青海--圓的標(biāo)準方程（朱永祥）

1、圓的標(biāo)準方程青海師大附中 朱永祥人教版高中數(shù)學(xué)（必修）第二冊（上）教學(xué)目標(biāo)(一)知識目標(biāo)1.掌握圓的標(biāo)準方程：根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準方程，能從圓的標(biāo)準方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑；2.理解并掌握切線方程的探求過程和方法。(二)能力目標(biāo)1進一步培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法研究幾何問題的能力； 2. 通過教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)運用觀察、類比、聯(lián)想、猜測、證明等合情推理方法，提高學(xué)生運算能力、邏輯思維能力； 3. 通過運用圓的標(biāo)準方程解決實際問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題及分析、解決問題的能力。(三)情感目標(biāo)通過運用圓的知識解決實際問題的學(xué)習(xí)，理解理論來源于實踐，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激

2、發(fā)學(xué)生自主探究問題的興趣，同時培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、堅忍不拔的意志品質(zhì)。教學(xué)重、難點(一)教學(xué)重點圓的標(biāo)準方程的理解、掌握。(二)教學(xué)難點圓的標(biāo)準方程的應(yīng)用。教學(xué)方法選用引導(dǎo)探究式的教學(xué)方法。教學(xué)手段 借助多媒體進行輔助教學(xué)。教學(xué)過程.復(fù)習(xí)提問、引入課題師：前面我們學(xué)習(xí)了曲線和方程的關(guān)系及求曲線方程的方法。請同學(xué)們考慮：如何求適合某種條件的點的軌跡？ 生：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點M的坐標(biāo)為(x，y)；寫出適合某種條件p的點M的集合PM p（M）；用坐標(biāo)表示條件，列出方程f(x,y)=0；化簡方程f(x,y)=0為最簡形式。證明以化簡后方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點（一般省略）。多媒體

3、演示師：這就是建系、設(shè)點、列式、化簡四步曲。用這四步曲我們可以求適合某種條件的任何曲線方程，今天我們來看圓這種曲線的方程。給出標(biāo)題師：前面我們曾證明過圓心在原點，半徑為5的圓的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25. 若半徑發(fā)生變化，圓的方程又是怎樣的？能否寫出圓心在原點，半徑為r的圓的方程？生：x2+y2=r2. 師：你是怎樣得到的？（引導(dǎo)啟發(fā)）圓上的點滿足什么條件？生：圓上的任一點到圓心的距離等于半徑。即 C r 即：（x-a）2+(y-b)2= r2.講授新課、嘗試練習(xí) ，亦即 x2+y2=r2.師：x2+y2=r2 表示的圓的位置比較特殊：圓心在原點，半徑為r.有時圓心不在原點，若

4、此圓的圓心移至C（a,b）點（如圖），方程又是怎樣的？生：此圓是到點C(a,b)的距離等于半徑r的點的集合， Y M(x,y)由兩點間的距離公式得師：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圓的標(biāo)準方程. O X 特別：當(dāng)圓心在原點，半徑為r時，圓的標(biāo)準方程為：x2+y2=r2.師：圓的標(biāo)準方程由哪些量決定？生：由圓心坐標(biāo)（a,b）及半徑r決定。師：很好！實際上圓心和半徑分別決定圓的位置和大小。由此可見，要確定圓的方程，只需確定a、b、r這三個獨立變量即可。1、     寫出下列各圓的標(biāo)準方程：多媒體演示 圓心在原點，半徑是3 ：_ 圓心在點C（3，

5、4），半徑是：_ 經(jīng)過點P（5，1），圓心在點C（8，3）：_2、  變式題多媒體演示     求以C（1，3）為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。 答案：(x-1)2 + (y-3)2 = 已知圓的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,寫出圓心坐標(biāo)和半徑。 答案： C（a,0）, r=|a|.例題分析、鞏固應(yīng)用師：下面我們通過例題來看看圓的標(biāo)準方程的應(yīng)用.例1            已知圓的方程是 x2+y2=17

6、，求經(jīng)過圓上一點P（，）的切線的方程。師：你打算怎樣求過P點的切線方程？ Y生：要求經(jīng)過一點的直線方程，可利用直線的點斜式來求。師： 斜率怎樣求？ P生：。 師：已知條件有哪些？能利用嗎？不妨結(jié)合圖形來看看 （如圖） O X生：切線與過切點的半徑垂直，故斜率互為負倒數(shù) 半徑OP的斜率 K1， 所以切線的斜率 K所以所求切線方程：y-= (x-)即：x+y=17 (教師板書) 師：對照圓的方程x2+y2=17和經(jīng)過點P（，）的切線方程x+y=17，你能作出怎樣的猜想？生：。 師：由x2+y2=17怎樣寫出切線方程x+y=17,與已知點P（，）有何關(guān)系？（若看不出來，再看一例）例1/ 圓

