2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊學(xué)案：3.2.1 第1課時　函數(shù)的單調(diào)性 Word版含解析

1、3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大(小)值【素養(yǎng)目標(biāo)】1根據(jù)一次函數(shù)，二次函數(shù)了解并理解函數(shù)單調(diào)性的概念(數(shù)學(xué)抽象)2會利用函數(shù)圖象判斷一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性(直觀想象)3理解一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見函數(shù)的最大(小)值問題(數(shù)據(jù)分析)4能利用定義判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，掌握利用單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法(邏輯推理)5掌握利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的單調(diào)性求一些簡單函數(shù)的最大(小)值的方法(數(shù)據(jù)分析)【學(xué)法解讀】1函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，學(xué)生要正確使用符號語言清晰地刻畫函數(shù)的性質(zhì)2單調(diào)性的有關(guān)概念比較抽象，要注意結(jié)合具體的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、比例函數(shù)等)加深理解其

2、含義及應(yīng)用3應(yīng)少做偏題、怪題，避免繁瑣的技巧訓(xùn)練第1課時函數(shù)的單調(diào)性必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性前提條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為i，區(qū)間di條件_x1，x2d_，x1<x2都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)圖示結(jié)論f(x)在區(qū)間d上單調(diào)_遞增_f(x)在區(qū)間d上單調(diào)_遞減_特殊情況當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是_增函數(shù)_當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是_減函數(shù)_思考1：在函數(shù)單調(diào)性的定義中，能否去掉“任意”？提示：不能，不能用特殊代替一般知識點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間函數(shù)yf(x)在_區(qū)間d

3、_上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間d上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間d叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間思考2：區(qū)間d一定是函數(shù)的定義域嗎？提示：不一定，可能是定義域的一個子區(qū)間，單調(diào)性是局部概念，不是整體概念基礎(chǔ)自測1函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上是減函數(shù)，x1，x2(a，b)，且x1x2，則有(b)af(x1)<f(x2)bf(x1)f(x2)cf(x1)f(x2)d以上都有可能解析因為函數(shù)yf(x)在(a，b)上是減函數(shù)，且x1<x2，所以f(x1)>f(x2)，故選b2下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是(b)ay3xbyx21cydyx2解析分別畫出各個函數(shù)的圖象，在區(qū)間(

4、0,2)上上升的圖象只有b3若定義在r上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，總有 >0成立，則必有(a)af(x)在r上是增函數(shù)bf(x)在r上是減函數(shù)c函數(shù)f(x)是先增后減d函數(shù)f(x)是先減后增解析由單調(diào)性的定義可知，對任意兩個不相等的實數(shù)a、b，總有>0成立，則f(x)在r上是增函數(shù)，故選a4已知函數(shù)f(x)是區(qū)間(0，)上的減函數(shù)，那么f(a2a1)與f()的大小關(guān)系為_f(a2a1)f()_.解析a2a1(a)2，又f(x)在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)，f(a2a1)f()關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1 如圖為函數(shù)yf(x)，x4,7的

5、圖象，指出它的單調(diào)區(qū)間分析(1)函數(shù)f(x)在d上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)表現(xiàn)在其圖象上有怎樣的特征？(2)單調(diào)增、減區(qū)間與函數(shù)在該區(qū)間上為增、減函數(shù)一樣嗎？解析函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為1.5,3)，5,6)，單調(diào)減區(qū)間為4，1.5)，3,5)，6,7歸納提升函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及表示方法(1)由函數(shù)圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是一種直觀簡單的方法，對于較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可利用一些基本函數(shù)的單調(diào)性或根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來求(2)單調(diào)區(qū)間必須是一個區(qū)間，不能是兩個區(qū)間的并，如不能寫成函數(shù)y在(，0)(0，)上是減函數(shù)，而只能寫成在(，0)和(0，)上是減函數(shù)(3)區(qū)間端點(diǎn)的寫法：對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函

