線性代數(shù)方程組的直接解法賴志柱

1、第二章線性代數(shù)方程組的直接解法教學(xué)目標(biāo)：1. 了解線性代數(shù)方程組的結(jié)構(gòu)、基本理論以及相關(guān)解法的發(fā)展歷程；2. 掌握高斯消去法的原理和計(jì)算步驟，理解順序消去法能夠?qū)崿F(xiàn)的條件，并 在此基礎(chǔ)上理解矩陣的三角分解（即 LU分解），能應(yīng)用高斯消去法熟練計(jì)算簡 單的線性代數(shù)方程組；3. 在理解高斯消去法的缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，掌握有換行步驟的高斯消去法，從而 理解和掌握選主元素的高斯消去法，尤其是列主元素消去法的理論和計(jì)算步驟， 并能靈活的應(yīng)用于實(shí)際中。教學(xué)重點(diǎn)：1. 高斯消去法的原理和計(jì)算步驟；2順序消去法能夠?qū)崿F(xiàn)的條件；3. 矩陣的三角分解（即LU分解）；4. 列主元素消去法的理論和計(jì)算步驟。教學(xué)難點(diǎn)：1.

2、高斯消去法的原理和計(jì)算步驟；2. 矩陣的三角分解（即LU分解）；3. 列主元素消去法的理論和計(jì)算步驟。教學(xué)方法：教具：在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，許多問題的解決常常歸結(jié)為線性方程組的求解， 有的問題的數(shù)學(xué)模型中雖不直接表現(xiàn)為線性方程組，但它的數(shù)值解法中將問題 “離散化”或 “線性化”為線性方程組。例如，電學(xué)中的網(wǎng)絡(luò)問題、船體數(shù)學(xué) 放樣中建立三次樣條函數(shù)問題、最小二乘法用于求解實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合問題、 求解非線性方程組問題、用差分法或有限元法求解常微分方程邊值問題及偏微分 方程的定解問題，都要導(dǎo)致求解一個或若干個線性方程組的問題。目前，計(jì)算機(jī)上解線性方程組的數(shù)值方法盡管很多， 但歸納起來，大致可以

3、分為兩大類：一類是直接法（也稱精確解法）；另一類是迭代法。例如線性代數(shù) 中的Cramer法則就是一種直接法，但其對高階方程組計(jì)算量太大，不是一種實(shí) 用的算法。實(shí)用的直接法中具有代表性的算法是高斯（ Gauss）消元法，其它算 法都是它的變形和應(yīng)用。在數(shù)值計(jì)算歷史上，直接法和迭代法交替生輝。一種解法的興旺與計(jì)算機(jī)的 硬件環(huán)境和問題規(guī)模是密切相關(guān)的。 一般說來，對同等規(guī)模的線性方程組，直接 法對計(jì)算機(jī)的要求高于迭代法。對于中、低階（ n : 200 ）以及高階帶形的線性 方程組，由于直接法的準(zhǔn)確性和可靠性高， 一般都用直接法求解。對于一般高階 方程組，特別是系數(shù)矩陣為大型稀疏矩陣的線性方程組用迭代

4、法有效。§ 2.1基本定理和問題設(shè)具有n個未知數(shù)的n個方程的線性方程組為行11為 +ai2X2 +川 +ainXn =bi(2.1)a2lXi +a22X2 +HI +a2nXn =b2min、an1 Xi * an2X2 刊 11 ann X bn或nZ ajXj =b( i =12|il,n)(2.1)j 4其矩陣形式可以表示為Ax = b其中a12IIIa1nA =a21a22IIIa2nIIIHIHIIH&n1an21*1ann丿X =(Xi，X2，|,Xn)T(2.2)b=(b1,b2,|,0)T其增廣矩陣為a11a12IHa1na1,n 卅a21a22IHa2na

