華科微積分輔導(dǎo)手冊(cè)習(xí)題參考答案4

1、習(xí)題4解答(編寫：金建華)1、填空題:/八2xsi n2x(1) lim3X-30 si n3xl(2x)3解 I =lim2xs3n2x=lim_=j=f (用到 Xsin xx3，據(jù)臺(tái)勞xX 636公式)；(2)函數(shù) y=x3 -3x2在是單調(diào)減少。解 y = 3x2 -6x =3x(x-2)蘭 0二 0<x<2，填0，2或(0，2)；(3)曲線y=xex的拐點(diǎn)坐標(biāo)是解 y，=ex -3xex =(1 -3x)exy” = 3ex -3(1 -3x)ex = 3ex(1 +1-3x)宀0»0=|，顯然y"在x0兩側(cè)變號(hào)，故所求點(diǎn)伶自(4)曲線y=eX-6x+

2、xl在區(qū)間 是凹的(即向上凹)。解 y，=ex-6+2x， y"=ex+2， y"30 二 x 巳蟲,母)為所求(5)函數(shù)f(x) =4+8x3-3x4的極大值是解 f(X)=24x2 -12x3 =12x2(2-x)在 x = 2兩側(cè)變號(hào)，左正右負(fù)，x = 2為極大值點(diǎn)，極大值為 f=20。(6)函數(shù)ax(a，a工1)的n階麥克勞林多項(xiàng)式是解 ax=exlna在x=0的Taylor多項(xiàng)式由ex的展式來(lái)寫:aX =1+xl na+丄 x2l n2a 十"中丄 xnl nna 2!n!(7)曲線y=xln(e-1/X)的斜漸近方程為解xm寸Pmp"，頁(yè)腳內(nèi)

3、容11In (e-)-1 neb = lim (y - X)= lim x(ln( e - ) -1) = limx= limX護(hù)X1/X1In (1) ex1/X（8）拋物線故所求為y = x丄。ey =4X X2在其頂點(diǎn)處的曲率為解 y丄4-2X,于=2，頂點(diǎn)處 x=2，y=0，y”（2）=2，二 k = 2。(9) I產(chǎn)+ 心一21l =lim巫匸盂2xV1x、/1+x 4 X鳥hV （注，用后丄”x2+o(x2)更好:此時(shí)，分子=i+”8x2+i-2x-8x2+o(x2)-2<x2.)（10）若lim f（X） f （：0） =2 （ n為正整數(shù)），則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f （X）在x

4、 = xo xf （XXo），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（X）在x = X"處解；條件二分式最終為正（極限的保號(hào)性）。于是n偶時(shí),f(X)- f (Xo) >0, f (Xo)極?。籲 奇時(shí)，f(x)-f(Xo)與 X-Xo 同號(hào).f(Xo)非極值.（11）曲線y = x的拐點(diǎn)為,且該曲線在區(qū)間上凹,下凹。在區(qū)間解y'e-xe， y -2e +xe，令 y" = 0，得 x = 2。當(dāng)x<2時(shí)，y*0，曲線為凸的；當(dāng)XA2時(shí)，/ >0，曲線為凹的；拐點(diǎn)為（2,2e）頁(yè)腳內(nèi)容(12 )若 f(x)在 0,a 上二階可導(dǎo)，且 f ”(x) <M，又知 f(

5、x)在(0, a )內(nèi)取得極大值，則必有f W)十f(a)Ma 。頁(yè)腳內(nèi)容解設(shè)在點(diǎn)Xo極大，則fZXo)=O，于是f 0)=f '(0) - f '(Xo)=f '(a) = f '(a) - f '(xo) = f "(y) a -xo ，于是f '(o)+ f '(a)=廠(唧xo廣f(y)|a xo < M (|xo + a xo) = Ma2. 選擇題函數(shù)f(X)= X+1和g(x)=2x+1，在區(qū)間0,1】上滿足柯西定理的©等于()(B) 1(C) 13亠亠(A)2 2 2(D)£羅爾定理中的

6、三個(gè)條件：f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)是f(x)在(a,b )內(nèi)至少存在一點(diǎn) J 使得f©) = 0成立的(A) 必要條件(B) 充分條件(C)充要條件解充分條件(D)既非充分也非必要條件。1(B)(3)下列函數(shù)中在1,e 上滿足拉格朗定理?xiàng)l件的是()1(A) In(ln X)(B) In x (C)(D)In(2-x) °-ln x解In X在1,e滿足(B)設(shè)lim f (x)為未定型，則lim上単存在是lim上兇也存在的() xTo g(x)g (x)xo g(x)必要條件(B)充要條件(C充分條件(D)既非充分也非必要條解充分(C)

