn)已給函數(shù)的函數(shù)值都是c所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)zf(xy)的等值線若fxfy不同時(shí)為零則等值線f(xy)c上任一點(diǎn)Po(xoyo)處的一個(gè)單位法向量為1n22(fx(xo,yo),fy(xo,yo).fx(xo,yo)fy(xo,yo)這表明梯度gradf(xoyo)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同而沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)上就等于|gradf(xoyo)|于是ngradf(xo,yo)n這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過這點(diǎn)的等值線、方

22、向?qū)?shù)間的關(guān)系這就是說函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù)f(xyz)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則對(duì)于每一點(diǎn)Po(xoyozo)G都可定出一個(gè)向量fx(xoyozo)ify(xoyozo)jfz(xoyozo)k這向量稱為函數(shù)f(xyz)在點(diǎn)Po(xoyozo)的梯度記為gradf(xoyozo)即gradf(xoyozo)fx(xoyozo)ify(xoyozo)jfz(xoyozo)k結(jié)論三元函數(shù)的梯度也是這樣一個(gè)向量它的方向與取得最大方向?qū)?/p>

23、數(shù)的方向一致而它的模為方向?qū)?shù)的最大值如果引進(jìn)曲面f(xyz)c為函數(shù)的等量面的概念則可得函數(shù)f(xyz)在點(diǎn)Po(xoyozo)的梯度的方向與過點(diǎn)Po的等量面f(xyz)c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)例3求grad解這里f(x,y)2x(x2 y2)2f 2yy(x2 y2)2所以grad01n22x22i22y22jx2y2(x2y2)2(x2y2)2J例4設(shè)f(xyz)x2y2z2求gradf(112)解gradf(fxfyfz)(2x2y2z)于是gradf(112)(224)*5。數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)如果對(duì)于空

24、間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M)則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)(例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)等)一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來確定如果與點(diǎn)M相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)向量F(M)則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場(chǎng)(例如力場(chǎng)、速度場(chǎng)等)一個(gè)向量場(chǎng)可用一個(gè)向量函數(shù)F(M)來確定而F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k其中P(M)Q(M)R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù)利用場(chǎng)的概念我們可以說向量函數(shù)gradf(M)確定了一個(gè)向量場(chǎng)一一梯度場(chǎng)它是由數(shù)量場(chǎng)f(M)產(chǎn)生的通常稱函數(shù)f(M)為這個(gè)向量場(chǎng)的勢(shì)而這個(gè)向量場(chǎng)又稱為勢(shì)場(chǎng)必須注意任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是勢(shì)場(chǎng)因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng)例5試求數(shù)量場(chǎng)m所產(chǎn)生的梯度場(chǎng)其中常數(shù)m>0rJx2y2z2為原點(diǎn)O與點(diǎn)M(xyz)間的距離mrmxr2xr3同理my r3mz r3從而grad :Zk)記er-iXjzk它是與OM同方向的單位向量則rrr,mmgrad2errr2上式右端在力學(xué)上可解釋為位于原點(diǎn)O而質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)對(duì)位于點(diǎn)M而質(zhì)量為l的質(zhì)點(diǎn)的引力這引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比這引力的方向由點(diǎn)M指向原點(diǎn)因此數(shù)量場(chǎng)m的勢(shì)場(chǎng)即梯度場(chǎng)gradm稱為引力場(chǎng)而函rr數(shù)m稱為引