5、2,n +IHIHIII川IH(an1an2IHannan,n1 )A=A|b-或(ai,n * = b， i = 1,2, I ： I , n )(2.3)則方程組(2.1 )、(2.1)'(2.2 )和(2.3 )是一一對應(yīng)的。若用r(A)表示矩陣A的秩，則有關(guān)于線性方程組(2.2 )的解的存在性的基 本定理(在高等代數(shù)或線性代數(shù)中有證明)：定理2.1( 1)方程組(2.2 )有解的充分必要條件是r(A)二r(A)；(2) 若r(A)二r(A)二k 5，則方程組(2.2 )具有一族解，其解可表示為n -k(i)X 二 X _CiXi £其中x”為Ax =b的任一特解，X(

6、i)是齊次方程組Ax = 0的解，且x,x，|",*7線性無關(guān)，c為任意常數(shù)。（3）若r（A）=r（A）二n，則方程組（2.2 ）有唯一解。定義2.1如果兩個方程組的解相同，則稱這兩個方程組為 同解（等價）方 程組。不難證明：將方程組中任意兩個方程交換次序， 所得方程組和原方程組為同 解方程組；將方程組中任一方程的一個倍數(shù)加到另一個方程上，所得方程組和原 方程組為同解方程組。用（Ei）表示（2.1 ）的第i個方程或（2.3 ）的第i行，記（2.3 ）的第i行與 第j行互換為（E ）（Ej ），而（2.3 ）的第j行乘以a HO加到第i行記為 （Ej E）（EJ。這是矩陣的初等變換，相

7、當(dāng)于A|b左乘一個初等矩陣。同樣 的運(yùn)算符號，我們也理解為方程組（2.1 ）作相應(yīng)的變換。經(jīng)過這些變換后得到 的方程組與方程組（2.1 ）同解（或等價）。對于線性方程組（2.2 ）的求解，在理論上并不存在困難。若r（A）二n，即A 為非奇異（可逆）矩陣，它的行列式 D=detA = O，貝U應(yīng)用Cramer法則可求得DXi = D （ i =1,2,川，n ）其中Di是用b代替A中第i列而得到的相應(yīng)的行列式。然而在實(shí)際中，當(dāng)未知數(shù) 的個數(shù)n比較大時，按Cramer法則進(jìn)行計(jì)算，其工作量就會大得驚人，因而該 方法在實(shí)際操作中并不可行。n階行列式共有n!項(xiàng)，每項(xiàng)都有n個因子，所以計(jì) 算一個n階行列

8、式需要做（n-1） n!次乘法，我們共需要計(jì)算n,個行列式，要計(jì)算出X,還要做n次除法，因此用Cramer法則求解線性方程組（2.2 ）就要做2N = （n 1） （n -1） n! n 二（n -1） n! n次乘除法（不計(jì)加減法）。如nh0時，N =359251210 ；當(dāng)n =20時，N : 9.7073 1020，可見，在實(shí)際計(jì)算中Cramer法則幾乎沒有什么用處。本章的 主要目的就是研究求解線性方程組（2.2 ）的有效算法。某一算法的效率可以用下列兩個主要的準(zhǔn)則來判斷：（1）該算法的計(jì)算速度 如何？即計(jì)算中要設(shè)計(jì)多少次運(yùn)算？（2）計(jì)算所得到解的精度如何？這兩個準(zhǔn)則是針對在計(jì)算機(jī)上求解

9、高階方程組而提出的。由于線性方程組階數(shù)很高時求解所需要的計(jì)算量極其巨大，因而很自然地提出準(zhǔn)則（1）。準(zhǔn)則（2） 的提出，是由于在實(shí)際問題當(dāng)中舍入誤差的影響，可能使計(jì)算解產(chǎn)生偏離真實(shí)解的不可忽視的誤差。特別地，在解高階方程組時涉及大量的運(yùn)算，舍入誤差潛在地積累有可能造成計(jì)算解對真實(shí)解的嚴(yán)重偏離。后續(xù)章節(jié)還要詳細(xì)地研究誤差的影響。在研究（2.2 ）的數(shù)值方法之前，先考察一下求解中會遇到的一些困難，這有助于理解后面將要提出的一些數(shù)值計(jì)算方法§ 2.2 Gauss消去法從這一節(jié)開始，我們來討論線性方程組（2.1 ）或（2.2）的直接解法。所謂 直接法，就是它只包含有限次的四則運(yùn)算，若假定每一

