勾股定理例題含答案

1、勾股定理經(jīng)典例題含答案11頁勾股定理是一個(gè)根本的初等幾何定理,直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形兩直角邊 為a和b,斜邊為c,那么a2+b2=c2,假設(shè)a、b、c都是正整數(shù),(a,b,c)叫做勾股數(shù)組.勾股定理現(xiàn)約有500種證實(shí)方法,是數(shù)學(xué)定理中證實(shí)方法最多的定理之一.勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證實(shí)的重要數(shù)學(xué)定理之一,用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一,也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一. 勾三,股四,弦五是勾股定理的一個(gè)最著名的例子.遠(yuǎn)在公元前約三千年的 古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理,還知道許多勾股數(shù)組.古埃及人也應(yīng)用過勾股定理.在中國,西周的 商高提出了勾三股四弦五的勾股定

2、理的特例.在西方,最早提出并證實(shí)此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯,他用演繹法證實(shí)了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.類型一：勾股定理的直接用法1、在 RtAABC 中,/ C=90(1) a=6, c=10,求 b,(2) a=40, b=9,求 c； (3) c=25, b=15,求 a.思路點(diǎn)撥：寫解的過程中,一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中,注意勾股定理的變形使用.解析：(1)在4ABC 中,/ C=90(2)在4ABC 中,/ 0=90 ,(3)在4ABC 中,/ 0=90 ,a=6, c=10,b=. a=40,c=25,b=9,c=L:- -b=15,a=,二 二 一-

3、舉一反三【變式】：如圖/ B=/ACD=90【答案】/ A0D =90 AD=13, 0D=12. . AC2=AD 2-CD2=132- 122,AD=13,CD=12, BC=3,貝U AB 的長是多少=25AC=5又. / ABC=90 且 BC=3由勾股定理可得AB2 = AC2BC2=52-32=16AB= 4AB的長是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖,：在中,N3=60 ,.=70 ,=30 .求:BC的長.思路點(diǎn)撥：由條件 =6口 想到構(gòu)造含3cle1角的直角三角形,為此作皿叫* BD二月 3 = 15/即.二,2,再由勾股定理計(jì)算出 AD、DC的長,進(jìn)而求出BC的解析：作

4、于D,那么因 /胡.二900- 600 = 30 (及A的兩個(gè)銳角互余)碩二1用8=15口2(在瓦中,如果一個(gè)銳角等于3丫那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)根據(jù)勾股定理,在 設(shè)5AD中,AD=-B爐=J3a 75, = ls/3根據(jù)勾股定理,在 以山8中,C八JQ M = gm-困/3=65- 5C = 5D + W=65 + 15 = 80舉一反三【變式1】如圖,：NC = 90, AU = CM ? MF_LAE于p.求證：EF* = Q +BCB解析：連結(jié)BM ,根據(jù)勾股定理,在觸BMP中,.而在PlAMP中,那么根據(jù)勾股定理有M/=H靖AP2 .又,:兒的士 CAf ,二一二J I _

5、. .在血&SC故中,根據(jù)勾股定理有 ?.bn二旃【變式2】：如圖,/ B=/D=90 , / A=60,AB=4 , CD=2.求：四邊形 ABCD的面積.分析：如何構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵,可以連結(jié)AC,或延長 AB、DC交于F,或延長 AD、BC交于點(diǎn)E,根據(jù)此題給定的角應(yīng)選后兩種,進(jìn)一步根據(jù)此題給定的邊選第三種較為簡單.解析：延長AD、BC交于E. / A=/60 , / B=90 ,E=30 .AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,BE2=AE 2-AB 2=82-42=48 , BE=足=4%月.DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=H,心.11.S 四邊形 a