7、(5)若在區(qū)間佝b)函數(shù)f(x)的f (x)Of (x)<0，則f(x)在(a,b)內(nèi)是(A) 單調(diào)減少，曲線上凹(C) 單調(diào)增加，曲線上凹(B) 單調(diào)減少，曲線下凹(D) 單調(diào)增加，蛀線下凹解 r>0對(duì)應(yīng)單增，f“<0對(duì)應(yīng)上凸，于是(D)形為右圖。(6)設(shè)f(x)在(0, +邊)內(nèi)可導(dǎo)，且fX)>0 ,若f(0) = 0 ,則在(0,址)內(nèi)有()(A) f(xU0(B) f(x)A0(C)f (X)單調(diào)趨向于+k(D) f(X)的符號(hào)不能確定解 注意在x=0處，函數(shù)可能不連續(xù)，選(D).反例形為右圖。(7)設(shè) xmaipf(x)-f(a)=i，則在 x = a 處()

8、(A) f(X)的導(dǎo)數(shù)存在，且Ha)"( B) f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在(Q f(x)取得極小值解極小值,(D) f(x)取得極大值I同 1( 10)，選(C)(8)函數(shù)y(A) 個(gè)極大值和一個(gè)極小值(B)兩個(gè)極大值(C)兩個(gè)極小值解 y=x3(x-2)，一個(gè)極小值一個(gè)極小值，無(wú)極大值(D)圖形如右二A(9)設(shè)g(x)在(rg)上嚴(yán)格單調(diào)減少,f (X)在X=X0處有極值，則gf(x) 在 x=X0處有極小值(B)gf (x) 在 X = X0處有極大值gf (x) 在 X = X0處有最小值(D) gf(x)在x = X0處既無(wú)極大值，也無(wú)最小值解 f(X)< f(X0)= g(

9、 f(X) > g( f(X0)，故為極小值.(A)X(10)曲線丫=旦()1 +x(A)有一個(gè)拐點(diǎn)x.e亠1 x=中2 e ，1 +x (1+x)2(B)有兩個(gè)拐點(diǎn)(D)無(wú)拐點(diǎn)yex+1+x(1+x)2(1+X)3ex21 + x2x=E(1+x) 2(1+x)+22e，它在x = 1兩側(cè)變號(hào)，但X = 1為無(wú)定義點(diǎn),故無(wú)拐點(diǎn)(D)(11 )設(shè)f(x)在閉區(qū)間L 1,1 上連續(xù)，在開區(qū)間(-1 , 1) 上可導(dǎo)，且f'(X)<M,f(O)=O，則必有(B) I f (xV- M(C) |f(x)卜 M解|f(x)| = |f(x)-f(0)|=|f：(q|jx<M(

10、D) I f(x)|vM11 選(C)(12)若 f ”(x) aO，則 f 、(2)、f( 2)丄f(1)的大小關(guān)系為()(C) 有三個(gè)拐點(diǎn)f (1)f(2)-f(1) f(2)-f(1)>f'(2)(1)f f(2)-f(1)f'(1)(D)f (1)>f(2) f(1)>f'(2)匸兇=1，則()解；f 二 ，故 f (1) < f(2) - f(1) = f 徉)c f'(2)選(C)(13)設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f'(0)=0，xm0(A) f (0)是f (x)的極大值(B) f (0)是 f (x)的極小值(C

11、) (0, f(0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)(D) f(0)不是f(x)的極值，(0, f(0)也不是曲線y= f(x)的拐點(diǎn)匚兇T 1>0= f "與X同號(hào)，故推出f “(X)a0.結(jié)合f(0)=0，選(B)(14)曲線y=har湎占活的漸近線有(A)(B) 2 條(Q(D) 4arcta n(*) tXT 0時(shí)，yT處，故得一條垂直漸近線X =1 ； XT 1±時(shí)垮，非垂直漸近線，類似X = _2也不是,再XT處時(shí)，yT ，4(15)(C) f "(xo) = 0 或 f (Xo)不存在-(B)1f '(X0)HO(D)(xo)不存在得水平漸近線

12、。選(B)設(shè)函數(shù)f (x)在X = x0連續(xù)，若x0為f (x)的極值點(diǎn)，則必有解選(C)這是兩種情形:3. 求下列極限:/ 八X1xl nx迥Enr(2) lim_-n(1 + x) X1(3) lim 1/x100X 0f d V xm#n-解：使用洛必達(dá)法則要結(jié)合等式變形或等價(jià)變形等化簡(jiǎn)手段。令一“，(分子化簡(jiǎn)用到：|n(1+X) = X_2X2+o(X2),下題也是)lim 竺土沁=lim t-O+W limXT (x-1)lnxT tin(1+t)TI 22t_(1+t)(t-2t2+o(t2)tl n(1 +t)(2) limt-JiimXjnO+x) T |n(1+x) X T