10、步運(yùn)算過程中都不產(chǎn)生舍 入誤差，計(jì)算的結(jié)果就是方程組的精確解。這種方法中最基本和最簡單的就是 Gauss消去法及其變形。2.2.1 Gauss消去法的計(jì)算過程設(shè)方程組（2.1 ）或（2.2 ）的系數(shù)矩陣A非奇異，并記a(1) =aj，i =1,2,1山 n， j =1,2川1, n,n 1A|b=A|b這樣方程組（2.2 ）又記為Ax =b。a（1）要完成Gauss消去法的第1步須先假定 事=0，令1和二丟（i =2,Hl,n ），冃1則運(yùn)算（-li1E1 Ei） > （Ei）（ i=2川l,n ）將A|b變換為A | b(2)二ajIIIaa(1)a22)IIIa22)f2)a2,n

11、卅IIIHIIIIIIIan2)IIIan?6,n4fa：；(2.4 )其中a（1）=2川 |,n 1a（2）=a（1）Ti1a1（1），h =哈，i = 2,|H,n，an對應(yīng)（2.4 ）的方程組是Ax=b，它與（2.2 ）等價，而其第2至第n個方程 中的X1項(xiàng)已經(jīng)消去。般地，設(shè)消去法已進(jìn)行了 k-1步，得到方程組A（k）x二b（k）。此時對應(yīng)的增廣矩陣為(1)a)1(1) a12 a2?IllIIIm m(1) a1n d2) a2n口 a爲(wèi)A(k) |b(k)=III(k)hiIII(k)IIIk)akk)HIakn)ak,nH1IIIIIIHIIIIank)1*1a(k)6na(k)

12、an,n4l /(2.5 )a(k)假設(shè) akk)=O ,令 h =召(i=k 1川,n ),則運(yùn)算(_hEk EJ > (EJ akk(i=k -1|,n )的結(jié)果是方程組A(k1)x=b(k1)，對應(yīng)增廣矩陣為A(5|b(5, 其中的元素為a(k),i=1,il|,k; j=1li, n+1a(k ° Wajk) -hkakjk), i =k 1,n; j k 1, n1(2.6)、0, i=k+1,川，nlik = aik)/ akk), i = k 1J | |, n如果依次有akk"( k=1川I, n-1)，則可進(jìn)行第門-1步，得到與(2.2 )等 價的方

13、程組A(n)x =b，其中A(n)是一個上三角陣，且'a口ana12IIIHIa1n)d1,n 卅A(n)|b(n) =a2?IIIIIIa22)a2,n 卅IIIIIIIII卅_(n)(n)annan,n十丿這樣就完成了消去過程。因?yàn)锳非奇異，故有an；式0。接下來解A(n)x = b(n)，因?yàn)锳(n是上三角陣，這只要用逐次向后代入的方法即可，這個過程稱為回代過程， 其計(jì)算公式為a(n)an,n 1Xn = a(n)(2.7)annna(in+_ 送 a(i)XjX =, i =n-1, n-2,川,1aii以上有消去過程和回代過程合起來求出(2.2 )的解的過程就稱為Gauss消

14、 去法，或稱為順序Gauss消去法。從(2.6 )可以看出，消去過程的第k步共含有除法運(yùn)算n-k次，乘法和減法運(yùn)算各(n -k)(n / k)次，所以消去過程共含有乘除法次數(shù)為5nn丄nj(n-k) '、(n -k)(n 1 -k)二k 4k 4含加減法次數(shù)為n 1' (n -k)(n 1 -k)k 4而回代過程含乘除法次數(shù)為叮，加減法次數(shù)為嚀)，所以Gauss消去法3總的乘除法次數(shù)為- n23332 廠3nnnn5nn，加減法次數(shù)為333263當(dāng)n =10時，用Cramer法則需要3592512103.6 108乘除法，而用 Gauss消去法僅需430次乘除法運(yùn)算例2.1用G