6、bcd=Saabe-Scde= AB - BE- CD - DE= J類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用一用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如下列圖,在一次夏令營活動中,小明從營地A點(diǎn)出發(fā),沿北偏東 60.方向5U口后撞到達(dá)b點(diǎn),然后再沿北偏西 30方向走了 500m到達(dá)目的地C點(diǎn).1求A、C兩點(diǎn)之間的距離.2確定目的地 C在營地A的什么方向.解析：1過B點(diǎn)作BE/ADDAB= /ABE=60 ,30 +/CBA+ Z ABE=180 / CBA=90 即ABC為直角三角形由可得：BC=500m , AB= 50.Em由勾股定理可得：-二一-1所以 L .r- +,一一一2在 RtAABC 中, BC

7、=500m , AC=1000m/ CAB=30 / DAB=60 / DAC=30 即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車,其外形高 2.5米,寬1.6米,要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該 工廠的廠門頭 EJ 1 . ?|一味二【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過,只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH.如下列圖,點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處,且 CDXAB, 與地面交于 H.解：OC=1米大門寬度一半, OD=0.8米卡車寬度一半 在RtAOCD中,由勾股定理得： CD=JgJ0門工二 4工一00=0.6 米, CH= 0 .6 + 2 .3

8、 = 2 . 9 米2 .5 米. 因此高度上有0.4米的余量,所以卡車能通過廠門.二用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀,目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造,某地有四個(gè)村莊A、B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),現(xiàn)方案在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路,他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案,如 圖實(shí)線局部.請你幫助計(jì)算一下,哪種架設(shè)方案最省電線.思路點(diǎn)撥：解答此題的思路是：最省電線就是線路長最短,通過利用勾股定理計(jì)算線路長,然后進(jìn)行比較,得出結(jié) 論.解析：設(shè)正方形的邊長為1,那么圖1、圖2中的總線路長分別為AB+BC+CD =3, AB+BC+CD =3圖3中,在RtAABC

9、中AC =爐+弼=72同理, ,圖3中的路線長為；圖4中,延長 EF交BC于H,那么FH BC, BH=CH30.班=-由/ FBH=2及勾股定理得：史EA=ED=FB=FC= m. EF= 1 2FH= 1-,此圖中總線路的長為4EA+EF =-:,32,8282,732圖4的連接線路最短,即圖4的架設(shè)方案最省電線.舉一反三【變式】如圖,一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm, B C是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C,試求出爬行的最短路程.解:如圖,在RtABC中,B 2=底面周長的一半=1 0 cm,根據(jù)勾股定理得 提問：勾股定理.acFc后. 77 股

10、定理.答：最短路程約為10.77cm.類型四：利用勾股定理作長為 舊 的線段5、作長為 上、招、拈 的線段.思路點(diǎn)撥：由勾股定理得,直角邊為 1的等腰直角三角形,斜邊長就等于 收,直角邊為弟和1的直角三角形斜邊 長就是 后,類似地可作 出.作法：如下列圖1作直角邊為1 單位長的等腰直角ACB ,使AB為斜邊;2以AB為一條直角邊,作另一直角邊為 1的直角用胡.斜邊為用工；3順次這樣做下去,最后做到直角三角形娘氏,這樣斜邊工刀、幽、曲、鳴的長度就是點(diǎn)、出、百、拈.舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示 J1.的點(diǎn).解析：可以把回看作是直角三角形的斜邊,Mio, 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù),而10又

11、是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和,得另外兩邊分別是3和1.作法：如下列圖在數(shù)軸上找到 A點(diǎn),使OA=3 ,作ACXOA且截取AC=1 ,以O(shè)C為半徑,以O(shè)為圓心做弧,弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為J1.類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出以下原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原命題：貓有四只腳.正確2 .原命題：對頂角相等正確3 .原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn),到這條線段兩端距離相等.正確4 .原命題：角平分線上的點(diǎn),到這個(gè)角的兩邊距離相等.正確思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系.解析：1.逆命題：有四只腳的是貓不正確2 .逆命題：相等的角是對頂角不正確3 .逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂

