三角形中的中點(diǎn)問題

1、精心整理三角形中有關(guān)“中點(diǎn)問題”是幾何中最常見的重要問題之一，而有關(guān)中點(diǎn)的定理散見于各章節(jié)三角形中的中點(diǎn)問題例1 如圖，在 ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線，求證：AB=AC.分析：在厶ABC中，AD是/ BAD= / CAD,AD=AD,BD=CD 三個(gè)條件，但不能直接推出 ABD 和厶ACD全等，注意到點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即AD是厶ABC的中線，可嘗試常用的輔助線添設(shè)中線倍長(zhǎng)”。試試將該中線延長(zhǎng)一倍， （即.BC邊），b （即CA邊）和中線 （即CD邊）整合到一個(gè)三角形中（在該三角形中，原中線以兩倍的形式出現(xiàn)，由此可得出講評(píng)：一見到三角形一邊c （即AB邊）上的中線

2、，就應(yīng)該想到，可以 這樣就把原先成叉狀的三條線段（有共同端點(diǎn)的兩條邊 am一些結(jié)論：例 2:如圖，在 ABC 中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn) D 是 BC中點(diǎn)，DE丄AC于點(diǎn)E，則DE等于（）1212 B、18C、24 D、325講評(píng)：由于等腰三角形具有頂角平分線、底邊上的中線及底邊上的高線三線合一的性質(zhì)，因此 若是題目給了等腰三角形底邊中點(diǎn) 的條件，通常情況下應(yīng)該 作出底邊上的中線，那么它不僅是 底邊上的中線，而且是底邊上的高，頂角平分線，這樣就能把等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的直 角三角形。例3.如圖，在 ABC中，BD、CE為高，M是DE的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，求證：MN丄DE.分析：

3、可以先引導(dǎo)學(xué)生觀察：有幾個(gè)直角三角形？然后容易看出N是某兩個(gè)直角三角形公共斜邊的中點(diǎn)。講評(píng)：如髓目僵邊形1三角釁邊中點(diǎn) 的條件,，AD=BC,M，那么最Tin輔助線是n/AD、BC與MN的延長(zhǎng)線分別交于 E、F。求證：/ AEC= / BFM.分析：待證的兩個(gè)角/ ANE、/ BFM的位置“參差不齊”，勢(shì)必要換成等角進(jìn)行過(guò)濾，本題中 雖有中點(diǎn)條件，但明顯沒有等腰三角形、直角三角形，因此考慮利用三角形中位線定理來(lái)解決問題。精心整理講評(píng)：已知兩個(gè)中點(diǎn)，常常另找第三個(gè)中點(diǎn)，由此可得到兩條中位線，而這個(gè)“第三者” 的尋找有一定的難度，一般說(shuō)，要有利于已知條件的集中，本題雖有AD=BC，但它們是“散”的

4、；要有利于待證對(duì)象的集中，本題兩個(gè)角的位置“參差不齊”的。例5:如圖，在 ABC中，D是BC中點(diǎn)，DE丄DF，求證：BE+CF>EF.分析：待證的線段BE、CF、EF太分散，要設(shè)法集中，簡(jiǎn)單的平移，顯然不行，那么可以 不可以將它們折半后集中呢？可試試中位線。例6:如圖，在等腰三角形 ABCD中，CD / AB,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,Z ACD=60。，點(diǎn)S、 P、Q分別是DO、AO、BC的中點(diǎn)，求證： SPQ是等邊三角形。精心整理小結(jié)：初中數(shù)學(xué)中涉及三角形中有關(guān)中點(diǎn)的定理主要有三條：（1）等腰三角形的三線合一；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（3）三角形的中位線定理。2

5、涉及三角形中有關(guān)中點(diǎn)問題，常規(guī)的思路有 ：（1）先看和中點(diǎn)相關(guān)的三角形是不是特殊三角形？ 一見等腰三角形的底邊的中點(diǎn)，可以考慮利用定理一一等腰三角形的三線合一解決問題; 一見直角三角形的斜邊上的中點(diǎn)，可以考慮利用定理一一直角三角形斜邊上的中線等于 斜邊的一半解決問題；（2）如果和中點(diǎn)相關(guān)的三角形不是特殊三角形，那么通常的手法有： 將中線延長(zhǎng)一倍“中線倍長(zhǎng)”； 取另一邊的中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理解決問題，另一邊的中點(diǎn)的選取有兩個(gè)原則； 有利于已知條件的集中，有利于待證對(duì)象的集中。3. 在不能用平移等方法直接將線段集中打一個(gè)三角形中時(shí)，可以考慮將線段“折半”后集 中，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，都有“折半”的功能。練習(xí)：1. 如圖，在 ABC中，AD是三角形的高，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E、F、G分別是BC、AB、AC的 中點(diǎn)，求證：四邊形EFGD是等腰三角形。AB 十 AC2. 如圖，在 ABC中，AD是三角形BC邊上的中線，求證： AD ：.13. 如圖，在 ABC中，AD是三角形的高，/ B=2Z C,E為BC的中點(diǎn)，求證：DE= AB.4. 如圖，以 ABC的ABAC為斜邊向形外作 Rt ABE和Rt ACF，且使/ ABE= / ACF,點(diǎn)D 是BC的中點(diǎn)，求證：DE=DF.6.如圖，以厶ABC 中，點(diǎn)