15、auss消去法解方程組:(1 2(1)12-334 'z15 '-183-1_1X2-151 1111X36<31-1104丿<2<2 432 X21人X3丿(2)解：(1)對增廣矩陣進(jìn)行初等變換f12 3 14、<12314 0 12 8(去1 七3)-3=0 1 2 8? 4113 y0-515丿x-i 2x2 3x3 =14得等價的方程組x2 2x3 8，解得x3=3， %=2，= 1I 5x3=15(2)對增廣矩陣進(jìn)行初等變換12-334、12-334)371537150505221572215(E3 托4E41129211、1129200003

16、6113611735791000000X36)33丿(6e2 E3JE32.12-3 3 415 '-18 3-1 -1-15111161-112z12 -33415、c37150 一 -52 2205321944347770 0<444丿3(空曰 E2) jE21(爲(wèi)E1引乓12(pE1 E4)E4得等價方程組<12x1-3x?32x2113 x33x3 4x4 = 157 a 152x3 5x4229 仆 x4 = 11691 門x = 033回代得X4=0 , X3=3 , x2 = 2 , X1an設(shè)矩陣A的順序主子式為，即aiiIIIai1IIIIIIIIIali

17、IIIaii，i =1,21,n(2.8 )2.2.2消去法的進(jìn)一步討論，矩陣的LU分解從上面的消去過程可以看出，Gauss消去步驟能順序進(jìn)行的條件是 £,11扁：爲(wèi)全不為零。則有下面的定理:定理 2.2 ai(i)(i= 1,2川I,k )全不為零的充分必要條件是A的順序主子式:i -0( i =1,2川l,k)，其中k - n。步A(m)由A證明：設(shè)ai(i-0( i=1,2,Hl,k )，則可以進(jìn)行消去法的k-1步，每 逐次實(shí)行(TjEj Ei) > (Ei)的運(yùn)算得到，這些運(yùn)算不改變相應(yīng)順序主子式之值,所以有(i) a-11(i)ai2a22IIIIIIIII(i)a1

18、ma2mIH(m) amm這樣便有A皿芒0（ m=i,2,IH,k），必要性得證。用歸納法證明充分性。k=i時顯然成立。設(shè)命題對k-i成立?，F(xiàn)設(shè)0,1 耳=0,厶k = 0。由歸納假設(shè)有a； = 0,1 IhakT=0 , Gauss消去法就可 以進(jìn)行k -1步，A約化為Ai（ik）A；八< oa22）其中Ak）是對角元為aiT,a2?,ll）,ak：仁的上三角陣。因?yàn)锳（k）是通過消去法由A逐步得到的，A的k階順序主子式等于A（k）的k階順序主子式，即A（k）*久=2霽制）川ak粘ak：由也k式0可推出ajk鼻0。定理2.3對方程組Ax二b，其中A非奇異，若A的順序主子式均不為零， 則

19、可以Gauss消去法求出方程組的解。定義2.2設(shè)矩陣A =（a）価每一行對角元素的絕對值都大于同行其它元素n絕對值之和，即 丨' jajjl，i =i,2川|,n，則稱A為嚴(yán)格（行）對角占優(yōu)矩陣jm定理2.4設(shè)線性方程組Ax =b的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則用順序Gauss消去法求解時aj（ i =1,2,ltl,k ）全不為零。證明：（略）下面我們來討論Gauss消去過程用矩陣運(yùn)算表示的形式。第1步令A(yù)二A，作一次運(yùn)算（-liiErEJ > （Ei） , i=2川l,n，這相當(dāng)于A左乘矩陣Mi = -li| 1, i=2川|,nk4'、b第1步的全過程相當(dāng)于LJA|

20、b二A|b，其中L|=MnMn|M2121 1<_l n1L2L2 川 L.A二 A(k)設(shè)k -1步后系數(shù)矩陣化為A(k)，其分塊形式寫成其中A(1k)為上三角的k -1階方陣，A22°為n -k 1階方陣，設(shè)其左上角元素a；：=0 ，則下一步的乘數(shù)為 lia(kk) /akk) ， i = k T,|l, n。若記ek =( 0IJ011 T 0是第k個分量為1的單位向量，記l(k(0j|,0,lk+,kJH,lnk)T，其前k個分量為零，從而有eTl(k)=0。第k步中系數(shù)矩陣的約化可用矩陣運(yùn)算描述為LkA(k)A(k 1)fA(k+)A11OA(k+)、A12(k 1)