7、的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點（2，3）的切線方程。 答案：2x+3y=13 即：2x+3y130師：發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？（學(xué)生紛紛舉手回答）生：分別用切點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)代替圓方程中的一個x和一個y，便得到了切線方程。師：若將已知條件中圓半徑改為r，點改為圓上任一點（xo,yo）,則結(jié)論將會發(fā)生怎樣的變化？大膽地猜一猜！生：xox+yoy=r2.師：這個猜想對不對？若對，可否給出證明？生：。例2已知圓的方程是 x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點P（xo,yo）的切線的方程。解：如圖(上一頁)，因為切線與過切點的半徑垂直，故半徑OP的斜率與切線的斜率互為負倒數(shù) 半徑OP的斜率 K1，切線的斜

8、率 K所求切線方程：y-yo= (x-xo)即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2. (教師板書)  當(dāng)點P在坐標(biāo)軸上時，可以驗證上面方程同樣適用。歸納總結(jié)：圓的方程可看成 x.x+y.y=r2,將其中一個x、y用切點的坐標(biāo)xo、yo 替換，可得到切線方程例3右圖為某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB20M，拱高OP4M，在建造時每隔4M需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度。（精確到0.01M） 引導(dǎo)學(xué)生分析，共同完成解答。 師生分析：建系； 設(shè)圓的標(biāo)準方程（待定系數(shù)）；求系數(shù)（求出圓的標(biāo)準方程）；利用方程求A2P2的長度。 解：以AB所在直線為X軸，

9、O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系。則圓心在Y軸上，設(shè)為（0，b）,半徑為r，那么圓的方程是 x2+(y-b)2=r2.P(0,4),B(10,0)都在圓上，于是得到方程組： Y P2 P解得：b=-10.5 ,r2=14.52圓的方程為 x2+(y10.5)2=14.52.將P2的橫坐標(biāo)x=-2代入圓的標(biāo)準方程 A A2 O B X且取y>0 得：y= 14.36-10.5=3.86 (M)答：支柱A2P2的長度約為3.86M。.課堂練習(xí)、課時小結(jié)課本77練習(xí)2，3師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握圓的標(biāo)準方程，理解并掌握切線方程的探求過程和方法，能運用圓的方程解決實際問題.問題延伸、課后

10、作業(yè)(一)若P（xo,yo）在圓（x-a）2+(y-b)2= r2上時，試求過P點的圓的切線方程。課本81習(xí)題7.7 : 1，2，3，4(二)預(yù)習(xí)課本7779板書設(shè)計§7.7 圓的方程 1圓的標(biāo)準方程  例2 例3方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圓的標(biāo)準方程. 當(dāng)圓心在原點，半徑為r時， 圓的標(biāo)準方程為：x2+y2=r2. 例1 練習(xí)2 練習(xí)3  例1 教學(xué)設(shè)計說明設(shè)計思想：在教學(xué)過程中，教師遵循數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，并依據(jù)建構(gòu)主義教育理論，創(chuàng)設(shè)一系列數(shù)學(xué)實驗環(huán)境，在情境中讓學(xué)生觀察、類比、猜想、嘗試、探索、歸納并引導(dǎo)加以證明，強調(diào)主動建構(gòu)，從深層次

11、加強學(xué)生對知識的感知度，使學(xué)生能更好地理解和掌握圓的標(biāo)準方程。設(shè)計理念：設(shè)計的根本出發(fā)點是促進學(xué)生的發(fā)展。教師以合作者的身份參與，課堂上建立平等、互助、融洽的關(guān)系，師生共同研究，共同提高。設(shè)計思路：本節(jié)課的設(shè)計與教材的呈現(xiàn)方式有所不同，教材只是教學(xué)的藍本，教師在理解教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，應(yīng)發(fā)揮主觀能動作用，對教材資源進行再加工、再創(chuàng)造，這樣教學(xué)有利于認知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)的有機結(jié)合，也有利于學(xué)生從深層次理解和掌握圓的標(biāo)準方程。鑒于此，本節(jié)在給出圓的標(biāo)準方程的過程中，運用簡單、特殊的到復(fù)雜、一般的數(shù)學(xué)思想，使用了觀察、猜測、經(jīng)驗歸納等方法進行合情地推理，同時引導(dǎo)學(xué)生對照圓的幾何形狀，觀察和欣賞圓的方程，體會數(shù)學(xué)中的美對稱、簡潔。圓的標(biāo)準方程的應(yīng)用是本節(jié)的難點。為了突破難點，設(shè)計三個例題。第一、二個例題，從特殊到一般給出切線方程，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，不斷完善自己的認知結(jié)構(gòu)。第三個例題，充分利用多媒體的動感演示，刺激學(xué)生的感官，引起更強的注意，從而使學(xué)生理解理論來源于實踐，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激發(fā)學(xué)生自主探究問題的興趣，增強應(yīng)用意識；同時培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、堅忍不拔的意志品質(zhì)。最后設(shè)計了“問題延伸”，讓學(xué)生帶著問題走進課堂，又帶著問題走出課堂，激發(fā)學(xué)生不斷求知、不斷探索的欲望。在整個教學(xué)過程中，主要著眼于“引”，啟發(fā)學(xué)生“探”，把“引”和“探”有機的結(jié)合起來，教