12、直平分線上.正確4 .逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.正確總結(jié)升華：此題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備.7、如果A ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷A ABC的形狀.思路點(diǎn)撥：要判斷A ABC的形狀,需要找到 a、b、c的關(guān)系,而題目中只有條件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,故只有從 該條件入手,解決問題.解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,得： a2-6a+9+b 2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0. (a-3)20, (b-4)20

13、, (c-5)20oa=3, b=4, c=5.32+42=52, a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理,得A ABC是直角三角形.總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證實(shí)中也常要用至IJ.舉一反三【變式1】四邊形ABCD 中,/ B=90 , AB=3 , BC=4 , CD=12, AD=13 ,求四邊形 ABCD 的面積.【答案】：連結(jié)AC. / B=90 , AB=3 , AC2=AB 2+BC2=25BC=4勾股定理AC=5 AC2+CD2=169, AD2=169 ac2+cd2=ad2/ ACD=90勾股定理逆定理【變式2】以ABC的三邊分別為分析:

14、此題是利用勾股定理的的逆定理,m2n2,2mn,m,n2m,n為正整數(shù),且mn,判斷 ABC是否為直角三角形. 只要證實(shí)：a2+b2=c2即可證實(shí)：-,-1所以 ABC是直角三角形.【變式3】如圖正方形 ABCD , 為BCA中點(diǎn),F為AB上一點(diǎn),且BF=4AB.AB=4a,C斜邊長是20,求此直角三角形的面積.請問FE與DE是否垂直青說明.DEXEFo證實(shí)：設(shè) BF=a ,貝U BE=EC=2a, AF=3a , EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.連接DF (如圖)DF2=AF2+AD 2=9a2+16a2=25a2.df2=e

15、f2+de2, FEXDEo經(jīng)典例題精析 類型一：勾股定理及其逆定理的根本用法1、假設(shè)直角三角形兩直角邊的比是 3: 4,思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度,求面積,可以先通過比值設(shè)未知數(shù),再根據(jù)勾股定理 列出方程,求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積.解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x,根據(jù)題意得:(3x) 2+ (4x) 2=202化簡得x2=16;1,直角三角形的面積= 之X 3xX4x= 6x2=96總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中,常常要設(shè)未知數(shù),然后用勾股定理列方程(組)求解.舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為 2,求它的面積.【答案】如圖,等邊 ABC ,

16、作AD LBC于D1那么：bd=2bc (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合) AB = AC = BC = 2 (等邊三角形各邊都相等)BD = 1在直角三角形 ABD 中,AB2=AD2+BD2,即：AD2=AB2-BD2 = 4-1 = 3AD = 2Saabc = b BC , AD =正注：等邊三角形面積公式：假設(shè)等邊三角形邊長為a,那么其面積為 4 a.【變式2直角三角形周長為12cm,斜邊長為5cm,求直角三角形的面積.【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x, v,根據(jù)題意得：+ 5 =(1)八,一由(1)得：x+y = 7,(x+y) 2 = 49, x2+2xy+y

17、2=49 (3)(3)(2),得：xy=121 1,直角三角形的面積是 上xy = / X 12 = 6 (cm2)【變式3】假設(shè)直角三角形的三邊長分別是n+1, n+2 , n+3 ,求n.思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊(最長的邊)長 n+3,然后利用勾股定理列方程求解.解：此直角三角形的斜邊長為n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2化簡彳導(dǎo):n2=4n= 2,但當(dāng) n = 2 時(shí),n+1 = 10, 1. n= 2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊的平方和等于“斜邊的平方,在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜 邊的情況下,首先要先確定斜邊,直角邊.【變式4】以