21、A22其中陽1)是上三角的k階矩陣，a22 d)是n-k階方陣，而(2.9)1Tk 1,k1-lnk可以驗(yàn)證(i -l(k)eT)(i l(k)eT"(i l(k)eT)(i -l(k)eT)l(k)(&l(k),I即有 L： =(l 嚴(yán)&)=1 - l(k)eT。這樣，經(jīng)過 n1 步得到 LnJLn|L1A(1 A(n),這里的A(n)是上三角陣，記U =A(n)，又記(LnJll|L)J =(l IeT川 1(1 1(7)I21I3132(2.10)n1n2IIIL是一個對角線元素全為1的下三角陣，這種矩陣稱為單位下三角陣。L的對角 線以下元素就是各步消去的乘數(shù)。

22、最后我們可以得到 A-LU，其中L是一個單 位下三角陣，U是一個上三角陣。定義2.3將矩陣A分解為一個下三角矩陣 L和一個上三角矩陣U的乘積A二LU，稱為對矩陣A的LU分解或三角分解。當(dāng)L是單位下三角矩陣時稱為 Doolittle (杜里克爾)分解。當(dāng)U是單位上三角矩陣時稱為 Crout (克洛特) 分解。由上面的分析過程知，Gauss消去法的實(shí)質(zhì)是將系數(shù)矩陣分解為一個下三角 矩陣和一個上三角矩陣相乘，即將系數(shù)矩陣進(jìn)行LU分解。在矩陣A的LU分解A = LU 中,我們將U寫成U = DU，其中D是對角矩陣，U是單位上三角陣，進(jìn)一步記L二LD，它是一個下三角陣，這樣有A 二 LU 二 LDU =

23、(LD)U其中匚是一個下三角陣，U是單位上三角陣，此即A的Crout分解。在矩陣A的Doolittle 分解A二LU中，我們將上三角陣U寫成DU的形式， 這里的D為對角陣，U為單位上三角陣，這樣得到 A = LDU，其中L為單位下 三角陣，D為對角陣，U為單位上三角陣，稱其為 A的LDU分解。定理2.5設(shè)非奇異矩陣A Rnn，若其順序主子式冷(i=1,IH, n-1)都不等于 零，則存在唯一的單位下三角陣L和上三角陣U，使A二LU。證明：上面的分析過程已經(jīng)說明了非奇異矩陣A可作LU分解，下面只需證明分解的唯一性。設(shè)A有兩個分解式A二屮1和A二L2U2，其中JI都是單位下三角陣，UnU2 都是上

24、三角陣，則有 屮1 =L2U2。因?yàn)锳非奇異，從而J,L2， U1,U2都可逆。故 在屮產(chǎn)L2U2兩邊同時左乘L,和右乘U2，這樣得到SU'rLrL。因?yàn)閁f1仍 為上三角陣，故U1U2'也是上三角陣，同理可得 LL2是單位下三角陣，結(jié)合U1U2=L/L2 知只可能 UU2,=L：L2=1，即有Li=L2 ,Ui=U2。證畢可以證明，對于奇異矩陣 A Rnn依然滿足定理2.5。而且，從上面的推導(dǎo)過程可以看到，對A作LU分解時，其中的U為還可以驗(yàn)證A的順序主子式為對應(yīng)的L和U的順序主子式的乘積，而A的m階順u11 u12 IIIu1nanajIlla(1)a1nu22 HIu2n