13、xln(1+x)1 2X =lim 2 2T X21丄"2(3)令=2，化簡(jiǎn)到分式后使用洛必達(dá)法則X-,lim u u-bc50e翌=0ue令-，化簡(jiǎn)后使用洛必達(dá)法則Xjime n1)X=X!m+exin(In 丄)X1 ln ln =ex PXimrlim地衛(wèi) ef t1 1limKH=eF 1 = 14.已知 f(X)在 x=0處有三階導(dǎo)數(shù)，且 f(0) =0,(0) =0, f "(0) =2，廠(0)= 3 ,求極限解一：由 f (X)在 x=0處 Taylor 公式，得：f (x x-xo(x3)，于 3!lim 沖=lim»3：O(X3)JXTX3X3

14、2解二：由洛必達(dá)法則也可以。注意 0/0型條件的檢驗(yàn)。2,f(x)-xf'(x)2x 1 f7x)-2 1 f"(x)-f“(0)11lim=lim =lim =lim = f (0)=-TxT3x6Tx 6J0x-062(注：最后一步極限只可使用導(dǎo)數(shù)定義，決不可以用洛必達(dá)！因?yàn)槿A導(dǎo)函數(shù)可以不存在)5.證明下列不等式(1)當(dāng) 0<X<1 時(shí)，e2x <匕乜1 -X_解：設(shè) f(X)= (1-x)e2x (1 + X)，原不等式二 f(x)<0Hx)=e2x(12x)-1, f"(x)=-4xe2Xc0= f x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)減，且寫f

15、(x)<0= f(X)在(0,1)內(nèi)單調(diào)減，又由f(0)丄0,故在(0,1)內(nèi)f(X)v0二(1-x)e2x v1+x x H1 故ex1 -X-(2)當(dāng) x<1 時(shí)，e 1 -X解：作函數(shù) f(X)=(1-x)eX, f (0) =1f'(X)=-xeX = 0= X =0，因 x = 0 為 f (X)的唯一駐點(diǎn)，且當(dāng) x>0 時(shí)f(x)<0,當(dāng)xT時(shí)廠(x):>0時(shí)，故f(0)=1是f(x)的極大值，也是最大值I' 1 (XC1),貝J f(X)=(1-x)eX < f (0) =1，因 x<1 即得 eX <.1 -X(3

16、)當(dāng) X35時(shí)，2x2解：令 F(x)厶(xX5) ,L(x) =x”2X(x|n2-2)故F x)> 0 ,從而X因當(dāng) X >5時(shí)，xln 2 -2 A4In 2-2 = I：>0 , eF(x) AF(5) A1二 2 X2(X X 5).頁(yè)腳內(nèi)容(4)比較 程-1和In(1+72)的大小解：因血亠2，故問題在于比較叩+與去之大小，人11令 f(x) =1 nx-，f(2) =1 n2 >0X211r rf(x)= +p：>0 (X>2)貝 0 f(X)A f (2) >0 (xa2)X X令 x=1+72，即得 In(1 +72)aV21./ f

17、6.求下列函數(shù)的極值：/(1) f(xUl<21)解：f'(X)= 2(x+2)(x1)+(x+ 2)2 = 3x(x+ 2) = 0= x = 2,x=0 f "(X)=6x+6, f 70)=6 >0 f 在 x=0處取得極小值，且 f(0) =-4If "(2) =-6 <0 , f 在 x = 2處取得極大值，且 f(-2) = 0(2) f(x)=e(x2 +3x +1) +e2解：fTx)=ei(2 +x)(1-x)=0= x=-2,x=1. f "(x) = e(x2 - x - 3)f (-2) = 3e2-> 0，

18、二f (x)在X = -2處取得極小值，且極小值為f(2)=0f "(1)= _3evO , A f(x)在x = 1處取得極大值，且極大值為12f(1)=5e +e心曲解：limj(X)= lim+x2x = lim $2力玄= 1 = f (0)XT0卞XT0十I0卞lim f(X)= lim(X +1) = 1 = f (0)-5-50 A f(x)在X=0處連續(xù)，從而f(x)在(=嚴(yán))內(nèi)處處連續(xù).f,(xj2x2x(1+|nx),x>011,X V 0X頁(yè)腳內(nèi)容XC,0)01(0,)e1e1(一 F)ef (X)+不存在一0+f(x)z極大值極小值f(X)的極大值為f(