18、以下各組數(shù)為邊長,能組成直角三角形的是()A、8, 15, 17 B、4, 5, 6 C、5, 8, 10 D、8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷,對數(shù)據(jù)較大的可以用 c2=a2+b2的變形：b2=c2a2= ( c a) (c+a)來判斷.例如：對于選擇 D,82w ( 40+39) X ( 4039),.以8, 39, 40為邊長不能組成直角三角形.同理可以判斷其它選項(xiàng).【答案】：ACD=12 , AD=13 ,求四邊形 ABCD的面積.【變式5】四邊形 ABCD中,/ B=90 , AB=3 , BC=4 , 解：連結(jié)AC / B=90 , AB=3 , BC

19、=4.AC2=AB2+BC2=25 (勾股定理).AC=51 . AC2+CD2=169, AD2=1692 .AC2+CD2=AD2/ ACD=90 (勾股定理逆定理).S 四邊形 abcd=Saabc+Saacd=2 AB - BC+2 AC - CD=36類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖,公路 MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯,且/ QPN = 30 ,點(diǎn)A處有一所中學(xué),AP= 160m.假設(shè)拖拉機(jī)行駛 時(shí),周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響,那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí),學(xué)校是否會受到噪聲影響請說那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒?明理由,如果受影響,拖拉機(jī)的速度為18km/h思路點(diǎn)撥：(1

20、)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A,實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m那么受影響,大于100m那么不受影響,故作垂線段 AB并計(jì)算其長度.(2)要求出學(xué)校受影響的時(shí)間,實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對學(xué) 校A的影響所行駛的路程.因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校,行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校.解析：作AB LMN ,垂足為Bo在 RtAABP 中,. / ABP =90 , /APB = 30 , AP = 160,1AB=2aP = 80.(在直角三角形中,30所對的直角邊等于斜邊的一半) 點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m, 這所中學(xué)會受到噪聲的影響.如圖,假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿P

21、N方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響,那么 AC=100(m),由勾股定理得：BC2= 1002-802= 3600, BC = 60.同理,拖拉機(jī)行駛到點(diǎn) D處學(xué)校開始脫離影響,那么,AD = 100(m), BD=60(m), .CD = 120(m).拖拉機(jī)行駛的速度為:18km/h = 5m/st = 120m + 5m/s = 24s.答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí),學(xué)校會受到噪聲影響,學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒.總結(jié)升華：勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,假設(shè)圖形缺少直角條件,那么可以通過作輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理.舉一反三 【變式1】如圖學(xué)校有一塊

22、長方形花園,有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑,在花園內(nèi)走出了一條 “路.他們僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1m),卻踩傷了花草.解析：他們原來走的路為 3+4 = 7(m)設(shè)走“捷徑的路長為 xm ,那么公=)卓+4 = 5故少走的路長為 7 5= 2(m)又由于2步為1m,所以他們僅僅少走了 4步路.【答案】4【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格,它的每一個(gè)小三角形都是邊長為1的正三角形,這樣的三角形稱為單位正三角形.(1)直接寫出單位正三角形的高與面積.(2)圖中的平彳T四邊形 ABCD含有多少個(gè)單位正三角形平行四邊形 ABCD的面積是多少(3)求出圖中線段 AC的長(可作輔助線

23、).【答案】1單位正三角形的高為走2 ,面積是224.2如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個(gè)單位正三角形,因此其面積3過A作AK,BC于點(diǎn)KO如下列圖,那么在RtAACK中,4類型三：數(shù)學(xué)思想方法一轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角,或進(jìn)行推理論證時(shí),常常作垂線,構(gòu)造直角三角形,將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決.3、如下列圖, ABO是等腰直角三角形, AB=AO , D是斜邊BO的中點(diǎn),E、F分別是AB、AO邊上的點(diǎn),且 DE LDF,假設(shè)BE=12 , CF=5.求線段 EF的長.SA思路點(diǎn)撥：現(xiàn)BE、OF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中,所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化,根據(jù)直角三角形 的特征,三角形的中線有特殊的性質(zhì),不妨先連接解：連接AD .由于/ BA