25、a2?III2)a2n+I14 1-1IIIIIIunna(n) annU序王子式滿足-:m = UiiU22 HlUmm， m=12l|l, n。定理2.6非奇異矩陣A Rnn有唯一的LDU分解的充分必要條件是 A的順序主子式.(i =1,1山n-1)都不等于零。§ 2.3主元素消去法2.3.1有換行步驟的消去法順序Gauss消去法可以進(jìn)行的條件是 a” =0(i =1,2,川,n-1)，如果有某個 a =0，消去法就不能繼續(xù)使用。例如，若an = 0,貝U第1步就不能進(jìn)行，但我 們可以在A的第1列中找出一個非零元ai1，進(jìn)行換行(EJ(巳)后再做消去法, 其他各步可以類似處理。有

26、時候雖然 審工0，但|審|很小，順序Gauss消去法可以順利進(jìn)行下去， 但計(jì)算過程舍入誤差導(dǎo)致誤差增長過大，以致結(jié)果不可靠，此時稱ai(i)為小主元例2.2用三位十進(jìn)制浮點(diǎn)運(yùn)算求解1.00X10* +1.00x2 =1.001.00% 1.00x2 二 2.00解：不難發(fā)現(xiàn)這個方程組的準(zhǔn)確解應(yīng)該接近(1.00,1.00/。下面我們用順序Gauss消去法來求解，則有121=亜=1.00 105，a22)二 a22 T21q2 =1.00一1.00 105a11a23 = a23 T21Q3 = 2.00 T.00 105在三位十進(jìn)制運(yùn)算的限制下，得到a2?x2魯=1.00a；代回第一個方程得花=

27、0。這顯然不正確。從上例的計(jì)算過程不難發(fā)現(xiàn)，計(jì)算解產(chǎn)生誤差的原因是小主元做除數(shù)。因此, 為使這種不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生的可能性減至最小，在每一步就要尋找一個遠(yuǎn)不是零的數(shù)作除數(shù)，既要尋找ik(ik)使|ai(k)Umax|ai(kk)|，并將第ik行與第k行對換。這 k藝勺樣akk)的當(dāng)前值就遠(yuǎn)不是零，這時的元素akk)稱為k列的主元素，ik行叫做主元素 行，這樣就引出了列主元消去法。2.3.2列主元消去法與完全主元消去法列主元消去法也稱為按列部分選主元的消去法。其具體過程如下:a；?，即| max | ai1(11“ I 1 :i： ：n I i 1|，其中21。因?yàn)閍非奇異，故有事式0。若h =1，

28、則消去過進(jìn)行第1步之前，在 A的第1列中選出絕對值最大的元素程與順序Gauss消去法一樣；若ii 1，則先進(jìn)行換行(E) (EJ，然后類似順 序Gauss消去法的運(yùn)算得到A|b。般地，設(shè)進(jìn)行了 k -1步選主元和消去法的步驟，得到A(k)|b(k)。第k步先選主元a(kk，使| ai*戶max |ai(kk) |，即在A(k)的第k列的對角線及對角線以下的元素中選出絕對值最大值a，顯然ik 一 k，且由于A(k)非奇異，從而有 嚟=0。若ik =k，貝U進(jìn)行順序Gauss消去法的第k步；若ik k，則對A(k)|b先換行 (Ekh (EJ，然后進(jìn)行類似Gauss消去法的運(yùn)算。如上進(jìn)行n -1步

29、選主元、換行與消去法運(yùn)算，得到A(n)x = b(n)，其中A(n)是一個上三角陣，再回代進(jìn)行求解。列主元消去算法：1、消去過程：對k =1,2,|山n-1(1)選主元：找 ik k,川,n，使舊丁 尸max |ai(kk) | ；(2)若 aik；)=0，則停止計(jì)算(detA=|A|=0)； (3)若i/k，則換行(E”匕);(4) 消元：對i=k+1,川,n , hk"kk)/akk);對 j=k+1川,n+1 , a(* = a(k)爲(wèi)；)2、回代過程：(1)則停止計(jì)算(det A =| A |=0 );(2)Xnn,n 1 .二 ；ann(3)na(i仃送ajXj-2J|I,