19、0) =1，極小值為在 x=1 處，f(x)不可導(dǎo)，令(x)=0二 x=-e由上面的表可知,2 f(Je e7.已知 f(x)=2x3 +ax2+ bx + 9有兩個(gè)極值點(diǎn)x=1,x = 2，求f(x)的極大值與極小值.解：f'(X)= 6 X + 2ax + b由麗蔦20X00 ：2)從中解得a-9,-121即得 f(X)=2x3 -9x2 +12x +9 ,_ f "(x) =12x-18, f "(1) = -6 v0/. f(x)在x=1處取得極大值，且f (1)=14f "(2) =6 >0, f(X)在 x = 2 處取得極小值，且 f(

20、2)=13.8.求f(x)=x2e2在(=,母)內(nèi)最大值和最小值.解：f'(X)= 2xe* (1-x2) =0= x=0,±1.2 2 2 2f(0) =0, f (±1)= e4,二f (x)在(-=c,+=c)內(nèi)最大值為e°，最小值為0.9.求下列曲線的漸近線:X2=迓Xlim = 0,i3 X2X廠廠7/. X = ±巧為垂直漸近線/. y = 0為水平漸近線.9. (1)解：limJET limJEI"jVx+1 FVx+1. X = 1為垂直漸近線，y = 1為水平漸近線.10.研究方程xin x + A = 0實(shí)根的個(gè)數(shù).

21、1解：令 f(x) = xlnx + A,貝J f Tx) = ln x +1=0= x =-x(0,1)e1 e1(H)ef (x)0+f(x)極小值z(mì)A丄e四+f(x)士)內(nèi)方程有一根.(1)若A蘭0，則在(0,1)內(nèi)方程無(wú)根，在(丄,+=ee(2)若0<A<1/e，則方程在(0,丄)與(丄，母)內(nèi)各有一根.e e(3)若A，則極小值f)"，在(0,1)內(nèi)f(x)>0,在(丄嚴(yán))內(nèi) eeef(x):>0，即方程只有一個(gè)實(shí)根.則極小值fQ)。，從而在(0,址)內(nèi)f(x)>0,方程無(wú)實(shí)e根.11 .設(shè) ai,a2；,an滿足a1遺(廿總r0的實(shí)數(shù)，證明a

22、1 COSX 中a2 cos3x + +an cos(2n - 1)x = 0在開區(qū)間(0-)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.2解：設(shè)1 1f(x) =a1sinx+-a2Sin3x+"+an sin(2n 1)x32n T在0-內(nèi)滿足Rolle定理?xiàng)l件：2氣11f(0) =0,f(：)二a1 腫2 +(1)zan =02 32n T*(0自使得仆)=0'即在(0自內(nèi)有-x滿足a1 COSX + a2 cos3x 十+ an cos(2n 1)x = 0t n-(a,b)，使得f徉)=晉f卩)12.設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間佝b)內(nèi)可微，試證存在證：首先由拉格朗日中值定理

23、丄至 “a,b)使 f 牡)=f(b)-f(a)b - a其次針對(duì)f(x)以及f(x)=x2在a,b上，由Cauchy中值定理知，存在n忘(a,b)使b2-a2" 2耳f(b) f(a) 一竺兩式聯(lián)手即得。113.設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0.證明在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)匚，使f(匚)=(12).證：令F(x)= f(x)(x-1)，則F(x)在0,1上滿足R-Th條件，則存在匚巳0,1)，使 F'(匚)=0 即 f W)(匚-1) + fW) =0= f (匚)= (1-©)f 仁)14.設(shè)0<acb, f(x)在a,b上連

24、續(xù)，在(a,b)內(nèi)可微，證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)匚，使得f (b) - f(a)=匚f W)ln-.a證：令g(x)匚l nx，將f(x)及g(x)在a,b上應(yīng)用柯西中值定理，則有=f)Ha,b)即 f(b)-f(a)仝 f 心lnBln b Tn a 丄aJ15.設(shè) f (x)在0,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (0)= f (1) = 0, min f (x) =-1 .證明存o*在一點(diǎn)，(0,1)，使 f") >8.解:設(shè)f (x)在x=a處( (0,1)取得最小值，則(a)=0, f(a) = -1，由臺(tái)勞公式頁(yè)腳內(nèi)容當(dāng) x = O,x =1 時(shí)f（x） = f（a）"（a）（xa）fg（xa）2，f(0) = f(a) + f (a)(a)+丄花1歸221 2f(1) = f(a) + f'(a)(1-a)+ f r2)(1-a)22因 f (0)= f(1) =0, f(a) =-1, f Ta) =0則有a2f "(匚2) =2，(0 吒匚2 £ a)0 -