6、數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)問題，因此寫單調(diào)區(qū)間時，可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)，但對于某些點(diǎn)無意義時，單調(diào)區(qū)間就不包括這些點(diǎn)【對點(diǎn)練習(xí)】 據(jù)下列函數(shù)圖象，指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間解析由圖象(1)知此函數(shù)的增區(qū)間為(，2，4，)，減區(qū)間為2,4由圖象(2)知，此函數(shù)的增區(qū)間為(，1，1，)，減區(qū)間為1,0)，(0,1題型二用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性例2 利用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)分析由于函數(shù)的定義域沒有給出，證明前要先求出定義域，然后證明證明函數(shù)f(x)的定義域是x1，)，設(shè)x1，x21，)且x1<x2，則f(x2)f(x1).因為

7、x1，x21，)，且x1<x2，所以>0，x2x1>0.所以f(x1)<f(x2)即函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)歸納提升函數(shù)的單調(diào)性是在某指定區(qū)間上而言的，自變量x的取值必須是連續(xù)的，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟是“取值作差(或作商)變形定號判斷”當(dāng)函數(shù)在給定區(qū)間上恒正或恒負(fù)時，也常用“作商判1”的方法來解決，特別是函數(shù)中含有指數(shù)式時常用此法解決帶根號的問題，常用的方法就是分子、分母有理化從形式上看是由“”變成“”【對點(diǎn)練習(xí)】 (1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f(x)2x24x在(，1上是單調(diào)減函數(shù)；(2)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)y在(1，)上為增函數(shù)證明(1)

8、設(shè)x1<x21，則f(x1)f(x2)(2x4x1)(2x4x2)2(xx)4(x1x2)2(x1x2)(x1x22)x1<x21，x1x2<0，x1x22<0，f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)在(，1上是減函數(shù)(2)設(shè)x1>x2>1，則x1x2>0，x11>0，x21>0，y1y2>0，y1>y2，函數(shù)y在(1，)上為增函數(shù)題型三單調(diào)性的應(yīng)用例3 已知函數(shù)f(x)是定義在r上的增函數(shù)，且f(3a7)>f(118a)，求實數(shù)a的取值范圍分析根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義可知，由兩個自變量的大小

9、可以得到相應(yīng)的函數(shù)值的大小，反之，由兩個函數(shù)值的大小也可以得到相應(yīng)自變量的大小解析函數(shù)f(x)是定義在r上的增函數(shù)，且f(3a7)>f(118a)，3a7>118a，a<，實數(shù)a的取值范圍是(，)歸納提升利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，去掉對應(yīng)關(guān)系“f”，轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，此時一定要注意自變量的限制條件，以防出錯【對點(diǎn)練習(xí)】 已知函數(shù)g(x)是定義在r上為增函數(shù)，且g(t)>g(12t)，求實數(shù)t的取值范圍解析g(x)在r上為增函數(shù)，且g(t)>g(12t)，t>12t，t>，即所求t的取值范圍為(，)課堂檢測&#

10、183;固雙基1函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，其增區(qū)間是(c)a0,1b4，31,4c3,1d3,4解析結(jié)合圖象分析可知，函數(shù)圖象在區(qū)間3,1是上升的，故其增區(qū)間是3,12下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是(a)ay|x|by3xcydyx24解析因為1<0，所以一次函數(shù)yx3在r上單調(diào)遞減，反比例函數(shù)y在(0，)上單調(diào)遞減，二次函數(shù)yx24在(0，)上遞減3(2020·山東濰坊市高一期中測試)已知函數(shù)f(x)在(，)上是減函數(shù)，若ar，則(d)af(a)>f(2a)bf(a2)<f(a)cf(a2a)<f(a)df(a21)<f(a)解析a21a(a)2>0，a21>a，又f(x)在(，)上是減函數(shù)，f(a21)<f(a)4判斷并證明：函數(shù)f(x)1在(0，)上的單調(diào)性解