30、1，Xi游a()在列主元消去算法的過程中，不是按列來選主元，而是在壯，即城化愛嚴(yán)，)，然后將完全主元消去法：A(k)右下角的n -k 1階子陣中選主元a( jA(k)|b(k)的第ik行與第k行、第jk列與第k列交換，再進(jìn)行消去運(yùn)算完全主元法比列主元法運(yùn)算量大得多，可以證明列主元消去法的舍入誤差 般已比較小，在實(shí)際計(jì)算中多用列主元法。例2.3用列主元消去法解方程組Ax =b，計(jì)算過程取五位數(shù)字，其中"-0.002220.4'A|b =10.7812501.381613.9965.562547.4178 解：-0.002A |b=A|b =1J 3.99620.781255.5

31、6252 0.401.3816 a314 7.4178,3.996= 3.996(曰)尸乍3)>5.56250.781251-0.00227.41781.38160.412廠 1/3.996 =0.25025131 二-0.002/3.996 二-0.00050050(E2 42啟)_乍2)_(E3 41E1)畑)A(2) |b(2)二3.99605.5625-0.610772.00284-1.00102.00207.4178-0.474710.40371二 2.0028'3.9965.56250 2.00280-0.6107747.41782.0020 0.40371-1.00

32、10 -0.47471.-0.61077I32 ：2.0028=-0.30496回代得:"3.9965.562547.4178 （E3 丄2E2芻A（3） |b02.00282.00200.40371< 00-0.39047-0.35159 x3 = 0.90043, X2 - -0.69850 , x<i =1.9273。其精確解為x = (1.92730,-0.698496,0.900423$而用順序Gauss消去法，則可解得x = (1.9300, _0.68695,0.88888)丁這個結(jié)果誤差比較大，這是因?yàn)橄シǖ牡?步中，a(1)按絕對值比其他元素小很多所引

33、起的。§ 2.4直接三角分解法Gauss消去法還有許多變形，有些變形是為了利用特殊技巧減少誤差，把 Gauss消去法改寫為更緊湊的形式，還有一些變形時根據(jù)某類矩陣的特性作一些 修正和簡化，這些方法可統(tǒng)稱為 直接三角分解法。2.4.1矩陣的三角分解設(shè)A的順序主子式=0(k =1,2J|I,n)，則可建立線性方程組Ax二b的Gauss消去法與矩陣分解的關(guān)系，即矩陣 A的LU分解。這個問題前面已經(jīng)講的比較詳 細(xì)了，此處不再贅述。2.4.2 Doolittle 分解法首先假設(shè)A的順序主子式 耳都不為零，則 A可作Doolittle 分解，即A-LU，其中L是單位下三角陣，有h =1，“ j時

34、1廠0 ； U是上三角陣，ij時5 =0。仔細(xì)寫出為a12IIIa1n 'nS11u12IHu1n 'a21a22HIa2nl211u22IHU2n+ 1-11 + FF 4 +ill+ 1-1* » hqI -1 I-lan1an2IIIann丿n1In2 HI bunn丿-LU （ 2.11）A 二在前面逐步推導(dǎo)L和U的元素公式都要借助于有關(guān)的a(k)來表示。現(xiàn)在強(qiáng)調(diào) 指出，只要從給定的A通過比較(2.11)式的兩邊就可能逐步地把L和U構(gòu)造出 來,而不必利用Gauss消去法的中間結(jié)果，這種方法稱為Gauss消去法的緊湊格 式。根據(jù)矩陣的乘法規(guī)則，比較（2.11 ）

35、式的兩邊可得min（i,j）aj - likUkj , i,j =12|,n（2.12）k=1先算出u的第1行，在（2.12）令i =1，由S ", hj =0（1 :： j乞n）可得Uij 二a“，j =1,2,川,n接著在（2.12）中令j =1，由aM -li1 U11，從而算出L的第1列h = ai1 / u11 = a1 / a11， i = 2,111, n若U的第1至k -1行和L的第1至k -1列已經(jīng)算出，則由（2.12）可計(jì)算出 U的第k行元素k 二Ukj - akj - l kr U rj ， j = k,k 1|,n（2.13 ）r 二接著再計(jì)算出L的第k列元素k -1aik 1 ir U